Возведение в степень: правила, примеры

9 июля 2023
10 минут
14 971

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа в математике. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. как возвести число в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя - как его находить и как его возвести в степень. Все определения будут проиллюстрированы примерами.

Понятие возведения в степень

Начнем с такого проверочного действия, как формулирование базовых определений.

Определение 1

Возвести число в степень - это вычисление значения степени некоторого числа.

То есть слова "вычисление значение степени" и "возведение в степень" означают одно и то же. Так, если в задаче стоит "Возведите число $0, 5$ в пятую степень", это следует понимать как "вычислите значение степени $(0, 5)^{5}$ .

Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.

Как возвести число в натуральную степень

Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием $a$ и показателем $n$ это будет произведение $n$ -ного числа множителей, каждый из которых равен $a$ . Что собой представляет такое вычисление? Это можно написать так:

Как возвести число в натуральную степень

Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

Пример 1

Условие: возведите $- 2$ в степень $4$ .

Решение

Используя определение выше, запишем: $(- 2)^{4} = (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2)$ . Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить $16$ .

Возьмем пример посложнее.

Пример 2

Вычислите значение ${(3 \frac{2}{7})}^{2}$

Как будем решать

Данную запись можно перевести или переписать в виде $3 \frac{2}{7} \cdot 3 \frac{2}{7}$ . Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.

Выполним эти действия и получим ответ: $3 \frac{2}{7} \cdot 3 \frac{2}{7} = \frac{23}{7} \cdot \frac{23}{7} = \frac{529}{49} = 10 \frac{39}{49}$

Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.

Пример 3

Выполните возведение в квадрат числа $π$ .

Решение

Для начала округлим его до сотых. Тогда $π^{2} \approx (3, 14)^{2} = 9, 8596$ . Если же $π \approx 3.14159$ , то мы получим более точный результат: $π^{2} \approx (3, 14159)^{2} = 9, 8695877281$ .

Отметим, что необходимость посчитать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени $(\ln 6)^{3}$ или преобразовать, если это возможно: ${(\sqrt{5})}^{7} = 125 \sqrt{5}$ .

Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:

$a^{1} = a$

Это понятно из записи Как возвести число в натуральную степень .

От основания степени это не зависит.

Пример 4

Так, $(- 9)^{1} = - 9$ , а $\sqrt[3]{7}$ , возведенное в первую степень, останется равно $\sqrt[3]{7}$ .

Как возвести число в целую степень

Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени - целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.

В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими математическими степенями, мы уже рассказали выше.

Теперь посмотрим, как правильно будет возводиться в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе $1$ . Ранее мы уже поясняли, что $0$ -я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного $0$ , и $a^{0} = 1$ .

Пример 5

Примеры:

$5^{0} = 1, (- 2, 56)^{0} = 1 {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{0} = 1$

$0^{0}$ - не определен.

У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби $\frac{1}{a^{z}}$ , где $а$ - любое число, а $z$ - целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем знакомые примеры задач.

Пример 6

Выполните возведение 2 в степень $- 3$ .

Решение

Используя определение выше, запишем: $2^{- 3} = \frac{1}{2^{3}}$

Подсчитаем знаменатель этой дроби. Сколько получим? Цифра (или сумма) будет равна восьмидесяти восьми: $2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ .

Тогда ответ таков: $2^{- 3} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8}$

Как возвести число в целую степень — Пример 7

Отдельный случай - возведение числа в минус первую (минусовую) степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: $a^{- 1} = \frac{1}{a^{1}} = \frac{1}{a}$ .

Пример 8

Пример: $3^{- 1} = 1 / 3$

${(\frac{9}{13})}^{- 1} = \frac{13}{9} {(\sqrt[4]{6})}^{- 1} = \frac{1}{\sqrt[4]{6}}$ .

Как возвести число в дробную степень

Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ при любом положительном $a$ , целом $m$ и натуральном $n$ .

Определение 2

Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня $n$ -ной степени.

У нас есть равенство $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ , которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде $a^{\frac{m}{n}} = {(\sqrt[n]{a})}^{m}$ . Это значит, что если мы возводим число $a$ в дробную степень $m / n$ , то сначала мы извлекаем корень $n$ -ной степени из $а$ , потом возводим результат в степень с целым показателем $m$ .

Проиллюстрируем на примере.

Пример 9

Вычислите $8^{- \frac{2}{3}}$ .

Решение

Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: $8^{- \frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^{- 2}}$

Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени (в кубе или кубический) из результата: $\sqrt[3]{8^{- 2}} = \sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{\sqrt[3]{1^{3}}}{\sqrt[3]{64}} = \frac{\sqrt[3]{1^{3}}}{\sqrt[3]{4^{3}}} = \frac{1}{4}$

Способ 2. Преобразуем основное равенство: $8^{- \frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^{- 2}} = {(\sqrt[3]{8})}^{- 2}$

После этого извлечем корень ${(\sqrt[3]{8})}^{- 2} = {(\sqrt[3]{2^{3}})}^{- 2} = 2^{- 2}$ и результат возведем в квадратик: $2^{- 2} = \frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4}$

Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.

Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и рассчитать, как указано выше.

Пример 10

Возведите $44, 89$ в степень $2, 5$ .

Решение

Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь: $44, 89^{2, 5} = 44, 89^{\frac{5}{2}}$ .

А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: $44, 89^{\frac{5}{2}} = \sqrt{44, 89^{5}} = {(\sqrt{44, 89})}^{5} = {(\sqrt{\frac{4489}{100}})}^{5} = {(\frac{\sqrt{4489}}{\sqrt{100}})}^{5} = {(\frac{\sqrt{67^{2}}}{\sqrt{10^{2}}})}^{5} = {(\frac{67}{10})}^{5} = = \frac{1350125107}{100000} = 13 501, 25107$

Ответ: $13 501, 25107$ .

Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями - довольно сложная и большая работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.

Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида $0^{\frac{m}{n}}$ можно придать такой смысл: если $\frac{m}{n} > 0$ , то $0^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{0^{m}} = 0$ ; если $\frac{m}{n} < 0$ нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: $0^{\frac{7}{12}} = 0, 0^{3 \frac{2}{5}} = 0, 0^{0, 024} = 0$ , а в целую отрицательную - значения не имеет: $0^{- \frac{4}{3}}$ .

Как возвести число в иррациональную степень

Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считается на компе (компьютере) или онлайн из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.

Если нам нужно вычислить значение степени a с иррациональным показателем $a$ , то мы берем десятичное приближение показателя и считаем по нему. Результат и будет приближенным ответом. Чем точнее взятое десятичное приближение, тем точнее ответ. Покажем на примере:

Пример 11

Вычислите приближенное значение 2 в степени 1,174367....

Решение

Ограничимся десятичным приближением $a_{n} = 1, 17$ . Проведем вычисления с использованием этого числа: $2^{1, 17} \approx 2, 250116$ . Если же взять, к примеру, приближение $a_{n} = 1, 1743$ , то ответ будет чуть точнее: $2^{1, 174367} . . . \approx 2^{1, 1743} \approx 2, 256833$ .

Возведение степени в степень

Как степень возвести в степень? Рассмотрим пример.

Возведение степени в степень Если степень возвести в степень, то показатели перемножатся, а основание не меняется: (aᵑ)ᵐ = aᵑ*ᵐ.

Здесь а - это любое число, а n и m - натуральные числа. Вот такой пример вы можете использовать, чтобы получить степень в степени.

Все примеры воззведения в степень можно найти в интернете в удобных таблицах.