Нахождение пересечения и объединения числовых множеств, что такое пересечение множеств

Решение некоторых математических задач предполагает нахождение пересечения и объединения числовых множеств. В статье ниже рассмотрим эти действия подробно, в том числе, на конкретных примерах. Полученный навык будет применим для решения неравенств с одной переменной и систем неравенств.

Простейшие случаи

Когда мы говорим о простейших случаях в рассматриваемой теме, то имеем в виду нахождение пересечения и объединения числовых множеств, представляющих из себя набор отдельных чисел. В подобных случаях будет достаточно использования определения пересечения и объединения множеств.

Из указанных определений логически следуют следующие правила:

- чтобы составить объединение двух числовых множеств, имеющих конечное количество элементов, необходимо записать все элементы одного множества и дописать к ним недостающие элементы из второго множества;

- чтобы составить пересечение двух числовых множеств, необходимо элементы первого множества один за другим проверить на принадлежность второму множеству. Те из них, которые окажутся принадлежащими обоим множествам и будут составлять пересечение.

Полученное согласно первому правилу множество будет включать в себя все элементы, принадлежащие хотя бы одному из исходных множеств, т.е. станет объединением этих множеств по определению.

Множество, полученное согласно второму правилу, будет включать в себя все общие элементы исходных множеств, т.е. станет пересечением исходных множеств.

Рассмотрим применение полученных правил на практических примерах.

Все вышесказанное относится к работе с двумя множествами. Что же касается нахождения пересечения и объединения трех и более множеств, то решение этой задачи возможно свести к последовательному нахождению пересечения и объединения двух множеств. Например, чтобы определить пересечение трех множеств $A$, $В$ и $С$, возможно сначала определить пересечение $A$ и $B$, а затем найти пересечение полученного результата с множеством $C$. На примере это выглядит так: пусть будут заданы числовые множества: $А = \{3, 9, 4, 3, 5, 21\}$, $В = \{2,7, 9, 21\}$и $С = \{7, 9, 1, 3\}$. Пересечение первых двух множеств составит: $А\cap В = \{9, 21\}$, а пересечение полученного множества с множеством $А\cap В = \{9, 21\}$. В итоге: $А\cap В\cap С = \left\{9\right\}$.

Однако на практике, чтобы найти объединение и пересечение трех и более простейших числовых множеств, которые состоят из конечного количества отдельных чисел, удобнее применять правила, аналогичные указанным выше.

Т.е., чтобы найти объединение трех и более множеств указанного типа, необходимо к элементам первого множества добавить недостающие элементы второго множества, затем – третьего и т.д. Для пояснения возьмем числовые множества:$А = \{1, 2\}, В = \{2, 3\}, С = \{1, 3, 4, 5\}$. К элементам первого множества $A$ добавится число $3$ из множества $B$, а затем – недостающие числа $4$ и $5$ множества $C$. Таким образом, объединение исходных множеств: $А\cup В\cup С = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.

Что же касается решения задачи на нахождение пересечения трех и более числовых множеств, которые состоят из конечного количества отдельных чисел, необходимо одно за другим перебрать числа первого множества и поэтапно проверять, принадлежит ли рассматриваемое число каждому из оставшихся множеств. Для пояснения рассмотрим числовые множества:

$$\begin{gathered} А = \{3, 1, 7, 12, 5, 2\} \\ В = \{1, 0, 2, 12\} \\ С = \{7, 11, 2, 1, 6\} \\ D = \{1, 7, 15, 8, 2, 6\}. \end{gathered}$$

Найдем пересечение исходных множеств. Очевидно, что множество $B$ имеет меньше всего элементов, поэтому именно их мы будем проверять, определяя, входят ли они в остальные множества. Число $1$ множества $B$ является элементом и прочих множеств, а значит является первым элементом искомого пересечения. Второе число множества $B$ – число $0$ – не является элементом множества $A$, а, следовательно, не станет элементом пересечения. Продолжаем проверку: число $2$ множества $B$ является элементом прочих множеств и становится еще одной частью пересечения. Наконец, последний элемент множества $B$ – число $12$ – не является элементом множества $D$ и не является элементом пересечения. Таким образом, получаем: $A\cap B\cap C\cap D = \{1, 2\}.$

Координатная прямая и числовые промежутки как объединение их частей

Отметим на координатной прямой произвольную точку, например, с координатой $-5,4$. Указанная точка разобьет координатную прямую на два числовых промежутка – два открытых луча (-∞, -5,4) и (-5,4, +∞) и собственно точку. Нетрудно увидеть, что в соответствии с определением объединения множеств любое действительное число будет принадлежать объединению $(-\infty , -5,4)\cup \{-5,4\} \cup (-5,4, +\infty )$. Т.е. множество всех действительных чисел $R = (-\infty ; +\infty )$ возможно представить в виде полученного выше объединения. И наоборот, полученное объединение будет являться множеством всех действительных чисел.

Отметим, что заданную точку возможно присоединить к любому из открытых лучей, тогда он станет простым числовым лучом $(-\infty , -5,4]$ или $[-5,4, +\infty )$. При этом множество R будет описываться следующими объединениями: $(-\infty , -5,4] \cup (-5,4, +\infty )$ или $(-\infty , -5,4) \cup [-5,4, +\infty ).$.

Подобные рассуждения действительны не только относительно точки координатной прямой, но и относительно точки на любом числовом промежутке. Т.е., если мы возьмем любую внутреннюю точку любого произвольного промежутка, его возможно будет представить, как объединение его частей, полученных после деления заданной точкой, и самой точки. К примеру, задан полуинтервал $(7, 32]$ и точка $13$, принадлежащая этому числовому промежутку. Тогда заданный полуинтервал можно представить в виде объединения $(7, 13) \cup \left\{13\right\} \cup (13, 32]$ и обратно. Мы можем включить число $13$ в любой из промежутков и тогда заданное множество $(7, 32]$ можно представить, как $(7, 13] \cup (13, 32]$ или $(7, 13] \cup (13, 32]$. Также мы можем взять в качестве исходных данных не внутреннюю точку заданного полуинтервала, а его конец (точку с координатой $32$), тогда заданный полуинтервал можно представить, как объединение интервала $(7, 32)$ и множества из одного элемента $\left\{32\right\}$. Таким образом: $(7, 32] = (7, 32) \cup \left\{32\right\}$.

Еще один вариант: когда берется не одна, а несколько точек на координатной прямой или числовом промежутке. Эти точки разобьют координатную прямую или числовой промежуток на несколько числовых промежутков, а объединение этих промежутков будут составлять исходные множества. К примеру, на координатной прямой заданы точки с координатами $-6, 0, 8$, которые разобьют ее на промежутки: $(-\infty , -6), (-6,0), (0, 8), (8, +\infty )$. При этом множество всех действительных чисел, олицетворением чего и является координатная прямая, возможно представить в виде объединения полученных промежутков и указанных чисел:

$(-\infty , -6) \cup \{-6\} \cup (-6,0) \cup \left\{0\right\} \cup (0, 8) \cup \left\{8\right\} \cup (8, +\infty )$.

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

С темой нахождения пересечения и объединения множеств возможно наглядно разобраться, если использовать изображения заданных множеств на координатной прямой (если только речь – не о простейших случаях, рассмотренных в самом начале статьи).

Мы рассмотрим общий подход, который позволяет определить результат пересечения и объединения двух числовых множеств. Опишем подход в виде алгоритма. Рассматривать его шаги будем постепенно, каждый раз приводя очередной этап решения конкретного примера.

Теперь необходимо поочередно проверить принадлежность каждого из записанных множеств искомому пересечению или объединению. Получаемые выводы поэтапно отмечаются на нижней координатной прямой: когда промежуток является частью пересечения или объединения, над ним рисуется штриховка. Когда точка входит в пересечение или объединение, то штрих заменяется на сплошную точку; если точка не является частью пересечения или объединения – ее делают выколотой. В этих действиях нужно придерживаться таких правил:

-. промежуток становится частью пересечения, если он одновременно является частью множества $A$ и множества $B$ (или иными словами – если есть штриховка над этим промежутком на обеих координатных прямых, отображающих множества $А$ и $B$);

- точка становится частью пересечения, если она является одновременно частью каждого из множеств $А$ и $В$ (иными словами – если точка является невыколотой или внутренней точкой какого-либо интервала обоих числовых множеств $A$ и $B$);

- промежуток становится частью объединения, если он является частью хотя бы одного из множеств $A$ или $B$ (иными словами – если присутствует штриховка над этим промежутком хотя бы на одной из координатных прямых, отображающих множества $A$ и $B$.

- точка становится частью объединения, если она является частью хотя бы одного из множеств $A$ и $B$ (иными словами – точка является невыколотой или внутренней точкой какого-либо интервала хотя бы одного из множеств $A$ и $B$).

Кратко резюмируя: пересечением числовых множеств $A$ и $B$ служит пересечение всех числовых промежутков множеств $A$ и $B$, над которыми одновременно присутствует штриховка, и всех отдельных точек, принадлежащих и множеству А, и множеству В. Объединением числовых множеств $A$ и $B$ служит объединение всех числовых промежутков, над которыми присутствует штриховка хотя бы у одного из множеств $A$ или $B$, а также всех невыколотых отдельных точек.

2. Вернемся к примеру, определим пересечение заданных множеств. Для этого поочередно проверим множества: $(-\infty , -3), \{-3\}, (-3, 7), \left\{7\right\}, (7, +\infty )$. Начнем с множества $(-\infty , -3)$, наглядно выделив его на чертеже:

Этот промежуток не будет включен в пересечение, потому что не является частью ни множества $A$, ни множества $B$ (нет штриховки). И так наш чертеж сохраняет свой изначальный вид:

Рассмотрим следующее множество$\{-3\}$. Число $-3$ является частью множества $B$ (невыколотой точкой), но не входит в состав множества $A$, а потому не станет частью искомого пересечения. Соответственно на нижней координатной прямой точку с координатой $-3$ делаем выколотой:

Оцениваем следующее множество $(-3, 7)$.

Оно является частью множества $B$ (над интервалом присутствует штриховка), но не входит в множество $A$ (над интервалом штриховка отсутствует): не будет входить в искомое пересечение, а значит на нижней координатной прямой не появляется никаких новых отметок:

Следующее множество на проверку - $\left\{7\right\}$. Оно является составом множества $B$ (точка с координатой $7$ является внутренней точкой промежутка $[-3, +\infty )$ ), но не является частью множества $A$ (выколотая точка), таким образом, рассматриваемый промежуток не станет частью искомого пересечения.. Отметим точку с координатой $7$ как выколотую:

И, наконец, проверяем оставшийся промежуток $(7, +\infty )$.

Промежуток входит в оба множества $A$ и $B$ (над промежутком присутствует штриховка), следовательно, становится частью пересечения. Штрихуем место над рассмотренным промежутком:

В конечном счете на нижней координатной прямой образовалось изображение искомого пересечения заданных множеств. Очевидно, что оно является множеством всех действительных чисел больше числа $7$, т.е.: $А\cap В = (7, +\infty )$.

3. Следующим шагом определим объединение заданных множеств $A$ и $B$. Последовательно проверим множества $(-\infty , -3), \{-3\}, (-3, 7), \left\{7\right\}, (7, +\infty )$, устанавливая факт включения или невключения их в искомое объединение.

Первое множество $(-\infty , -3)$ не является частью ни одного из исходных множеств $A$ и $B$ (над промежутками нет штриховок), следовательно, множество$(-\infty , -3)$ не войдет в искомое объединение:

Множество $\{-3\}$ входит в множество $B$, а значит будет входить в искомое объединение множеств $A$ и $B$:

Множество $(-3, 7)$ является составной частью множества $B$ (над интервалом присутствует штриховка) и становится элементом объединения множеств $A$ и $B$:

Множество $\left\{7\right\}$ входит в числовое множество $B$, поэтому войдет и в искомое объединение:

Множество $(7, +\infty )$, являясь элементом обоих множеств $А$ и $В$ одновременно, становится еще одной частью искомого объединения:

По итоговому изображению объединения исходных множеств $А$ и $В$ получаем: $А\cap В = [-3, +\infty )$.

Имея некий практический опыт применения правил нахождения пересечений и объединений множеств, описанные проверки легко проводятся устно, что позволяет быстро записывать конечный результат. Продемонстрируем на практическом примере, как выглядит его решение без детальных пояснений.

Также понятно, что при достаточном понимании процесса указанный алгоритм возможно подвергнуть оптимизации. К примеру, в процессе нахождения пересечения можно не тратить время на проверку всех промежутков и множеств, представляющих собой отдельные числа, ограничившись рассмотрением только тех промежутков и чисел, которые составляют множество А или В. Прочие промежутки в любом случае не войдут в пересечение, т.к. не являются частью исходных множеств. Составим иллюстрацию сказанного на практическом примере.

В заключении статьи обговорим еще, как решить задачу о нахождении пересечения и объединения нескольких множеств (более $2$). Сведем ее, как рекомендовалось ранее, к необходимости определения пересечения и объединения первых двух множеств, затем полученного результата с третьим множеством и так далее. А можно использовать описанный выше алгоритм с единственным только отличием, что проверку вхождения промежутков и множеств, представляющих собой отдельные числа, необходимо проводить не по двум, а всем заданным множествам. Рассмотрим на примере.

Отметим также, что искомое пересечение числовых множеств часто является пустым множеством. Происходит это в тех случаях, когда в заданные множества не включены элементы, одновременно принадлежащие им всем.

Множества удобно изображать в виде кругов, которые называют кругами Эйлера.

На рисунке множество пересечения множеств X и Y закрашено в оранжевый цвет.