Числовые равенства, свойства числовых равенств

24 сентября 2023
9 минут
3 490

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

После получения общих сведений о равенствах в математике переходим к более узким темам. Материал этой статьи даст представление о свойствах числовых равенств.

Что такое числовое равенство

Первый раз мы сталкиваемся с числовыми равенствами еще в начальной школе, когда происходит знакомство с числами и понятием «столько же». Т.е. самые примитивные числовые равенства это: $2 = 2, 5 = 5$ и т.д. И на том уровне изучения мы называли их просто равенствами, без уточнения «числовые», и закладывали в них количественный или порядковый смысл (который несут натуральные числа). Например, равенство $2 = 2$ будет соответствовать изображению, на котором – два цветка и на каждом сидит по две шмеля. Или, к примеру, две очереди, где вторыми по порядку стоят Вася и Ваня.

По мере появления знаний об арифметических действиях числовые равенства становятся сложнее: $5 + 7 = 12; 6 - 1 = 5; 2 \cdot 1 = 2; 21 : 7 = 3$ и т.п. Затем начинают встречаться равенства, в записи которых участвуют числовые выражения разного рода. Например, $(2 + 2) + 5 = 2 + (5 + 2); 4 \cdot (4 - (1 + 2)) + 12 : 4 - 1 = 4 \cdot 1 + 3 - 1$ и т.п. Дальше мы знакомимся с прочими видами чисел, и числовые равенства приобретают все более и более интересный и разнообразный вид.

Определение 1

Числовое равенство – это равенство, обе части которого состоят из чисел и/или числовых выражений.

Свойства числовых равенств

Сложно переоценить значимость свойств числовых равенств в математике: они являются опорой многому, определяют принцип работы с числовыми равенствами, методы решений, правила работы с формулами и многое другое.Очевидно, что существует необходимость детального изучения свойств числовых равенств.

Свойства числовых равенств абсолютно согласованы с тем, как определяются действия с числами, а также с определением равных чисел через разность: число a равно числу $b$ только в тех случаях, когда разность $a - b$ есть нуль. Далее в описании каждого свойства мы проследим эту связь.

Основные свойства числовых равенств

Изучать свойства числовых равенств начнем с трех базовых свойств, которые присущи всем равенствам. Перечислим основные свойства числовых равенств:

свойство рефлексивности: $a = a$ ;
свойство симметричности: если $a = b$ , то $b = a$ ;
свойство транзитивности: если $a = b$ и $b = c$ , то $a = c$ ,где $a, b$ и $c$ – произвольные числа.

Определение 2

Свойство рефлексивности обозначает факт равенства числа самому себе: к примеру, $6 = 6, - 3 = - 3, 4 \frac{3}{7} = 4 \frac{3}{7}$ и т.п.

Доказательство 1

Нетрудно продемонстрировать справедливость равенства $a - a = 0$ для любого числа $a$ : разность $a - a$ можно записать как сумму $a + (- a)$ , а свойство сложения чисел дает нам возможность утверждать, что любому числу $a$ соответствует единственное противоположное число $- a$ , и сумма их есть нуль.

Определение 3

Согласно свойству симметричности числовых равенств: если число $a$ равно числу $b$ ,
то число $b$ равно числу $a$ . К примеру, $4^{3} = 64$ , тогда $64 = 4^{3}$ .

Доказательство 2

Обосновать данное свойство можно через разность чисел. Условию $a = b$ соответствует равенство $a - b = 0$ . Докажем, что $b - a = 0$ .

Запишем разность $b - a$ в виде $- (a - b)$ , опираясь на правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус. Новая запись выражения равна $- 0$ , а число, противоположное нулю, это нуль. Таким образом, $b - a = 0$ , следовательно: $b = a$ .

Определение 4

Свойство транзитивности числовых равенств гласит, что два числа равны друг другу в случае их одновременного равенства третьему числу. К примеру, если $\sqrt{81} = 9$ и $9 = 3^{2}$ , то $\sqrt{81} = 3^{2}$ .

Свойству транзитивности также отвечает определение равных чисел через разность и свойства действий с числами. Равенствам $a = b$ и $b = c$ соответствуют равенства $a - b = 0$ и $b - c = 0$ .

Доказательство 3

Докажем справедливость равенства $a - c = 0$ , из чего последует равенство чисел $a$ и $c$ . Посколькусложение числа с нулем не меняет само число, то $a - c$ запишем в виде $a + 0 - c$ . Вместо нуля подставим сумму противоположных чисел $- b$ и $b$ , тогда крайнее выражение станет таким: $a + (- b + b) - c$ . Выполним группировку слагаемых: $(a - b) + (b - c)$ . Разности в скобках равны нулю, тогда и сумма $(a - b) + (b - c)$ есть нуль. Это доказывает, что, когда $a - b = 0$ и $b - c = 0$ , верно равенство $a - c = 0$ , откуда $a = c$ .

Прочие важные свойства числовых равенств

Основные свойства числовых равенств, рассмотренные выше, являются базисом для ряда дополнительных свойств, довольно ценных в разрезе практики. Перечислим их:

Определение 5

Прибавив к (или убавив от) обеим частям числового равенства, являющегося верным, одно и то же число, получим верное числовое равенство. Запишем буквенно: если $a = b$ , где $a$ и $b$ – некоторые числа, то $a + c = b + c$ при любом $c$ .

Доказательство 4

В качестве обоснования запишем разность $(a + c) - (b + c)$ .
Это выражение легко преобразуется в вид $(a - b) + (c - c)$ .
Из $a = b$ по условию следует, что $a - b = 0$ и $c - c = 0$ , тогда $(a - b) + (c - c) = 0 + 0 = 0$ . Это доказывает, что $(a + c) - (b + c) = 0$ , следовательно, $a + c = b + c$ ;

Определение 6

Если обе части верного числового равенства перемножить с любым числом или разделить на число, не равное нулю, тогда получим верное числовое равенство.
Запишем буквенно: когда $a = b$ , то $a \cdot c = b \cdot c$ при любом числе $c$ . Если $c \neq 0$ , тогда и $a : c = b : c$ .

Доказательство 5

Равенство верно: $a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c = 0 \cdot c = 0$ , и из него следует равенство произведений $a \cdot c$ и $b \cdot c$ . А деление на отличное от нуля число $c$ возможно записать как умножение на обратное число $\frac{1}{c}$ ;

Определение 7

При $a$ и $b$ , отличных от нуля и равных между собой, обратные им числа также равны.
Запишем: когда $a \neq 0, b \neq 0$ и $a = b$ , то $\frac{1}{a} = \frac{1}{b}$ . Крайнее равенство нетрудно доказать: с этой целью разделим обе части равенства $a = b$ на число, равное произведению $a \cdot b$ и не равное нулю.

Укажем еще на пару свойств, которые позволяют осуществлять сложение и умножение соответствующих частей верных числовых равенств:

Определение 8

При почленном сложении верных числовых равенств получается верное равенство. Запись этого свойства такова: если $a = b$ и $c = d$ , то $a + c = b + d$ для любых чисел $a, b, c$ и $d$ .

Доказательство 6

Обосновать это полезное свойство возможно, опираясь на указанные ранее свойства. Мы знаем, что к обеим частям верного равенства возможно прибавить любое число.
К равенству $a = b$ прибавим число $c$ , а к равенству $c = d$ - число $b$ , итогом станут верные числовые равенства: $a + c = b + c$ и $c + b = d + b$ . Крайнее запишем в виде: $b + c = b + d$ . Из равенств $a + c = b + c$ и $b + c = b + d$ согласно свойству транзитивности следует равенство $a + c = b + d$ . Что и нужно было доказать.

Необходимо уточнить, что почленно можно сложить не только два верных числовых равенства, но и три, и более;

Определение 7

Наконец, опишем такое свойство: почленное перемножение двух верных числовых равенств дает верное равенство. Запишем при помощи букв: если $a = b$ и $c = d$ , то $a \cdot c = b \cdot d$ .

Доказательство 7

Доказательство этого свойства подобно доказательству предыдущего. Умножим обе части равенства на любое число, умножим $a = b$ на $c$ , а $c = d$ на $b$ , получим верные числовые равенства $a \cdot c = b \cdot c$ и $c \cdot b = d \cdot b$ . Крайнее запишем как $b \cdot c = b \cdot d$ . Свойство транзитивности дает возможность из равенства $a \cdot c = b \cdot c$ и $b \cdot c = b \cdot d$ вывести равенство $a \cdot c = b \cdot d$ , которое нам необходимо было доказать.

И вновь уточним, что данное свойство применимо для двух, трех и более числовых равенств.
Так, можно записать: если $a = b$ , то $a^{n} = b^{n}$ для любых чисел $a$ и $b$ , и любого натурального числа $n$ .

Завершим данную статью, собрав для наглядности все рассмотренные свойства:

$a = a$ .

Если $a = b$ , то $b = a$ .

Если $a = b$ и $b = c$ , то $a = c$ .

Если $a = b$ , то $a + c = b + c$ .

Если $a = b$ , то $a \cdot c = b \cdot c$ .

Если $a = b$ и $с \neq 0$ , то $a : c = b : c$ .

Если $a = b$ , $a = b, a \neq 0$ и $b \neq 0$ , то $\frac{1}{a} = \frac{1}{b}$ .

Если $a = b$ и $c = d$ , то $a \cdot c = b \cdot d.$

Если $a = b$ , то $a^{n} = b^{n}$ .