Равносильные уравнения, преобразование уравнений

Некоторые преобразования позволяют нам перейти от решаемого уравнения к равносильным, а также к уравнениям-следствиям, благодаря чему упрощается решение первоначального уравнения. В данном материале мы расскажем, что из себя представляют эти уравнения, сформулируем основные определения, проиллюстрируем их наглядными примерами и поясним, как именно осуществляется вычисление корней исходного уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения.

Понятие равносильных уравнений

Определение 1

Равносильными называются такие уравнения, имеющие одни и те же корни, или же те, в которых корней нет.

Определения такого типа часто встречаются в различных учебниках. Приведем несколько примеров.

Определение 2

Уравнение $f (x) = g (x)$ считается равносильным уравнению $r (x) = s (x)$ , если у них одинаковые корни или у них обоих нет корней.

Определение 3

Уравнения с одинаковыми корнями считаются равносильными. Также ими считаются два уравнения, одинаково не имеющие корней.

Определение 4

Если уравнение $f (x) = g (x)$ имеет то же множество корней, что и уравнение $p (x) = h (x)$ , то они считаются равносильными по отношению друг к другу.

Когда мы говорим о совпадающем множестве корней, то имеем в виду, что если определенное число будет корнем одного уравнения, то оно подойдет в качестве решения и другому уравнению. Ни одно из уравнений, являющихся равносильными, не может иметь такого корня, который не подходит для другого.

Приведем несколько примеров таких уравнений.

Пример 1

Например, равносильными будут $4 \cdot x = 8, 2 \cdot x = 4$ и $x = 2$ , поскольку каждое из них имеет только один корень – двойку. Также равносильными будут $x \cdot 0 = 0$ и $2 + x = x + 2$ , поскольку их корнями могут быть любые числа, то есть множества их решений совпадают. Также равносильными будут уравнения $x = x + 5$ и $x^{4} = - 1$ , каждое из которых не имеет ни одного решения.

Для наглядности рассмотрим несколько примеров неравносильных уравнений.

Пример 2

К примеру, таковыми будут $x = 2$ и $x^{2} = 4$ , поскольку их корни отличаются. То же относится и к уравнениям $\frac{x}{x} = 1$ и $\frac{x^{2} + 5}{x^{2} + 5}$ , потому что во втором решением может быть любое число, а во втором корнем не может быть $0$ .

Определения, данные выше, подойдут и для уравнений с несколькими переменными, однако в том случае, когда мы говорим о двух, трех и более корнях, более уместно выражение «решение уравнения». Таким образом, подытожим: равносильные уравнения – это те уравнения, у которых одни и те же решения или их совсем нет.

Возьмем примеры уравнений, которые содержат несколько переменных и являются равносильными друг другу. Так, $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 0$ и $5 \cdot x^{2} + x^{2} \cdot y^{4} \cdot z^{8} = 0$ включают в себя по три переменных и имеют только одно решение, равное $0$ , во всех трех случаях. А пара уравнений $x + y = 5$ и $x \cdot y = 1$ равносильной по отношению друг к другу не будет, поскольку, например, значения $5$ и $3$ подойдут для первого, но не будут решением второго: при подстановке их в первое уравнение мы получим верное равенство, а во второе – неверное.

Понятие уравнений-следствий

Процитируем несколько примеров определений уравнений-следствий, взятых из учебных пособий.

Определение 5

Следствием уравнения $f (x) = g (x)$ будет уравнение $p (x) = h (x)$ при условии, что каждый корень первого уравнения будет в то же время корнем второго.

Определение 6

Если первое уравнение имеет те же корни, что и второе, то второе будет уравнением-следствием первого.

Возьмем несколько примеров таких уравнений.

Пример 3

Так, $x \cdot 2 = 32$ будет следствием $x - 3 = 0$ , поскольку в первом есть только один корень, равный трем, и он же будет корнем второго уравнения, поэтому в контексте данного определения одно уравнение будет следствием другого. Еще один пример: уравнение $(x - 2) \cdot (x - 3) \cdot (x - 4) = 0$ будет следствием $\frac{(x - 2) \cdot (x - 3) \cdot {(x - 4)}^{2}}{x - 4}$ , потому что второе уравнение имеет два корня, равные $2$ и $3$ , которые в то же время будут корнями первого.

Из данного выше определения можно сделать вывод, что следствием любого уравнения, не имеющего корней, будет также любое уравнение. Приведем здесь некоторые другие следствия из всех сформулированных в данной статье правил:

Определение 7

Если одно уравнение равносильно другому, то каждое из них будет следствием другого.
Если из двух уравнений каждое будет следствием другого, то данные уравнения будут равносильны друг другу.
Уравнения будут равносильны по отношению друг к другу только в том случае, если каждое из них будет следствием другого.

Как найти корни уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения

Исходя из того, что мы написали в определениях, то в случае, когда мы знаем корни одного уравнения, то нам известны и корни равносильных ему, поскольку они будут совпадать.

Если мы знаем все корни уравнения-следствия, то можем определить корни второго уравнения, следствием которого оно является. Для этого нужно только отсеять посторонние корни. О том, как это делается, мы написали отдельную статью. Советуем вам ее прочитать.