Неравенства с переменными, их частные и общее решение

Содержание:

30 апреля 2023
10 минут
571

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Неравенства, содержащие переменную, занимают основную долю в общем объеме изучения темы «Неравенства» школьной программы математики и алгебры. Данная статья содержит базовый материал: определение понятия неравенства с переменными и их решений, способ записи решений неравенств. Также для наглядности приведем решение практических задач.

Определение неравенств с переменными

Числовые неравенства мы разобрали в соответствующей статье, выяснив что числовыми неравенствами являются два числовых выражения, между которыми располагается какой-либо из знаков неравенства. Заменив хотя бы одно из числовых выражений выражением с переменной, мы получим неравенство с переменными. Такое определение дано по виду записи подобных неравенств. Выделяют неравенства с одной, двумя, тремя и большим количеством переменных по числу переменных, использующихся в записи неравенства.

Неравенства с одной переменной

Определение 1

Неравенство с одной переменной – это неравенство, в записи которого используется одна переменная.

К примеру, $k < 7$ – неравенство с одной переменной $k$ ; $8 \geq d^{2}$ – 3 – неравенство с одной переменной $d$ . При этом возможно, что переменная будет участвовать в записи несколько раз, например:

( $(2 \cdot x - 5 \cdot t^{2}) \cdot (t - 1) < \frac{1}{t}$ или $\sqrt{t - 1} + 4 \geq \frac{1}{t} - \frac{t^{3}}{t + 3}$

Неравенства с двумя переменными

Определение 2

Неравенство с двумя переменными – это неравенство, в записи которого используются две неодинаковые переменные.

Например, $m^{3} + \frac{1}{5} \cdot n^{2} > 13$ – неравенство с двумя переменными $m$ и $n$ ;

$\frac{(f + 2 \cdot g)^{3}}{\sqrt{7} + 3} < 7 - \frac{f}{f^{2} + 1}$ – неравенство с двумя переменными $f$ и $g$ .

По записи неравенства с двумя переменными схожи с неравенствами с параметром и одной переменной. Но тогда, как правило, в условиях всегда указывается, какие буквы служат обозначением параметров, поэтому вопрос о том, сколько переменных в заданном неравенстве, обычно не возникает.

Неравенства с тремя или больше переменными

Определение 3

Неравенства с тремя, четырьмя и т.д. переменными – это неравенства, в записи которых используются три, четыре и т.д. переменных.

В школьной программе подобные неравенства встречаются редко, но тем не менее существуют. Например, шар, радиус которого равен $2$ и центр которого совпадает с началом координат, возможно определить неравенством с тремя переменными: $x^{2} + {y^{2^{}}}^{} + z^{2} \leq 4$ .

Решения неравенства: частное, общее и простое решение

Определение 4

Решение неравенства с одной переменной – такое значение переменной, которое обращает исходное неравенство в верное числовое неравенство.

В качестве примера возьмем простое неравенство вида $y > 9$ . Пусть $y = 13$ . Подставим это значение в исходное неравенство и получим числовое неравенство $13 > 9$ . Оно является верным, а значит $13$ является решением исходного неравенства $y > 9$ . А вот число $y = 5$ не станет решением данного неравенства, поскольку, подставив такое значение переменной, мы получим неверное числовое неравенство: $5 > 9 .$

Логичным следствием является вопрос о возможном количестве решений конкретного неравенства. Отметим, что неравенство с одной переменной может не иметь решений, иметь конечное количество решений или иметь бесконечно много решений. Мы рассмотрим это утверждение, имеющее большую значимость в практике, более детально в изучении самого процесса нахождения решений неравенств.

Резюмируем:

неравенство может не иметь решений. К примеру: $z^{2} < - 2$ . В самом деле, при любом действительном значении переменной $z$ , мы будем иметь неверное числовое неравенство, опираясь на то, что, согласно свойствам степени, квадрат любого числа является неотрицательным числом. Оно, в свою очередь, никак не может быть меньше $- 2$ .
неравенство может иметь лишь одно решение. Например, неравенство $\sqrt{f = 1} \leq 0$ имеет решение $f = 1$ , и оно единственно;
неравенство может иметь конечное количество решений: три, шесть и т.п. Как пример, рассмотрим неравенство $| x^{2} - 1 | \leq 0$ , решений которого существует ровно два: $1$ и $- 1$ ;
неравенство может иметь бесконечно много решений. Например: $t > 5$ . Решением данного неравенства станет любое действительное число, большее $5 : 13, 87, 601, 8 \frac{2}{5}$ и т.п.

Все вышесказанное верно и для неравенств с двумя, тремя и более переменными.

Определение 5

Решение неравенства с двумя переменными – это пара значений заданных переменных, при которых исходное неравенство с переменными преобразуется в верное числовое неравенство.

В качестве примера рассмотрим неравенство с двумя переменными $y$ и $z$ : $y + 1 > 2 \cdot z$ . Пара значений переменных $y$ и $z$ : $1$ и $0$ соответственно, являются решением заданного неравенства, поскольку подставив их, мы получим верное числовое неравенство: $1 + 1 > 2 \cdot 0$ . В то же время пара значений $y = 2, z = 4$ не будет служить решением исходного неравенства: их подстановка создаст неверное числовое неравенство $2 + 1 > 2 \cdot 4$ .

Пара значений переменных зачастую записывается в скобках наподобие координат точек в прямоугольной системе координат. Например, для вышеуказанного примера решение запишется так: $(1, 0)$ .

Все вышесказанное верно и для неравенств с большим количеством переменных.

Определение 6

Решение неравенства с тремя, четырьмя и более переменными – это тройка, четверка и т.п. значений заданных переменных, при которых исходное неравенство преобразуется в верное числовое неравенство.

Например, рассмотрим неравенство с четырьмя переменными $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} \leq 36$ . Четверка значений этих переменных, такие как: $a = 1, b = 2, c = 3, d = 4$ , являются решением исходного неравенства, поскольку, подставив их, мы получим верное числовое неравенство: $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} \leq 36$ .

Также рассмотрим такие понятия как «частное решение неравенства» и «общее решение неравенства».

Определение 7

Частное решение неравенства – это некоторое отдельно взятое решение исходного неравенства.

К примеру, $17$ – частное решение неравенства $m < 101$ . Еще одним частным решением указанного неравенства будет число $7$ .

Определение 8

Общее решение неравенства – множество всех частных решений исходного неравенства.

Рассмотрим на том же примере: $m < 101$ . Общим решением этого неравенства будет множество чисел, меньших $101$ .

Несмотря на частоту использования указанной терминологии, все же намного чаще применяют понятие решения неравенства без неких уточнений, наделяя при этом смыслом общего решения. В случае, когда необходимо определить отдельное решение, в исходном задании так и указывают.

Способ записи общего решения неравенства

Навык записи общего решения неравенства нужен для формирования ответа при решении задач. Сначала разберем принятые правила записи на примере решений неравенств с одной переменной.

Напомним, что решение неравенства с одной переменной – это либо число, либо множество чисел, т.е. числовое множество.

Определение 9

Когда равенство не имеет решений, пишут буквально – «нет решений», либо применяют знак пустого множества $\emptyset$ .

Когда общее решение – одно число, так его и записывают: $2, - 1, 15$ ли $\frac{8}{17}$ . А также можно заключить его в фигурные скобки.

Когда общее решение – несколько чисел (при этом их немного), нужно либо записать их по очереди, отделив запятой или точкой с запятой, либо – через запятую, заключив в фигурные скобки. Например: $6, 12, \frac{4}{5}$ или ${6, 12, \frac{4}{5}}$ .

Наконец, когда общее решение включает в себя бесконечно много решений, то применяют общепринятые обозначения множеств натуральных чисел $(N)$ , целых чисел $(N)$ , рациональных чисел $(Q)$ , действительных чисел $(R)$ , а также числовых промежутков, множеств отдельных чисел и т.п. В практике чаще встречаются простейшие неравенства и числовые промежутки. Пусть, решением некоторого неравенства станут: число $3$ , полуинтервал $(5; 9]$ и луч $[13; + \infty)$ , тогда ответ запишется так: $3, (5, 9], [13, + \infty)$ , или: $3 ꓴ (5, 9] ꓴ [13, + \infty)$ , или: $x = 3, 5 < x \leq 9, x \geq 13$ .

Чтобы записать общее решение неравенства с двумя, тремя и более переменными при небольшом количестве решений, перечисляют их все; либо делают описание множеств переменных. К примеру, $d$ – любое целое число, $s$ равно $0$ или $1$ , $t = - 3$ , $m = 17$ .

Зачастую решение для неравенства с двумя переменными не записывают, а «зарисовывают», изображая решения неравенства на координатной плоскости. Пусть задано неравенство: $2 \cdot х - у \geq 5$ ; его решение – все точки, расположенные на и ниже прямой, определяемой формулой: $у = 2 \cdot х - 5 .$

Способ записи общего решения неравенства

Решением неравенства с тремя переменными станет некое множество точек трехмерного пространства.

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.