Таблица производных. Доказательство формул

Приведем сводную таблицу для удобства и наглядности при изучении темы.

Константа $y = C$

$(C)' = 0$

Степенная функция $y = x^{p}$

$(x^{p})' = p \cdot x^{p - 1}$

Показательная функция $y = a^{x}$

$(a^{x})' = a^{x} \cdot \ln a$

В частности, при $a = e$ имеем $y = e^{x}$

$(e^{x})' = e^{x}$

Логарифмическая функция

$(\log_{a} x)' = \frac{1}{x \cdot \ln a}$

В частности, при $a = e$ имеем $y = \ln x$

$(\ln x)' = \frac{1}{x}$

Тригонометрические функции

$(\sin x)' = \cos x (\cos x)' = - \sin x (t g x)' = \frac{1}{\cos^{2} x} (c t g x)' = - \frac{1}{\sin^{2} x}$

Обратные тригонометрические функции

$(a r c \sin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} (a r c \cos x)' = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} (a r c t g x)' = \frac{1}{1 + x^{2}} (a r c c t g x)' = - \frac{1}{1 + x^{2}}$

Гиперболические функции

$(s h x)' = c h x (c h x)' = s h x (t h x)' = \frac{1}{c h^{2} x} (c t h x)' = - \frac{1}{s h^{2} x}$

Разберем, каким образом были получены формулы указанной таблицы или, иначе говоря, докажем вывод формул производных для каждого вида функций.

Производная постоянной

Доказательство 1

Для того, чтобы вывести данную формулу, возьмем за основу определение производной функции в точке. Используем $x_{0} = x$ , где $x$ принимает значение любого действительного числа, или, иначе говоря, $x$ является любым числом из области определения функции $f (x) = C$ . Составим запись предела отношения приращения функции к приращению аргумента при $∆ x \to 0$ :

$\lim_{∆ x \to 0} \frac{∆ f (x)}{∆ x} = \lim_{∆ x \to 0} \frac{C - C}{∆ x} = \lim_{∆ x \to 0} \frac{0}{∆ x} = 0$

Обратите внимание, что под знак предела попадает выражение $\frac{0}{∆ x}$ . Оно не есть неопределенность «ноль делить на ноль», поскольку в числителе записана не бесконечно малая величина, а именно нуль. Иначе говоря, приращение постоянной функции всегда есть нуль.

Итак, производная постоянной функции $f (x) = C$ равна нулю на всей области определения.

Пример 1

Даны постоянные функции:

$f_{1} (x) = 3, f_{2} (x) = a, a \in R, f_{3} (x) = \frac{\sqrt[7]{4.13}}{22}, f_{4} (x) = 0, f_{5} (x) = - \frac{8}{7}$

Необходимо найти их производные.

Решение

Опишем заданные условия. В первой функции мы видим производную натурального числа $3$ . В следующем примере необходимо брать производную от $а$ , где $а$ - любое действительное число. Третий пример задает нам производную иррационального числа $\frac{\sqrt[7]{4.13}}{22}$ , четвертый - производную нуля (нуль – целое число). Наконец, в пятом случае имеем производную рациональной дроби $- \frac{8}{7}$ .

Ответ: производные заданных функций есть нуль при любом действительном $x$ (на всей области определения)

$f_{1}^{'} (x) = (3)' = 0, f_{2}^{'} (x) = (a)' = 0, a \in R, f_{3}^{'} (x) = {(\frac{\sqrt[7]{4.13}}{22})}^{'} = 0, f_{4}^{'} (x) = 0' = 0, f_{5}^{'} (x) = {(- \frac{8}{7})}^{'} = 0$

Производная степенной функции

Переходим к степенной функции и формуле ее производной, имеющей вид: $(x^{p})' = p \cdot x^{p - 1}$ , где показатель степени $p$ является любым действительным числом.

Доказательство 2

Приведем доказательство формулы, когда показатель степени – натуральное число: $p = 1, 2, 3, \dots$

Вновь опираемся на определение производной. Составим запись предела отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:

$(x^{p})' = \lim_{∆ x \to 0} = \frac{∆ (x^{p})}{∆ x} = \lim_{∆ x \to 0} \frac{(x + ∆ x)^{p} - x^{p}}{∆ x}$

Чтобы упростить выражение в числителе, используем формулу бинома Ньютона:

$(x + ∆ x)^{p} - x^{p} = C_{p}^{0} + x^{p} + C_{p}^{1} \cdot x^{p - 1} \cdot ∆ x + C_{p}^{2} \cdot x^{p - 2} \cdot (∆ x)^{2} + . . . + + C_{p}^{p - 1} \cdot x \cdot (∆ x)^{p - 1} + C_{p}^{p} \cdot (∆ x)^{p} - x^{p} = = C_{p}^{1} \cdot x^{p - 1} \cdot ∆ x + C_{p}^{2} \cdot x^{p - 2} \cdot (∆ x)^{2} + . . . + C_{p}^{p - 1} \cdot x \cdot (∆ x)^{p - 1} + C_{p}^{p} \cdot (∆ x)^{p}$

Таким образом:

$(x^{p})' = \lim_{∆ x \to 0} \frac{∆ (x^{p})}{∆ x} = \lim_{∆ x \to 0} \frac{(x + ∆ x)^{p} - x^{p}}{∆ x} = = \lim_{∆ x \to 0} \frac{(C_{p}^{1} \cdot x^{p - 1} \cdot ∆ x + C_{p}^{2} \cdot x^{p - 2} \cdot (∆ x)^{2} + . . . + C_{p}^{p - 1} \cdot x \cdot (∆ x)^{p - 1} + C_{p}^{p} \cdot (∆ x)^{p})}{∆ x} = = \lim_{∆ x \to 0} (C_{p}^{1} \cdot x^{p - 1} + C_{p}^{2} \cdot x^{p - 2} \cdot ∆ x + . . . + C_{p}^{p - 1} \cdot x \cdot (∆ x)^{p - 2} + C_{p}^{p} \cdot (∆ x)^{p - 1}) = = C_{p}^{1} \cdot x^{p - 1} + 0 + 0 + . . . + 0 = \frac{p!}{1! \cdot (p - 1)!} \cdot x^{p - 1} = p \cdot x^{p - 1}$

Так, мы доказали формулу производной степенной функции, когда показатель степени – натуральное число.

Доказательство 3

Чтобы привести доказательство для случая, когда $p$ - любое действительное число, отличное от нуля, используем логарифмическую производную (здесь следует понимать отличие от производной логарифмической функции). Чтобы иметь более полное понимание желательно изучить производную логарифмической функции и дополнительно разобраться с производной неявно заданной функции и производной сложной функции.

Рассмотрим два случая: когда $x$ положительны и когда $x$ отрицательны.

Итак, $x > 0$ . Тогда: $x^{p} > 0$ . Логарифмируем равенство $y = x^{p}$ по основанию $e$ и применим свойство логарифма:

$y = x^{p} \ln y = \ln x^{p} \ln y = p \cdot \ln x$

На данном этапе получили неявно заданную функцию. Определим ее производную:

$(\ln y)' = (p \cdot \ln x) \frac{1}{y} \cdot y' = p \cdot \frac{1}{x} \Rightarrow y' = p \cdot \frac{y}{x} = p \cdot \frac{x^{p}}{x} = p \cdot x^{p - 1}$

Теперь рассматриваем случай, когда $x$ – отрицательное число.

Если показатель $p$ есть четное число, то степенная функция определяется и при $x < 0$ , причем является четной: $y (x) = - y ((- x)^{p})' = - p \cdot (- x)^{p - 1} \cdot (- x)' = = p \cdot (- x)^{p - 1} = p \cdot x^{p - 1}$

Тогда $x^{p} < 0$ и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Если $p$ есть нечетное число, тогда степенная функция определена и при $x < 0$ , причем является нечетной: $y (x) = - y (- x) = - (- x)^{p}$ . Тогда $x^{p} < 0$ , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

$y' (x) = (- (- x)^{p})' = - ((- x)^{p})' = - p \cdot (- x)^{p - 1} \cdot (- x)' = = p \cdot (- x)^{p - 1} = p \cdot x^{p - 1}$

Последний переход возможен в силу того, что если $p$ - нечетное число, то $p - 1$ либо четное число, либо нуль (при $p = 1$ ), поэтому, при отрицательных $x$ верно равенство $(- x)^{p - 1} = x^{p - 1}$ .

Итак, мы доказали формулу производной степенной функции при любом действительном $p$ .

Пример 2

Даны функции:

$f_{1} (x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}, f_{2} (x) = x^{\frac{\sqrt{2} - 1}{4}}, f_{3} (x) = \frac{1}{x^{\log_{7} 12}}$

Определите их производные.

Решение

Часть заданных функций преобразуем в табличный вид $y = x^{p}$ , опираясь на свойства степени, а затем используем формулу:

$f_{1} (x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} = x^{- \frac{2}{3}} \Rightarrow f_{1}^{'} (x) = - \frac{2}{3} \cdot x^{- \frac{2}{3} - 1} = - \frac{2}{3} \cdot x^{- \frac{5}{3}} f_{2}^{'} (x) = (x^{\frac{\sqrt{2} - 1}{4}}) = \frac{\sqrt{2} - 1}{4} \cdot x^{\frac{\sqrt{2} - 1}{4} - 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{4} \cdot x^{\frac{\sqrt{2} - 5}{4}} f_{3} (x) = \frac{1}{x^{\log_{7} 12}} = x^{- \log_{7} 12} \Rightarrow f_{3}^{'} (x) = - \log_{7} 12 \cdot x^{- \log_{7} 12 - 1} = - \log_{7} 12 \cdot x^{- \log_{7} 12 - \log_{7} 7} = - \log_{7} 12 \cdot x^{- \log_{7} 84}$

Производная показательной функции

Доказательство 4

Выведем формулу производной, взяв за основу определение:

$(a^{x})' = \lim_{∆ x \to 0} \frac{a^{x + ∆ x} - a^{x}}{∆ x} = \lim_{∆ x \to 0} \frac{a^{x} (a^{∆ x} - 1)}{∆ x} = a^{x} \cdot \lim_{∆ x \to 0} \frac{a^{∆ x} - 1}{∆ x} = open\frac{0}{0}>$

Мы получили неопределенность. Чтобы раскрыть ее, запишем новую переменную $z = a^{∆ x} - 1$ ( $z \to 0$ при $∆ x \to 0$ ). В таком случае $a^{∆ x} = z + 1 \Rightarrow ∆ x = \log_{a} (z + 1) = \frac{\ln (z + 1)}{\ln a}$ . Для последнего перехода использована формула перехода к новому основанию логарифма.

Осуществим подстановку в исходный предел:

$(a^{x})' = a^{x} \cdot \lim_{∆ x \to 0} \frac{a^{∆ x} - 1}{∆ x} = a^{x} \cdot \ln a \cdot \lim_{∆ x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{z} \cdot \ln (z + 1)} = = a^{x} \cdot \ln a \cdot \lim_{∆ x \to 0} \frac{1}{\ln (z + 1)^{\frac{1}{z}}} = a^{x} \cdot \ln a \cdot \frac{1}{\ln (\lim_{∆ x \to 0} (z + 1)^{\frac{1}{z}})}$

Вспомним второй замечательный предел и тогда получим формулу производной показательной функции:

$(a^{x})' = a^{x} \cdot \ln a \cdot \frac{1}{\ln (\lim_{z \to 0} (z + 1)^{\frac{1}{z}})} = a^{x} \cdot \ln a \cdot \frac{1}{\ln e} = a^{x} \cdot \ln a$

Пример 3

Даны показательные функции:

$f_{1} (x) = {(\frac{2}{3})}^{x}, f_{2} (x) = {(\sqrt[3]{5})}^{x}, f_{3} (x) = \frac{1}{(e)^{x}}$

Необходимо найти их производные.

Решение

Используем формулу производной показательной функции и свойства логарифма:

$f_{1}^{'} (x) = {({(\frac{2}{3})}^{x})}^{'} = {(\frac{2}{3})}^{x} \cdot \ln \frac{2}{3} = {(\frac{2}{3})}^{x} \cdot (\ln 2 - \ln 3) f_{2}^{'} (x) = {({(\sqrt[3]{5})}^{x})}^{'} = {(\sqrt[3]{5})}^{x} \cdot \ln 5^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \cdot {(\sqrt[3]{5})}^{x} \cdot \ln 5 f_{3}^{'} (x) = {(\frac{1}{(e)^{x}})}^{'} = {({(\frac{1}{e})}^{x})}^{'} = {(\frac{1}{e})}^{x} \cdot \ln \frac{1}{e} = {(\frac{1}{e})}^{x} \cdot \ln e^{- 1} = - {(\frac{1}{e})}^{x}$

Производная логарифмической функции

Доказательство 5

Приведем доказательство формулы производной логарифмической функции для любых $x$ в области определения и любых допустимых значениях основания $а$ логарифма. Опираясь на определение производной, получим:

$(\log_{a} x)' = \lim_{∆ x \to 0} \frac{\log_{a} (x + ∆ x) - \log_{a} x}{∆ x} = \lim_{∆ x \to 0} \frac{\log_{a} \frac{x + ∆ x}{x}}{∆ x} = = \lim_{∆ x \to 0} \frac{1}{∆ x} \cdot \log_{a} (1 + \frac{∆ x}{x}) = \lim_{∆ x \to 0} \log_{a} {(1 + \frac{∆ x}{x})}^{\frac{1}{∆ x}} = = \lim_{∆ x \to 0} \log_{a} {(1 + \frac{∆ x}{x})}^{\frac{1}{∆ x} \cdot \frac{x}{x}} = \lim_{∆ x \to 0} (\frac{1}{x} \cdot \log_{a} {(1 + \frac{∆ x}{x})}^{\frac{x}{∆ x}}) = = \frac{1}{x} \cdot \log_{a} \lim_{∆ x \to 0} {(1 + \frac{∆ x}{x})}^{\frac{x}{∆ x}} = \frac{1}{x} \cdot \log_{a} e = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln e}{\ln a} = \frac{1}{x \cdot \ln a}$

Из указанной цепочки равенств видно, что преобразования строились на основе свойства логарифма. Равенство $\lim_{∆ x \to 0} {(1 + \frac{∆ x}{x})}^{\frac{x}{∆ x}} = e$ является верным в соответствии со вторым замечательным пределом.

Пример 4

Заданы логарифмические функции:

$f_{1} (x) = \log_{\ln 3} x, f_{2} (x) = \ln x$

Необходимо вычислить их производные.

Решение

Применим выведенную формулу:

$f_{1}^{'} (x) = (\log_{\ln 3} x)' = \frac{1}{x \cdot \ln (\ln 3)}; f_{2}^{'} (x) = (\ln x)' = \frac{1}{x \cdot \ln e} = \frac{1}{x}$

Итак, производная натурального логарифма есть единица, деленная на $x$ .

Производные тригонометрических функций

Доказательство 6

Используем некоторые тригонометрические формулы и первый замечательный предел, чтобы вывести формулу производной тригонометрической функции.

Согласно определению производной функции синуса, получим:

$(\sin x)' = \lim_{∆ x \to 0} \frac{\sin (x + ∆ x) - \sin x}{∆ x}$

Формула разности синусов позволит нам произвести следующие действия:

$(\sin x)' = \lim_{∆ x \to 0} \frac{\sin (x + ∆ x) - \sin x}{∆ x} = = \lim_{∆ x \to 0} \frac{2 \cdot \sin \frac{x + ∆ x - x}{2} \cdot \cos \frac{x + ∆ x + x}{2}}{∆ x} = = \lim_{∆ x \to 0} \frac{\sin \frac{∆ x}{2} \cdot \cos (x + \frac{∆ x}{2})}{\frac{∆ x}{2}} = = \cos (x + \frac{0}{2}) \cdot \lim_{∆ x \to 0} \frac{\sin \frac{∆ x}{2}}{\frac{∆ x}{2}}$

Наконец, используем первый замечательный предел:

$\sin' x = \cos (x + \frac{0}{2}) \cdot \lim_{∆ x \to 0} \frac{\sin \frac{∆ x}{2}}{\frac{∆ x}{2}} = \cos x$

Итак, производной функции $\sin x$ будет $\cos x$ .

Совершенно также докажем формулу производной косинуса:

$\cos' x = \lim_{∆ x \to 0} \frac{\cos (x + ∆ x) - \cos x}{∆ x} = = \lim_{∆ x \to 0} \frac{- 2 \cdot \sin \frac{x + ∆ x - x}{2} \cdot \sin \frac{x + ∆ x + x}{2}}{∆ x} = = - \lim_{∆ x \to 0} \frac{\sin \frac{∆ x}{2} \cdot \sin (x + \frac{∆ x}{2})}{\frac{∆ x}{2}} = = - \sin (x + \frac{0}{2}) \cdot \lim_{∆ x \to 0} \frac{\sin \frac{∆ x}{2}}{\frac{∆ x}{2}} = - \sin x$

Т.е. производной функции $\cos x$ будет $- \sin x$ .

Формулы производных тангенса и котангенса выведем на основе правил дифференцирования:

$t g' x = {(\frac{\sin x}{\cos x})}^{'} = \frac{\sin' x \cdot \cos x - \sin x \cdot \cos' x}{\cos^{2} x} = = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (- \sin x)}{\cos^{2} x} = \frac{\sin^{2} x + \cos^{2} x}{\cos^{2} x} = \frac{1}{\cos^{2} x} c t g' x = {(\frac{\cos x}{\sin x})}^{'} = \frac{\cos' x \cdot \sin x - \cos x \cdot \sin' x}{\sin^{2} x} = = \frac{- \sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{\sin^{2} x} = - \frac{\sin^{2} x + \cos^{2} x}{\sin^{2} x} = - \frac{1}{\sin^{2} x}$

Производные обратных тригонометрических функций

Раздел о производной обратных функций дает исчерпывающую информацию о доказательстве формул производных арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, поэтому дублировать материал здесь не будем.

Производные гиперболических функций

Доказательство 7

Вывод формул производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса осуществим при помощи правила дифференцирования и формулы производной показательной функции:

$s h' x = {(\frac{e^{x} - e^{- x}}{2})}^{'} = \frac{1}{2} ({(e^{x})}^{'} - {(e^{- x})}^{'}) = = \frac{1}{2} (e^{x} - (- e^{- x})) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = c h x c h' x = {(\frac{e^{x} + e^{- x}}{2})}^{'} = \frac{1}{2} ({(e^{x})}^{'} + {(e^{- x})}^{'}) = = \frac{1}{2} (e^{x} + (- e^{- x})) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2} = s h x t h' x = {(\frac{s h x}{c h x})}^{'} = \frac{s h' x \cdot c h x - s h x \cdot c h' x}{c h^{2} x} = \frac{c h^{2} x - s h^{2} x}{c h^{2} x} = \frac{1}{c h^{2} x} c t h' x = {(\frac{c h x}{s h x})}^{'} = \frac{c h' x \cdot s h x - c h x \cdot s h' x}{s h^{2} x} = \frac{s h^{2} x - c h^{2} x}{s h^{2} x} = - \frac{1}{s h^{2} x}$

Рекомендуется выучить формулы из таблицы производных: они не столь сложны для запоминания, но экономят много времени, когда необходимо решать задачи дифференцирования.