Логарифмическая производная. Дифференцирование показательно степенной функции.

27 декабря 2023
5 минут
2 124

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Когда нам нужно выполнить дифференцирование показательно степенной функции вида $y = (f (x))^{g (x)}$ или преобразовать громоздкое выражение с дробями, можно использовать логарифмическую производную. В рамках этого материала мы приведем несколько примеров применения этой формулы.

Чтобы понять эту тему, необходимо знать, как пользоваться таблицей производных, быть знакомым с основными правилами дифференцирования и представлять себе, что такое производная сложной функции.

Как вывести формулу логарифмической производной

Для получения этой формулы нужно сначала произвести логарифмирование по основанию e, а затем упростить получившуюся функцию, применив основные свойства логарифма. После этого надо вычислить производную неявно заданной функции:

$y = f (x) \ln y = \ln (f (x)) (\ln y)' = (\ln (f (x)))' \frac{1}{y} \cdot y' = (\ln (f (x)))' \Rightarrow y' = y \cdot (\ln (f (x)))'$

Примеры использования формулы

Покажем на примере, как это делается.

Пример 1

Вычислить производную показательно степенной функции переменной $x$ в степени $x$ .

Решение

Проводим логарифмирование по указанному основанию и получаем $\ln y = \ln x^{x}$ . С учетом свойств логарифма это можно выразить как $\ln y = x \cdot \ln x$ . Теперь дифференцируем левую и правую части равенства и получаем результат:

$\ln y = x \cdot \ln x (\ln y)' = (x \cdot \ln x)' \frac{1}{y} \cdot y' = x' \cdot \ln x + \cdot (\ln x)' \Rightarrow y' = y \cdot (1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}) = y \cdot (\ln x + 1) = x^{x} \cdot (\ln x + 1)$

Ответ: $(x^{x})' = x^{x} \cdot (\ln x + 1)$

Такую задачу можно решить и другим способом, без логарифмической производной. Сначала нам надо преобразовать исходное выражение так, чтобы перейти от дифференцирования показательно степенной функции к вычислению производной сложной функции, например:

$y = x^{x} = e^{\ln x^{x}} = e^{x \cdot \ln x} \Rightarrow y' = (e^{x \cdot \ln x})' = e^{x \cdot \ln x} \cdot (x \cdot \ln x)' = x^{x} \cdot (x' \cdot \ln x + x \cdot (\ln x)') = = x^{x} \cdot (1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}) = x^{x} \cdot (\ln x + 1)$

Рассмотрим еще одну задачу.

Пример 2

Вычислите производную функции $y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{3} \cdot \sin x}}$ .

Решение

Исходная функция представлена в виде дроби, значит, мы можем решить задачу с помощью дифференцирования. Однако эта функция довольно сложная, значит, преобразований потребуется много. Значит, нам лучше использовать здесь логарифмическую производную $y' = y \cdot (\ln (f (x)))'$ . Поясним, почему такое вычисление удобнее.

Начнем с нахождения $\ln (f (x))$ . Для дальнейшего преобразования нам потребуются следующие свойства логарифма:

логарифм дроби можно представить в виде разности логарифмов;
логарифм произведения можно представить в виде суммы;
если у выражения под логарифмом есть степень, мы можем вынести ее в качестве коэффициента.

Преобразуем выражение:

$\ln (f (x)) = \ln \frac{(x^{2} + 1)^{\frac{1}{3}}}{{(x^{3} \cdot \sin x)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (x^{2} + 1)^{\frac{1}{3}} - \ln (x^{3} \cdot \sin x)^{\frac{1}{2}} = = \frac{1}{3} \ln (x^{2} + 1) - \frac{3}{2} \ln x - \frac{1}{2} \ln \sin x$

В итоге у нас получилось достаточно простое выражение, производную которого вычислить несложно:

$(\ln (f (x)))' = {(\frac{1}{3} \ln (x^{2} + 1) - \frac{3}{2} \ln x - \frac{1}{2} \ln \sin x)}^{'} = = {(\frac{1}{3} \ln (x^{2} + 1))}^{'} - {(\frac{3}{2} \ln x)}^{'} - {(\frac{1}{2} \ln \sin x)}^{'} = = \frac{1}{3} (\ln (x^{2} + 1))' - \frac{3}{2} (\ln x)' - \frac{1}{2} (\ln \sin x)' = = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (x^{2} + 1)' - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot (\sin x)' = = \frac{1}{3} \cdot \frac{2 x}{x^{2} + 1} - \frac{3}{2 x} - \frac{\cos x}{2 \sin x}$

Теперь то, что у нас получилось, нужно подставить в формулу логарифмической производной.

Ответ: $y' = y \cdot (\ln (f (x)))' = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{3} \cdot \sin x}} \cdot (\frac{1}{3} \cdot \frac{2 x}{x^{2} + 1} - \frac{3}{2 x} - \frac{\cos x}{2 \sin x})$

Чтобы закрепить материал, изучите еще пару следующих примеров. Здесь будут приведены только вычисления с минимумом комментариев.

Пример 3

Дана показательно степенная функция $y = (x^{2} + x + 1)^{x^{3}}$ . Вычислите ее производную.

Решение:

$y' = y \cdot (\ln (f (x)))' = (x^{2} + x + 1)^{x^{3}} \cdot {(\ln (x^{2} + x + 1)^{x^{3}})}^{'} = = (x^{2} + x + 1)^{x^{3}} \cdot {(x^{3} \cdot (x^{2} + x + 1))}^{'} = = (x^{2} + x + 1)^{x^{3}} \cdot ({(x^{3})}^{'} \cdot \ln (x^{2} + x + 1) + x^{3} {(\ln (x^{2} + x + 1))}^{'}) = = (x^{2} + x + 1)^{x^{3}} \cdot (3 x^{2} \cdot \ln (x^{2} + x + 1) + x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} + x + 1} \cdot {(x^{2} + x + 1)}^{'}) = = (x^{2} + x + 1)^{x^{3}} \cdot (3 x^{2} \cdot \ln (x^{2} + x + 1) + x^{3} \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1}) = = (x^{2} + x + 1)^{x^{3}} \cdot (3 x^{2} \cdot \ln (x^{2} + x + 1) + \frac{2 x^{4} + x^{3}}{x^{2} + x + 1})$

Ответ: $y' = y \cdot (\ln (f (x)))' = (x^{2} + x + 1)^{x^{3}} \cdot (3 x^{2} \cdot \ln (x^{2} + x + 1) + \frac{2 x^{4} + x^{3}}{x^{2} + x + 1})$

Пример 4

Вычислите производную выражения $y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 1} \cdot \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt[4]{x^{3} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}$ .

Решение

Применяем формулу логарифмической производной.

$y' = y \cdot {(\ln \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 1} \cdot \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt[4]{x^{3} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 2}})}^{'} = = y \cdot {(\ln \sqrt[3]{x^{2} + 1} + \ln \sqrt{x + 1} + \ln \sqrt[4]{x^{3} + 1} - \ln \sqrt{x^{2} + 2 x + 2})}^{'} = = y \cdot {(\frac{1}{3} \ln (x^{2} + 1) + \frac{1}{2} \ln (x + 1) + \frac{1}{4} \ln (x^{3} + 1) - \frac{1}{2} \ln (x^{2} + 2 x + 2))}^{'} = = y \cdot (\frac{(x^{2} + 1)'}{3 (x^{2} + 1)} + \frac{(x + 1)'}{2 (x + 1)} + \frac{(x^{3} + 1)'}{4 (x^{3} + 1)} - \frac{(x^{2} + 2 x + 2)'}{2 (x^{2} + 2 x + 2)}) = = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 1} \cdot \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt[4]{x^{3} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 2}} \cdot (\frac{2 x}{3 (x^{2} + 1)} + \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{3 x^{2}}{4 (x^{3} + 1)} - \frac{2 x + 2}{2 (x^{2} + 2 x + 2)})$

Ответ:

$y' = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 1} \cdot \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt[4]{x^{3} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 2}} \cdot (\frac{2 x}{3 (x^{2} + 1)} + \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{3 x^{2}}{4 (x^{3} + 1)} - \frac{2 x + 2}{2 (x^{2} + 2 x + 2)})$ .