Свойства степеней: формулировки, доказательства, примеры, формулы степеней

Ранее мы уже говорили о том, что такое степень числа. Она имеет определенные свойства, полезные в решении задач: именно их и все возможные показатели степени мы разберем в этой статье. Также мы наглядно покажем на примерах, как их можно доказать и правильно применить на практике.

Свойства степени с натуральным показателем

Вспомним уже сформулированное нами ранее понятие степени с натуральным показателем: это произведение $n$ $n$ -ного количества множителей, каждый из которых равен $а$ $а$ . Также нам понадобится вспомнить, как правильно умножать действительные числа. Все это поможет нам сформулировать для степени с натуральным показателем следующие свойства:

Определение 1

1. Главное свойство степени: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$

Можно обобщить до: $a_{1}^{n_{1}} \cdot a_{2}^{n_{2}} \cdot \dots \cdot a_{k}^{n_{k}} = a_{1}^{n_{1} + n_{2} + \dots + n_{k}}$ $a^{n_{1}} \cdot a^{n_{2}} \cdot \dots \cdot a^{n_{k}} = a^{n_{1} + n_{2} + \dots + n_{k}}$ .

2. Свойство частного для степеней, имеющих одинаковые основания: $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$

3. Свойство степени произведения: $(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$ $(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$

Равенство можно расширить до: $(a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{k})^{n} = {a_{1}}_{1}^{n} \cdot {a_{2}}_{2}^{n} \cdot \dots \cdot {a_{k}}_{k}^{n}$ $(a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{k})^{n} = {a_{1}}^{n} \cdot {a_{2}}^{n} \cdot \dots \cdot {a_{k}}^{n}$

4. Свойство частного в натуральной степени: $(a : b)^{n} = a^{n} : b^{n}$ $(a : b)^{n} = a^{n} : b^{n}$

5. Возводим степень в степень: $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ ,

Можно обобщить до: $((({a^{n}}_{1}^{n} {)^{n}}_{2}^{n}) \dots {)^{n}}_{k}^{n} = a_{1}^{n_{1} \cdot n_{2} \cdot \dots \cdot n_{k}}$ $((({a^{n}}_{1} {)^{n}}_{2}) \dots {)^{n}}_{k} = a^{n_{1} \cdot n_{2} \cdot \dots \cdot n_{k}}$

6. Сравниваем степень с нулем:

если $a > 0$ $a > 0$ , то при любом натуральном $n,$ $n,$ $a^{n}$ $a^{n}$ будет больше нуля;
при $a$ $a$ , равном $0$ $0$ , $a^{n}$ $a^{n}$ также будет равна нулю;
при $a < 0$ $a < 0$ и таком показателе степени, который будет четным числом $2 \cdot m$ $2 \cdot m$ , $a^{2 \cdot m}$ $a^{2 \cdot m}$ будет больше нуля;
при $a < 0$ $a < 0$ и таком показателе степени, который будет нечетным числом $2 \cdot m - 1$ $2 \cdot m - 1$ , $a^{2 \cdot m - 1}$ $a^{2 \cdot m - 1}$ будет меньше нуля.

7. Равенство $a^{n} < b^{n}$ $a^{n} < b^{n}$ будет справедливо для любого натурального n при условии, что $a$ $a$ и $b$ $b$ больше нуля и не равны друг другу.

8. Неравенство $a^{m} > a^{n}$ $a^{m} > a^{n}$ будет верным при условии, что $m$ $m$ и $n$ $n$ – натуральные числа, $m$ $m$ больше $n$ $n$ и а больше нуля и не меньше единицы.

В итоге мы получили несколько равенств; если соблюсти все условия, указанные выше, то они будут тождественными. Для каждого из равенств, например, для основного свойства, можно поменять местами правую и левую часть: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ - то же самое, что и $a^{m + n} = a^{m} \cdot a^{n}$ $a^{m + n} = a^{m} \cdot a^{n}$ . В таком виде оно часто используется при упрощении выражений.

Далее мы разберем каждое свойство подробно и попробуем привести доказательства.

1. Начнем с основного свойства степени: равенство $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ будет верным при любых натуральных $m$ $m$ и $n$ $n$ и действительном $a$ $a$ . Как доказать это утверждение?

Основное определение степеней с натуральными показателями позволит нам преобразовать равенство в произведение множителей. Мы получим запись такого вида:

Свойства степени с натуральным показателем

Это можно сократить до Свойства степени с натуральным показателем (вспомним основные свойства умножения). В итоге мы получили степень числа a с натуральным показателем $m + n$ $m + n$ . Таким образом, $a^{m + n}$ $a^{m + n}$ , значит, основное свойство степени доказано.

Разберем конкретный пример, подтверждающий это.

Пример 1

Итак, у нас есть две степени с основанием $2$ $2$ . Их натуральные показатели - $2$ $2$ и $3$ $3$ соответственно. У нас получилось равенство: $2^{2} \cdot 2^{3} = 2^{2 + 3} = 2^{5}$ $2^{2} \cdot 2^{3} = 2^{2 + 3} = 2^{5}$ Вычислим значения, чтобы проверить верность этого равенства.

Выполним необходимые математические действия: $2^{2} \cdot 2^{3} = (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2) = 4 \cdot 8 = 32$ $2^{2} \cdot 2^{3} = (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2) = 4 \cdot 8 = 32$ и $2^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ $2^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$

В итоге у нас вышло: $2^{2} \cdot 2^{3} = 2^{5}$ $2^{2} \cdot 2^{3} = 2^{5}$ . Свойство доказано.

В силу свойств умножения мы можем выполнить обобщение свойства, сформулировав его в виде трех и большего числа степеней, у которых показатели являются натуральными числами, а основания одинаковы. Если обозначить количество натуральных чисел $n_{1}, n_{2}$ $n_{1}, n_{2}$ и др. буквой $k$ $k$ , мы получим верное равенство:

$a_{1}^{n_{1}} \cdot a_{2}^{n_{2}} \cdot \dots \cdot a_{k}^{n_{k}} = a_{1}^{n_{1} + n_{2} + \dots + n_{k}}$ $a^{n_{1}} \cdot a^{n_{2}} \cdot \dots \cdot a^{n_{k}} = a^{n_{1} + n_{2} + \dots + n_{k}}$ .

Пример 2

Пример с конкретными числами (легко посчитать самостоятельно): $(2, 1)^{3} \cdot (2, 1)^{3} \cdot (2, 1)^{4} \cdot (2, 1)^{7} = (2, 1)^{3 + 3 + 4 + 7} = (2, 1)^{17}$ $(2, 1)^{3} \cdot (2, 1)^{3} \cdot (2, 1)^{4} \cdot (2, 1)^{7} = (2, 1)^{3 + 3 + 4 + 7} = (2, 1)^{17}$ .

2. Далее нам необходимо доказать следующее свойство, которое называется свойством частного и присуще степеням с одинаковыми основаниями: это равенство $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ , которое справедливо при любых натуральным $m$ $m$ и $n$ $n$ (причем $m$ $m$ больше $n$ $n$ ) ) и любом отличном от нуля действительном $a$ $a$ .

Для начала поясним, каков именно смысл условий, которые упомянуты в формулировке. Если мы возьмем a, равное нулю, то в итоге у нас получится деление на нуль, чего делать нельзя (ведь $0^{n} = 0$ $0^{n} = 0$ ). Условие, чтобы число $m$ $m$ обязательно было больше $n$ $n$ , нужно для того, чтобы мы могли удержаться в рамках натуральных показателей степени: вычтя $n$ $n$ из $m$ $m$ , мы получим натуральное число. Если условие не будет соблюдено, у нас получится отрицательное число или ноль, и опять же мы выйдем за пределы изучения степеней с натуральными показателями.

Теперь мы можем перейти к доказательству. Из ранее изученного вспомним основные свойства дробей и сформулируем равенство так:

$a^{m - n} \cdot a^{n} = a^{(m - n) + n} = a^{m}$ $a^{m - n} \cdot a^{n} = a^{(m - n) + n} = a^{m}$

Из него можно вывести: $a^{m - n} \cdot a^{n} = a^{m}$ $a^{m - n} \cdot a^{n} = a^{m}$

Вспомним про связь деления и умножения. Из него следует, что $a^{m - n}$ $a^{m - n}$ – частное степеней $a^{m}$ $a^{m}$ и $a^{n}$ $a^{n}$ . Это и есть доказательство второго свойства степени.

Пример 3

Подставим конкретные числа для наглядности в показатели, а основание степени обозначим $π$ $π$ : $π^{5} : π^{2} = π^{5 - 3} = π^{3}$ $π^{5} : π^{2} = π^{5 - 3} = π^{3}$

3. Следующим мы разберем свойство степени произведения: $(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$ $(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$ при любых действительных $a$ $a$ и $b$ $b$ и натуральном $n$ $n$ .

Согласно базовому определению степени с натуральным показателем мы можем переформулировать равенство так:

Свойства степени с натуральным показателем

Вспомнив свойства умножения, запишем: Свойства степени с натуральным показателем . Это значит то же самое, что и $a^{n} \cdot b^{n}$ $a^{n} \cdot b^{n}$ .

Пример 4

${(\frac{2}{3} \cdot (- 4 \frac{2}{5}))}^{4} = {(\frac{2}{3})}^{4} \cdot {(- 4 \frac{2}{5})}^{4}$ ${(\frac{2}{3} \cdot (- 4 \frac{2}{5}))}^{4} = {(\frac{2}{3})}^{4} \cdot {(- 4 \frac{2}{5})}^{4}$

Если множителей у нас три и больше, то это свойство также распространяется и на этот случай. Введем для числа множителей обозначение $k$ $k$ и запишем:

$(a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{k})^{n} = {a_{1}}_{1}^{n} \cdot {a_{2}}_{2}^{n} \cdot \dots \cdot {a_{k}}_{k}^{n}$ $(a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{k})^{n} = {a_{1}}^{n} \cdot {a_{2}}^{n} \cdot \dots \cdot {a_{k}}^{n}$

Пример 5

С конкретными числами получим следующее верное равенство: $(2 \cdot (- 2, 3) \cdot a)^{7} = 2^{7} \cdot (- 2, 3)^{7} \cdot a$ $(2 \cdot (- 2, 3) \cdot a)^{7} = 2^{7} \cdot (- 2, 3)^{7} \cdot a$

4. После этого мы попробуем доказать свойство частного: $(a : b)^{n} = a^{n} : b^{n}$ $(a : b)^{n} = a^{n} : b^{n}$ при любых действительных $a$ $a$ и $b$ $b$ , если $b$ $b$ не равно $0$ $0$ , а $n$ $n$ – натуральное число.

Для доказательства можно использовать предыдущее свойство степени. Если $(a : b)^{n} \cdot b^{n} = ((a : b) \cdot b)^{n} = a^{n}$ $(a : b)^{n} \cdot b^{n} = ((a : b) \cdot b)^{n} = a^{n}$ , а $(a : b)^{n} \cdot b^{n} = a^{n}$ $(a : b)^{n} \cdot b^{n} = a^{n}$ , то из этого выходит, что $(a : b)^{n}$ $(a : b)^{n}$ есть частное от деления $a^{n}$ $a^{n}$ на $b^{n}$ $b^{n}$ .

Пример 6

Подсчитаем пример: ${(3 \frac{1}{2} : (- 0.5))}^{3} = {(3 \frac{1}{2})}^{3} : (- 0, 5)^{3}$ ${(3 \frac{1}{2} : (- 0.5))}^{3} = {(3 \frac{1}{2})}^{3} : (- 0, 5)^{3}$

5. Далее мы поговорим о свойстве возведения степени в степень: $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ для любого действительного $a$ $a$ и любых натуральных $n$ $n$ и $m$ $m$ .

Свойства степени с натуральным показателем — Пример 7

Если у нас в примере есть степени степеней, то это свойство справедливо для них также. Если у нас есть любые натуральные числа $p, q, r, s$ $p, q, r, s$ , то верно будет:

${({({(a^{p})}^{q})}^{y})}^{s} = a^{p \cdot q \cdot y \cdot s}$ ${({({(a^{p})}^{q})}^{y})}^{s} = a^{p \cdot q \cdot y \cdot s}$

Пример 8

Добавим конкретики: $(((5, 2)^{3})^{2})^{5} = (5, 2)^{3 \cdot 2 \cdot 5} = (5, 2)^{30}$ $(((5, 2)^{3})^{2})^{5} = (5, 2)^{3 \cdot 2 \cdot 5} = (5, 2)^{30}$

6. Еще одно свойство степеней с натуральным показателем, которое нам нужно доказать, – свойство сравнения.

Для начала сравним степень с нулем. Почему $a^{n} > 0$ $a^{n} > 0$ при условии, что а больше $0$ $0$ ?

Если умножить одно положительное число на другое, то мы получим также положительное число. Зная этот факт, мы можем сказать, что от числа множителей это не зависит – результат умножения любого числа положительных чисел есть число положительное. А что же такое степень, как не результат умножения чисел? Тогда для любой степени $a^{n}$ $a^{n}$ с положительным основанием и натуральным показателем это будет верно.

Пример 9

$3^{5} > 0$ $3^{5} > 0$ , $(0, 00201)^{2} > 0$ $(0, 00201)^{2} > 0$ и ${(34 \frac{9}{13})}^{51} > 0$ ${(34 \frac{9}{13})}^{51} > 0$

Также очевидно, что степень с основанием, равным нулю, сама есть ноль. В какую бы степень мы не возводили ноль, он останется им.

Пример 10

$0^{3} = 0$ $0^{3} = 0$ и $0^{762} = 0$ $0^{762} = 0$

Если основание степени – отрицательное число, тот тут доказательство немного сложнее, поскольку важным становится понятие четности/нечетности показателя. Возьмем для начала случай, когда показатель степени четный, и обозначим его $2 \cdot m$ $2 \cdot m$ , где $m$ $m$ – натуральное число.

Тогда:

Свойства степени с натуральным показателем

Вспомним, как правильно умножать отрицательные числа: произведение $a \cdot a$ $a \cdot a$ равно произведению модулей, а, следовательно, оно будет положительным числом. Тогда Свойства степени с натуральным показателем и степень $a^{2 \cdot m}$ $a^{2 \cdot m}$ также положительны.

7. Далее разберем следующее свойство, формулировка которого такова: из двух степеней, имеющих одинаковый натуральный показатель, больше та, основание которой больше (и наоборот).

Как это доказать?

$a^{n} < b^{n}$ $a^{n} < b^{n}$ – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств $a < b$ $a < b$ . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и $a^{n} < b^{n}$ $a^{n} < b^{n}$ .

Пример 12

Например, верны неравенства: $3^{7} < (2, 2)^{7}$ $3^{7} < (2, 2)^{7}$ и ${(3 \frac{5}{11})}^{124} > (0, 75)^{124}$ ${(3 \frac{5}{11})}^{124} > (0, 75)^{124}$

8. Нам осталось доказать последнее свойство: если у нас есть две степени, основания которых одинаковы и положительны, а показатели являются натуральными числами, то та из них больше, показатель которой меньше; а из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми основаниями, большими единицы, больше та степень, показатель которой больше.

Докажем эти утверждения.

Для начала нам нужно убедиться, что $a^{m} < a^{n}$ $a^{m} < a^{n}$ при условии, что $m$ $m$ больше, чем $n$ $n$ , и $а$ $а$ больше $0$ $0$ , но меньше $1$ $1$ .Теперь сравним с нулем разность $a^{m} - a^{n}$ $a^{m} - a^{n}$

Вынесем $a^{n}$ $a^{n}$ за скобки, после чего наша разность примет вид $a^{n} \cdot (a^{m - n} - 1)$ $a^{n} \cdot (a^{m - n} - 1)$ . Ее результат будет отрицателен (поскольку отрицателен результат умножения положительного числа на отрицательное). Ведь согласно начальным условиям, $m - n > 0$ $m - n > 0$ , тогда $a^{m - n} - 1$ $a^{m - n} - 1$ –отрицательно, а первый множитель положителен, как и любая натуральная степень с положительным основанием.

У нас вышло, что $a^{m} - a^{n} < 0$ $a^{m} - a^{n} < 0$ и $a^{m} < a^{n}$ $a^{m} < a^{n}$ . Свойство доказано.

Осталось привести доказательство второй части утверждения, сформулированного выше: $a^{m} > a$ $a^{m} > a$ справедливо при $m > n$ $m > n$ и $a > 1$ $a > 1$ . Укажем разность и вынесем $a^{n}$ $a^{n}$ за скобки: $(a^{m - n} - 1)$ $(a^{m - n} - 1)$ .Степень $a^{n}$ $a^{n}$ при $а$ $а$ , большем единицы, даст положительный результат; а сама разность также окажется положительна в силу изначальных условий, и при $a > 1$ $a > 1$ степень $a^{m - n}$ $a^{m - n}$ больше единицы. Выходит, $a^{m} - a^{n} > 0$ $a^{m} - a^{n} > 0$ и $a^{m} > a^{n}$ $a^{m} > a^{n}$ , что нам и требовалось доказать.

Пример 13

Пример с конкретными числами: $3^{7} > 3^{2}$ $3^{7} > 3^{2}$

Основные свойства степеней с целыми показателями

Для степеней с целыми положительными показателями свойства будут аналогичны, потому что целые положительные числа являются натуральными, а значит, все равенства, доказанные выше, справедливы и для них. Также они подходят и для случаев, когда показатели отрицательны или равны нулю (при условии, что само основание степени ненулевое).

Таким образом, свойства степеней такие же для любых оснований $a$ $a$ и $b$ $b$ (при условии, что эти числа действительны и не равны $0$ $0$ ) и любых показателей $m$ $m$ и $n$ $n$ (при условии, что они являются целыми числами). Запишем их кратко в виде формул:

Определение 2

1. $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$

2. $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$

3. $(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$ $(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$

4. $(a : b)^{n} = a^{n} : b^{n}$ $(a : b)^{n} = a^{n} : b^{n}$

5. $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$

6. $a^{n} < b^{n}$ $a^{n} < b^{n}$ и $a^{- n} > b^{- n}$ $a^{- n} > b^{- n}$ при условии целого положительного $n$ $n$ , положительных $a$ $a$ и $b$ $b$ , $a < b$ $a < b$

7. $a^{m} < a^{n}$ $a^{m} < a^{n}$ , при условии целых $m$ $m$ и $n$ $n$ , $m > n$ $m > n$ и $0 < a < 1$ $0 < a < 1$ , при $a > 1 a^{m} > a^{n}$ $a > 1 a^{m} > a^{n}$ .

Если основание степени равно нулю, то записи $a^{m}$ $a^{m}$ и $a^{n}$ $a^{n}$ имеют смысл только лишь в случае натуральных и положительных $m$ $m$ и $n$ $n$ . В итоге получим, что формулировки выше подходят и для случаев со степенью с нулевым основанием, если соблюдаются все остальные условия.

Доказательства этих свойств в данном случае несложные. Нам потребуется вспомнить, что такое степень с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами.

Разберем свойство степени в степени и докажем, что оно верно и для целых положительных, и для целых неположительных чисел. Начнем с доказательства равенств $(a^{p})^{q} = a^{p \cdot q}, (a - p)^{q} = a^{(- p) \cdot q}, (a^{p})^{- q} = a^{p \cdot (- q)} и (a^{- p})^{- q} = a^{(- p) \cdot (- q)}$ $(a^{p})^{q} = a^{p \cdot q}, (a - p)^{q} = a^{(- p) \cdot q}, (a^{p})^{- q} = a^{p \cdot (- q)} и (a^{- p})^{- q} = a^{(- p) \cdot (- q)}$

Условия: $p = 0$ $p = 0$ или натуральное число; $q$ $q$ – аналогично.

Если значения $p$ $p$ и $q$ $q$ больше $0$ $0$ , то у нас получится $(a^{p})^{q} = a^{p \cdot q}$ $(a^{p})^{q} = a^{p \cdot q}$ . Схожее равенство мы уже доказывали раньше. Если $p = 0$ $p = 0$ , то:

$(a^{0})^{q} = 1^{q} = 1 a^{0 \cdot q} = a^{0} = 1$

Следовательно, $(a^{0})^{q} = a^{0 \cdot q}$

Для $q = 0$ все точно так же:

$(a^{p})^{0} = 1 a^{p \cdot 0} = a^{0} = 1$

Итог: $(a^{p})^{0} = a^{p \cdot 0}$ .

Если же оба показателя нулевые, то $(a^{0})^{0} = 1^{0} = 1$ и $a^{0 \cdot 0} = a^{0} = 1$ , значит, $(a^{0})^{0} = a^{0 \cdot 0}$ .

Далее разберем равенство $(a^{- p})^{q} = a^{(- p) \cdot q}$ . Согласно определению степени с целым отрицательным показателем имеем $a^{- p} = \frac{1}{a^{p}}$ , значит, $(a^{- p})^{q} = {(\frac{1}{a^{p}})}^{q}$ .

Вспомним доказанное выше свойство частного в степени и запишем:

${(\frac{1}{a^{p}})}^{q} = \frac{1^{q}}{{(a^{p})}^{q}}$

Если $1^{p} = 1 \cdot 1 \cdot \dots \cdot 1 = 1$ и ${(a^{p})}^{q} = a^{p \cdot q}$ , то $\frac{1^{q}}{{(a^{p})}^{q}} = \frac{1}{a^{p \cdot q}}$

Эту запись мы можем преобразовать в силу основных правил умножения в $a^{(- p) \cdot q}$ .

Так же: ${(a^{p})}^{- q} = \frac{1}{(a^{p})^{q}} = \frac{1}{a^{p \cdot q}} = a^{- (p \cdot q)} = a^{p \cdot (- q)}$ .

И $(a^{- p})^{- q} = {(\frac{1}{a^{p}})}^{- q} = (a^{p})^{q} = a^{p \cdot q} = a^{(- p) \cdot (- q)}$

Остальные свойства степени можно доказать аналогичным образом, преобразовав имеющиеся неравенства. Подробно останавливаться мы на этом не будем, укажем только сложные моменты.

Доказательство предпоследнего свойства: вспомним, $a^{- n} > b^{- n}$ верно для любых целых отрицательных значений nи любых положительных $a$ и $b$ при условии, что $a$ меньше $b$ .

Тогда неравенство можно преобразовать следующим образом:

$\frac{1}{a^{n}} > \frac{1}{b^{n}}$

Запишем правую и левую части в виде разности и выполним необходимые преобразования:

$\frac{1}{a^{n}} - \frac{1}{b^{n}} = \frac{b^{n} - a^{n}}{a^{n} \cdot b^{n}}$

Вспомним, что в условии $a$ меньше $b$ , тогда, согласно определению степени с натуральным показателем: $- a^{n} < b^{n}$ , в итоге: $b^{n} - a^{n} > 0$ .

$a^{n} \cdot b^{n}$ в итоге дает положительное число, поскольку его множители положительны. В итоге мы имеем дробь $\frac{b^{n} - a^{n}}{a^{n} \cdot b^{n}}$ , которая в итоге также дает положительный результат. Отсюда $\frac{1}{a^{n}} > \frac{1}{b^{n}}$ откуда $a^{- n} > b^{- n}$ , что нам и нужно было доказать.

Последнее свойство степеней с целыми показателями доказывается аналогично свойству степеней с показателями натуральными.

Основные свойства степеней с рациональными показателями

В предыдущих статьях мы разбирали, что такое степень с рациональным (дробным) показателем. Их свойства такие же, что и у степеней с целыми показателями. Запишем:

Определение 3

1. $a^{\frac{m_{1}}{n_{1}}} \cdot a^{\frac{m_{2}}{n_{2}}} = a^{\frac{m_{1}}{n_{1}} + \frac{m_{2}}{n_{2}}}$ при $a > 0$ , а если $\frac{m_{1}}{n_{1}} > 0$ и $\frac{m_{2}}{n_{2}} > 0$ , то при $a \geq 0$ ( свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями).

2. $a^{\frac{m_{1}}{n_{1}}} : b^{\frac{m_{2}}{n_{2}}} = a^{\frac{m_{1}}{n_{1}} - \frac{m_{2}}{n_{2}}}$ , если $a > 0$ (свойство частного).

3. ${(a \cdot b)}^{\frac{m}{n}} = a^{\frac{m}{n}} \cdot b^{\frac{m}{n}}$ при $a > 0$ и $b > 0$ , а если $\frac{m_{1}}{n_{1}} > 0$ и $\frac{m_{2}}{n_{2}} > 0$ , то при $a \geq 0$ и (или) $b \geq 0$ (свойство произведения в дробной степени).

4. ${(a : b)}^{\frac{m}{n}} = a^{\frac{m}{n}} : b^{\frac{m}{n}}$ при $a > 0$ и $b > 0$ , а если $\frac{m}{n} > 0$ , то при $a \geq 0$ и $b > 0$ (свойство частного в дробной степени).

5. ${(a^{\frac{m_{1}}{n_{1}}})}^{\frac{m_{2}}{n_{2}}} = a^{\frac{m_{1}}{n_{1}} \cdot \frac{m_{2}}{n_{2}}}$ при $a > 0$ , а если $\frac{m_{1}}{n_{1}} > 0$ и $\frac{m_{2}}{n_{2}} > 0$ , то при $a \geq 0$ (свойство степени в степени).

6. $a^{p} < b^{p}$ при условии любых положительных $a$ и $b$ , $a < b$ и рациональном $p$ при $p > 0$ ; если $p < 0$ - $a^{p} > b^{p}$ (свойство сравнения степеней с равными рациональными показателями).

7. $a^{p} < a^{q}$ при условии рациональных чисел $p$ и $q$ , $p > q$ при $0 < a < 1$ ; если $a > 0$ – $a^{p} > a^{q}$

Для доказательства указанных положений нам понадобится вспомнить, что такое степень с дробным показателем, каковы свойства арифметического корня $n$ -ной степени и каковы свойства степени с целыми показателем. Разберем каждое свойство.

Согласно тому, что из себя представляет степень с дробным показателем, получим:

$a^{\frac{m_{1}}{n_{1}}} = \sqrt[n_{1}]{a^{m_{1}}}$ и $a^{\frac{m_{2}}{n_{2}}} = \sqrt[n_{2}]{a^{m_{2}}}$ , следовательно, $a^{\frac{m_{1}}{n_{1}}} \cdot a^{\frac{m_{2}}{n_{2}}} = \sqrt[n_{1}]{a^{m_{1}}} \cdot \sqrt[n_{2}]{a^{m_{2}}}$

Свойства корня позволят нам вывести равенства:

$\sqrt[n_{1} \cdot n_{2}]{a^{m_{1} \cdot m_{2}}} \cdot \sqrt[n_{2} \cdot n_{1}]{a^{m_{2} \cdot m_{1}}} = \sqrt[n_{1} \cdot n_{2}]{a^{m_{1} \cdot n_{2}} \cdot a^{m_{2} \cdot n_{1}}}$

Из этого получаем: $\sqrt[n_{1} \cdot n_{2}]{a^{m_{1} \cdot n_{2}} \cdot a^{m_{2} \cdot n_{1}}} = \sqrt[n_{1} \cdot n_{2}]{a^{m_{1} \cdot n_{2} + m_{2} \cdot n_{1}}}$

Преобразуем:

$\sqrt[n_{1} \cdot n_{2}]{a^{m_{1} \cdot n_{2}} \cdot a^{m_{2} \cdot n_{1}}} = a^{\frac{m_{1} \cdot n_{2} + m_{2} \cdot n_{1}}{n_{1} \cdot n_{2}}}$

Показатель степени можно записать в виде:

$\frac{m_{1} \cdot n_{2} + m_{2} \cdot n_{1}}{n_{1} \cdot n_{2}} = \frac{m_{1} \cdot n_{2}}{n_{1} \cdot n_{2}} + \frac{m_{2} \cdot n_{1}}{n_{1} \cdot n_{2}} = \frac{m_{1}}{n_{1}} + \frac{m_{2}}{n_{2}}$

Это и есть доказательство. Второе свойство доказывается абсолютно так же. Запишем цепочку равенств:

$a^{\frac{m_{1}}{n_{1}}} : a^{\frac{m_{2}}{n_{2}}} = \sqrt[n_{1}]{a^{m_{1}}} : \sqrt[n_{2}]{a^{m_{2}}} = \sqrt[n_{1} \cdot n_{2}]{a^{m_{1} \cdot n_{2}} : a^{m_{2} \cdot n_{1}}} = = \sqrt[n_{1} \cdot n_{2}]{a^{m_{1} \cdot n_{2} - m_{2} \cdot n_{1}}} = a^{\frac{m_{1} \cdot n_{2} - m_{2} \cdot n_{1}}{n_{1} \cdot n_{2}}} = a^{\frac{m_{1} \cdot n_{2}}{n_{1} \cdot n_{2}} - \frac{m_{2} \cdot n_{1}}{n_{1} \cdot n_{2}}} = a^{\frac{m_{1}}{n_{1}} - \frac{m_{2}}{n_{2}}}$

Доказательства остальных равенств:

${(a \cdot b)}^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{(a \cdot b)^{m}} = \sqrt[n]{a^{m} \cdot b^{m}} = \sqrt[n]{a^{m}} \cdot \sqrt[n]{b^{m}} = a^{\frac{m}{n}} \cdot b^{\frac{m}{n}}; (a : b)^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{(a : b)^{m}} = \sqrt[n]{a^{m} : b^{m}} = = \sqrt[n]{a^{m}} : \sqrt[n]{b^{m}} = a^{\frac{m}{n}} : b^{\frac{m}{n}}; {(a^{\frac{m_{1}}{n_{1}}})}^{\frac{m_{2}}{n_{2}}} = \sqrt[n_{2}]{{(a^{\frac{m_{1}}{n_{1}}})}^{m_{2}}} = \sqrt[n_{2}]{{(\sqrt[n_{1}]{a^{m_{1}}})}^{m_{2}}} = = \sqrt[n_{2}]{\sqrt[n_{1}]{{(a^{m_{1}})}^{m_{2}}}} = \sqrt[n_{2}]{\sqrt[n_{1}]{a^{m_{1} \cdot m_{2}}}} = = \sqrt[n_{2} \cdot n_{1}]{a^{m_{1} \cdot m_{2}}} = a^{\frac{m_{1} \cdot m_{2}}{n_{2} \cdot n_{1}}} = a^{\frac{m_{1}}{n_{1}} \cdot \frac{m_{2}}{n_{2}}}$

Следующее свойство: докажем, что для любых значений $a$ и $b$ больше $0$ , если $а$ меньше $b$ , будет выполняться $a^{p} < b^{p}$ , а для $p$ больше $0$ - $a^{p} > b^{p}$

Представим рациональное число $p$ как $\frac{m}{n}$ . При этом $m$ –целое число, $n$ –натуральное. Тогда условия $p < 0$ и $p > 0$ будут распространяться на $m < 0$ и $m > 0$ . При $m > 0$ и $a < b$ имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство $a^{m} < b^{m}$ .

Используем свойство корней и выведем: $\sqrt[n]{a^{m}} < \sqrt[n]{b^{m}}$

Учитывая положительность значений $a$ и $b$ , перепишем неравенство как $a^{\frac{m}{n}} < b^{\frac{m}{n}}$ . Оно эквивалентно $a^{p} < b^{p}$ .

Таким же образом при $m < 0$ имеем a $a^{m} > b^{m}$ , получаем $\sqrt[n]{a^{m}} > \sqrt[n]{b^{m}}$ значит, $a^{\frac{m}{n}} > b^{\frac{m}{n}}$ и $a^{p} > b^{p}$ .

Нам осталось привести доказательство последнего свойства. Докажем, что для рациональных чисел $p$ и $q$ , $p > q$ при $0 < a < 1$ $a^{p} < a^{q}$ , а при $a > 0$ будет верно $a^{p} > a^{q}$ .

Рациональные числа $p$ и $q$ можно привести к общему знаменателю и получить дроби $\frac{m_{1}}{n}$ и $\frac{m_{2}}{n}$

Здесь $m_{1}$ и $m_{2}$ – целые числа, а $n$ – натуральное. Если $p > q$ , то $m_{1} > m_{2}$ (учитывая правило сравнения дробей). Тогда при $0 < a < 1$ будет верно ${a^{m}}_{1} < {a^{m}}_{2}$ , а при $a > 1$ – неравенство $a_{1}^{m} > a_{2}^{m}$ .

Их можно переписать в следующем виде:

$\sqrt[n]{a^{m_{1}}} < \sqrt[n]{a^{m_{2}}} \sqrt[n]{a^{m_{1}}} > \sqrt[n]{a^{m_{2}}}$

Тогда можно сделать преобразования и получить в итоге:

$a^{\frac{m_{1}}{n}} < a^{\frac{m_{2}}{n}} a^{\frac{m_{1}}{n}} > a^{\frac{m_{2}}{n}}$

Подводим итог: при $p > q$ и $0 < a < 1$ верно $a^{p} < a^{q}$ , а при $a > 0$ – $a^{p} > a^{q}$ .

Основные свойства степеней с иррациональными показателями

На такую степень можно распространить все описанные выше свойства, которыми обладает степень с рациональными показателями. Это следует из самого ее определения, которое мы давали в одной из предыдущих статей. Сформулируем кратко эти свойства (условия: $a > 0, b > 0$ , показатели $p$ и $q$ – иррациональные числа):

Определение 4

1. $a^{p} \cdot a^{q} = a^{p + q}$

2. $a^{p} : a^{q} = a^{p - q}$

3. $(a \cdot b)^{p} = a^{p} \cdot b^{p}$

4. $(a : b)^{p} = a^{p} : b^{p}$

5. $(a^{p})^{q} = a^{p \cdot q}$

6. $a^{p} < b^{p}$ верно при любых положительных $a$ и $b$ , если $a < b$ и $p$ – иррациональное число больше $0$ ; если $p$ меньше $0$ , то $a^{p} > b^{p}$

7. $a^{p} < a^{q}$ верно, если $p$ и $q$ – иррациональные числа, $p < q$ , $0 < a < 1$ ; если $a > 0$ , то $a^{p} > a^{q}$ .

Таким образом, все степени, показатели которых $p$ и $q$ являются действительными числами, при условии $a > 0$ обладают теми же свойствами.