Числовые ряды: определения, свойства, признаки сходимости, примеры, решения

Данная статья представляет собой структурированную и подробную информацию, которая может пригодиться во время разбора упражнений и задач. Мы рассмотрим тему числовых рядов.

Данная статья начинается с основных определений и понятий. Далее мы стандартные варианты и изучим основные формулы. Для того, чтобы закрепить материал, в статье приведены основные примеры и задачи.

Базовые тезисы

Для начала представим систему: $a_1, a_2..., a_n,...$ , где $a_k\in R, k=1,2...$.

Для примера, возьмем такие числа, как: $6,3,-\frac{3}{2},\frac{3}{4},\frac{3}{8},-\frac{3}{16},...$ .

Числовой ряд – это сумма членов $\underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum a_k}}=a_1+a_2+...+a_n+...$ .

Чтобы лучше понять определение, рассмотрим данный случай, в котором $q = -0.5: 8-4+2-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+...=\sum _{k=1}^{\infty }(-16)·{\left(-\frac{1}{2}\right)}^k$ .

$a_k$ является общим или $k$–ым членом ряда.

Он выглядит примерно таким образом $\left(-16\right)·{\left(-\frac{1}{2}\right)}^k$ .

Частичная сумма ряда выглядит примерно таким образом $S_n=a_1+a_2+...+a_n$ , в которой $n$ –любое число. $S_n$ является $n$-ой суммой ряда.

Например, $\sum _{k=1}^{\infty }(-16)·{\left(-\frac{1}{2}\right)}^k$ есть $S_4=8-4+2-1=5$ .

$S_1,S_2,...,S_n,...$ образуют бесконечную последовательность числового ряда.

Для ряда $n$ –ая сумму находится по формуле $S_n=\frac{a_1·(1-q^n)}{1-q}=\frac{8·\left(1-{\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n\right)}{1-\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}=\frac{16}{3}·\left(1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n\right)$ . Используем следующую последовательность частичных сумм: $8,4,6,5,...,\frac{16}{3}·\left(1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n\right),...$ .

Ряд $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$ является сходящимся тогда, когда последовательность обладает конечным пределом $S=\underset{n\to +\infty }{\lim S_n}$ . Если предела нет или последовательность бесконечна, то ряд $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$ называется расходящимся.

Суммой сходящегося ряда $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$ является предел последовательности $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k=\underset{n\to +\infty }{\lim S_n}=S$ .

В данном примере $\underset{n\to +\infty }{\lim S_n}=\underset{т\to +\infty }{\lim \frac{16}{3}}·\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right)=\frac{16}{3}·\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n\right)=\frac{16}{3}$ , ряд $\sum _{k=1}^{\infty }(-16)·{\left(-\frac{1}{2}\right)}^k$ сходится. Сумма равна $\frac{16}{3}$: $\sum _{k=1}^{\infty }(-16)·{\left(-\frac{1}{2}\right)}^k=\frac{16}{3}$ .

В качестве примера расходящегося ряда можно привести сумму геометрической прогрессии со знаменателем большем, чем единица: $1+2+4+8+...+2^{n-1}+...=\sum _{k=1}^{\infty }{2}^{k-1}$.

$n$-ая частичная сумма определяется выражением $S_n=\frac{a_1·(1-q^n)}{1-q}=\frac{1·(1-2^n)}{1-2}=2^n-1$, а предел частичных сумм бесконечен: $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }(2^n-1)=+\infty$.

Еще одим примером расходящегося числового ряда является сумма вида$\sum _{k=1}^{\infty }5=5+5+...$. В этом случае $n$-ая частичная сумма может быть вычислена как $S_n=5n$. Предел частичных сумм бесконечен $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }5n=+\infty$.

Сумма подобного вида как $\sum _{k=1}^{\infty }=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}+...$ – это гармонический числовой ряд.

Сумма $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^s}=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+...+\frac{1}{n^s}+...$ , где $s$ –действительное число, является обобщенно гармоническим числовым рядом.

Определения, рассмотренные выше, помогут вам для решения большинства примеров и задач.

Для того, чтобы дополнить определения, необходимо доказать определенные уравнения.

1. $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k}$ – расходящийся.

Действуем методом от обратного. Если он сходится, то предел конечен. Можно записать уравнение как $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n=S$ и $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_{2n}=S$ . После определенных действий мы получаем равенство $\underset{n\to +\infty }{lim}(S_{2n}-S_n)=0$ .

Напротив,

$$\begin{gathered} S_{2n}-S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}- \\ -\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n} \end{gathered}$$

Справедливы следующие неравенства $\frac{1}{n+1}>\frac{1}{2n}, \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle n+1}}>\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2n}},..., \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2n-1}}>\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2n}}$ . Получаем, что $S_{2n}-S_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}$ . Выражение $S_{2n}-S_n>\frac{1}{2}$ указывает на то, что $\underset{n\to +\infty }{\lim }(S_{2n}-S_n)=0$ не достигается. Ряд расходящийся.

2. $b_1+b_{1}q+b_1{q}^2+...+b_1{q}^n+...=\sum _{k=1}^{\infty }{b}_1{q}^{k-1}$

Необходимо подтвердить, что сумма последовательности чисел сходится при $\left|q\right|<1$ , и расходится при $\left|q\right|\ge 1$ .

Согласно приведенным выше определениям, сумма n членов определяется согласно формуле $S_n=\frac{b_1·(q^n-1)}{q-1}$ .

Если $\left|q\right|<1$ верно 

 $$\begin{gathered} \underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{b_1·\left(q^n-1\right)}{q-1}=b_1·\left(\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{q^n}{q-1}-\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{q-1}\right)= \\ =b_1·\left(0-\frac{1}{q-1}\right)=\frac{b_1}{q-1} \end{gathered}$$

Мы доказали, что числовой ряд сходится.

При $q = 1$ $b_1+b_1+b_1+...\sum _{k=1}^{\infty }{b}_1$ . Суммы можно отыскать с использованием формулы $S_n=b_1·n$ , предел бесконечен $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }{b}_1·n=\infty$. В представленном варианте ряд расходится.

Если $q = -1$, то ряд выглядит как $b_1-b_1+b_1-...=\sum _{k=1}^{\infty }{b}_1(-1{)}^{k+1}$ . Частичные суммы выглядят как $S_n=b_1$ для нечетных $n$, и $S_n=0$ для четных $n$. Рассмотрев данный случай, мы удостоверимся, что предела нет и ряд является расходящимся.

При $\left|q\right|>1$ справедливо $$\begin{gathered} \underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{b_1·(q^n-1)}{q-1}=b_1·\left(\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{q^n}{q-1}-\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{q-1}\right)= \\ =b_1·\left(\infty -\frac{1}{q-1}\right)=\infty \end{gathered}$$

Мы доказали, что числовой ряд расходится.

3. Ряд $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^s}$ сходится, если $s > 1$ и расходится, если $s\le 1$ .

Для $s = 1$ получаем $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k}$ , ряд расходится.

При $s < 1$получаем $\frac{1}{k^s}\ge \frac{1}{k}$ для $k$, натурального числа. Так как ряд является расходящимся $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k}$ , то предела нет. Следуя этому, последовательность $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^s}$ неограниченна. Делаем вывод, что выбранный ряд расходится при $s < 1$.

Необходимо предоставить доказательства, что ряд $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^s}$ сходится при $s > 1$.

Представим $S_{2n-1}-S_{n-1}$ :

$$\begin{gathered} S_{2n-1}-S_{n-1}=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+...+\frac{1}{(n-1{)}^s}+\frac{1}{n^s}+\frac{1}{(n+1{)}^s}+...+\frac{1}{(2n-1{)}^s}- \\ -\left(1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+...+\frac{1}{(n-1{)}^s}\right)=\frac{1}{n^s}+\frac{1}{(n+1{)}^s}+...+\frac{1}{(2n-1{)}^s} \end{gathered}$$

Допустим, что $\frac{1}{(n+1{)}^s}<\frac{1}{n^s}, \frac{1}{(n+2{)}^s}<\frac{1}{n^s}, ..., \frac{1}{(2n-1{)}^s}<\frac{1}{n^s}$ , тогда $$\begin{gathered} S_{2n-1}-S_{n-1}=\frac{1}{n^s}+\frac{1}{(n+1{)}^s}+...+\frac{1}{(2n-1{)}^s}< \\ <\frac{1}{n^s}+\frac{1}{n^s}+...+\frac{1}{n^s}=\frac{n}{n^s}=\frac{1}{n^{s-1}} \end{gathered}$$

Представим уравнение для чисел, которые являются натуральными и четными $$\begin{gathered} n=2: S_{2n-1}-S_{n-1}=S_3-S_1=\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}<\frac{1}{2^{s-1}} \\ n=4: S_{2n-1}-S_{n-1}=S_7-S_3=\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{6^s}+\frac{1}{7^s}<\frac{1}{4^{s-1}}=\frac{1}{{\left(2^{s-1}\right)}^2} \\ n=8: S_{2n-1}-S_{n-1}=S_{15}-S_7=\frac{1}{8^s}+\frac{1}{9^s}+...+\frac{1}{{15}^s}<\frac{1}{8^{s-1}}=\frac{1}{{\left(2^{s-1}\right)}^3} \\ ... \end{gathered}$$

Получаем:

$$\begin{gathered} \sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^s}=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+...+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{8^s}+...+\frac{1}{{15}^s}+...= \\ =1+\left(S_3-S_1\right)+\left(S_7-S_3\right)+\left(S_{15}+S_7\right)+...< \\ <1+\frac{1}{2^{s-1}}+\frac{1}{{\displaystyle {\left(2^{s-1}\right)}^2}}+\frac{1}{{\left(2^{s-1}\right)}^3}+... \end{gathered}$$

Выражение $1+\frac{1}{2^{s-1}}+\frac{1}{{\displaystyle {\left(2^{s-1}\right)}^2}}+\frac{1}{{\left(2^{s-1}\right)}^3}+...$ – это сумма геометрической прогрессии $q=\frac{1}{2^{s-1}}$ . Согласно исходным данным при $s>1$, то$0<q<1$ . Получаем, $\sum _{k=1}^{\infty }<1+\frac{1}{2^{s-1}}+\frac{1}{{\displaystyle {\left(2^{s-1}\right)}^2}}+\frac{1}{{\left(2^{s-1}\right)}^3}+...=\frac{1}{1-q}=\frac{1}{1-{\displaystyle \frac{1}{2^{s-1}}}}$ . Последовательность ряда при $s > 1$ увеличивается и ограничивается сверху $\frac{1}{1-{\displaystyle \frac{1}{2^{s-1}}}}$ . Представим, что есть предел и ряд является сходящимся $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^s}$ .

Ряд $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$ знакоположителен в том случае, если его члены$>0$ $a_k>0, k=1,2,...$ .

Ряд $\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k$ знакочередующийся, если знаки чисел отличаются. Данный пример представлен как$\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k=\sum _{k=1}^{\infty }(-1{)}^k·a_k$ или $\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k=\sum _{k=1}^{\infty }(-1{)}^{k+1}·a_k$ , где $a_k>0, k=1,2, ...$ .

Ряд $\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k$ знакопеременный, так как в нем множество чисел, отрицательных и положительных.

Второй вариант ряд – это частный случай третьего варианта.

Приведем примеры для каждого случая соответственно:

 $$\begin{gathered} 6+3+\frac{3}{2}+\frac{3}{4}+\frac{3}{8}+\frac{3}{16}+... \\ 6-3+\frac{3}{2}-\frac{3}{4}+\frac{3}{8}-\frac{3}{16}+... \\ 6+3-\frac{3}{2}+\frac{3}{4}+\frac{3}{8}-\frac{3}{16}+... \end{gathered}$$

Для третьего варианта также можно определить абсолютную и условную сходимость.

Знакочередующийся ряд $\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k$ абсолютно сходится в том случае, когда $\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k$ также считается сходящимся.

Подробно разберем несколько характерных вариантов

Если ряды $6-3+\frac{3}{2}-\frac{3}{4}+\frac{3}{8}-\frac{3}{16}+...$ и $6+3-\frac{3}{2}+\frac{3}{4}+\frac{3}{8}-\frac{3}{16}+...$ определяются как сходящиеся, то верно считать, что $6+3+\frac{3}{2}+\frac{3}{4}+\frac{3}{8}+\frac{3}{16}+...$

Знакопеременный ряд $\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k$ считается условно сходящимся в том случае, если $\sum _{k=1}^{\infty }\left|b_k\right|$ – расходящийся, а ряд $\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k$ считается сходящимся.

Подробно разберем вариант $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...$ . Ряд $\sum _{k=1}^{\infty }\left|\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}\right|=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k}$ , который состоит из абсолютных величин, определяется как расходящийся. Этот вариант считается сходящимся, так как это легко определить. Из данного примера мы узнаем, что ряд $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...$ будет считаться условно сходящимся.

Особенности сходящихся рядов

Проанализируем свойства для определенных случаев

1. Если $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$ будет сходится, то и ряд $\sum _{k=m+1}^{\infty }{a}_k$ также признается сходящимся. Можно отметить, что ряд без $m$ членов также считается сходящимся. В случае, если мы добавляем к $\sum _{k=m+1}^{\infty }{a}_k$ несколько чисел, то получившийся результат также будет сходящимся.
2. Если $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$ сходится и сумма = $S$, то сходится и ряд $\sum _{k=1}^{\infty }A·a_k$ , $\sum _{k=1}^{\infty }A·a_k=A·S$ , где $A$ –постоянная.
3. Если $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$ и $\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k$ являются сходящимися , суммы $A$ и $B$ тоже, то и ряды $\sum _{k=1}^{\infty }\left(a_k+b_k\right)$ и $\sum _{k=1}^{\infty }\left(a_k-b_k\right)$ также сходятся . Суммы будут равняться $A + B$ и $A - B$ соответственно.

Определить, что ряд сходится $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{2}{3k·\sqrt[3]{k}}$ .

Изменим выражение $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{2}{3k·\sqrt[3]{k}}=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{2}{3}·\frac{{\displaystyle 1}}{k^{{\displaystyle \frac{4}{3}}}}$ . Ряд $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^{{\displaystyle \frac{4}{3}}}}$ считается сходящимся, так как ряд $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^{{\displaystyle s}}}$ сходится при $s > 1$. В соответствии со вторым свойством, $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{2}{3}·\frac{1}{k^{{\displaystyle \frac{4}{3}}}}$ .

Определить, сходится ли ряд $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{3+\sqrt{n}}{n^{{\displaystyle \frac{5}{2}}}}$ .

Преобразуем изначальный вариант $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{3+\sqrt{n}}{n^{{\displaystyle \frac{5}{2}}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{3}{n^{{\displaystyle \frac{5}{2}}}}+\frac{\sqrt{n}}{n^{{\displaystyle 2}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{3}{n^{{\displaystyle \frac{5}{2}}}}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{{\displaystyle 2}}}$ .

Получаем сумму $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{3}{n^{{\displaystyle \frac{5}{2}}}}$ и $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{{\displaystyle 2}}}$ . Каждый ряд признается сходящимся согласно свойству. Так, как ряды сходятся, то исходный вариант тоже.

Вычислить, сходится ли ряд $1-6+\frac{1}{2}-2+\frac{1}{4}-\frac{2}{3}+\frac{1}{8}-\frac{2}{9}+...$ и вычислить сумму.

Разложим исходный вариант:

 $$\begin{gathered} 1-6+\frac{1}{2}-2+\frac{1}{4}-\frac{2}{3}+\frac{1}{8}-\frac{2}{9}+...= \\ =1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...-2·\left(3+1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+...\right)= \\ =\sum _{k=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{2}\right)}^{k-1}-2·\sum _{k=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{3}\right)}^{k-2} \end{gathered}$$

Каждый ряд сходится, так как является одним из членов числовой последовательности. Согласно третьему свойству, мы можем вычислить, что исходный вариант также является сходящимся. Вычисляем сумму: Первый член ряда $\sum _{k=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{2}\right)}^{k-1}$ $=1$ , а знаменатель $=0.5$, за этим следует, $\sum _{k=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{2}\right)}^{k-1}=\frac{1}{1-0.5}=2$ . Первый член $\sum _{k=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{3}\right)}^{k-2}=3$, а знаменатель убывающей числовой последовательности$=\frac{1}{3}$. Получаем:$\sum _{k=1}^{\infty }{\left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}\right)}^{k-2}=\frac{3}{1-{\displaystyle \frac{1}{3}}}=\frac{9}{2}$ .

Используем выражения, полученные выше, для того, чтобы определить сумму $$\begin{gathered} 1-6+\frac{1}{2}-2+\frac{1}{4}-\frac{2}{3}+\frac{1}{8}-\frac{2}{9}+...=\sum _{k=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{2}\right)}^{k-1}-2·\sum _{k=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{3}\right)}^{k-2} \\ =2-2·\frac{9}{2}=-7 \end{gathered}$$

Необходимое условие для определения, является ли ряд сходящимся

Если ряд $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$ является сходящимся, то предел его $k$-ого члена $=0$: $\underset{k\to +\infty }{\lim }{a}_k=0$ .

Если мы проверим любой вариант, то нужно не забывать о непременном условии. Если оно не выполняется, то ряд расходится. Если $\underset{k\to +\infty }{\lim }{a}_k\ne 0$ , то ряд расходящийся.

Следует уточнить, что условие важно, но не достаточно. Если равенство $\underset{k\to +\infty }{\lim }{a}_k=0$ выполняется , то это не гарантирует, что $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$ является сходящимся.

Приведем пример. Для гармонического ряда $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k}$ условие выполняется $\underset{k\to +\infty }{\lim }\frac{1}{k}=0$ , но ряд все равно расходится.

Определить сходимость $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n^2}{1+n}$ .

Проверим исходное выражение на выполнение условия$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2}{1+n}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2}{n^2\left({\displaystyle \frac{1}{n^2}}+{\displaystyle \frac{1}{n}}\right)}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{n^2}+\frac{1}{n}}}=\frac{1}{+0+0}=+\infty \ne 0$

Предел $n$-ого члена не равен $0$. Мы доказали, что данный ряд расходится.

Как определить сходимость знакоположительного ряда.

Если постоянно пользоваться указанными признаками, придется постоянно вычислять пределы. Данный раздел поможет избежать сложностей во время решения примеров и задач. Для того, чтобы определить сходимость знакоположительного ряда, существует определенное условие.

Для сходимости знакоположительного $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k, a_k>0 \forall k=1,2,3,...$ нужно определять ограниченную последовательность сумм.

Как сравнивать ряды

Существует несколько признаков сравнения рядов. Мы сравниваем ряд, сходимость которого предлагается определить, с тем рядом, сходимость которого известна.

Первый признак

$\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$ и$\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k$ - знакоположительные ряды. Неравенство $a_k\le b_k$ справедливо для k = 1, 2, 3, ... Из этого следует, что из ряда $\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k$ мы можем получить$\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$ . Так как $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$ расходится, то ряд$\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k$ можно определить как расходящийся.

Данное правило постоянно используется для решения уравнений и является серьезным аргументом, которое поможет определить сходимость. Сложности могут состоять в том, что подобрать подходящий пример для сравнения можно найти далеко не в каждом случае. Довольно часто ряд выбирается по принципу, согласно которому показатель $k$-ого члена будет равняться результату вычитания показателей степеней числителя и знаменателя $k$-ого члена ряда. Допустим, что $a_k=\frac{k^2+3}{4k^2+5}$ , разность будет равна $2 – 3 = -1$. В данном случае можно определить, что для сравнения необходим ряд с $k$-ым членом $b_k=k^{-1}=\frac{1}{k}$ , который является гармоническим.

Для того, чтобы закрепить полученный материал, детально рассмотрим пару типичных вариантов.

Определить, каким является ряд $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k-{\displaystyle \frac{1}{2}}}$ .

Так как предел $=0 \underset{k\to +\infty }{\lim }\frac{1}{k-{\displaystyle \frac{1}{2}}}=0$ , мы выполнили необходимое условие. Неравенство будет справедливым$\frac{1}{k}<\frac{1}{{\displaystyle k-\frac{1}{2}}}$ для $k$, которые являются натуральными. Из предыдущих пунктов мы узнали, что гармонический ряд $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k}$ – расходящийся. Согласно первому признаку, можно доказать, что исходный вариант является расходящимся.

Определить, является ряд сходящимся или расходящимся$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^3+3k-1}$ .

В данном примере выполняется необходимое условие, так как $\underset{k\to +\infty }{\lim }\frac{1}{k^3+3k-1}=0$ . Представляем в виде неравенства $\frac{1}{k^3+3k-1}<\frac{1}{k^3}$ для любого значения $k$. Ряд $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^3}$ является сходящимся, так как гармонический ряд $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^s}$ сходится при $s > 1$. Согласно первому признаку, мы можем сделать вывод, что числовой ряд является сходящимся.

Определить, является каким является ряд $\sum _{k=3}^{\infty }\frac{1}{k^{\ln (\ln k)}}$ .$\underset{k\to +\infty }{\lim }\frac{1}{k^{\ln (\ln k)}}=\frac{1}{{\left(+\infty \right)}^{+\infty }}=0$ .

В данном варианте можно отметить выполнение нужного условия. Определим ряд для сравнения. Например, $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^s}$ . Чтобы определить, чему равна степень, расммотрим последовательность $\left\{\ln \right(\ln k\left)\right\}, k=3,4,5...$. Члены последовательности $\ln (\ln 3), \ln (\ln 4), \ln (\ln 5), ...$ увеличивается до бесконечности. Проанализировав уравнение, можно отметить, что, взяв в качестве значения $N = 1619$, то члены последовательности $>2$. Для данной последовательности будет справедливо неравенство $\frac{1}{k^{\ln (\ln k)}}<\frac{1}{k^2}$ . Ряд $\sum _{k=N}^{\infty }\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle k^2}}$ сходится согласно первому признаку, так как ряд $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle k^2}}$ тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд $\sum _{k=N}^{\infty }\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle k^{\ln (\ln k)}}}$ сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд $\sum _{k=3}^{\infty }\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle k^{\ln (\ln k)}}}$ также сходящийся.

Второй признак

Допустим, что $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$ и $\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k$ - знакоположительные числовые ряды.

Если $\underset{k\to +\infty }{\lim }\frac{a_k}{b_k}\ne \infty$ , то ряд $\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k$ сходится, и $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$ сходится также.

Если $\underset{k\to +\infty }{\lim }\frac{a_k}{b_k}\ne 0$ , то так как ряд $\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k$ расходится, то $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$ также расходится.

Если $\underset{k\to +\infty }{\lim }\frac{a_k}{b_k}\ne \infty$ и $\underset{k\to +\infty }{\lim }\frac{a_k}{b_k}\ne 0$ , то сходимость или расходимость ряда означает сходимость или расходимость другого.

Рассмотрим $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^3+3k-1}$ с помощью второго признака. Для сравнения $\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k$ возьмем сходящийся ряд$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^3}$ . Определим предел: $\underset{k\to +\infty }{\lim }\frac{a_k}{b_k}=\underset{k\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{k^3+3k-1}}{{\displaystyle \frac{1}{k^3}}}=\underset{k\to +\infty }{\lim }\frac{k^3}{k^3+3k-1}=1$

Согласно второму признаку можно определить, что сходящийся ряд$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^3}$ означается, что первоначальный вариант также сходится.

Определить, каким является ряд $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{k^2+3}{{\displaystyle 4k^3+5}}$ .

Проанализируем необходимое условие $\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{k^2+3}{{\displaystyle 4k^3+5}}=0$ , которое в данном варианте выполняется. Согласно второму признаку, возьмем ряд $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k}$. Ищем предел: $\underset{k\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{k^2+3}{{\displaystyle 4k^3+5}}}{{\displaystyle \frac{1}{k}}}=\underset{k\to +\infty }{\lim }\frac{{\displaystyle k^3+3k}}{{\displaystyle 4k^3+5}}=\frac{{\displaystyle 1}}{4}$

Согласно приведенным выше тезисам, расходящийся ряд влечет собой расходимость исходного ряда.

Третий признак

Рассмотрим третий признак сравнения.

Допустим, что $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$ и _$\sum _{k=1}^{\infty }bk$ - знакоположительные числовые ряды. Если условие выполняется для некого номера $\frac{a_{k+1}}{a_k}\le \frac{b_{k+1}}{b_k}$ , то сходимость данного ряда$\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k$ означает, что ряд $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$ также является сходящимся. Расходящийся ряд $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$ влечет за собой расходимость $\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k$ .

Признак Даламбера

Представим, что $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$ - знакоположительный числовой ряд. Если $\underset{k\to +\infty }{\lim }\frac{{a_k}_{+1}}{a_k}<1$, то ряд является сходящимся, если $\underset{k\to +\infty }{\lim }\frac{a_{k+1}}{a_k}>1$ , то расходящимся.

Замечание 1

Признак Даламбера справедлив в том случае, если предел бесконечен.

Если $\underset{k\to +\infty }{\lim }\frac{a_{k+1}}{a_k}=-\infty$ , то ряд является сходящимся, если $\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{a_{k+1}}{a_k}=+\infty$ , то расходящимся.

Если $\underset{k\to +\infty }{\lim }\frac{a_{k+1}}{a_k}=1$ , то признак Даламбера не поможет и потребуется провести еще несколько исследований.

Определить, является ряд сходящимся или расходящимся $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{2k+1}{2^k}$ по признаку Даламбера.

Необходимо проверить, выполняется ли необходимое условие сходимости. Вычислим предел, воспользовавшись правилом Лопиталя:

Мы можем увидеть, что условие выполняется. Воспользуемся признаком Даламбера: $\underset{k\to +\infty }{\lim }=\underset{k\to +\infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{2(k+1)+1}{2^{k+1}}}}{{\displaystyle \frac{2k+1}{2^k}}}=\frac{1}{2}\underset{k\to +\infty }{\lim }\frac{2k+3}{2k+1}=\frac{1}{2}<1$

Ряд является сходящимся.

Определить, является ряд расходящимся $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{k^k}{k!}$ .

Воспользуемся признаком Даламбера для того, чтобы определить рассходимость ряда: $$\begin{gathered} \underset{k\to +\infty }{\lim }\frac{a_{k+1}}{a_k}=\underset{k\to +\infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{(k+1{)}^{k+1}}{(k+1)!}}}{{\displaystyle \frac{k^k}{k!}}}=\underset{k\to +\infty }{\lim }\frac{(k+1{)}^{k+1}·k!}{k^k·(k+1)!}=\underset{k\to +\infty }{\lim }\frac{(k+1{)}^{k+1}}{k^k·(k+1)}= \\ =\underset{k\to +\infty }{\lim }\frac{(k+1{)}^k}{k^k}=\underset{k\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{k+1}{k}\right)}^k=\underset{k\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{k}\right)}^k=e>1 \end{gathered}$$

Следовательно, ряд является расходящимся.

Радикальный признак Коши

Допустим, что $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$ - это знакоположительный ряд. Если$\underset{k\to +\infty }{\lim }\sqrt[k]{a_k}<1$ , то ряд является сходящимся, если $\underset{k\to +\infty }{\lim }\sqrt[k]{a_k}>1$ , то расходящимся.

Замечание 2

Данный признак будет считаться справедливым только в том случае, если предел бесконечен. Другими словами, если $\underset{k\to +\infty }{\lim }\sqrt[k]{a_k}=-\infty$, то ряд сходится, если $\underset{k\to +\infty }{\lim }\sqrt[k]{a_k}=+\infty$ , то ряд расходится.

Если$\underset{k\to +\infty }{\lim }\sqrt[k]{a_k}=1$ , то данный признак не дает никакой информации – требуется проведение дополнительного анализа.

Данный признак может быть использован в примерах, которые легко определить. Случай будет характерным тогда, когда член числового ряда – это показательно степенное выражение.

Для того, чтобы закрепить полученную информацию, рассмотрим несколько характерных примеров.

Определить, является ли знакоположительный ряд $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k+1{)}^k}$ на сходящимся.

Нужное условие считается выполненным, так как $\underset{k\to +\infty }{\lim }\frac{1}{(2k+1{)}^k}=\frac{1}{{\left(+\infty \right)}^{+\infty }}=0$ .

Согласно признаку, рассмотренному выше, получаем $\underset{k\to +\infty }{\lim }\sqrt[k]{a^k}=\underset{k\to +\infty }{\lim }\sqrt[k]{\frac{1}{(2k+1{)}^k}}=\underset{k\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\left(2k+1\right)}=0<1$ . Данный ряд является сходимым.

Сходится ли числовой ряд $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{3^k}·{\left(1+\frac{1}{k}\right)}^{k^2}$ .

Используем признак, описанный в предыдущем пункте $\underset{k\to +\infty }{\lim }\sqrt[k]{\frac{1}{3^k}·{\left(1+\frac{1}{k}\right)}^{k^2}}=\frac{1}{3}·\underset{k\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{k}\right)}^k=\frac{e}{3}<1$ , следовательно, числовой ряд сходится.

Интегральный признак Коши

Допустим, что $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$ является знакоположительным рядом. Необходимо обозначить функцию непрерывного аргумента $y = f\left(x\right)$, которая совпадает$a_n= f\left(n\right)$ . Если $y = f\left(x\right)$ больше нуля, не прерывается и убывает на $[a; +\infty )$ , где $a\ge 1$

, то в случае, если несобственный интеграл ${\int }_a^{+\infty }f\left(x\right)dx$ является сходящимся, то рассматриваемый ряд также сходится. Если же он расходится, то в рассматриваемом примере ряд тоже расходится.

При проверке убывания функции можно использовать материал, рассмотренный на предыдущих уроках.

Рассмотреть пример $\sum _{k=2}^{\infty }\frac{1}{k·\ln k}$ на сходимость.

Условие сходимости ряда считается выполненным, так как $\underset{k\to +\infty }{\lim }\frac{1}{k·\ln k}=\frac{1}{+\infty }=0$ . Рассмотрим $y=\frac{1}{x·\ln x}$ . Она больше нуля, не прерывается и убывает на $[2; +\infty )$ . Первые два пункта доподлинно известны, а вот на третьем следует остановиться подробнее. Находим производную: $y\text{'}={\left(\frac{1}{x·\ln x}\right)}^{\text{'}}=\frac{\left(x·\ln x\right)\text{'}}{{\left(x·\ln x\right)}^2}=\frac{\ln x+x·{\displaystyle \frac{1}{x}}}{{\left(x·\ln x\right)}^2}=-\frac{\ln x+1}{{\left(x·\ln x\right)}^2}$ . Она меньше нуля на $[2; +\infty )$ . Это доказывает тезис о том, что функция является убывающей.

Собственно, функция $y=\frac{1}{x·\ln x}$ соответствует признакам принципа, который мы рассматривали выше. Воспользуемся им: $$\begin{gathered} {\int }_2^{+\infty }\frac{dx}{x·\ln x}=\underset{A\to +\infty }{\lim }{\int }_2^A\frac{{\displaystyle d(\ln x)}}{{\displaystyle \ln x}}=\underset{A\to +\infty }{\lim }\ln (\ln x{)}_2^A= \\ =\underset{A\to +\infty }{\lim }(\ln (\ln A)-\ln (\ln 2))=\ln (\ln (+\infty ))-\ln (\ln 2)=+\infty \end{gathered}$$

Согласно полученным результатам, исходный пример расходится, так как несобственный интеграл является расходящимся.

Докажите сходимость ряда $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(10k-9)\left(\ln \right(5k+8){)}^3}$ .

Так как $\underset{k\to +\infty }{\lim }\frac{1}{(10k-9)\left(\ln \right(5k+8){)}^3}=\frac{1}{+\infty }=0$ , то условие считается выполненным.

Начиная с $k=4$, верное выражение $\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle (10k-9)\left(\ln \right(5k+8){)}^3}}<\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle (5k+8)\left(\ln \right(5k+8){)}^3}}$ .

Если ряд$\sum _{k=4}^{\infty }\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle (5k+8)\left(\ln \right(5k+8){)}^3}}$ будет считаться сходящимся, то, согласно одному из принципов сравнения, ряд $\sum _{k=4}^{\infty }\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle (10k-9)\left(\ln \right(5k+8){)}^3}}$ также будет считаться сходящимся. Таким образом, мы сможет определить, что исходное выражение также является сходящимся.

Перейдем к доказательству $\sum _{k=4}^{\infty }\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle (5k+8)\left(\ln \right(5k+8){)}^3}}$ .

Так как функция $y=\frac{1}{\left(5x+8\right)\left(\ln \right(5x+8){)}^3}$ больше нуля, не прерывается и убывает на $[4; +\infty )$ . Используем признак, описанный в предыдущем пункте:

$$\begin{gathered} {\int }_4^{+\infty }\frac{dx}{(5x+8)\left(ln\right(5x+8){)}^3}=\underset{A\to +\infty }{\lim }{\int }_4^A\frac{{\displaystyle dx}}{{\displaystyle (5x+8)\left(\ln \right(5x+8){)}^3}}= \\ =\frac{1}{5}·\underset{A\to +\infty }{\lim }{\int }_4^A\frac{d\left(\ln \right(5x+8)}{\left(\ln \right(5x+8){)}^3}=-\frac{1}{10}·\underset{A\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\left(\ln \right(5x+8){)}^2}{|}_4^A= \\ =-\frac{1}{10}·\underset{A\to +\infty }{\lim }\left(\frac{1}{\left(\ln \right(5·A+8){)}^2}-\frac{{\displaystyle 1}}{\left(\ln \right(5·4+8){)}^2}\right)= \\ =-\frac{1}{10}·\left(\frac{1}{+\infty }-\frac{1}{(\ln 28{)}^2}\right)=\frac{1}{10·{\left(\ln 28\right)}^2} \end{gathered}$$

В полученном сходящемся ряде, ${\int }_4^{+\infty }\frac{dx}{(5x+8)\left(\ln \right(5x+8){)}^3}$ , можно определить, что $\sum _{k=4}^{\infty }\frac{1}{(5k+8)\left(\ln \right(5k+8){)}^3}$ также сходится.

Признак Раабе

Допустим, что $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$ - знакоположительный числовой ряд.

Если $\underset{k\to +\infty }{\lim }\left(k·\left(\frac{a_k}{a_{k+1}}\right)\right)<1$ , то ряд расходится, если$\underset{k\to +\infty }{\lim }\left(k·\left(\frac{a_k}{a_{k+1}}-1\right)\right)>1$ , то сходится.

Данный способ определения можно использовать в том случае, если описанные выше техники не дают видимых результатов.

Исследование на абсолютную сходимость

Для исследования берем $\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k$ . Используем знакоположительный $\sum _{k=1}^{\infty }\left|b_k\right|$ . Мы можем использовать любой из подходящих признаков, которые мы описывали выше. Если ряд $\sum _{k=1}^{\infty }\left|b_k\right|$ сходится, то исходный ряд является абсолютно сходящимся.

Исследовать ряд $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{\sqrt{3k^3+2k-1}}$ на сходимость $\sum _{k=1}^{\infty }\left|\frac{(-1{)}^k}{\sqrt{3k^3+2k-1}}\right|=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{3k^3+2k-1}}$ .

Условие выполняется $\underset{k\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{3k^3+2k-1}}=\frac{1}{+\infty }=0$ . Используем $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}}$ и воспользуемся вторым признаком: $\underset{k\to +\infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3k^3+2k-1}}}}{{\displaystyle \frac{1}{k^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Ряд $\sum _{k=1}^{\infty }\left|\frac{(-1{)}^k}{\sqrt{3k^3+2k-1}}\right|$ сходится. Исходный ряд также абсолютно сходящийся.

Расходимость знакопеременных рядов

Если ряд $\sum _{k=1}^{\infty }\left|b_k\right|$ – расходящийся, то соответствующий знакопеременный ряд $\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k$ либо расходящийся, либо условно сходящийся.

Лишь признак Даламбера и радикальный признак Коши помогут сделать выводы о $\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k$ по расходимости из модулей $\sum _{k=1}^{\infty }\left|b_k\right|$ . Ряд $\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k$ также расходится, если не выполняется необходимое условие сходимости, то есть, если $\underset{k\to \infty +}{\lim }\left|b_k\right|\ne 0$ .

Проверить расходимость $\frac{1}{7},\frac{2}{7^2},-\frac{6}{7^3},\frac{24}{7^4},\frac{120}{7^5}-\frac{720}{7^6}, ...$ .

Модуль $k$-ого члена представлен как $\left|b_k\right|=\frac{k!}{7^k}$ .

Исследуем ряд $\sum _{k=1}^{\infty }\left|b_k\right|=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{k!}{7^k}$ на сходимость по признаку Даламбера: $\underset{k\to +\infty }{\lim }\frac{b_{k+1}}{b_k}=\underset{k\to +\infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{(k+1)!}{7^{k+1}}}}{{\displaystyle \frac{k!}{7^k}}}=\frac{1}{7}·\underset{k\to +\infty }{\lim }(k+1)=+\infty$ .

$\sum _{k=1}^{\infty }\left|b_k\right|=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{k!}{7^k}$ расходится так же, как и исходный вариант.

Является ли $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^k·\left(k^2+1\right)}{\ln (k+1)}$ сходящимся.

Рассмотрим на необходимое условие . Условие не выполнено, поэтому $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^k·\left(k^2+1\right)}{\ln (k+1)}$ ряд расходящийся. Предел был вычислен по правилу Лопиталя.

Признаки для условной сходимости

Признак Лейбница

Если величины членов знакочередующегося ряда убывают $b_1>b_2>b_3>...>...$ и предел модуля $=0$ при $k\to +\infty$ , то ряд $\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k$ сходится.

Рассмотреть $\sum _{k=1}^{\infty }(-1{)}^k\frac{2k+1}{5k(k+1)}$ на сходимость.

Ряд представлен как $\sum _{k=1}^{\infty }\left|(-1{)}^k\frac{2k+1}{5k(k+1)}\right|=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{2k+1}{5k(k+1)}$ . Нужное условие выполняется $\underset{k\to +\infty }{\lim }=\frac{2k+1}{5k(k+1)}=0$ . Рассмотрим $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k}$ по второму признаку сравнения $\underset{k\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{2k+1}{5k(k+1)}}{{\displaystyle \frac{1}{k}}}=\underset{k\to +\infty }{\lim }\frac{2k+1}{5(k+1)}=\frac{2}{5}$

Получаем, что $\sum _{k=1}^{\infty }\left|(-1{)}^k\frac{2k+1}{5k(k+1)}\right|=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{2k+1}{5k(k+1)}$ расходится. Ряд $\sum _{k=1}^{\infty }(-1{)}^k\frac{2k+1}{5k(k+1)}$ сходится по признаку Лейбница: последовательность$\frac{2·1+1}{5·1·1\left(1+1\right)}=\frac{3}{10}, \frac{2·2+1}{5·2·(2+1)}=\frac{5}{30}, \frac{2·3+1}{5·3·\left(3+1\right)}, ...$ убывает и $\underset{k\to +\infty }{\lim }=\frac{2k+1}{5k(k+1)}=0$ .

Ряд условно сходится.

Признак Абеля-Дирихле

$\sum _{k=1}^{+\infty }{u}_k·v_k$ сходится в том случае, если $\left\{u_k\right\}$ не возрастает, а последовательность $\sum _{k=1}^{+\infty }{v}_k$ ограничена.

Исследуйте $1-\frac{3}{2}+\frac{2}{3}+\frac{1}{4}-\frac{3}{5}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}-\frac{3}{8}+\frac{2}{9}+...$ на сходимость.

Представим

$$\begin{gathered} 1-\frac{3}{2}+\frac{2}{3}+\frac{1}{4}-\frac{3}{5}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}-\frac{3}{8}+\frac{2}{9}+...= \\ 1·1+\frac{1}{2}·(-3)+\frac{1}{3}·2+\frac{1}{4}·1+\frac{1}{5}·(-3)+\frac{1}{6}·=\sum _{k=1}^{\infty }{u}_k·v_k \end{gathered}$$

где $\left\{u_k\right\}=1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, ...$ - невозрастающая, а последовательность $\left\{v_k\right\}=1, -3 , 2, 1, -3, 2, ...$ ограничена $\left\{S_k\right\}=1, -2, 0, 1, -2, 0, ...$ . Ряд сходится.