Решение кубических уравнений

Содержание:

26 марта 2023
7 минут
9715

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные, а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.

Решение двучленного кубического уравнения вида $A x^{3} + B = 0$

Кубическое уравнение, содержащее двучлен, имеет вид $A x^{3} + B = 0$ . Его необходимо приводить к $x^{3} + \frac{B}{A} = 0$ с помощью деления на $А$ , отличного от нуля. После чего можно применять формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получаем, что

$x^{3} + \frac{B}{A} = 0 (x + \sqrt[3]{\frac{B}{A}}) (x^{2} - \sqrt[3]{\frac{B}{A}} x + \sqrt[3]{{(\frac{B}{A})}^{2}}) = 0$

Результат первой скобки примет вид $x = - \sqrt[3]{\frac{B}{A}}$ , а квадратный трехчлен - $x^{2} - \sqrt[3]{\frac{B}{A}} x + \sqrt[3]{{(\frac{B}{A})}^{2}}$ , причем только с комплексными корнями.

Пример 1

Найти корни кубического уравнения $\sqrt{2} x^{3} - 3 = 0$ .

Решение

Необходимо найти $х$ из уравнения. Запишем:

$\sqrt{2} x^{3} - 3 = 0 x^{3} - \frac{3}{\sqrt{2}} = 0$

Необходимо применить формулу сокращенного умножения. Тогда получим, что

$x^{3} - \frac{3}{\sqrt{2}} = 0 (x - \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[6]{2}}) (x^{2} + \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[6]{2}} x + \sqrt[3]{\frac{9}{2}}) = 0$

Раскроем первую скобку и получим $x = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[6]{2}}$ . Вторая скобка не имеет действительных корней, потому как дискриминант меньше нуля.

Ответ: $x = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[6]{2}}$ .

Решение возвратного кубического уравнения вида $A x^{3} + B x^{2} + B x + A = 0$

Вид квадратного уравнения - $A x^{3} + B x^{2} + B x + A = 0$ , где значения $А$ и $В$ являются коэффициентами. Необходимо произвести группировку. Получим, что

$A x^{3} + B x^{2} + B x + A = A (x^{3} + 1) + B (x^{2} + x) = = A (x + 1) (x^{2} - x + 1) + B x (x + 1) = (x + 1) (A x^{2} + x (B - A) + A)$

Корень уравнения равен $х = - 1$ , тогда для получения корней квадратного трехчлена $A x^{2} + x (B - A) + A$ необходимо задействовать через нахождение дискриминанта.

Пример 2

Решить уравнение вида $5 x^{3} - 8 x^{2} - 8 x + 5 = 0$ .

Решение

Уравнение является возвратным. Необходимо произвести группировку. Получим, что

$5 x^{3} - 8 x^{2} - 8 x + 5 = 5 (x^{3} + 1) - 8 (x^{2} + x) = = 5 (x + 1) (x^{2} - x + 1) - 8 x (x + 1) = (x + 1) (5 x^{2} - 5 x + 5 - 8 x) = = (x + 1) (5 x^{2} - 13 x + 5) = 0$

Если $х = - 1$ является корнем уравнения, тогда необходимо найти корни заданного трехчлена $5 x 2 - 13 x + 5$ :

$5 x 2 - 13 x + 5 = 0 D = (- 13)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 69 x_{1} = \frac{13 + \sqrt{69}}{2 \cdot 5} = \frac{13}{10} + \frac{\sqrt{69}}{10} x_{2} = \frac{13 - \sqrt{69}}{2 \cdot 5} = \frac{13}{10} - \frac{\sqrt{69}}{10}$

Ответ:

$x_{1} = \frac{13}{10} + \frac{\sqrt{69}}{10} x_{2} = \frac{13}{10} - \frac{\sqrt{69}}{10} x_{3} = - 1$

Решение кубических уравнений с рациональными корнями

Если $х = 0$ , то он является корнем уравнения вида $A x^{3} + B x^{2} + C x + D = 0$ . При свободном члене $D = 0$ уравнение принимает вид $A x^{3} + B x^{2} + C x = 0$ . При вынесении $х$ за скобки получим, что уравнение изменится. При решении через дискриминант или Виета оно примет вид $x (A x^{2} + B x + C) = 0$ .

Пример 3

Найти корни заданного уравнения $3 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x = 0$ .

Решение

Упростим выражение.

$3 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x = 0 x (3 x^{2} + 4 x + 2) = 0$

$Х = 0$ – это корень уравнения. Следует найти корни квадратного трехчлена вида $3 x^{2} + 4 x + 2$ . Для этого необходимо приравнять к нулю и продолжить решение при помощи дискриминанта. Получим, что

$D = 4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2 = - 8$ . Так как его значение отрицательное, то корней трехчлена нет.

Ответ: $х = 0$ .

Когда коэффициенты уравнения $A x^{3} + B x^{2} + C x + D = 0$ целые, то в ответе можно получить иррациональные корни. Если $A \neq 1$ , тогда при умножении на $A^{2}$ обеих частей уравнения проводится замена переменных, то есть $у = А х$ :

$A x^{3} + B x^{2} + C x + D = 0 A^{3} \cdot x^{3} + B \cdot A^{2} \cdot x^{2} + C \cdot A \cdot A \cdot x + D \cdot A^{2} = 0 y = A \cdot x \Rightarrow y^{3} + B \cdot y^{2} + C \cdot A \cdot y + D \cdot A^{2}$

Приходим к виду кубического уравнения. Корни могут быть целыми или рациональными. Чтобы получить тождественное равенство, необходимо произвести подстановку делителей в полученное уравнение. Тогда полученный $y_{1}$ будет являться корнем. Значит и корнем исходного уравнения вида $x_{1} = \frac{y_{1}}{A}$ . Необходимо произвести деление многочлена $A x^{3} + B x^{2} + C x + D$ на $x - x_{1}$ . Тогда сможем найти корни квадратного трехчлена.

Пример 4

Найти корни заданного уравнения $2 x^{3} - 11 x^{2} + 12 x + 9 = 0$ .

Решение

Необходимо произвести преобразование с помощью умножения на $2^{2}$ обеих частей, причем с заменой переменной типа $у = 2 х$ . Получаем, что

$2 x^{3} - 11 x^{2} + 12 x + 9 = 0 2^{3} x^{3} - 11 \cdot 2^{2} x^{2} + 24 \cdot 2 x + 36 = 0 y = 2 x \Rightarrow y^{3} - 11 y^{2} + 24 y + 36 = 0$

Свободный член равняется $36$ , тогда необходимо зафиксировать все его делители:

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 36$

Необходимо произвести подстановку $y^{3} - 11 y^{2} + 24 y + 36 = 0$ , чтобы получить тождество вида

$1^{3} - 11 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 + 36 = 50 \neq 0 (- 1)^{3} - 11 \cdot (- 1)^{2} + 24 \cdot (- 1) + 36 = 0$

Отсюда видим, что $у = - 1$ – это корень. Значит, $x = \frac{y}{2} = - \frac{1}{2}$ .

Далее следует деление $2 x^{3} - 11 x^{2} + 12 x + 9$ на $x + \frac{1}{2}$ при помощи схемы Горнера:

$x_{i}$	Коэффициенты многочлена
	$2$	$- 11$	$12$	$9$
$- 0.5$	$2$	$- 11 + 2 \cdot (- 0.5) = - 12$	$12 - 12 \cdot (- 0.5) = 18$	$9 + 18 \cdot (- 0.5) = 0$

Имеем, что

$2 x^{3} - 11 x^{2} + 12 x + 9 = (x + \frac{1}{2}) (2 x^{2} - 12 x + 18) = = 2 (x + \frac{1}{2}) (x^{2} - 6 x + 9)$

После чего необходимо найти корни квадратного уравнения вида $x^{2} - 6 x + 9$ . Имеем, что уравнение следует привести к виду $x^{2} - 6 x + 9 = {(x - 3)}^{2}$ , где $х = 3$ будет его корнем.

Ответ: $x_{1} = - \frac{1}{2}, x_{2, 3} = 3$ .

Замечание

Алгоритм можно применять для возвратных уравнений. Видно, что $- 1$ – это его корень, значит, левая часть может быть поделена на $х + 1$ . Только тогда можно будет найти корни квадратного трехчлена. При отсутствии рациональных корней применяются другие способы решения для разложения многочлена на множители.

Решение кубических уравнений по формуле Кардано

Нахождение кубических корней возможно при помощи формулы Кардано. При $A_{0} x^{3} + A_{1} x^{2} + A_{2} x + A_{3} = 0$ необходимо найти $B_{1} = \frac{A_{1}}{A_{0}}, B_{2} = \frac{A_{2}}{A_{0}}, B_{3} = \frac{A_{3}}{A_{0}}$ .

После чего $p = - \frac{B_{1}^{2}}{3} + B_{2}$ и $q = \frac{2 B_{1}^{3}}{27} - \frac{B_{1} B_{2}}{3} + B_{3}$ .

Полученные $p$ и $q$ в формулу Кардано. Получим, что

$y = \sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^{2}}{4} + \frac{p^{3}}{27}}} + \sqrt[3]{- \frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^{2}}{4} + \frac{p^{3}}{27}}}$

Подбор кубических корней должен удовлетворять на выходе значению $- \frac{p}{3}$ . Тогда корни исходного уравнения $x = y - \frac{B_{1}}{3}$ . Рассмотрим решение предыдущего примера, используя формулу Кардано.

Пример 5

Найти корни заданного уравнения $2 x^{3} - 11 x^{2} + 12 x + 9 = 0$ .

Решение

Видно, что $A_{0} = 2, A_{1} = - 11, A_{2} = 12, A_{3} = 9$ .

Необходимо найти $B_{1} = \frac{A_{1}}{A_{0}} = - \frac{11}{2}, B_{2} = \frac{A_{2}}{A_{0}} = \frac{12}{2} = 6, B_{3} = \frac{A_{3}}{A_{0}} = \frac{9}{2}$ .

Отсюда следует, что

$p = - \frac{B_{1}^{2}}{3} + B_{2} = - \frac{{(- \frac{11}{2})}^{2}}{3} + 6 = - \frac{121}{12} + 6 = - \frac{49}{12} q = \frac{2 B_{1}^{3}}{27} - \frac{B_{1} B_{2}}{3} + B_{3} = \frac{2 \cdot {(- \frac{11}{2})}^{3}}{27} - \frac{- \frac{11}{2} \cdot 6}{3} + \frac{9}{2} = \frac{343}{108}$

Производим подстановку в формулу Кордано и получим

$y = \sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^{2}}{4} + \frac{p^{3}}{27}}} + \sqrt[3]{- \frac{q}{2} - \sqrt{- \frac{q^{2}}{4} + \frac{p^{3}}{27}}} = = \sqrt[3]{- \frac{343}{216} + \sqrt{\frac{343^{2}}{4 \cdot 108^{2}} - \frac{49^{3}}{27 \cdot 12^{3}}}} + \sqrt[3]{- \frac{343}{216} - \sqrt{\frac{343^{2}}{4 \cdot 108^{2}} - \frac{49^{3}}{27 \cdot 12^{3}}}} = = \sqrt[3]{- \frac{343}{216}} + \sqrt[3]{- \frac{343}{216}}$

$\sqrt[3]{- \frac{343}{216}}$ имеет три значения. Рассмотрим их ниже.

$\sqrt[3]{- \frac{343}{216}} = \frac{7}{6} (\cos \frac{π + 2 π \cdot k}{3} + i \cdot \sin \frac{π + 2 π \cdot k}{3}), k = 0, 1, 2$

Если $k = 0$ , тогда $\sqrt[3]{- \frac{343}{216}} = \frac{7}{6} (\cos \frac{π}{3} + i \cdot \sin \frac{π}{3}) = \frac{7}{6} (\frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})$

Если $k = 1$ , тогда $\sqrt[3]{- \frac{343}{216}} = \frac{7}{6} (cosπ + i \cdot sinπ) = - \frac{7}{6}$

Если $k = 2$ , тогда $\sqrt[3]{- \frac{343}{216}} = \frac{7}{6} (\cos \frac{5 π}{3} + i \cdot \sin \frac{5 π}{3}) = \frac{7}{6} (\frac{1}{2} - i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})$

Необходимо произвести разбиение по парам, тогда получим $- \frac{p}{3} = \frac{49}{36}$ .

Тогда получим пары: $\frac{7}{6} (\frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})$ и $\frac{7}{6} (\frac{1}{2} - i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})$ , $- \frac{7}{6}$ и $- \frac{7}{6}$ , $\frac{7}{6} (\frac{1}{2} - i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})$ и $\frac{7}{6} (\frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Преобразуем при помощи формулы Кордано:

$y_{1} = \sqrt[3]{- \frac{343}{216}} + \sqrt[3]{- \frac{343}{216}} = = \frac{7}{6} (\frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{7}{6} (\frac{1}{2} - i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{7}{6} (\frac{1}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{7}{6} y_{2} = \sqrt[3]{- \frac{343}{216}} + \sqrt[3]{- \frac{343}{216}} = - \frac{7}{6} + (- \frac{7}{6}) = - \frac{14}{6} y_{3} = \sqrt[3]{- \frac{343}{216}} + \sqrt[3]{- \frac{343}{216}} = = \frac{7}{6} (\frac{1}{2} - i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{7}{6} (\frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{7}{6} (\frac{1}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{7}{6}$

Значит,

$x_{1} = y_{1} - \frac{B_{1}}{3} = \frac{7}{6} + \frac{11}{6} = 3 x_{2} = y_{2} - \frac{B_{1}}{3} = - \frac{14}{6} + \frac{11}{6} = - \frac{1}{2} x_{3} = y_{3} - \frac{B_{1}}{3} = \frac{7}{6} + \frac{11}{6} = 3$

Ответ: $x_{1} = - \frac{1}{2}, x_{2, 3} = 3$

При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений $4$ степени методом Феррари.

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.

Решение двучленного кубического уравнения вида Ax3+B=0

Решение возвратного кубического уравнения вида Ax3+Bx2+Bx+A=0

Решение кубических уравнений с рациональными корнями

Решение кубических уравнений по формуле Кардано

Решение двучленного кубического уравнения вида $A x^{3} + B = 0$

Решение возвратного кубического уравнения вида $A x^{3} + B x^{2} + B x + A = 0$