Свойства степеней: формулировки, доказательства, примеры

Ранее мы уже говорили о том, что такое степень числа. Она имеет определенные свойства, полезные в решении задач: именно их и все возможные показатели степени мы разберем в этой статье. Также мы наглядно покажем на примерах, как их можно доказать и правильно применить на практике.

Свойства степени с натуральным показателем

Вспомним уже сформулированное нами ранее понятие степени с натуральным показателем: это произведение $n$-ного количества множителей, каждый из которых равен $а$. Также нам понадобится вспомнить, как правильно умножать действительные числа. Все это поможет нам сформулировать для степени с натуральным показателем следующие свойства:

1. Главное свойство степени: $a^m·a^n=a^{m+n}$

Можно обобщить до: $a^{n_1}·a^{n_2}·\dots ·a^{n_k}=a^{n_1+n_2+\dots +n_k}$.

2. Свойство частного для степеней, имеющих одинаковые основания: $a^m:a^n=a^{m-n}$

3. Свойство степени произведения: $(a·b{)}^n=a^n·b^n$

Равенство можно расширить до:$(a_1·a_2·\dots ·a_k{)}^n={a_1}^n·{a_2}^n·\dots ·{a_k}^n$

4. Свойство частного в натуральной степени: $(a:b{)}^n=a^n:b^n$

5. Возводим степень в степень: $(a^m{)}^n=a^{m·n}$,

Можно обобщить до:$\left(\right(\left({a^n}_1{{)}^n}_2\right)\dots {{)}^n}_k=a^{n_1·n_2·\dots ·n_k}$

6. Сравниваем степень с нулем:

• если $a>0$, то при любом натуральном $\mathrm{n, }$$a^n$ будет больше нуля;
• при $a$, равном $0$, $a^n$ также будет равна нулю;
• при $a<0$ и таком показателе степени, который будет четным числом $2·m$, $a^{2·m}$ будет больше нуля;
• при $a <0$ и таком показателе степени, который будет нечетным числом $2·m-1$, $a^{2·m-1}$ будет меньше нуля.

7. Равенство$a^n<b^n$ будет справедливо для любого натурального n при условии, что $a$ и $b$ больше нуля и не равны друг другу.

8. Неравенство $a^m>a^n$ будет верным при условии, что $m$ и$n$ – натуральные числа, $m$ больше$n$ и а больше нуля и не меньше единицы.

В итоге мы получили несколько равенств; если соблюсти все условия, указанные выше, то они будут тождественными. Для каждого из равенств, например, для основного свойства, можно поменять местами правую и левую часть: $a^m·a^n=a^{m+n}$- то же самое, что и $a^{m+n}=a^m·a^n$. В таком виде оно часто используется при упрощении выражений.

Далее мы разберем каждое свойство подробно и попробуем привести доказательства.

1. Начнем с основного свойства степени: равенство $a^m·a^n=a^{m+n}$ будет верным при любых натуральных $m$ и $n$и действительном $a$. Как доказать это утверждение?

Основное определение степеней с натуральными показателями позволит нам преобразовать равенство в произведение множителей. Мы получим запись такого вида:

Это можно сократить до  (вспомним основные свойства умножения). В итоге мы получили степень числа a с натуральным показателем $m+n$. Таким образом, $a^{m+n}$, значит, основное свойство степени доказано.

Разберем конкретный пример, подтверждающий это.

Итак, у нас есть две степени с основанием $2$. Их натуральные показатели - $2$ и $3$ соответственно. У нас получилось равенство: $2^2·2^3=2^{2+3}=2^5$ Вычислим значения, чтобы проверить верность этого равенства.

Выполним необходимые математические действия: $2^2·2^3=(2·2)·(2·2·2)=4·8=32$ и $2^5=2·2·2·2·2=32$

В итоге у нас вышло: $2^2·2^3=2^5$. Свойство доказано.

В силу свойств умножения мы можем выполнить обобщение свойства, сформулировав его в виде трех и большего числа степеней, у которых показатели являются натуральными числами, а основания одинаковы. Если обозначить количество натуральных чисел $n_1, n_2$ и др. буквой$k$, мы получим верное равенство:

$a^{n_1}·a^{n_2}·\dots ·a^{n_k}=a^{n_1+n_2+\dots +n_k}$.

Пример с конкретными числами (легко посчитать самостоятельно): $(2,1{)}^3·(2,1{)}^3·(2,1{)}^4·(2,1{)}^7=(2,1{)}^{3+3+4+7}=(2,1{)}^{17}$.

2. Далее нам необходимо доказать следующее свойство, которое называется свойством частного и присуще степеням с одинаковыми основаниями: это равенство $a^m:a^n=a^{m-n}$, которое справедливо при любых натуральным $m$ и $n$ (причем $m$ больше $n$) ) и любом отличном от нуля действительном $a$.

Для начала поясним, каков именно смысл условий, которые упомянуты в формулировке. Если мы возьмем a, равное нулю, то в итоге у нас получится деление на нуль, чего делать нельзя (ведь $0^n=0$). Условие, чтобы число $m$ обязательно было больше $n$, нужно для того, чтобы мы могли удержаться в рамках натуральных показателей степени: вычтя $n$ из $m$, мы получим натуральное число. Если условие не будет соблюдено, у нас получится отрицательное число или ноль, и опять же мы выйдем за пределы изучения степеней с натуральными показателями.

Теперь мы можем перейти к доказательству. Из ранее изученного вспомним основные свойства дробей и сформулируем равенство так:

$a^{m-n}·a^n=a^{(m-n)+n}=a^m$

Из него можно вывести: $a^{m-n}·a^n=a^m$

Вспомним про связь деления и умножения. Из него следует, что $a^{m-n}$– частное степеней $a^m$ и $a^n$. Это и есть доказательство второго свойства степени.

Подставим конкретные числа для наглядности в показатели, а основание степени обозначим $\pi$: ${\pi }^5:{\pi }^2={\pi }^{5-3}={\pi }^3$

3. Следующим мы разберем свойство степени произведения: $(a·b{)}^n=a^n·b^n$ при любых действительных $a$ и $b$ и натуральном$n$.

Согласно базовому определению степени с натуральным показателем мы можем переформулировать равенство так:

Вспомнив свойства умножения, запишем: . Это значит то же самое, что и $a^n·b^n$.

${\left(\frac{2}{3}·\left(-4\frac{2}{5}\right)\right)}^4={\left(\frac{2}{3}\right)}^4·{\left(-4\frac{2}{5}\right)}^4$

Если множителей у нас три и больше, то это свойство также распространяется и на этот случай. Введем для числа множителей обозначение $k$ и запишем:

$(a_1·a_2·\dots ·a_k{)}^n={a_1}^n·{a_2}^n·\dots ·{a_k}^n$

С конкретными числами получим следующее верное равенство: $(2·(-2,3)·a{)}^7=2^7·(-2,3{)}^7·a$

4. После этого мы попробуем доказать свойство частного: $(a:b{)}^n=a^n:b^n$ при любых действительных $a$ и $b$, если $b$ не равно $0$, а $n$ – натуральное число.

Для доказательства можно использовать предыдущее свойство степени. Если $(a:b{)}^n·b^n=((a:b)·b{)}^n=a^n$ , а $(a:b{)}^n·b^n=a^n$, то из этого выходит, что $(a:b{)}^n$ есть частное от деления $a^n$ на $b^n$.

Подсчитаем пример: ${\left(3\frac{1}{2}:\left(-0.5\right)\right)}^3={\left(3\frac{1}{2}\right)}^3:(-0,5{)}^3$

5. Далее мы поговорим о свойстве возведения степени в степень: $(a^m{)}^n=a^{m·n}$ для любого действительного $a$ и любых натуральных $n$ и $m$.

Начнем сразу с примера: $(5^2{)}^3=5^{2·3}=5^6$

А теперь сформулируем цепочку равенств, которая докажет нам верность равенства:

Если у нас в примере есть степени степеней, то это свойство справедливо для них также. Если у нас есть любые натуральные числа $p, q, r, s$, то верно будет:

${\left({\left({\left(a^p\right)}^q\right)}^y\right)}^s=a^{p·q·y·s}$

Добавим конкретики: $\left(\right((5,2{)}^3{)}^2{)}^5=(5,2{)}^{3·2·5}=(5,2{)}^{30}$

6. Еще одно свойство степеней с натуральным показателем, которое нам нужно доказать, – свойство сравнения.

Для начала сравним степень с нулем. Почему $a^n>0$ при условии, что а больше $0$?

Если умножить одно положительное число на другое, то мы получим также положительное число. Зная этот факт, мы можем сказать, что от числа множителей это не зависит – результат умножения любого числа положительных чисел есть число положительное. А что же такое степень, как не результат умножения чисел? Тогда для любой степени $a^n$ с положительным основанием и натуральным показателем это будет верно.

 $3^5>0$, $(0,00201{)}^2>0$ и ${\left(34\frac{9}{13}\right)}^{51}>0$

Также очевидно, что степень с основанием, равным нулю, сама есть ноль. В какую бы степень мы не возводили ноль, он останется им.

$0^3=0$ и $0^{762}=0$

Если основание степени – отрицательное число, тот тут доказательство немного сложнее, поскольку важным становится понятие четности/нечетности показателя. Возьмем для начала случай, когда показатель степени четный, и обозначим его $2·m$, где $m$ – натуральное число.

Тогда:

Вспомним, как правильно умножать отрицательные числа: произведение $a·a$ равно произведению модулей, а, следовательно, оно будет положительным числом. Тогда  и степень $a^{2·m}$ также положительны.

Например, $(-6{)}^4>0, (-2,2{)}^{12}>0$ и ${\left(-\frac{2}{9}\right)}^6>0$

А если показатель степени с отрицательным основанием – нечетное число? Обозначим его$2·m-1$.

Тогда  

Все произведения $a·a$, согласно свойствам умножения, положительны, их произведение тоже. Но если мы его умножим на единственное оставшееся число $a$, то конечный результат будет отрицателен.

Тогда получим: $(-5{)}^3<0$, $(-0,003{)}^{17}<0$ и ${\left(-1\frac{1}{102}\right)}^9<0$

7. Далее разберем следующее свойство, формулировка которого такова: из двух степеней, имеющих одинаковый натуральный показатель, больше та, основание которой больше (и наоборот).

Как это доказать?

$a^n<b^n$– неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств$a<b$. Вспомним основные свойства неравенств справедливо и $a^n<b^n$.

Например, верны неравенства: $3^7<(2,2{)}^7$ и ${\left(3\frac{5}{11}\right)}^{124}>(0,75{)}^{124}$

8. Нам осталось доказать последнее свойство: если у нас есть две степени, основания которых одинаковы и положительны, а показатели являются натуральными числами, то та из них больше, показатель которой меньше; а из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми основаниями, большими единицы, больше та степень, показатель которой больше.

Докажем эти утверждения.

Для начала нам нужно убедиться, что $a^m<a^n$ при условии, что $m$ больше, чем $n$, и $а$ больше $0$, но меньше $1$.Теперь сравним с нулем разность $a^m-a^n$

Вынесем $a^n$ за скобки, после чего наша разность примет вид $a^n·(a^{m-n}-1)$. Ее результат будет отрицателен (поскольку отрицателен результат умножения положительного числа на отрицательное). Ведь согласно начальным условиям, $m-n>0$, тогда $a^{m-n}-1$–отрицательно, а первый множитель положителен, как и любая натуральная степень с положительным основанием.

У нас вышло, что $a^m-a^n<0$ и $a^m<a^n$. Свойство доказано.

Осталось привести доказательство второй части утверждения, сформулированного выше:$a^m>a$ справедливо при $m>n$ и $a>1$. Укажем разность и вынесем $a^n$ за скобки: $(a^{m-n}-1)$.Степень $a^n$ при $а$, большем единицы, даст положительный результат; а сама разность также окажется положительна в силу изначальных условий, и при $a>1$степень$a^{m-n}$ больше единицы. Выходит, $a^m-a^n>0$ и $a^m>a^n$, что нам и требовалось доказать.

Пример с конкретными числами: $3^7>3^2$

Основные свойства степеней с целыми показателями

Для степеней с целыми положительными показателями свойства будут аналогичны, потому что целые положительные числа являются натуральными, а значит, все равенства, доказанные выше, справедливы и для них. Также они подходят и для случаев, когда показатели отрицательны или равны нулю (при условии, что само основание степени ненулевое).

Таким образом, свойства степеней такие же для любых оснований $a$ и $b$ (при условии, что эти числа действительны и не равны $0$) и любых показателей $m$ и $n$ (при условии, что они являются целыми числами). Запишем их кратко в виде формул:

1. $a^m·a^n=a^{m+n }$

2. $a^m:a^n=a^{m-n}$

3. $(a·b{)}^n=a^n·b^n$

4. $(a:b{)}^n=a^n:b^n$

5. $(a^m{)}^n=a^{m·n}$

6. $a^n<b^n$ и $a^{-n}>b^{-n}$ при условии целого положительного $n$, положительных $a$ и $b$, $a<b$

7. $a^m<a^n$, при условии целых $m$ и $n$, $m>n$ и $0<a<1$, при $a>1 a^m>a^n$.

Если основание степени равно нулю, то записи $a^m$ и $a^n$ имеют смысл только лишь в случае натуральных и положительных $m$ и $n$. В итоге получим, что формулировки выше подходят и для случаев со степенью с нулевым основанием, если соблюдаются все остальные условия.

Доказательства этих свойств в данном случае несложные. Нам потребуется вспомнить, что такое степень с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами.

Разберем свойство степени в степени и докажем, что оно верно и для целых положительных, и для целых неположительных чисел. Начнем с доказательства равенств $(a^p{)}^q=a^{p·q}, (a-p{)}^q=a^{(-p)·q}, (a^p{)}^{-q}=a^{p·(-q)} и (a^{-p}{)}^{-q}=a^{(-p)·(-q)}$

Условия: $p=0$ или натуральное число; $q$– аналогично.

Если значения $p$ и $q$ больше $0$, то у нас получится $(a^p{)}^q=a^{p·q}$. Схожее равенство мы уже доказывали раньше. Если $p=0$, то:

$$\begin{gathered} (a^0{)}^q=1^q=1 \\ {a}^{0·q}=a^0=1 \end{gathered}$$

Следовательно, $(a^0{)}^q=a^{0·q}$

Для $q=0$ все точно так же:

$$\begin{gathered} (a^p{)}^0=1 \\ a^{p·0}=a^0=1 \end{gathered}$$

Итог: $(a^p{)}^0=a^{p·0}$.

Если же оба показателя нулевые, то $(a^0{)}^0=1^0=1$ и $a^{0·0}=a^0=1$, значит, $(a^0{)}^0=a^{0·0}$.

Далее разберем равенство $(a^{-p}{)}^q=a^{(-p)·q}$. Согласно определению степени с целым отрицательным показателем имеем $a^{-p}=\frac{1}{a^p}$, значит, $(a^{-p}{)}^q={\left(\frac{1}{a^p}\right)}^q$.

Вспомним доказанное выше свойство частного в степени и запишем:

${\left(\frac{1}{a^p}\right)}^q=\frac{1^q}{{\left(a^p\right)}^q}$

Если $1^p=1·1·\dots ·1=1$ и${\left(a^p\right)}^q=a^{p·q}$, то $\frac{1^q}{{\left(a^p\right)}^q}=\frac{1}{a^{p·q}}$

Эту запись мы можем преобразовать в силу основных правил умножения в $a^{(-p)·q}$.

Так же: ${\left(a^p\right)}^{-q}=\frac{1}{(a^p{)}^q}=\frac{1}{a^{p·q}}=a^{-(p·q)}=a^{p·(-q)}$.

И $(a^{-p}{)}^{-q}={\left(\frac{1}{a^p}\right)}^{-q}=(a^p{)}^q=a^{p·q}=a^{(-p)·(-q)}$

Остальные свойства степени можно доказать аналогичным образом, преобразовав имеющиеся неравенства. Подробно останавливаться мы на этом не будем, укажем только сложные моменты.

Доказательство предпоследнего свойства: вспомним, $a^{-n}>b^{-n}$ верно для любых целых отрицательных значений nи любых положительных $a$ и $b$ при условии, что $a$ меньше $b$.

Тогда неравенство можно преобразовать следующим образом:

$\frac{1}{a^n}>\frac{1}{b^n}$

Запишем правую и левую части в виде разности и выполним необходимые преобразования:

$\frac{1}{a^n}-\frac{1}{b^n}=\frac{b^n-a^n}{a^n·b^n}$

Вспомним, что в условии $a$ меньше $b$, тогда, согласно определению степени с натуральным показателем: $- a^n<b^n$, в итоге: $b^n-a^n>0$.

$a^n·b^n$ в итоге дает положительное число, поскольку его множители положительны. В итоге мы имеем дробь $\frac{b^n-a^n}{a^n·b^n}$, которая в итоге также дает положительный результат. Отсюда $\frac{1}{a^n}>\frac{1}{b^n}$ откуда $a^{-n}>b^{-n}$, что нам и нужно было доказать.

Последнее свойство степеней с целыми показателями доказывается аналогично свойству степеней с показателями натуральными.

Основные свойства степеней с рациональными показателями

В предыдущих статьях мы разбирали, что такое степень с рациональным (дробным) показателем. Их свойства такие же, что и у степеней с целыми показателями. Запишем:

1. $a^{\frac{m_1}{n_1}}·a^{\frac{m_2}{n_2}}=a^{\frac{m_1}{n_1}+\frac{m_2}{n_2}}$ при $a>0$, а если $\frac{m_1}{n_1}>0$ и $\frac{m_2}{n_2}>0$, то при $a\ge 0$ ( свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями).

2.$a^{\frac{m_1}{n_1}}:b^{\frac{m_2}{n_2}}=a^{\frac{m_1}{n_1}-\frac{m_2}{n_2}}$ , если $a>0$ (свойство частного).

3. ${\left(a·b\right)}^{\frac{m}{n}}=a^{\frac{m}{n}}·b^{\frac{m}{n}}$ при $a>0$ и $b>0$, а если $\frac{m_1}{n_1}>0$ и $\frac{m_2}{n_2}>0$, то при $a\ge 0$ и (или) $b\ge 0$ (свойство произведения в дробной степени).

4. ${\left(a:b\right)}^{\frac{m}{n}}=a^{\frac{m}{n}}:b^{\frac{m}{n}}$ при $a>0$ и $b>0$, а если $\frac{m}{n}>0$, то при $a\ge 0$ и $b>0$ (свойство частного в дробной степени).

5. ${\left(a^{\frac{m_1}{n_1}}\right)}^{\frac{m_2}{n_2}}=a^{\frac{m_1}{n_1}·\frac{m_2}{n_2}}$ при $a>0$, а если $\frac{m_1}{n_1}>0$ и $\frac{m_2}{n_2}>0$, то при $a\ge 0$ (свойство степени в степени).

6. $a^p<b^p$ при условии любых положительных $a$ и $b$, $a<b$ и рациональном $p$ при $p>0$; если $p<0$ - $a^p>b^p$(свойство сравнения степеней с равными рациональными показателями).

7. $a^p<a^q$ при условии рациональных чисел $p$ и $q$, $p>q$ при $0<a<1$; если $a>0$ – $a^p>a^q$

Для доказательства указанных положений нам понадобится вспомнить, что такое степень с дробным показателем, каковы свойства арифметического корня $n$-ной степени и каковы свойства степени с целыми показателем. Разберем каждое свойство.

Согласно тому, что из себя представляет степень с дробным показателем, получим:

$a^{\frac{m_1}{n_1}}=\sqrt[n_1]{a^{m_1}}$ и $a^{\frac{m_2}{n_2}}=\sqrt[n_2]{a^{m_2}}$, следовательно, $a^{\frac{m_1}{n_1}}·a^{\frac{m_2}{n_2}}=\sqrt[n_1]{a^{m_1}}·\sqrt[n_2]{a^{m_2}}$

Свойства корня позволят нам вывести равенства:

$\sqrt[n_1·n_2]{a^{m_1·m_2}}·\sqrt[n_2·n_1]{a^{m_2·m_1}}=\sqrt[n_1·n_2]{a^{m_1·n_2}·a^{m_2·n_1}}$

Из этого получаем:  $\sqrt[n_1·n_2]{a^{m_1·n_2}·a^{m_2·n_1}}=\sqrt[n_1·n_2]{a^{m_1·n_2+m_2·n_1}}$

Преобразуем:

$\sqrt[n_1·n_2]{a^{m_1·n_2}·a^{m_2·n_1}}=a^{\frac{m_1·n_2+m_2·n_1}{n_1·n_2}}$

Показатель степени можно записать в виде:

$\frac{m_1·n_2+m_2·n_1}{n_1·n_2}=\frac{m_1·n_2}{n_1·n_2}+\frac{m_2·n_1}{n_1·n_2}=\frac{m_1}{n_1}+\frac{m_2}{n_2}$

Это и есть доказательство. Второе свойство доказывается абсолютно так же. Запишем цепочку равенств:

$$\begin{gathered} a^{\frac{m_1}{n_1}}: a^{\frac{m_2}{n_2}}=\sqrt[n_1]{a^{m_1}}: \sqrt[n_2]{a^{m_2}}=\sqrt[n_1·n_2]{a^{m_1·n_2}:a^{m_2·n_1}}= \\ =\sqrt[n_1·n_2]{a^{m_1·n_2-m_2·n_1}}=a^{\frac{m_1·n_2-m_2·n_1}{n_1·n_2}} \\ =a^{\frac{m_1·n_2}{n_1·n_2}-\frac{m_2·n_1}{n_1·n_2}}=a^{\frac{m_1}{n_1}-\frac{m_2}{n_2}} \end{gathered}$$

Доказательства остальных равенств:

$$\begin{gathered} {\left(a·b\right)}^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{(a·b{)}^m}=\sqrt[n]{a^m·b^m}=\sqrt[n]{a^m}·\sqrt[n]{b^m}=a^{\frac{m}{n}}·b^{\frac{m}{n}}; \\ (a:b{)}^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{(a:b{)}^m}=\sqrt[n]{a^m:b^m}= \\ =\sqrt[n]{a^m}:\sqrt[n]{b^m}=a^{\frac{m}{n}}:b^{\frac{m}{n}}; \\ {\left(a^{\frac{m_1}{n_1}}\right)}^{\frac{m_2}{n_2}}=\sqrt[n_2]{{\left(a^{\frac{m_1}{n_1}}\right)}^{m_2}}=\sqrt[n_2]{{\left(\sqrt[n_1]{a^{m_1}}\right)}^{m_2}}= \\ =\sqrt[n_2]{\sqrt[n_1]{{\left(a^{m_1}\right)}^{m_2}}}=\sqrt[n_2]{\sqrt[n_1]{a^{m_1·m_2}}}= \\ =\sqrt[n_2·n_1]{a^{m_1·m_2}}=a^{\frac{m_1·m_2}{n_2·n_1}}=a^{\frac{m_1}{n_1}·\frac{m_2}{n_2}} \end{gathered}$$

Следующее свойство: докажем, что для любых значений $a$ и $b$ больше $0$, если $а$ меньше $b$, будет выполняться $a^p<b^p$, а для $p$ больше $0$ - $a^p>b^p$

Представим рациональное число $p$ как $\frac{m}{n}$. При этом $m$–целое число, $n$–натуральное. Тогда условия $p<0$ и $p>0$ будут распространяться на $m<0$ и $m>0$. При $m>0$и $a<b$ имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство $a^m<b^m$.

Используем свойство корней и выведем: $\sqrt[n]{a^m}<\sqrt[n]{b^m}$

Учитывая положительность значений $a$ и $b$, перепишем неравенство как $a^{\frac{m}{n}}<b^{\frac{m}{n}}$. Оно эквивалентно $a^p<b^p$.

Таким же образом при $m<0$ имеем a $a^m>b^m$, получаем $\sqrt[n]{a^m}>\sqrt[n]{b^m}$ значит, $a^{\frac{m}{n}}>b^{\frac{m}{n}}$ и $a^p>b^p$.

Нам осталось привести доказательство последнего свойства. Докажем, что для рациональных чисел $p$ и $q$, $p>q$ при $0<a<1$$a^p<a^q$, а при $a>0$ будет верно $a^p>a^q$.

Рациональные числа $p$ и $q$ можно привести к общему знаменателю и получить дроби $\frac{m_1}{n}$ и $\frac{m_2}{n}$

Здесь $m_1$ и $m_2$ – целые числа, а $n$ – натуральное. Если $p>q$, то $m_1>m_2$ (учитывая правило сравнения дробей). Тогда при $0<a<1$ будет верно ${a^m}_1<{a^m}_2$, а при $a>1$ – неравенство $a_1^m>a_2^m$.

Их можно переписать в следующем виде:

$$\begin{gathered} \sqrt[n]{a^{m_1}}<\sqrt[n]{a^{m_2}} \\ \sqrt[n]{a^{m_1}}>\sqrt[n]{a^{m_2}} \end{gathered}$$

Тогда можно сделать преобразования и получить в итоге:

$$\begin{gathered} a^{\frac{m_1}{n}}<a^{\frac{m_2}{n}} \\ {a}^{\frac{m_1}{n}}>a^{\frac{m_2}{n}} \end{gathered}$$

Подводим итог: при $p>q$и $0<a<1$ верно $a^p<a^q$, а при $a>0$– $a^p>a^q$.

Основные свойства степеней с иррациональными показателями

На такую степень можно распространить все описанные выше свойства, которыми обладает степень с рациональными показателями. Это следует из самого ее определения, которое мы давали в одной из предыдущих статей. Сформулируем кратко эти свойства (условия: $a>0, b>0$, показатели $p$ и $q$– иррациональные числа):

1. $a^p·a^q=a^{p+q}$

2. $a^p:a^q=a^{p-q}$

3. $(a·b{)}^p=a^p·b^p$

4. $(a:b{)}^p=a^p:b^p$

5. $(a^p{)}^q=a^{p·q}$

6. $a^p<b^p$ верно при любых положительных $a$ и $b$, если $a<b$ и $p$ – иррациональное число больше $0$; если $p$ меньше $0$, то $a^p>b^p$

7. $a^p<a^q$ верно, если $p$ и $q$– иррациональные числа, $p<q$, $0<a<1$; если $a>0$, то $a^p>a^q$.

Таким образом, все степени, показатели которых $p$ и $q$ являются действительными числами, при условии $a>0$ обладают теми же свойствами.