- 13 мая 2023
- 6 минут
- 14 054
Решение уравнений четвертой степени
Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.
Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее.
Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.
Решение двучленного уравнения четвертой степени
Это простейший тип уравнений четвертой степени. Запись уравнения имеет вид Ax4+B=0.
Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:
Ax4+B=0x4+BA=0x4+2√BAx2+BA-2√BAx2=0(x2+√BA)2-2√BAx2=0(x2-√24√BAx+√BA)(x2+√24√BAx+√BA)=0
Остается лишь найти корни квадратных трехчленов.
Решить уравнение четвертой степени 4x4+1=0.
Решение
Для начала проведем разложение многочлена 4x4+1 на множители:
4x4+1=4x4+4x2+1=(2x2+1)2-4x2=(2x2-2x+1)(2x2+2x+1)
Теперь найдем корни квадратных трехчленов.
Первого:
2x2-2x+1=0D=(-2)2-4·2·1=-4x1=2+√D2·2=12+ix2=2-√D2·2=12-i
Второго:
2x2+2x+1=0D=22-4·2·1=-4x3=-2+√D2·2=-12+ix4=-2-√D2·2=-12-i
Мы получили четыре комплексных корня.
Ответ: x=12±i и x=-12±i.
Решение возвратного уравнения четвертой степени
Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0
х=0 не является корнем этого уравнения: A·04+B·03+C·02+B·0+A=A≠0. Поэтому на x2 можно смело разделить обе части этого уравнения:
Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0Ax2+Bx+C+Bx+Ax2=0Ax2+Ax2+Bx+Bx+C=0A(x2+1x2)+B(x+1x)+C=0
Проведем замену переменных x+1x=y⇒(x+1x)2=y2⇒x2+1x2=y2-2:
A(x2+1x2)+B(x+1x)+C=0A(y2-2)+By+C=0Ay2+By+C-2A=0
Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.
Найти все комплексные корни уравнения 2x4+(2√3+√2)x3+(4+√6)x2+(2√3+√2)x+2=0.
Решение
Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на x2:
2x2+(2√3+√2)x+4+√6+(2√3+√2)x+2x2=0
Проведем группировку:
2x2+2x2+(2√3+√2)x+(2√3+√2)x+4+√6+=02(x2+1x2)+(2√3+√2)(x+1x)+4+√6=0
Проведем замену переменной x+1x=y⇒(x+1x)2=y2⇒x2+1x2=y2-2
2(x2+1x2)+(2√3+√2)(x+1x)+4+√6=02(y2-2)+(2√3+√2)y+4+√6=02y2+(2√3+√2)y+√6=0
Решим полученное квадратное уравнение:
D=(2√3+√2)2-4·2·√6=12+4√6+2-8√6==12-4√6+2=(2√3-√2)2y1=-2√3-√2+√D2·2=-2√3-√2+2√3-√24=-√22y2=-2√3-√2-√D2·2=-2√3-√2-2√3+√24=-√3
Вернемся к замене: x+1x=-√22, .
Решим первое уравнение:
Решим второе уравнение:
Ответ: и .
Решение биквадратного уравнения
Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид . Мы можем свести такое уравнение к квадратному путем замены . Это стандартный прием.
Решить биквадратное уравнение .
Решение
Выполним замену переменной , что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному:
Следовательно, или .
Первое равенство позволяет нам получить корень . Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней .
Ответ: и .
Найти все комплексные корни биквадратного уравнения .
Решение
Используем метод замены для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному:
Поэтому, в силу замены переменной, или .
Ответ: .
Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями
Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней».
Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари
Уравнения четвертой степени вида в общем случае можно решить с применением метода Феррари. Для этого необходимо найти . Это любой из корней кубического уравнения . После этого необходимо решить два квадратных уравнения , у которых подкоренное выражение является полным квадратом.
Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени.
Найти корни уравнения .
Решение
Имеем . Применим метод Феррари для решения данного уравнения.
Составим и решим кубическое уравнение:
Одним из корней кубического уравнения будет , так как .
Запишем два квадратных уравнения:
или
или
Корнями первого уравнения будут , корнями второго и .
Ответ: .
Математические онлайн-калькуляторы
Сохранить статью удобным способом