Дифференцирование функции, нахождение производной

Содержание:

05 апреля 2023
4 минуты
1155

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Если вам нужно решить задачу, в рамках которой требуется вычислить производную какой-либо функции с одной переменной, советуем внимательно прочесть эту статью. Здесь приводятся общие положения теории дифференцирования, имеющие отношение к вычислению производной. Для этого могут быть использованы разные способы, ведь исходная функция может быть задана явно или неявно, в параметрическом виде, быть элементарной, основной или сложной, значит, в каждой ситуации бывает нужен свой подход.

Таблица дифференцирования функции

Мы собрали всю информацию, которую нужно знать для правильного дифференцирования функции, и представили ее в табличном виде:

Константа $y = C$

$(C)' = 0$

Степенная фунция $y = x^{p}$

$(x^{p})' = p \cdot x^{p - 1}$

Показательная фунция

$y = a^{x} (a^{x})' = a^{x} \cdot \ln a$

В частности, при $a = e$ имеем

$y = e^{x} (e^{x})' = e^{x}$

Правила дифференцирования

$(С \cdot f (x))' = C \cdot f' (x), C \in R ((f (x) \pm g (x))' = f' (x) \pm g' (x) (f (x) g (x))' = f' (x) g (x) + f (x) g' (x) {(\frac{f (x)}{g (x)})}^{'} = \frac{f' (x) \cdot g (x) - f (x) \cdot g' (x)}{g^{2} (x)}$

Логарифмическая функция

$(\log_{a} x)' = \frac{1}{x \cdot \ln a}$

В частности, при $a = e$ имеем

$y = \ln x (\ln x)' = \frac{1}{x}$

Тригонометрические функции

$(\sin x)' = \cos x (\cos x)' = - \sin x (t g x)' = \frac{1}{\cos^{2} x} (c t g x)' = - \frac{1}{\sin^{2} x}$

Производная сложной функции

$(f (g (x)))' = f' (g (x)) \cdot g' (x)$

Производная неявно заданной функции

$F (x, y) = 0 \Rightarrow y'_{x} = - \frac{F'_{x} (x, y)}{F'_{y} (x, y)}$

Производная обратной функции

$g'_{y} (y) = \frac{1}{f'_{x} (x)}, f'_{x} (x) = \frac{1}{g'_{y} (y)}$

Обратные тригонометрические функции

$(a r c \sin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} (a r c \cos x)' = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} (a r c t g x)' = \frac{1}{1 + x^{2}} (a r c c t g x)' = - \frac{1}{1 + x^{2}}$

Гиперболические функции

$(s h x)' = c h x (c h x)' = s h x (t h x)' = \frac{1}{c h^{2} x} (c t h x)' = - \frac{1}{s h^{2} x}$

Производная параметрически заданной функции

$x = φ (t), y = ψ (t), t \in (a; b) y_{x}' = \frac{ψ' (t)}{φ' (t)} y_{x}'' = \frac{ψ'' (t) \cdot φ' (t) - ψ' (t) \cdot φ'' (t)}{{(φ' (t))}^{3}}$

Логарифмическая производная

$y = f (x) y' = y \cdot (\ln (f (x)))'$

Пояснения таблицы

Содержимое таблицы требует небольших пояснений. Например, в наиболее простом случае для дифференцирования нам пригодится определение производной, т.е. вычисление соответствующего предела. Это действие носит название непосредственного дифференцирования.

Если вам приходится работать с основной элементарной функцией, то следует использовать таблицу основных производных. В ней приводятся все готовые значения, доказанные на основании определения. Это очень удобно, и мы советуем вам держать такую таблицу под рукой.

Если надо вычислить производную суммы функций или их разности, произведения и дробного выражения с функцией, то нужно воспользоваться правилами дифференцирования. Они пригодятся при решении большинства задач. Таблица производных, основные правила дифференцирования и формула нахождения производной сложной функции позволят вам выполнить дифференцирование любой элементарной функции при условии, что она задана в явном виде $y = f (x)$ .

В случае, когда нужно найти производную показательно степенной функции $y = (f (x))^{g (x)}$ , удобно пользоваться формулой логарифмической производной. Также она полезна при нахождении производных тогда, когда исходное выражение представляет из себя большую и громоздкую дробь.

Работу с функциями, заданными параметрически, т.е. в виде $x = φ (t), y = ψ (t), t \in (a; b)$ , мы подробно разобрали в отдельной статье.

Если функция задана неявно в виде $F (x; y) = 0$ , то тут возможны несколько методов нахождения производной. Можно провести вычисления, основываясь на понятии частных производных. Еще один вариант – вычислить производные обеих частей равенства, приняв y как функцию от x, после чего разрешить полученное уравнение относительно производной.