Числовые ряды: определения, свойства, признаки сходимости, примеры, решения

Содержание:

18 мая 2023
25 минут
3391

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Данная статья представляет собой структурированную и подробную информацию, которая может пригодиться во время разбора упражнений и задач. Мы рассмотрим тему числовых рядов.

Данная статья начинается с основных определений и понятий. Далее мы стандартные варианты и изучим основные формулы. Для того, чтобы закрепить материал, в статье приведены основные примеры и задачи.

Базовые тезисы

Для начала представим систему: $a_{1}, a_{2} . . ., a_{n}, . . .$ , где $a_{k} \in R, k = 1, 2 . . .$ .

Для примера, возьмем такие числа, как: $6, 3, - \frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \frac{3}{8}, - \frac{3}{16}, . . .$ .

Определение 1

Числовой ряд – это сумма членов ${\sum a_{k}}_{k = 1}^{\infty} = a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n} + . . .$ .

Чтобы лучше понять определение, рассмотрим данный случай, в котором $q = - 0.5 : 8 - 4 + 2 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + . . . = \sum_{k = 1}^{\infty} (- 16) \cdot {(- \frac{1}{2})}^{k}$ .

Определение 2

$a_{k}$ является общим или $k$ –ым членом ряда.

Он выглядит примерно таким образом $(- 16) \cdot {(- \frac{1}{2})}^{k}$ .

Определение 3

Частичная сумма ряда выглядит примерно таким образом $S_{n} = a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}$ , в которой $n$ –любое число. $S_{n}$ является $n$ -ой суммой ряда.

Например, $\sum_{k = 1}^{\infty} (- 16) \cdot {(- \frac{1}{2})}^{k}$ есть $S_{4} = 8 - 4 + 2 - 1 = 5$ .

$S_{1}, S_{2}, . . ., S_{n}, . . .$ образуют бесконечную последовательность числового ряда.

Для ряда $n$ –ая сумму находится по формуле $S_{n} = \frac{a_{1} \cdot (1 - q^{n})}{1 - q} = \frac{8 \cdot (1 - {(- \frac{1}{2})}^{n})}{1 - (- \frac{1}{2})} = \frac{16}{3} \cdot (1 - {(- \frac{1}{2})}^{n})$ . Используем следующую последовательность частичных сумм: $8, 4, 6, 5, . . ., \frac{16}{3} \cdot (1 - {(- \frac{1}{2})}^{n}), . . .$ .

Определение 4

Ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ является сходящимся тогда, когда последовательность обладает конечным пределом $S = \underset{n \to + \infty}{\lim S_{n}}$ . Если предела нет или последовательность бесконечна, то ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ называется расходящимся.

Определение 5

Суммой сходящегося ряда $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ является предел последовательности $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} = \underset{n \to + \infty}{\lim S_{n}} = S$ .

В данном примере $\underset{n \to + \infty}{\lim S_{n}} = \underset{т \to + \infty}{\lim \frac{16}{3}} \cdot (1 - {(\frac{1}{2})}^{n}) = \frac{16}{3} \cdot \lim_{n \to + \infty} (1 - {(- \frac{1}{2})}^{n}) = \frac{16}{3}$ , ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} (- 16) \cdot {(- \frac{1}{2})}^{k}$ сходится. Сумма равна $\frac{16}{3}$ : $\sum_{k = 1}^{\infty} (- 16) \cdot {(- \frac{1}{2})}^{k} = \frac{16}{3}$ .

Пример 1

В качестве примера расходящегося ряда можно привести сумму геометрической прогрессии со знаменателем большем, чем единица: $1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2^{n - 1} + . . . = \sum_{k = 1}^{\infty} 2^{k - 1}$ .

$n$ -ая частичная сумма определяется выражением $S_{n} = \frac{a_{1} \cdot (1 - q^{n})}{1 - q} = \frac{1 \cdot (1 - 2^{n})}{1 - 2} = 2^{n} - 1$ , а предел частичных сумм бесконечен: $\lim_{n \to + \infty} S_{n} = \lim_{n \to + \infty} (2^{n} - 1) = + \infty$ .

Еще одим примером расходящегося числового ряда является сумма вида $\sum_{k = 1}^{\infty} 5 = 5 + 5 + . . .$ . В этом случае $n$ -ая частичная сумма может быть вычислена как $S_{n} = 5 n$ . Предел частичных сумм бесконечен $\lim_{n \to + \infty} S_{n} = \lim_{n \to + \infty} 5 n = + \infty$ .

Определение 6

Сумма подобного вида как $\sum_{k = 1}^{\infty} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + . . . + \frac{1}{n} + . . .$ – это гармонический числовой ряд.

Определение 7

Сумма $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{s}} = 1 + \frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{3^{s}} + . . . + \frac{1}{n^{s}} + . . .$ , где $s$ –действительное число, является обобщенно гармоническим числовым рядом.

Определения, рассмотренные выше, помогут вам для решения большинства примеров и задач.

Для того, чтобы дополнить определения, необходимо доказать определенные уравнения.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k}$ – расходящийся.

Действуем методом от обратного. Если он сходится, то предел конечен. Можно записать уравнение как $\lim_{n \to + \infty} S_{n} = S$ и $\lim_{n \to + \infty} S_{2 n} = S$ . После определенных действий мы получаем равенство $\underset{n \to + \infty}{l i m} (S_{2 n} - S_{n}) = 0$ .

Напротив,

$S_{2 n} - S_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + . . . + \frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + . . . + \frac{1}{2 n} - - (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + . . . + \frac{1}{n}) = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + . . . + \frac{1}{2 n}$

Справедливы следующие неравенства $\frac{1}{n + 1} > \frac{1}{2 n}, \frac{1}{n + 1} > \frac{1}{2 n}, . . ., \frac{1}{2 n - 1} > \frac{1}{2 n}$ . Получаем, что $S_{2 n} - S_{n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + . . . + \frac{1}{2 n} > \frac{1}{2 n} + \frac{1}{2 n} + . . . + \frac{1}{2 n} = \frac{n}{2 n} = \frac{1}{2}$ . Выражение $S_{2 n} - S_{n} > \frac{1}{2}$ указывает на то, что $\lim_{n \to + \infty} (S_{2 n} - S_{n}) = 0$ не достигается. Ряд расходящийся.

$b_{1} + b_{1} q + b_{1} q^{2} + . . . + b_{1} q^{n} + . . . = \sum_{k = 1}^{\infty} b_{1} q^{k - 1}$

Необходимо подтвердить, что сумма последовательности чисел сходится при $|q| < 1$ , и расходится при $|q| \geq 1$ .

Согласно приведенным выше определениям, сумма n членов определяется согласно формуле $S_{n} = \frac{b_{1} \cdot (q^{n} - 1)}{q - 1}$ .

Если $|q| < 1$ верно

$\lim_{n \to + \infty} S_{n} = \lim_{n \to + \infty} \frac{b_{1} \cdot (q^{n} - 1)}{q - 1} = b_{1} \cdot (\lim_{n \to + \infty} \frac{q^{n}}{q - 1} - \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{q - 1}) = = b_{1} \cdot (0 - \frac{1}{q - 1}) = \frac{b_{1}}{q - 1}$

Мы доказали, что числовой ряд сходится.

При $q = 1$ $b_{1} + b_{1} + b_{1} + . . . \sum_{k = 1}^{\infty} b_{1}$ . Суммы можно отыскать с использованием формулы $S_{n} = b_{1} \cdot n$ , предел бесконечен $\lim_{n \to + \infty} S_{n} = \lim_{n \to + \infty} b_{1} \cdot n = \infty$ . В представленном варианте ряд расходится.

Если $q = - 1$ , то ряд выглядит как $b_{1} - b_{1} + b_{1} - . . . = \sum_{k = 1}^{\infty} b_{1} (- 1)^{k + 1}$ . Частичные суммы выглядят как $S_{n} = b_{1}$ для нечетных $n$ , и $S_{n} = 0$ для четных $n$ . Рассмотрев данный случай, мы удостоверимся, что предела нет и ряд является расходящимся.

При $|q| > 1$ справедливо $\lim_{n \to + \infty} S_{n} = \lim_{n \to + \infty} \frac{b_{1} \cdot (q^{n} - 1)}{q - 1} = b_{1} \cdot (\lim_{n \to + \infty} \frac{q^{n}}{q - 1} - \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{q - 1}) = = b_{1} \cdot (\infty - \frac{1}{q - 1}) = \infty$

Мы доказали, что числовой ряд расходится.

Ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{s}}$ сходится, если $s > 1$ и расходится, если $s \leq 1$ .

Для $s = 1$ получаем $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k}$ , ряд расходится.

При $s < 1$ получаем $\frac{1}{k^{s}} \geq \frac{1}{k}$ для $k$ , натурального числа. Так как ряд является расходящимся $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k}$ , то предела нет. Следуя этому, последовательность $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{s}}$ неограниченна. Делаем вывод, что выбранный ряд расходится при $s < 1$ .

Необходимо предоставить доказательства, что ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{s}}$ сходится при $s > 1$ .

Представим $S_{2 n - 1} - S_{n - 1}$ :

$S_{2 n - 1} - S_{n - 1} = 1 + \frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{3^{s}} + . . . + \frac{1}{(n - 1)^{s}} + \frac{1}{n^{s}} + \frac{1}{(n + 1)^{s}} + . . . + \frac{1}{(2 n - 1)^{s}} - - (1 + \frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{3^{s}} + . . . + \frac{1}{(n - 1)^{s}}) = \frac{1}{n^{s}} + \frac{1}{(n + 1)^{s}} + . . . + \frac{1}{(2 n - 1)^{s}}$

Допустим, что $\frac{1}{(n + 1)^{s}} < \frac{1}{n^{s}}, \frac{1}{(n + 2)^{s}} < \frac{1}{n^{s}}, . . ., \frac{1}{(2 n - 1)^{s}} < \frac{1}{n^{s}}$ , тогда $S_{2 n - 1} - S_{n - 1} = \frac{1}{n^{s}} + \frac{1}{(n + 1)^{s}} + . . . + \frac{1}{(2 n - 1)^{s}} < < \frac{1}{n^{s}} + \frac{1}{n^{s}} + . . . + \frac{1}{n^{s}} = \frac{n}{n^{s}} = \frac{1}{n^{s - 1}}$

Представим уравнение для чисел, которые являются натуральными и четными $n = 2 : S_{2 n - 1} - S_{n - 1} = S_{3} - S_{1} = \frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{3^{s}} < \frac{1}{2^{s - 1}} n = 4 : S_{2 n - 1} - S_{n - 1} = S_{7} - S_{3} = \frac{1}{4^{s}} + \frac{1}{5^{s}} + \frac{1}{6^{s}} + \frac{1}{7^{s}} < \frac{1}{4^{s - 1}} = \frac{1}{{(2^{s - 1})}^{2}} n = 8 : S_{2 n - 1} - S_{n - 1} = S_{15} - S_{7} = \frac{1}{8^{s}} + \frac{1}{9^{s}} + . . . + \frac{1}{15^{s}} < \frac{1}{8^{s - 1}} = \frac{1}{{(2^{s - 1})}^{3}} . . .$

Получаем:

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{s}} = 1 + \frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{3^{s}} + \frac{1}{4^{s}} + . . . + \frac{1}{7^{s}} + \frac{1}{8^{s}} + . . . + \frac{1}{15^{s}} + . . . = = 1 + (S_{3} - S_{1}) + (S_{7} - S_{3}) + (S_{15} + S_{7}) + . . . < < 1 + \frac{1}{2^{s - 1}} + \frac{1}{{(2^{s - 1})}^{2}} + \frac{1}{{(2^{s - 1})}^{3}} + . . .$

Выражение $1 + \frac{1}{2^{s - 1}} + \frac{1}{{(2^{s - 1})}^{2}} + \frac{1}{{(2^{s - 1})}^{3}} + . . .$ – это сумма геометрической прогрессии $q = \frac{1}{2^{s - 1}}$ . Согласно исходным данным при $s > 1$ , то $0 < q < 1$ . Получаем, $\sum_{k = 1}^{\infty} < 1 + \frac{1}{2^{s - 1}} + \frac{1}{{(2^{s - 1})}^{2}} + \frac{1}{{(2^{s - 1})}^{3}} + . . . = \frac{1}{1 - q} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2^{s - 1}}}$ . Последовательность ряда при $s > 1$ увеличивается и ограничивается сверху $\frac{1}{1 - \frac{1}{2^{s - 1}}}$ . Представим, что есть предел и ряд является сходящимся $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{s}}$ .

Определение 8

Ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ знакоположителен в том случае, если его члены $> 0$ $a_{k} > 0, k = 1, 2, . . .$ .

Ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ знакочередующийся, если знаки чисел отличаются. Данный пример представлен как $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k} = \sum_{k = 1}^{\infty} (- 1)^{k} \cdot a_{k}$ или $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k} = \sum_{k = 1}^{\infty} (- 1)^{k + 1} \cdot a_{k}$ , где $a_{k} > 0, k = 1, 2, . . .$ .

Ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ знакопеременный, так как в нем множество чисел, отрицательных и положительных.

Второй вариант ряд – это частный случай третьего варианта.

Приведем примеры для каждого случая соответственно:

$6 + 3 + \frac{3}{2} + \frac{3}{4} + \frac{3}{8} + \frac{3}{16} + . . . 6 - 3 + \frac{3}{2} - \frac{3}{4} + \frac{3}{8} - \frac{3}{16} + . . . 6 + 3 - \frac{3}{2} + \frac{3}{4} + \frac{3}{8} - \frac{3}{16} + . . .$

Для третьего варианта также можно определить абсолютную и условную сходимость.

Определение 9

Знакочередующийся ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ абсолютно сходится в том случае, когда $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ также считается сходящимся.

Подробно разберем несколько характерных вариантов

Пример 2

Если ряды $6 - 3 + \frac{3}{2} - \frac{3}{4} + \frac{3}{8} - \frac{3}{16} + . . .$ и $6 + 3 - \frac{3}{2} + \frac{3}{4} + \frac{3}{8} - \frac{3}{16} + . . .$ определяются как сходящиеся, то верно считать, что $6 + 3 + \frac{3}{2} + \frac{3}{4} + \frac{3}{8} + \frac{3}{16} + . . .$

Определение 10

Знакопеременный ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ считается условно сходящимся в том случае, если $\sum_{k = 1}^{\infty} |b_{k}|$ – расходящийся, а ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ считается сходящимся.

Пример 3

Подробно разберем вариант $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1}}{k} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + . . .$ . Ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} |\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}| = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k}$ , который состоит из абсолютных величин, определяется как расходящийся. Этот вариант считается сходящимся, так как это легко определить. Из данного примера мы узнаем, что ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1}}{k} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + . . .$ будет считаться условно сходящимся.

Особенности сходящихся рядов

Проанализируем свойства для определенных случаев

Если $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ будет сходится, то и ряд $\sum_{k = m + 1}^{\infty} a_{k}$ также признается сходящимся. Можно отметить, что ряд без $m$ членов также считается сходящимся. В случае, если мы добавляем к $\sum_{k = m + 1}^{\infty} a_{k}$ несколько чисел, то получившийся результат также будет сходящимся.
Если $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ сходится и сумма = $S$ , то сходится и ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} A \cdot a_{k}$ , $\sum_{k = 1}^{\infty} A \cdot a_{k} = A \cdot S$ , где $A$ –постоянная.
Если $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ и $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ являются сходящимися , суммы $A$ и $B$ тоже, то и ряды $\sum_{k = 1}^{\infty} (a_{k} + b_{k})$ и $\sum_{k = 1}^{\infty} (a_{k} - b_{k})$ также сходятся . Суммы будут равняться $A + B$ и $A - B$ соответственно.

Пример 4

Определить, что ряд сходится $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2}{3 k \cdot \sqrt[3]{k}}$ .

Изменим выражение $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2}{3 k \cdot \sqrt[3]{k}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{k^{\frac{4}{3}}}$ . Ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{\frac{4}{3}}}$ считается сходящимся, так как ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{s}}$ сходится при $s > 1$ . В соответствии со вторым свойством, $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{k^{\frac{4}{3}}}$ .

Пример 5

Определить, сходится ли ряд $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{3 + \sqrt{n}}{n^{\frac{5}{2}}}$ .

Преобразуем изначальный вариант $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{3 + \sqrt{n}}{n^{\frac{5}{2}}} = \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{3}{n^{\frac{5}{2}}} + \frac{\sqrt{n}}{n^{2}}) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{3}{n^{\frac{5}{2}}} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ .

Получаем сумму $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{3}{n^{\frac{5}{2}}}$ и $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ . Каждый ряд признается сходящимся согласно свойству. Так, как ряды сходятся, то исходный вариант тоже.

Пример 6

Вычислить, сходится ли ряд $1 - 6 + \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{8} - \frac{2}{9} + . . .$ и вычислить сумму.

Разложим исходный вариант:

$1 - 6 + \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{8} - \frac{2}{9} + . . . = = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + . . . - 2 \cdot (3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + . . .) = = \sum_{k = 1}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{k - 1} - 2 \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {(\frac{1}{3})}^{k - 2}$

Каждый ряд сходится, так как является одним из членов числовой последовательности. Согласно третьему свойству, мы можем вычислить, что исходный вариант также является сходящимся. Вычисляем сумму: Первый член ряда $\sum_{k = 1}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ $= 1$ , а знаменатель $= 0.5$ , за этим следует, $\sum_{k = 1}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{k - 1} = \frac{1}{1 - 0.5} = 2$ . Первый член $\sum_{k = 1}^{\infty} {(\frac{1}{3})}^{k - 2} = 3$ , а знаменатель убывающей числовой последовательности $= \frac{1}{3}$ . Получаем: $\sum_{k = 1}^{\infty} {(\frac{1}{3})}^{k - 2} = \frac{3}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{9}{2}$ .

Используем выражения, полученные выше, для того, чтобы определить сумму $1 - 6 + \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{8} - \frac{2}{9} + . . . = \sum_{k = 1}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{k - 1} - 2 \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {(\frac{1}{3})}^{k - 2} = 2 - 2 \cdot \frac{9}{2} = - 7$

Необходимое условие для определения, является ли ряд сходящимся

Определение 11

Если ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ является сходящимся, то предел его $k$ -ого члена $= 0$ : $\lim_{k \to + \infty} a_{k} = 0$ .

Если мы проверим любой вариант, то нужно не забывать о непременном условии. Если оно не выполняется, то ряд расходится. Если $\lim_{k \to + \infty} a_{k} \neq 0$ , то ряд расходящийся.

Следует уточнить, что условие важно, но не достаточно. Если равенство $\lim_{k \to + \infty} a_{k} = 0$ выполняется , то это не гарантирует, что $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ является сходящимся.

Приведем пример. Для гармонического ряда $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k}$ условие выполняется $\lim_{k \to + \infty} \frac{1}{k} = 0$ , но ряд все равно расходится.

Пример 7

Определить сходимость $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2}}{1 + n}$ .

Проверим исходное выражение на выполнение условия $\lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2}}{1 + n} = \lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2}}{n^{2} (\frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n})} = \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{\frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n}} = \frac{1}{+ 0 + 0} = + \infty \neq 0$

Предел $n$ -ого члена не равен $0$ . Мы доказали, что данный ряд расходится.

Как определить сходимость знакоположительного ряда.

Если постоянно пользоваться указанными признаками, придется постоянно вычислять пределы. Данный раздел поможет избежать сложностей во время решения примеров и задач. Для того, чтобы определить сходимость знакоположительного ряда, существует определенное условие.

Для сходимости знакоположительного $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}, a_{k} > 0 \forall k = 1, 2, 3, . . .$ нужно определять ограниченную последовательность сумм.

Как сравнивать ряды

Существует несколько признаков сравнения рядов. Мы сравниваем ряд, сходимость которого предлагается определить, с тем рядом, сходимость которого известна.

Первый признак

$\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ и $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ - знакоположительные ряды. Неравенство $a_{k} \leq b_{k}$ справедливо для k = 1, 2, 3, ... Из этого следует, что из ряда $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ мы можем получить $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ . Так как $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ расходится, то ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ можно определить как расходящийся.

Данное правило постоянно используется для решения уравнений и является серьезным аргументом, которое поможет определить сходимость. Сложности могут состоять в том, что подобрать подходящий пример для сравнения можно найти далеко не в каждом случае. Довольно часто ряд выбирается по принципу, согласно которому показатель $k$ -ого члена будет равняться результату вычитания показателей степеней числителя и знаменателя $k$ -ого члена ряда. Допустим, что $a_{k} = \frac{k^{2} + 3}{4 k^{2} + 5}$ , разность будет равна $2 - 3 = - 1$ . В данном случае можно определить, что для сравнения необходим ряд с $k$ -ым членом $b_{k} = k^{- 1} = \frac{1}{k}$ , который является гармоническим.

Для того, чтобы закрепить полученный материал, детально рассмотрим пару типичных вариантов.

Пример 8

Определить, каким является ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k - \frac{1}{2}}$ .

Так как предел $= 0 \lim_{k \to + \infty} \frac{1}{k - \frac{1}{2}} = 0$ , мы выполнили необходимое условие. Неравенство будет справедливым $\frac{1}{k} < \frac{1}{k - \frac{1}{2}}$ для $k$ , которые являются натуральными. Из предыдущих пунктов мы узнали, что гармонический ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k}$ – расходящийся. Согласно первому признаку, можно доказать, что исходный вариант является расходящимся.

Пример 9

Определить, является ряд сходящимся или расходящимся $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{3} + 3 k - 1}$ .

В данном примере выполняется необходимое условие, так как $\lim_{k \to + \infty} \frac{1}{k^{3} + 3 k - 1} = 0$ . Представляем в виде неравенства $\frac{1}{k^{3} + 3 k - 1} < \frac{1}{k^{3}}$ для любого значения $k$ . Ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{3}}$ является сходящимся, так как гармонический ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{s}}$ сходится при $s > 1$ . Согласно первому признаку, мы можем сделать вывод, что числовой ряд является сходящимся.

Пример 10

Определить, является каким является ряд $\sum_{k = 3}^{\infty} \frac{1}{k^{\ln (\ln k)}}$ . $\lim_{k \to + \infty} \frac{1}{k^{\ln (\ln k)}} = \frac{1}{{(+ \infty)}^{+ \infty}} = 0$ .

В данном варианте можно отметить выполнение нужного условия. Определим ряд для сравнения. Например, $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{s}}$ . Чтобы определить, чему равна степень, расммотрим последовательность ${\ln (\ln k)}, k = 3, 4, 5 . . .$ . Члены последовательности $\ln (\ln 3), \ln (\ln 4), \ln (\ln 5), . . .$ увеличивается до бесконечности. Проанализировав уравнение, можно отметить, что, взяв в качестве значения $N = 1619$ , то члены последовательности $> 2$ . Для данной последовательности будет справедливо неравенство $\frac{1}{k^{\ln (\ln k)}} < \frac{1}{k^{2}}$ . Ряд $\sum_{k = N}^{\infty} \frac{1}{k^{2}}$ сходится согласно первому признаку, так как ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}}$ тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд $\sum_{k = N}^{\infty} \frac{1}{k^{\ln (\ln k)}}$ сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд $\sum_{k = 3}^{\infty} \frac{1}{k^{\ln (\ln k)}}$ также сходящийся.

Второй признак

Допустим, что $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ и $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ - знакоположительные числовые ряды.

Если $\lim_{k \to + \infty} \frac{a_{k}}{b_{k}} \neq \infty$ , то ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ сходится, и $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ сходится также.

Если $\lim_{k \to + \infty} \frac{a_{k}}{b_{k}} \neq 0$ , то так как ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ расходится, то $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ также расходится.

Если $\lim_{k \to + \infty} \frac{a_{k}}{b_{k}} \neq \infty$ и $\lim_{k \to + \infty} \frac{a_{k}}{b_{k}} \neq 0$ , то сходимость или расходимость ряда означает сходимость или расходимость другого.

Рассмотрим $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{3} + 3 k - 1}$ с помощью второго признака. Для сравнения $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ возьмем сходящийся ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{3}}$ . Определим предел: $\lim_{k \to + \infty} \frac{a_{k}}{b_{k}} = \lim_{k \to + \infty} \frac{\frac{1}{k^{3} + 3 k - 1}}{\frac{1}{k^{3}}} = \lim_{k \to + \infty} \frac{k^{3}}{k^{3} + 3 k - 1} = 1$

Согласно второму признаку можно определить, что сходящийся ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{3}}$ означается, что первоначальный вариант также сходится.

Пример 11

Определить, каким является ряд $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{k^{2} + 3}{4 k^{3} + 5}$ .

Проанализируем необходимое условие $\lim_{k \to \infty} \frac{k^{2} + 3}{4 k^{3} + 5} = 0$ , которое в данном варианте выполняется. Согласно второму признаку, возьмем ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k}$ . Ищем предел: $\lim_{k \to + \infty} \frac{\frac{k^{2} + 3}{4 k^{3} + 5}}{\frac{1}{k}} = \lim_{k \to + \infty} \frac{k^{3} + 3 k}{4 k^{3} + 5} = \frac{1}{4}$

Согласно приведенным выше тезисам, расходящийся ряд влечет собой расходимость исходного ряда.

Третий признак

Рассмотрим третий признак сравнения.

Допустим, что $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ и _ $\sum_{k = 1}^{\infty} b k$ - знакоположительные числовые ряды. Если условие выполняется для некого номера $\frac{a_{k + 1}}{a_{k}} \leq \frac{b_{k + 1}}{b_{k}}$ , то сходимость данного ряда $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ означает, что ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ также является сходящимся. Расходящийся ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ влечет за собой расходимость $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ .

Признак Даламбера

Представим, что $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ - знакоположительный числовой ряд. Если $\lim_{k \to + \infty} \frac{{a_{k}}_{+ 1}}{a_{k}} < 1$ , то ряд является сходящимся, если $\lim_{k \to + \infty} \frac{a_{k + 1}}{a_{k}} > 1$ , то расходящимся.

Замечание 1

Признак Даламбера справедлив в том случае, если предел бесконечен.

Если $\lim_{k \to + \infty} \frac{a_{k + 1}}{a_{k}} = - \infty$ , то ряд является сходящимся, если $\lim_{k \to \infty} \frac{a_{k + 1}}{a_{k}} = + \infty$ , то расходящимся.

Если $\lim_{k \to + \infty} \frac{a_{k + 1}}{a_{k}} = 1$ , то признак Даламбера не поможет и потребуется провести еще несколько исследований.

Пример 12

Определить, является ряд сходящимся или расходящимся $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2 k + 1}{2^{k}}$ по признаку Даламбера.

Необходимо проверить, выполняется ли необходимое условие сходимости. Вычислим предел, воспользовавшись правилом Лопиталя: $\lim_{k \to + \infty} \frac{2 k + 1}{2^{k}} = <\frac{\infty}{\infty}> = \lim_{k \to + \infty} \frac{(2 k + 1)'}{(2^{k})'} = \lim_{k \to + \infty} \frac{2}{2^{k} \cdot \ln 2} = \frac{2}{(+ \infty) \cdot \ln 2} = 0$

Мы можем увидеть, что условие выполняется. Воспользуемся признаком Даламбера: $\lim_{k \to + \infty} = \lim_{k \to + \infty} \frac{\frac{2 (k + 1) + 1}{2^{k + 1}}}{\frac{2 k + 1}{2^{k}}} = \frac{1}{2} \lim_{k \to + \infty} \frac{2 k + 3}{2 k + 1} = \frac{1}{2} < 1$

Ряд является сходящимся.

Пример 13

Определить, является ряд расходящимся $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k^{k}}{k!}$ .

Воспользуемся признаком Даламбера для того, чтобы определить рассходимость ряда: $\lim_{k \to + \infty} \frac{a_{k + 1}}{a_{k}} = \lim_{k \to + \infty} \frac{\frac{(k + 1)^{k + 1}}{(k + 1)!}}{\frac{k^{k}}{k!}} = \lim_{k \to + \infty} \frac{(k + 1)^{k + 1} \cdot k!}{k^{k} \cdot (k + 1)!} = \lim_{k \to + \infty} \frac{(k + 1)^{k + 1}}{k^{k} \cdot (k + 1)} = = \lim_{k \to + \infty} \frac{(k + 1)^{k}}{k^{k}} = \lim_{k \to + \infty} {(\frac{k + 1}{k})}^{k} = \lim_{k \to + \infty} {(1 + \frac{1}{k})}^{k} = e > 1$

Следовательно, ряд является расходящимся.

Радикальный признак Коши

Допустим, что $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ - это знакоположительный ряд. Если $\lim_{k \to + \infty} \sqrt[k]{a_{k}} < 1$ , то ряд является сходящимся, если $\lim_{k \to + \infty} \sqrt[k]{a_{k}} > 1$ , то расходящимся.

Замечание 2

Данный признак будет считаться справедливым только в том случае, если предел бесконечен. Другими словами, если $\lim_{k \to + \infty} \sqrt[k]{a_{k}} = - \infty$ , то ряд сходится, если $\lim_{k \to + \infty} \sqrt[k]{a_{k}} = + \infty$ , то ряд расходится.

Если $\lim_{k \to + \infty} \sqrt[k]{a_{k}} = 1$ , то данный признак не дает никакой информации – требуется проведение дополнительного анализа.

Данный признак может быть использован в примерах, которые легко определить. Случай будет характерным тогда, когда член числового ряда – это показательно степенное выражение.

Для того, чтобы закрепить полученную информацию, рассмотрим несколько характерных примеров.

Пример 14

Определить, является ли знакоположительный ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{(2 k + 1)^{k}}$ на сходящимся.

Нужное условие считается выполненным, так как $\lim_{k \to + \infty} \frac{1}{(2 k + 1)^{k}} = \frac{1}{{(+ \infty)}^{+ \infty}} = 0$ .

Согласно признаку, рассмотренному выше, получаем $\lim_{k \to + \infty} \sqrt[k]{a^{k}} = \lim_{k \to + \infty} \sqrt[k]{\frac{1}{(2 k + 1)^{k}}} = \lim_{k \to + \infty} \frac{1}{(2 k + 1)} = 0 < 1$ . Данный ряд является сходимым.

Пример 15

Сходится ли числовой ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{3^{k}} \cdot {(1 + \frac{1}{k})}^{k^{2}}$ .

Используем признак, описанный в предыдущем пункте $\lim_{k \to + \infty} \sqrt[k]{\frac{1}{3^{k}} \cdot {(1 + \frac{1}{k})}^{k^{2}}} = \frac{1}{3} \cdot \lim_{k \to + \infty} {(1 + \frac{1}{k})}^{k} = \frac{e}{3} < 1$ , следовательно, числовой ряд сходится.

Интегральный признак Коши

Допустим, что $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ является знакоположительным рядом. Необходимо обозначить функцию непрерывного аргумента $y = f (x)$ , которая совпадает $a_{n} = f (n)$ . Если $y = f (x)$ больше нуля, не прерывается и убывает на $[a; + \infty)$ , где $a \geq 1$

, то в случае, если несобственный интеграл $\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x$ является сходящимся, то рассматриваемый ряд также сходится. Если же он расходится, то в рассматриваемом примере ряд тоже расходится.

При проверке убывания функции можно использовать материал, рассмотренный на предыдущих уроках.

Пример 16

Рассмотреть пример $\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k \cdot \ln k}$ на сходимость.

Условие сходимости ряда считается выполненным, так как $\lim_{k \to + \infty} \frac{1}{k \cdot \ln k} = \frac{1}{+ \infty} = 0$ . Рассмотрим $y = \frac{1}{x \cdot \ln x}$ . Она больше нуля, не прерывается и убывает на $[2; + \infty)$ . Первые два пункта доподлинно известны, а вот на третьем следует остановиться подробнее. Находим производную: $y' = {(\frac{1}{x \cdot \ln x})}^{'} = \frac{(x \cdot \ln x)'}{{(x \cdot \ln x)}^{2}} = \frac{\ln x + x \cdot \frac{1}{x}}{{(x \cdot \ln x)}^{2}} = - \frac{\ln x + 1}{{(x \cdot \ln x)}^{2}}$ . Она меньше нуля на $[2; + \infty)$ . Это доказывает тезис о том, что функция является убывающей.

Собственно, функция $y = \frac{1}{x \cdot \ln x}$ соответствует признакам принципа, который мы рассматривали выше. Воспользуемся им: $\int_{2}^{+ \infty} \frac{d x}{x \cdot \ln x} = \lim_{A \to + \infty} \int_{2}^{A} \frac{d (\ln x)}{\ln x} = \lim_{A \to + \infty} \ln (\ln x)_{2}^{A} = = \lim_{A \to + \infty} (\ln (\ln A) - \ln (\ln 2)) = \ln (\ln (+ \infty)) - \ln (\ln 2) = + \infty$

Согласно полученным результатам, исходный пример расходится, так как несобственный интеграл является расходящимся.

Пример 17

Докажите сходимость ряда $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{(10 k - 9) (\ln (5 k + 8))^{3}}$ .

Так как $\lim_{k \to + \infty} \frac{1}{(10 k - 9) (\ln (5 k + 8))^{3}} = \frac{1}{+ \infty} = 0$ , то условие считается выполненным.

Начиная с $k = 4$ , верное выражение $\frac{1}{(10 k - 9) (\ln (5 k + 8))^{3}} < \frac{1}{(5 k + 8) (\ln (5 k + 8))^{3}}$ .

Если ряд $\sum_{k = 4}^{\infty} \frac{1}{(5 k + 8) (\ln (5 k + 8))^{3}}$ будет считаться сходящимся, то, согласно одному из принципов сравнения, ряд $\sum_{k = 4}^{\infty} \frac{1}{(10 k - 9) (\ln (5 k + 8))^{3}}$ также будет считаться сходящимся. Таким образом, мы сможет определить, что исходное выражение также является сходящимся.

Перейдем к доказательству $\sum_{k = 4}^{\infty} \frac{1}{(5 k + 8) (\ln (5 k + 8))^{3}}$ .

Так как функция $y = \frac{1}{(5 x + 8) (\ln (5 x + 8))^{3}}$ больше нуля, не прерывается и убывает на $[4; + \infty)$ . Используем признак, описанный в предыдущем пункте:

$\int_{4}^{+ \infty} \frac{d x}{(5 x + 8) (l n (5 x + 8))^{3}} = \lim_{A \to + \infty} \int_{4}^{A} \frac{d x}{(5 x + 8) (\ln (5 x + 8))^{3}} = = \frac{1}{5} \cdot \lim_{A \to + \infty} \int_{4}^{A} \frac{d (\ln (5 x + 8)}{(\ln (5 x + 8))^{3}} = - \frac{1}{10} \cdot \lim_{A \to + \infty} \frac{1}{(\ln (5 x + 8))^{2}} |_{4}^{A} = = - \frac{1}{10} \cdot \lim_{A \to + \infty} (\frac{1}{(\ln (5 \cdot A + 8))^{2}} - \frac{1}{(\ln (5 \cdot 4 + 8))^{2}}) = = - \frac{1}{10} \cdot (\frac{1}{+ \infty} - \frac{1}{(\ln 28)^{2}}) = \frac{1}{10 \cdot {(\ln 28)}^{2}}$

В полученном сходящемся ряде, $\int_{4}^{+ \infty} \frac{d x}{(5 x + 8) (\ln (5 x + 8))^{3}}$ , можно определить, что $\sum_{k = 4}^{\infty} \frac{1}{(5 k + 8) (\ln (5 k + 8))^{3}}$ также сходится.

Признак Раабе

Допустим, что $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ - знакоположительный числовой ряд.

Если $\lim_{k \to + \infty} (k \cdot (\frac{a_{k}}{a_{k + 1}})) < 1$ , то ряд расходится, если $\lim_{k \to + \infty} (k \cdot (\frac{a_{k}}{a_{k + 1}} - 1)) > 1$ , то сходится.

Данный способ определения можно использовать в том случае, если описанные выше техники не дают видимых результатов.

Исследование на абсолютную сходимость

Для исследования берем $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ . Используем знакоположительный $\sum_{k = 1}^{\infty} |b_{k}|$ . Мы можем использовать любой из подходящих признаков, которые мы описывали выше. Если ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} |b_{k}|$ сходится, то исходный ряд является абсолютно сходящимся.

Пример 18

Исследовать ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k}}{\sqrt{3 k^{3} + 2 k - 1}}$ на сходимость $\sum_{k = 1}^{\infty} |\frac{(- 1)^{k}}{\sqrt{3 k^{3} + 2 k - 1}}| = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{3 k^{3} + 2 k - 1}}$ .

Условие выполняется $\lim_{k \to + \infty} \frac{1}{\sqrt{3 k^{3} + 2 k - 1}} = \frac{1}{+ \infty} = 0$ . Используем $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{\frac{3}{2}}}$ и воспользуемся вторым признаком: $\lim_{k \to + \infty} \frac{\frac{1}{\sqrt{3 k^{3} + 2 k - 1}}}{\frac{1}{k^{\frac{3}{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} |\frac{(- 1)^{k}}{\sqrt{3 k^{3} + 2 k - 1}}|$ сходится. Исходный ряд также абсолютно сходящийся.

Расходимость знакопеременных рядов

Если ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} |b_{k}|$ – расходящийся, то соответствующий знакопеременный ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ либо расходящийся, либо условно сходящийся.

Лишь признак Даламбера и радикальный признак Коши помогут сделать выводы о $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ по расходимости из модулей $\sum_{k = 1}^{\infty} |b_{k}|$ . Ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ также расходится, если не выполняется необходимое условие сходимости, то есть, если $\lim_{k \to \infty +} |b_{k}| \neq 0$ .

Пример 19

Проверить расходимость $\frac{1}{7}, \frac{2}{7^{2}}, - \frac{6}{7^{3}}, \frac{24}{7^{4}}, \frac{120}{7^{5}} - \frac{720}{7^{6}}, . . .$ .

Модуль $k$ -ого члена представлен как $|b_{k}| = \frac{k!}{7^{k}}$ .

Исследуем ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} |b_{k}| = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k!}{7^{k}}$ на сходимость по признаку Даламбера: $\lim_{k \to + \infty} \frac{b_{k + 1}}{b_{k}} = \lim_{k \to + \infty} \frac{\frac{(k + 1)!}{7^{k + 1}}}{\frac{k!}{7^{k}}} = \frac{1}{7} \cdot \lim_{k \to + \infty} (k + 1) = + \infty$ .

$\sum_{k = 1}^{\infty} |b_{k}| = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k!}{7^{k}}$ расходится так же, как и исходный вариант.

Пример 20

Является ли $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k} \cdot (k^{2} + 1)}{\ln (k + 1)}$ сходящимся.

Рассмотрим на необходимое условие $\lim_{k \to + \infty} |b_{k}| = \lim_{k \to + \infty} \frac{k^{2} + 1}{\ln (k + 1)} = <\frac{\infty}{\infty}> = \lim_{k \to + \infty} = \frac{(k^{2} + 1)'}{(\ln (k + 1))'} = = \lim_{k \to + \infty} \frac{2 k}{\frac{1}{k + 1}} = \lim_{k \to + \infty} 2 k (k + 1) = + \infty$ . Условие не выполнено, поэтому $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k} \cdot (k^{2} + 1)}{\ln (k + 1)}$ ряд расходящийся. Предел был вычислен по правилу Лопиталя.

Признаки для условной сходимости

Признак Лейбница

Определение 12

Если величины членов знакочередующегося ряда убывают $b_{1} > b_{2} > b_{3} > . . . > . . .$ и предел модуля $= 0$ при $k \to + \infty$ , то ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ сходится.

Пример 17

Рассмотреть $\sum_{k = 1}^{\infty} (- 1)^{k} \frac{2 k + 1}{5 k (k + 1)}$ на сходимость.

Ряд представлен как $\sum_{k = 1}^{\infty} |(- 1)^{k} \frac{2 k + 1}{5 k (k + 1)}| = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2 k + 1}{5 k (k + 1)}$ . Нужное условие выполняется $\lim_{k \to + \infty} = \frac{2 k + 1}{5 k (k + 1)} = 0$ . Рассмотрим $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k}$ по второму признаку сравнения $\lim_{k \to + \infty} \frac{\frac{2 k + 1}{5 k (k + 1)}}{\frac{1}{k}} = \lim_{k \to + \infty} \frac{2 k + 1}{5 (k + 1)} = \frac{2}{5}$

Получаем, что $\sum_{k = 1}^{\infty} |(- 1)^{k} \frac{2 k + 1}{5 k (k + 1)}| = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2 k + 1}{5 k (k + 1)}$ расходится. Ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} (- 1)^{k} \frac{2 k + 1}{5 k (k + 1)}$ сходится по признаку Лейбница: последовательность $\frac{2 \cdot 1 + 1}{5 \cdot 1 \cdot 1 (1 + 1)} = \frac{3}{10}, \frac{2 \cdot 2 + 1}{5 \cdot 2 \cdot (2 + 1)} = \frac{5}{30}, \frac{2 \cdot 3 + 1}{5 \cdot 3 \cdot (3 + 1)}, . . .$ убывает и $\lim_{k \to + \infty} = \frac{2 k + 1}{5 k (k + 1)} = 0$ .

Ряд условно сходится.

Признак Абеля-Дирихле

Определение 13

$\sum_{k = 1}^{+ \infty} u_{k} \cdot v_{k}$ сходится в том случае, если ${u_{k}}$ не возрастает, а последовательность $\sum_{k = 1}^{+ \infty} v_{k}$ ограничена.

Пример 17

Исследуйте $1 - \frac{3}{2} + \frac{2}{3} + \frac{1}{4} - \frac{3}{5} + \frac{1}{3} + \frac{1}{7} - \frac{3}{8} + \frac{2}{9} + . . .$ на сходимость.

Представим

$1 - \frac{3}{2} + \frac{2}{3} + \frac{1}{4} - \frac{3}{5} + \frac{1}{3} + \frac{1}{7} - \frac{3}{8} + \frac{2}{9} + . . . = 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- 3) + \frac{1}{3} \cdot 2 + \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{1}{5} \cdot (- 3) + \frac{1}{6} \cdot = \sum_{k = 1}^{\infty} u_{k} \cdot v_{k}$

где ${u_{k}} = 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, . . .$ - невозрастающая, а последовательность ${v_{k}} = 1, - 3, 2, 1, - 3, 2, . . .$ ограничена ${S_{k}} = 1, - 2, 0, 1, - 2, 0, . . .$ . Ряд сходится.

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.