Нахождение пересечения и объединения числовых множеств, что такое пересечение множеств

Решение некоторых математических задач предполагает нахождение пересечения и объединения числовых множеств. В статье ниже рассмотрим эти действия подробно, в том числе, на конкретных примерах. Полученный навык будет применим для решения неравенств с одной переменной и систем неравенств.

Простейшие случаи

Когда мы говорим о простейших случаях в рассматриваемой теме, то имеем в виду нахождение пересечения и объединения числовых множеств, представляющих из себя набор отдельных чисел. В подобных случаях будет достаточно использования определения пересечения и объединения множеств.

Объединение двух множеств – это множество, в котором каждый элемент является элементом одного из исходных множеств.

Пересечение множеств – это множество, которое состоит из всех общих элементов исходных множеств.

Из указанных определений логически следуют следующие правила:

- чтобы составить объединение двух числовых множеств, имеющих конечное количество элементов, необходимо записать все элементы одного множества и дописать к ним недостающие элементы из второго множества;

- чтобы составить пересечение двух числовых множеств, необходимо элементы первого множества один за другим проверить на принадлежность второму множеству. Те из них, которые окажутся принадлежащими обоим множествам и будут составлять пересечение.

Полученное согласно первому правилу множество будет включать в себя все элементы, принадлежащие хотя бы одному из исходных множеств, т.е. станет объединением этих множеств по определению.

Множество, полученное согласно второму правилу, будет включать в себя все общие элементы исходных множеств, т.е. станет пересечением исходных множеств.

Рассмотрим применение полученных правил на практических примерах.

Исходные данные: числовые множества $А = \{3, 5, 7, 12\}$ и $В = \{2, 5, 8, 11, 12, 13\}$. Необходимо найти объединение и пересечение исходных множеств.

Решение

1. Определим объединение исходных множеств. Запишем все элементы, к примеру, множества $А: 3, 5, 7, 12$. Добавим к ним недостающие элементы множества $В: 2, 8, 11$ и $13$. В конечном итоге имеем числовое множество:$\{3, 5, 7, 12, 2, 8, 11, 13\}$. Упорядочим элементы полученного множества и получим искомое объединение: $А\cup B = \{2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13\}$.
2. Определим пересечение исходных множеств. Согласно правилу, переберем один за другим все элементы первого множества $A$ и проверим, входят ли они во множество $B$. Рассмотрим первый элемент - число $3$: он не принадлежит множеству $B$, а значит не будет являться элементом искомого пересечения. Проверим второй элемент множества $A$, т.е. число $5$: оно принадлежит множеству $B$, а значит станет первым элементом искомого пересечения. Третий элемент множества $A$ – число $7$. Оно не является элементом множества $B$, а, следовательно, не является элементом пересечения. Рассмотрим последний элемент множества $A$: число $1$. Оно также принадлежит и множеству $B$, и соответственно станет одним из элементов пересечения. Таким образом, пересечение исходных множеств – множество, состоящее из двух элементов: $5$ и $12$, т.е. $А\cap В = \{5, 12\}$.

Ответ: объединение исходных множеств – $А\cup B = \{2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13\}$; пересечение исходных множеств - $А\cap В = \{5, 12\}$.

Все вышесказанное относится к работе с двумя множествами. Что же касается нахождения пересечения и объединения трех и более множеств, то решение этой задачи возможно свести к последовательному нахождению пересечения и объединения двух множеств. Например, чтобы определить пересечение трех множеств $A$, $В$ и $С$, возможно сначала определить пересечение $A$ и $B$, а затем найти пересечение полученного результата с множеством $C$. На примере это выглядит так: пусть будут заданы числовые множества: $А = \{3, 9, 4, 3, 5, 21\}$, $В = \{2,7, 9, 21\}$и $С = \{7, 9, 1, 3\}$. Пересечение первых двух множеств составит: $А\cap В = \{9, 21\}$, а пересечение полученного множества с множеством $А\cap В = \{9, 21\}$. В итоге: $А\cap В\cap С = \left\{9\right\}$.

Однако на практике, чтобы найти объединение и пересечение трех и более простейших числовых множеств, которые состоят из конечного количества отдельных чисел, удобнее применять правила, аналогичные указанным выше.

Т.е., чтобы найти объединение трех и более множеств указанного типа, необходимо к элементам первого множества добавить недостающие элементы второго множества, затем – третьего и т.д. Для пояснения возьмем числовые множества:$А = \{1, 2\}, В = \{2, 3\}, С = \{1, 3, 4, 5\}$. К элементам первого множества $A$ добавится число $3$ из множества $B$, а затем – недостающие числа $4$ и $5$ множества $C$. Таким образом, объединение исходных множеств: $А\cup В\cup С = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.

Что же касается решения задачи на нахождение пересечения трех и более числовых множеств, которые состоят из конечного количества отдельных чисел, необходимо одно за другим перебрать числа первого множества и поэтапно проверять, принадлежит ли рассматриваемое число каждому из оставшихся множеств. Для пояснения рассмотрим числовые множества:

$$\begin{gathered} А = \{3, 1, 7, 12, 5, 2\} \\ В = \{1, 0, 2, 12\} \\ С = \{7, 11, 2, 1, 6\} \\ D = \{1, 7, 15, 8, 2, 6\}. \end{gathered}$$

Найдем пересечение исходных множеств. Очевидно, что множество $B$ имеет меньше всего элементов, поэтому именно их мы будем проверять, определяя, входят ли они в остальные множества. Число $1$ множества $B$ является элементом и прочих множеств, а значит является первым элементом искомого пересечения. Второе число множества $B$ – число $0$ – не является элементом множества $A$, а, следовательно, не станет элементом пересечения. Продолжаем проверку: число $2$ множества $B$ является элементом прочих множеств и становится еще одной частью пересечения. Наконец, последний элемент множества $B$ – число $12$ – не является элементом множества $D$ и не является элементом пересечения. Таким образом, получаем: $A\cap B\cap C\cap D = \{1, 2\}.$

Координатная прямая и числовые промежутки как объединение их частей

Отметим на координатной прямой произвольную точку, например, с координатой $-5,4$. Указанная точка разобьет координатную прямую на два числовых промежутка – два открытых луча (-∞, -5,4) и (-5,4, +∞) и собственно точку. Нетрудно увидеть, что в соответствии с определением объединения множеств любое действительное число будет принадлежать объединению $(-\infty , -5,4)\cup \{-5,4\} \cup (-5,4, +\infty )$. Т.е. множество всех действительных чисел $R = (-\infty ; +\infty )$ возможно представить в виде полученного выше объединения. И наоборот, полученное объединение будет являться множеством всех действительных чисел.

Отметим, что заданную точку возможно присоединить к любому из открытых лучей, тогда он станет простым числовым лучом $(-\infty , -5,4]$ или $[-5,4, +\infty )$. При этом множество R будет описываться следующими объединениями: $(-\infty , -5,4] \cup (-5,4, +\infty )$ или $(-\infty , -5,4) \cup [-5,4, +\infty ).$.

Подобные рассуждения действительны не только относительно точки координатной прямой, но и относительно точки на любом числовом промежутке. Т.е., если мы возьмем любую внутреннюю точку любого произвольного промежутка, его возможно будет представить, как объединение его частей, полученных после деления заданной точкой, и самой точки. К примеру, задан полуинтервал $(7, 32]$ и точка $13$, принадлежащая этому числовому промежутку. Тогда заданный полуинтервал можно представить в виде объединения $(7, 13) \cup \left\{13\right\} \cup (13, 32]$ и обратно. Мы можем включить число $13$ в любой из промежутков и тогда заданное множество $(7, 32]$ можно представить, как $(7, 13] \cup (13, 32]$ или $(7, 13] \cup (13, 32]$. Также мы можем взять в качестве исходных данных не внутреннюю точку заданного полуинтервала, а его конец (точку с координатой $32$), тогда заданный полуинтервал можно представить, как объединение интервала $(7, 32)$ и множества из одного элемента $\left\{32\right\}$. Таким образом: $(7, 32] = (7, 32) \cup \left\{32\right\}$.

Еще один вариант: когда берется не одна, а несколько точек на координатной прямой или числовом промежутке. Эти точки разобьют координатную прямую или числовой промежуток на несколько числовых промежутков, а объединение этих промежутков будут составлять исходные множества. К примеру, на координатной прямой заданы точки с координатами $-6, 0, 8$, которые разобьют ее на промежутки: $(-\infty , -6), (-6,0), (0, 8), (8, +\infty )$. При этом множество всех действительных чисел, олицетворением чего и является координатная прямая, возможно представить в виде объединения полученных промежутков и указанных чисел:

$(-\infty , -6) \cup \{-6\} \cup (-6,0) \cup \left\{0\right\} \cup (0, 8) \cup \left\{8\right\} \cup (8, +\infty )$.

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

С темой нахождения пересечения и объединения множеств возможно наглядно разобраться, если использовать изображения заданных множеств на координатной прямой (если только речь – не о простейших случаях, рассмотренных в самом начале статьи).

Мы рассмотрим общий подход, который позволяет определить результат пересечения и объединения двух числовых множеств. Опишем подход в виде алгоритма. Рассматривать его шаги будем постепенно, каждый раз приводя очередной этап решения конкретного примера.

Исходные данные: заданы числовые множества $А = (7, +\infty )$ и $В = [-3, +\infty )$. Необходимо найти пересечение и объединение данных множеств.

Решение

1. Изобразим заданные числовые множества на координатных прямых. Их необходимо расположить друг над другом. Для удобства принято считать, что точки начала отсчета заданных множеств совпадают, и остается сохранным расположение точек друг относительно друга: любая точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой. При этом, если нам интересно объединение множеств, то координатные прямые объединяют слева квадратной скобкой совокупности; если интересует пересечение, то – фигурной скобкой системы.

В нашем примере для записи пересечения и объединения числовых множеств имеем: и

Изобразим еще одну координатную прямую, расположив ее под уже имеющимися. Она понадобится для отображения искомого пересечения или объединения. На этой координатной прямой отмечают все граничные точки исходных числовых множеств: сначала черточками, а позже, после выяснения характера точек с этими координатами, черточки будет заменены выколотыми или невыколотыми точками. В нашем примере это точки с координатами $-3$ и $7$.

Получим:

и

Точки, которые изображены на нижней координатной прямой в предыдущем шаге алгоритма, дают возможность рассматривать координатную прямую как набор числовых промежутков и точек (об этом мы говорили выше). В нашем примере координатную прямую представим в виде набора пяти числовых множеств: $(-\infty , -3), \{-3\}, (-3, 7), \left\{7\right\}, (7, +\infty )$.

Теперь необходимо поочередно проверить принадлежность каждого из записанных множеств искомому пересечению или объединению. Получаемые выводы поэтапно отмечаются на нижней координатной прямой: когда промежуток является частью пересечения или объединения, над ним рисуется штриховка. Когда точка входит в пересечение или объединение, то штрих заменяется на сплошную точку; если точка не является частью пересечения или объединения – ее делают выколотой. В этих действиях нужно придерживаться таких правил:

-. промежуток становится частью пересечения, если он одновременно является частью множества $A$ и множества $B$ (или иными словами – если есть штриховка над этим промежутком на обеих координатных прямых, отображающих множества $А$ и $B$);

- точка становится частью пересечения, если она является одновременно частью каждого из множеств $А$ и $В$ (иными словами – если точка является невыколотой или внутренней точкой какого-либо интервала обоих числовых множеств $A$ и $B$);

- промежуток становится частью объединения, если он является частью хотя бы одного из множеств $A$ или $B$ (иными словами – если присутствует штриховка над этим промежутком хотя бы на одной из координатных прямых, отображающих множества $A$ и $B$.

- точка становится частью объединения, если она является частью хотя бы одного из множеств $A$ и $B$ (иными словами – точка является невыколотой или внутренней точкой какого-либо интервала хотя бы одного из множеств $A$ и $B$).

Кратко резюмируя: пересечением числовых множеств $A$ и $B$ служит пересечение всех числовых промежутков множеств $A$ и $B$, над которыми одновременно присутствует штриховка, и всех отдельных точек, принадлежащих и множеству А, и множеству В. Объединением числовых множеств $A$ и $B$ служит объединение всех числовых промежутков, над которыми присутствует штриховка хотя бы у одного из множеств $A$ или $B$, а также всех невыколотых отдельных точек.

2. Вернемся к примеру, определим пересечение заданных множеств. Для этого поочередно проверим множества: $(-\infty , -3), \{-3\}, (-3, 7), \left\{7\right\}, (7, +\infty )$. Начнем с множества $(-\infty , -3)$, наглядно выделив его на чертеже:

Этот промежуток не будет включен в пересечение, потому что не является частью ни множества $A$, ни множества $B$ (нет штриховки). И так наш чертеж сохраняет свой изначальный вид:

Рассмотрим следующее множество$\{-3\}$. Число $-3$ является частью множества $B$ (невыколотой точкой), но не входит в состав множества $A$, а потому не станет частью искомого пересечения. Соответственно на нижней координатной прямой точку с координатой $-3$ делаем выколотой:

Оцениваем следующее множество $(-3, 7)$.

Оно является частью множества $B$ (над интервалом присутствует штриховка), но не входит в множество $A$ (над интервалом штриховка отсутствует): не будет входить в искомое пересечение, а значит на нижней координатной прямой не появляется никаких новых отметок:

Следующее множество на проверку - $\left\{7\right\}$. Оно является составом множества $B$ (точка с координатой $7$ является внутренней точкой промежутка $[-3, +\infty )$ ), но не является частью множества $A$ (выколотая точка), таким образом, рассматриваемый промежуток не станет частью искомого пересечения.. Отметим точку с координатой $7$ как выколотую:

И, наконец, проверяем оставшийся промежуток $(7, +\infty )$.

Промежуток входит в оба множества $A$ и $B$ (над промежутком присутствует штриховка), следовательно, становится частью пересечения. Штрихуем место над рассмотренным промежутком:

В конечном счете на нижней координатной прямой образовалось изображение искомого пересечения заданных множеств. Очевидно, что оно является множеством всех действительных чисел больше числа $7$, т.е.: $А\cap В = (7, +\infty )$.

3. Следующим шагом определим объединение заданных множеств $A$ и $B$. Последовательно проверим множества $(-\infty , -3), \{-3\}, (-3, 7), \left\{7\right\}, (7, +\infty )$, устанавливая факт включения или невключения их в искомое объединение.

Первое множество $(-\infty , -3)$ не является частью ни одного из исходных множеств $A$ и $B$ (над промежутками нет штриховок), следовательно, множество$(-\infty , -3)$ не войдет в искомое объединение:

Множество $\{-3\}$ входит в множество $B$, а значит будет входить в искомое объединение множеств $A$ и $B$:

Множество $(-3, 7)$ является составной частью множества $B$ (над интервалом присутствует штриховка) и становится элементом объединения множеств $A$ и $B$:

Множество $\left.open7\right\}$ входит в числовое множество $B$, поэтому войдет и в искомое объединение:

Множество $(7, +\infty )$, являясь элементом обоих множеств $А$ и $В$ одновременно, становится еще одной частью искомого объединения:

По итоговому изображению объединения исходных множеств $А$ и $В$ получаем: $А\cap В = [-3, +\infty )$.

Имея некий практический опыт применения правил нахождения пересечений и объединений множеств, описанные проверки легко проводятся устно, что позволяет быстро записывать конечный результат. Продемонстрируем на практическом примере, как выглядит его решение без детальных пояснений.

Исходные данные: множества $А =(-\infty , -15)\cup \{-5\}\cup [0, 7)\cup \left\{12\right\}$ и  $В =(-20, -10)\cup \{-5\}\cup (2, 3)\cup \left\{17\right\}$. Необходимо определить пересечение и объединение заданных множеств.

Решение

Отметим заданные числовые множества на координатных прямых, чтобы иметь возможность получить иллюстрацию искомых пересечения и объединения:

                           

Ответ: $А\cap В = (-20,-15)\cup \{-5\}\cup (2, 3); А\cup В = (-\infty , -10)\cup \{-5\}\cup [0, 7]\cup \{12, 17\}$.

Также понятно, что при достаточном понимании процесса указанный алгоритм возможно подвергнуть оптимизации. К примеру, в процессе нахождения пересечения можно не тратить время на проверку всех промежутков и множеств, представляющих собой отдельные числа, ограничившись рассмотрением только тех промежутков и чисел, которые составляют множество А или В. Прочие промежутки в любом случае не войдут в пересечение, т.к. не являются частью исходных множеств. Составим иллюстрацию сказанного на практическом примере.

Исходные данные: множества $А = \{-2\}\cup [1, 5]$ и $B = [-4, 3]$.

Необходимо определить пересечение исходных множеств.

Решение

Геометрически изобразим числовые множества $А$ и $В$:

Граничные точки исходных множеств разобьют числовую прямую на несколько множеств:

$(-\infty , -4), \{-4\}, (-4, -2), \{-2\}, (-2, -1), \left\{1\right\}, (1, 3), \left\{3\right\}, (3, 5), \left\{5\right\}, (5, +\infty )$.

Легко заметить, что числовое множество $A$ можно записать, объединив некоторые из перечисленных множеств, а именно: $\{-2\}, (1, 3)$, $\left\{3\right\}$ и $(3, 5)$. Достаточно будет проверить эти множества на их включенность также в множество В для того, чтобы найти искомое пересечение. Те, что войдут в множество В и станут элементами пересечения. Проведем проверку.

Совершенно понятно, что$\{-2\}$ является частью множества $B$ , ведь точка с координатой $-2$ – внутренняя точка отрезка $[-4, 3)$. Интервал $(1, 3)$ и множество $\left\{3\right\}$ также входят в множество $В$ (над интервалом присутствует штриховка, а точка с координатой $3$ является для множества В граничной и невыколотой). Множество $(3, 5)$не будет элементом пересечения, т.к. не входит в множество $В$ (над ним не присутствует штриховка). Отметим все вышесказанное на чертеже:

В итоге искомым пересечением двух заданных множеств будет объединение множеств, которое мы запишем так: $\{-2\}\cup (1, 3]$.

Ответ: $А\cap В = \{-2\}\cup (1, 3]$.

В заключении статьи обговорим еще, как решить задачу о нахождении пересечения и объединения нескольких множеств (более $2$). Сведем ее, как рекомендовалось ранее, к необходимости определения пересечения и объединения первых двух множеств, затем полученного результата с третьим множеством и так далее. А можно использовать описанный выше алгоритм с единственным только отличием, что проверку вхождения промежутков и множеств, представляющих собой отдельные числа, необходимо проводить не по двум, а всем заданным множествам. Рассмотрим на примере.

Исходные данные: множества $А = (-\infty , 12], В = (-3,25], D = (-\infty , 25)ꓴ\left\{40\right\}$. Необходимо определить пересечение и объединение заданных множеств.

Решение 

Отображаем заданные числовые множества на координатных прямых и ставим с левой от них стороны фигурную скобку, обозначая пересечение, а также квадратную, обозначая объединение. Ниже отобразим координатные прямые с отмеченными штрихами граничными точками числовых множеств:

                             

Таким образом, координатная прямая представлена следующими множествами: $(-\infty , -3), \{-3\}, (-3, 12), \left\{12\right\}, (12, 25), \left\{25\right\}, (25, 40), \left\{40\right\}, (40, +\infty )$.

Начинаем искать пересечения, поочередно проверяя записанные множества на принадлежность каждому из исходных. Во все три заданных множества входит интервал $(-3, 12)$ и множество $\{-12\}$: они и станут элементами искомого пересечения. Таким образом, получим: $A\cap B\cap D = (-3, 12]$.

Объединение заданных множеств составят множества: $(-\infty , -3)$- элемент множества $А; \{-3\}$ – элемент множества $А; (-3, 12)$ – элемент множества $А; \left\{12\right\}$ – элемент множества $А; (12, 25)$ – элемент множества $В; \left\{25\right\}$ – элемент множества $В$ и$\left\{40\right\}$ – элемент множества $D$. Таким образом, получим: $A\cup B\cup D = (-\infty , 25] \cup \left\{40\right\}$.

 Ответ: $$\begin{gathered} A\cap B\cap D = (-3, 12]; \\ A\cup B\cup D = (-\infty , 25] \cup \left\{40\right\} \end{gathered}$$.

Отметим также, что искомое пересечение числовых множеств часто является пустым множеством. Происходит это в тех случаях, когда в заданные множества не включены элементы, одновременно принадлежащие им всем.

Исходные данные: $А = [-7, 7]; В = \{-15\}\cup [-12, 0)\cup \left\{5\right\}; D = [-15, -10]\cup [10, +\infty ); Е = (0, 27)$. Определить пересечение заданных множеств.

Решение

Отобразим исходные множества на координатных прямых и штрихами граничные точки этих множеств на дополнительной прямой.

Отмеченные точки разобьют числовую прямую на множества: $$\begin{gathered} (-\infty , -15), \{-15\}, (-15, -12), \{-12\}, (-12, -10), \{-10\}, (-10, -7), \\ \{-7\}, (-7, 0), \left\{0\right\}, (0, 5), \left\{5\right\}, (5, 7), \left\{7\right\}, (7, 10), \left\{10\right\}, (10, 27), \left\{27\right\}, (27, +\infty ) \end{gathered}$$.

Ни одно из них не является одновременно элементом всех исходных множеств, следовательно, пересечение заданных множеств есть пустое множество.

Ответ: $A\cap B\cap D\cap Е = Ø$.

Множества удобно изображать в виде кругов, которые называют кругами Эйлера.

На рисунке множество пересечения множеств X и Y закрашено в оранжевый цвет.