Производная параметрически заданной функции

Функцию можно задать несколькими способами. Это зависит от правила, которое используется при ее задании. Явный вид задания функции имеет вид $y=f\left(x\right)$. Бывают случаи, когда ее описание невозможно или неудобно. Если есть множество пар $(х; у)$,которые необходимо вычислять для параметра $t$ по промежутку $(а; b)$.  Для решения системы $\left\{\begin{array}{l}x=3·\cos t\\ y=3·\sin t\end{array}\right.$ с $0\le t<2\mathrm{\pi }$ необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным $3$.

Определение параметрической функции

Отсюда имеем, что $x=\phi \left(t\right), y=\psi \left(t\right)$ определены на при значении $t\in (a; b)$ и имеют обратную функцию $t=\Theta \left(x\right)$ для $x=\phi \left(t\right)$, тогда идет речь о задании параметрического уравнения функции вида $y=\psi \left(\Theta \right(x\left)\right)$.

Бывают случаи, когда для исследования функции требуется заниматься поиском производной по $х$. Рассмотрим формулу производной параметрически заданной функции вида ${y_x}^{\text{'}}=\frac{{\psi }^{\text{'}}\left(t\right)}{{\phi }^{\text{'}}\left(t\right)}$, поговорим о производной $2$ и $n$-ого порядка.

Вывод формулы производной параметрически заданной функции

Имеем, что $x=\phi \left(t\right), y=\psi \left(t\right)$, определенные и дифферецируемые при значении $t\in \left(a; b\right)$, где ${x_t}^{\text{'}}={\phi }^{\text{'}}\left(t\right)\ne 0$ и $x=\phi \left(t\right)$, тогда существует обратная функция вида $t=\Theta \left(x\right)$.

Для начала следует переходить от параметрического задания к явному. Для этого нужно получить сложную функцию вида $y=\psi \left(t\right)=\psi \left(\Theta \right(x\left)\right)$, где имеется аргумент $x$.

Исходя из правила нахождения производной сложной функции, получаем, что ${y^{\text{'}}}_x=\left(\psi \left(\Theta (x\right)\right))={\psi }^{\text{'}}\left(\Theta \left(x\right)\right)·\Theta \text{'}\left(x\right)$.

Отсюда видно, что $t=\Theta \left(x\right)$ и $x=\phi \left(t\right)$ являются обратными функциями из формулы обратной функции $\Theta \text{'}\left(x\right)=\frac{1}{\phi \text{'}\left(t\right)}$, тогда ${y^{\text{'}}}_x=\psi \text{'}\left(\Theta (x\right))·{\Theta }^{\text{'}}(x)=\frac{\psi \text{'}\left(t\right)}{\phi \text{'}\left(t\right)}$.

Перейдем  к рассмотрению решения нескольких примеров с использованием таблицы производных по правилу дифференцирования.

При работе  с производной функции ч параметром $t$ указывается выражение аргумента $x$ через этот же параметр $t$, чтобы не потерять связь между значениями производной и параметрически заданной функции с аргументом, которому и соответствуют эти значения.

Чтобы определить производную второго порядка параметрически заданной функции, нужно использовать формулу производной первого порядка  на полученной функции, тогда получаем, что

${y^{\text{'}\text{'}}}_x=\frac{{\left({\displaystyle \frac{\psi \text{'}\left(t\right)}{\phi \text{'}\left(t\right)}}\right)}^{\text{'}}}{\phi \text{'}\left(t\right)}=\frac{{\displaystyle \frac{\psi \text{'}\text{'}\left(t\right)·\phi \text{'}\left(t\right)-\psi \text{'}\left(t\right)·\phi \text{'}\text{'}\left(t\right)}{{\left(\phi \text{'}\left(t\right)\right)}^2}}}{\phi \text{'}\left(t\right)}=\frac{\psi \text{'}\text{'}\left(t\right)·\phi \text{'}\left(t\right)-\psi \text{'}\left(t\right)·\phi \text{'}\text{'}\left(t\right)}{{\left(\phi \text{'}\left(t\right)\right)}^3}$.

Аналогичным образом производится нахождение производных высших порядков с параметрически заданными функциями.