Степень числа: определения, обозначение, примеры

Содержание:

03 декабря 2023
16 минут
2706

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В рамках этого материала мы разберем, что такое степень числа. Помимо основных определений мы сформулируем, что такое степени с натуральными, целыми, рациональными и иррациональными показателями. Как всегда, все понятия будут проиллюстрированы примерами задач.

Степени с натуральными показателями: понятие квадрата и куба числа

Сначала сформулируем базовое определение степени с натуральным показателем. Для этого нам понадобится вспомнить основные правила умножения. Заранее уточним, что в качестве основания будем пока брать действительное число (обозначим его буквой $a$ ), а в качестве показателя – натуральное (обозначим буквой $n$ ).

Например, если показатель степени равен $1$ , а основание – $a$ , то первая степень числа a записывается как $a^{1}$ . Учитывая, что $a$ – это значение множителя, а $1$ – число множителей, мы можем сделать вывод, что $a^{1} = a$ .

В целом можно сказать, что степень – это удобная форма записи большого количества равных множителей. Так, запись вида $8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8$ можно сократить до $8^{4}$ . Примерно так же произведение помогает нам избежать записи большого числа слагаемых $(8 + 8 + 8 + 8 = 8 \cdot 4)$ ; мы это уже разбирали в статье, посвященной умножению натуральных чисел.

Как же верно прочесть запись степени? Общепринятый вариант – « $a$ в степени $n$ ». Или можно сказать « $n$ -ная степень $a$ » либо « $a$ $n$ -ной степени». Если, скажем, в примере встретилась запись $8^{12}$ , мы можем прочесть « $8$ в $12$ -й степени», « $8$ в степени $12$ » или « $12$ -я степень $8$ -ми».

Вторая и третья степени числа имеют свои устоявшиеся названия: квадрат и куб. Если мы видим вторую степень, например, числа $7 (7^{2})$ , то мы можем сказать « $7$ в квадрате» или «квадрат числа $7$ ». Аналогично третья степень читается так: $5^{3}$ – это «куб числа $5$ » или « $5$ в кубе». Впрочем, употреблять стандартную формулировку «во второй/третьей степени» тоже можно, это не будет ошибкой.

Пример 1

Разберем пример степени с натуральным показателем: для $5^{7}$ пятерка будет основанием, а семерка – показателем.

В основании не обязательно должно стоять целое число: для степени $(4, 32)^{9}$ основанием будет дробь $4, 32$ , а показателем – девятка. Обратите внимание на скобки: такая запись делается для всех степеней, основания которых отличаются от натуральных чисел.

Например: ${(\frac{1}{2})}^{3}, (- 3)^{12}, {(- 2 \frac{3}{5})}^{2}, {(2, 4 (35))}^{5}, {(\sqrt{7})}^{3}$ .

Для чего нужны скобки? Они помогают избежать ошибок в расчетах. Скажем, у нас есть две записи: $(- 2)^{3}$ и $- 2^{3}$ . Первая из них означает отрицательное число минус два, возведенное в степень с натуральным показателем три; вторая – число, соответствующее противоположному значению степени $2^{3}$ .

Иногда в книгах можно встретить немного другое написание степени числа – $a^n$ (где а – основание, а $n$ - показатель). То есть $4^9$ – это то же самое, что и $4^{9}$ . В случае, если n представляет собой многозначное число, оно берется в скобки. Например, $15^(21), (- 3, 1)^(156)$ . Но мы будем использовать обозначение $a^{n}$ как более употребительное.

О том, как вычислить значение степени с натуральным показателем, легко догадаться из ее определения: нужно просто перемножить a $n$ -ное число раз. Подробнее об этом мы писали в другой статье.

Понятие степени является обратным другому математическому понятию – корню числа. Если мы знаем значение степени и показатель, мы можем вычислить ее основание. Степень обладает некоторыми специфическими свойствами, полезными для решения задач, которые мы разобрали в рамках отдельного материала.

Что такое степени с целым показателем

В показателях степени могут стоять не только натуральные числа, но и вообще любые целые значения, в том числе отрицательные и нули, ведь они тоже принадлежат к множеству целых чисел.

Разберемся с понятием нулевой степени. Для этого мы используем подход, учитывающий свойство частного для степеней с равными основаниями. Оно формулируется так:

Определение 3

Равенство $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ будет верно при условиях: $m$ и $n$ – натуральные числа, $m < n$ , $a \neq 0$ .

Последнее условие важно, поскольку позволяет избежать деления на ноль. Если значения $m$ и $n$ равны, то мы получим следующий результат: $a^{n} : a^{n} = a^{n - n} = a^{0}$

Но при этом $a^{n} : a^{n} = 1$ - частное равных чисел $a^{n}$ и $a$ . Выходит, что нулевая степень любого отличного от нуля числа равна единице.

Однако такое доказательство не подходит для нуля в нулевой степени. Для этого нам нужно другое свойство степеней – свойство произведений степеней с равными основаниями. Оно выглядит так: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ .

Если n у нас равен $0$ , то $a^{m} \cdot a^{0} = a^{m}$ (такое равенство также доказывает нам, что $a^{0} = 1$ ). Но если а также равно нулю, наше равенство приобретает вид $0^{m} \cdot 0^{0} = 0^{m}$ , Оно будет верным при любом натуральном значении $n,$ и неважно при этом, чему именно равно значение степени $0^{0}$ , то есть оно может быть равно любому числу, и на верность равенства это не повлияет. Следовательно, запись вида $0^{0}$ своего особенного смысла не имеет, и мы не будем ему его приписывать.

При желании легко проверить, что $a^{0} = 1$ сходится со свойством степени $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ при условии, что основание степени не равно нулю. Таким образом, степень любого отличного от нуля числа с нулевым показателем равна единице.

Пример 2

Разберем пример с конкретными числами: Так, $5^{0}$ - единица, $(33, 3)^{0} = 1$ , ${(- 4 \frac{5}{9})}^{0} = 1$ , а значение $0^{0}$ не определено.

После нулевой степени нам осталось разобраться, что из себя представляет степень отрицательная. Для этого нам понадобится то же свойство произведения степеней с равными основаниями, которое мы уже использовали выше: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ .

Введем условие: $m = - n$ , тогда a не должно быть равно нулю. Из этого следует, что $a^{- n} \cdot a^{n} = a^{- n + n} = a^{0} = 1$ . Выходит, что $a^{n}$ и $a^{- n}$ у нас являются взаимно обратными числами.

В итоге a в целой отрицательной степени есть не что иное, как дробь $\frac{1}{a^{n}}$ .

Такая формулировка подтверждает, что для степени с целым отрицательным показателем действительны все те же свойства, которыми обладает степень с натуральным показателем (при условии, что основание не равно нулю).

Пример 3

Степень a с целым отрицательным показателем n можно представить в виде дроби $\frac{1}{a^{n}}$ . Таким образом, $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ при условии $a \neq 0$ и $n$ – любое натуральное число.

Проиллюстрируем нашу мысль конкретными примерами:

Пример 4

$3^{- 2} = \frac{1}{3^{2}}, (- 4.2)^{- 5} = \frac{1}{(- 4.2)^{5}}, {(\frac{11}{37})}^{- 1} = \frac{1}{{(\frac{11}{37})}^{1}}$

В последней части параграфа попробуем изобразить все сказанное наглядно в одной формуле:

Определение 4

Степень числа a с натуральным показателем $z$ – это: $a^{z} = \{\begin{cases} \begin{array}{l} a^{z}, e с л и z - ц е л о е п о л о ж и т е л ь н о е ч и с л о \\ 1, z = 0 и a \neq 0, (п р и z = 0 и a = 0 п о л у ч а е т с я 0^{0}, з н а ч е н и я в ы р а ж е н и я 0^{0} н е о п р е д е л я е т с я) \end{array} \\ \frac{1}{a^{z}}, е с л и z - ц е л о е о т р и ц а т е л ь н о е ч и с л о и a \neq 0 (е с л и z - ц е л о е о т р и ц а т е л ь н о е ч и с л о и a = 0 п о л у ч а е т с я 0^{z}, е г о з н а ч е н и е н е о п р е д е л я е т с я) \end{cases}$

Что такое степени с рациональным показателем

Мы разобрали случаи, когда в показателе степени стоит целое число. Однако возвести число в степень можно и тогда, когда в ее показателе стоит дробное число. Это называется степенью с рациональным показателем. В этом пункте мы докажем, что она обладает теми же свойствами, что и другие степени.

Что такое рациональные числа? В их множество входят как целые, так и дробные числа, при этом дробные числа можно представить в виде обыкновенных дробей (как положительных, так и отрицательных). Сформулируем определение степени числа $a$ с дробным показателем $m / n$ , где $n$ – натуральное число, а $m$ – целое.

У нас есть некоторая степень с дробным показателем $a^{\frac{m}{n}}$ . Для того, чтобы свойство степени в степени выполнялось, равенство ${(a^{\frac{m}{n}})}^{n} = a^{\frac{m}{n} \cdot n} = a^{m}$ должно быть верным.

Учитывая определение корня $n$ -ной степени и что ${(a^{\frac{m}{n}})}^{n} = a^{m}$ , мы можем принять условие $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ , если $\sqrt[n]{a^{m}}$ имеет смысл при данных значениях $m, n$ и $a$ .

Приведенные выше свойства степени с целым показателем будут верными при условии $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ .

Основной вывод из наших рассуждений таков: степень некоторого числа $a$ с дробным показателем $m / n$ – это корень $n$ -ой степени из числа $a$ в степени $m$ . Это справедливо в том случае, если при данных значениях $m, n$ и $a$ выражение $\sqrt[n]{a^{m}}$ сохраняет смысл.

Далее нам необходимо определить, какие именно ограничения на значения переменных накладывает такое условие. Есть два подхода к решению этой проблемы.

1. Мы можем ограничить значение основания степени: возьмем $a$ , которое при положительных значениях $m$ будет больше или равно $0$ , а для отрицательных – строго меньше (поскольку при $m \leq 0$ мы получаем $0^{m}$ , а такая степень не определена). В таком случае определение степени с дробным показателем будет выглядеть следующим образом:

Степень с дробным показателем $m / n$ для некоторого положительного числа $a$ есть корень $n$ -ной степени из a, возведенного в степень $m$ . В виде формулы это можно изобразить так:

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$

Для степени с нулевым основанием это положение также подходит, но только в том случае, если ее показатель – положительное число.

Степень с нулевым основанием и дробным положительным показателем $m / n$ можно выразить как

$0^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{0^{m}} = 0$ при условии целого положительного $m$ и натурального $n$ .

При отрицательном отношении $\frac{m}{n} < 0$ степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Отметим один момент. Поскольку мы ввели условие, что $a$ больше или равно нулю, то у нас оказались отброшены некоторые случаи.

Выражение $\sqrt[n]{a^{m}}$ иногда все же имеет смысл при некоторых отрицательных значениях $a$ и некоторых $m$ . Так, верны записи $\sqrt[3]{(- 5)^{2}}, \sqrt[7]{(- 1, 2)^{5}}, \sqrt[4]{{(- \frac{1}{2})}^{- 8}}$ , в которых основание отрицательно.

2. Второй подход – это рассмотреть отдельно корень $\sqrt[n]{a^{m}}$ с четными и нечетными показателями. Тогда нам потребуется ввести еще одно условие: степень $a$ , в показателе которой стоит сократимая обыкновенная дробь, считается степенью $a$ , в показателе которой стоит соответствующая ей несократимая дробь. Позже мы объясним, для чего нам это условие и почему оно так важно. Таким образом, если у нас есть запись $a^{\frac{m \cdot k}{n \cdot k}}$ , то мы можем свести ее к $a^{\frac{m}{n}}$ и упростить расчеты.

Если $n$ – нечетное число, а значение $m$ – положительно, $a$ – любое неотрицательное число, то $\sqrt[n]{a^{m}}$ имеет смысл. Условие неотрицательного a нужно, поскольку корень четной степени из отрицательного числа не извлекают. Если же значение $m$ положительно, то a может быть и отрицательным, и нулевым, т.к. корень нечетной степени можно извлечь из любого действительного числа.

Объединим все данные выше определения в одной записи:

Здесь m/n означает несократимую дробь, $m$ – любое целое число, а $n$ – любое натуральное число.

Определение 5

Для любой обыкновенной сократимой дроби $\frac{m \cdot k}{n \cdot k}$ степень можно заменить на $a^{\frac{m}{n}}$ .

Степень числа $a$ с несократимым дробным показателем $m / n$ – можно выразить в виде $\sqrt[n]{a^{m}}$ в следующих случаях: - для любых действительных $a$ , целых положительных значений $m$ и нечетных натуральных значений $n$ . Пример: $2^{\frac{5}{3}} = \sqrt[3]{2^{5}}, (- 5, 1)^{\frac{2}{7}} = \sqrt[7]{(- 5, 1)^{- 2}}, 0^{\frac{5}{19}} = \sqrt[19]{0^{5}}$ .

- для любых отличных от нуля действительных $a$ , целых отрицательных значений $m$ и нечетных значений $n$ , например, $2^{\frac{- 5}{3}} = \sqrt[3]{2^{- 5}}, (- 5, 1)^{\frac{- 2}{7}} = \sqrt[7]{(- 5, 1)^{- 2}}$

- для любых неотрицательных $a$ , целых положительных значений $m$ и четных $n$ , например, $2^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{2^{1}}, (5, 1)^{\frac{^{3}}{2}} = \sqrt{(5, 1)^{3}}, 0^{\frac{7}{18}} = \sqrt[18]{0^{7}}$ .

- для любых положительных $a$ , целых отрицательных $m$ и четных $n$ , например, $2^{- \frac{1}{4}} = \sqrt[4]{2^{- 1}}, (5, 1)^{- \frac{^{3}}{2}} = \sqrt{(5, 1)^{- 3}},$ .

В случае других значений степень с дробным показателем не определяется. Примеры таких степеней: ${(- 2)}^{\frac{11}{6}}, {(- 2 \frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}}, 0^{- \frac{2}{5}}$ .

Теперь объясним важность условия, о котором говорили выше: зачем заменять дробь с сократимым показателем на дробь с несократимым. Если бы мы этого не сделали бы, то получились бы такие ситуации, скажем, $6 / 10 = 3 / 5$ . Тогда должно быть верным $(- 1)^{\frac{6}{10}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$ , но ${(- 1)}^{\frac{6}{10}} = \sqrt[10]{(- 1)^{6}} = \sqrt[10]{1} = \sqrt[10]{1^{10}} = 1$ , а $(- 1)^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{(- 1)^{3}} = \sqrt[5]{- 1} = - \sqrt[5]{1^{5}} = - 1$ .

Определение степени с дробным показателем, которое мы привели первым, удобнее применять на практике, чем второе, поэтому мы будем далее пользоваться именно им.

Определение 6

Таким образом, степень положительного числа $a$ с дробным показателем $m / n$ определяется как $0^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{0^{m}} = 0$ . В случае отрицательных $a$ запись $a^{\frac{m}{n}}$ не имеет смысла. Степень нуля для положительных дробных показателей $m / n$ определяется как $0^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{0^{m}} = 0$ , для отрицательных дробных показателей мы степень нуля не определяем.

В выводах отметим, что можно записать любой дробный показатель как в виде смешанного числа, так и в виде десятичной дроби: $5^{1, 7}, {(3 \frac{2}{5})}^{- 2 \frac{3}{7}}$ .

При вычислении же лучше заменять показатель степени обыкновенной дробью и далее пользоваться определением степени с дробным показателем. Для примеров выше у нас получится:

$5^{1, 7} = 5^{\frac{17}{10}} = \sqrt[10]{5^{7}} {(3 \frac{2}{5})}^{- 2 \frac{3}{7}} = {(3 \frac{2}{5})}^{\frac{- 17}{7}} = \sqrt[7]{{(3 \frac{2}{5})}^{- 17}}$

Что такое степени с иррациональным и действительным показателем

Что такое действительные числа? В их множество входят как рациональные, так и иррациональные числа. Поэтому для того, чтобы понять, что такое степень с действительным показателем, нам надо определить степени с рациональными и иррациональными показателями. Про рациональные мы уже упоминали выше. Разберемся с иррациональными показателями пошагово.

Пример 5

Допустим, что у нас есть иррациональное число $a$ и последовательность его десятичных приближений $a_{0}, a_{1}, a_{2}, . . .$ . Например, возьмем значение $a = 1, 67175331 . . .,$ тогда

$a_{0} = 1, 6, a_{1} = 1, 67, a_{2} = 1, 671, . . ., a_{0} = 1, 67, a_{1} = 1, 6717, a_{2} = 1, 671753, . . .$

и так далее (при этом сами приближения являются рациональными числами).

Последовательности приближений мы можем поставить в соответствие последовательность степеней $a^{a_{0}}, a^{a_{1}}, a^{a_{2}}, . . .$ . Если вспомнить, что мы рассказывали ранее о возведении чисел в рациональную степень, то мы можем сами подсчитать значения этих степеней.

Возьмем для примера $a = 3$ , тогда $a^{a_{0}} = 3^{1, 67}, a^{a_{1}} = 3^{1, 6717}, a^{a_{2}} = 3^{1, 671753}, . . .$ и т.д.

Последовательность степеней можно свести к числу, которое и будет значением степени c основанием $a$ и иррациональным показателем $a$ . В итоге : степень с иррациональным показателем вида $3^{1, 67175331 . .}$ можно свести к числу $6, 27$ .

Определение 7

Степень положительного числа a с иррациональным показателем $a$ записывается как $a^{a}$ . Его значение – это предел последовательности $a^{a_{0}}, a^{a_{1}}, a^{a_{2}}, . . .$ , где $a_{0}, a_{1}, a_{2}, . . .$ являются последовательными десятичными приближениями иррационального числа $a$ . Степень с нулевым основанием можно определить и для положительных иррациональных показателей, при этом $0^{a} = 0$ Так, $0^{6} = 0, 0^{\frac{\sqrt[3]{21}}{3}} = 0$ . А для отрицательных этого сделать нельзя, поскольку, например, значение $0^{- \sqrt{5}}, 0^{- 2 π}$ не определено. Единица, возведенная в любую иррациональную степень, остается единицей, например, и $1^{\sqrt{2}}, 1^{5 в^{2}}$ и $1^{- \sqrt{5}}$ будут равны $1$ .

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.