Решение уравнений четвертой степени

13 мая 2023
6 минут
12 255

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее.

Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.

Решение двучленного уравнения четвертой степени

Это простейший тип уравнений четвертой степени. Запись уравнения имеет вид $A x^{4} + B = 0$ .

Определение 1

Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:

$A x^{4} + B = 0 x^{4} + \frac{B}{A} = 0 x^{4} + 2 \sqrt{\frac{B}{A}} x^{2} + \frac{B}{A} - 2 \sqrt{\frac{B}{A}} x^{2} = 0 {(x^{2} + \sqrt{\frac{B}{A}})}^{2} - 2 \sqrt{\frac{B}{A}} x^{2} = 0 (x^{2} - \sqrt{2} \sqrt[4]{\frac{B}{A}} x + \sqrt{\frac{B}{A}}) (x^{2} + \sqrt{2} \sqrt[4]{\frac{B}{A}} x + \sqrt{\frac{B}{A}}) = 0$

Остается лишь найти корни квадратных трехчленов.

Пример 1

Решить уравнение четвертой степени $4 x^{4} + 1 = 0$ .

Решение

Для начала проведем разложение многочлена $4 x^{4} + 1$ на множители:

$4 x^{4} + 1 = 4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 = (2 x^{2} + 1)^{2} - 4 x^{2} = (2 x^{2} - 2 x + 1) (2 x^{2} + 2 x + 1)$

Теперь найдем корни квадратных трехчленов.

Первого:

$2 x^{2} - 2 x + 1 = 0 D = (- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = - 4 x_{1} = \frac{2 + \sqrt{D}}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} + i x_{2} = \frac{2 - \sqrt{D}}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} - i$

Второго:

$2 x^{2} + 2 x + 1 = 0 D = 2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = - 4 x_{3} = \frac{- 2 + \sqrt{D}}{2 \cdot 2} = - \frac{1}{2} + i x_{4} = \frac{- 2 - \sqrt{D}}{2 \cdot 2} = - \frac{1}{2} - i$

Мы получили четыре комплексных корня.

Ответ: $x = \frac{1}{2} \pm i$ и $x = - \frac{1}{2} \pm i$ .

Решение возвратного уравнения четвертой степени

Определение 2

Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид $A x^{4} + B x^{3} + C x^{2} + B x + A = 0$

$х = 0$ не является корнем этого уравнения: $A \cdot 0^{4} + B \cdot 0^{3} + C \cdot 0^{2} + B \cdot 0 + A = A \neq 0$ . Поэтому на $x^{2}$ можно смело разделить обе части этого уравнения:

$A x^{4} + B x^{3} + C x^{2} + B x + A = 0 A x^{2} + B x + C + \frac{B}{x} + \frac{A}{x^{2}} = 0 A x^{2} + \frac{A}{x^{2}} + B x + \frac{B}{x} + C = 0 A (x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) + B (x + \frac{1}{x}) + C = 0$

Проведем замену переменных $x + \frac{1}{x} = y \Rightarrow {(x + \frac{1}{x})}^{2} = y^{2} \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = y^{2} - 2$ :

$A (x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) + B (x + \frac{1}{x}) + C = 0 A (y^{2} - 2) + B y + C = 0 A y^{2} + B y + C - 2 A = 0$

Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.

Пример 2

Найти все комплексные корни уравнения $2 x^{4} + (2 \sqrt{3} + \sqrt{2}) x^{3} + (4 + \sqrt{6}) x^{2} + (2 \sqrt{3} + \sqrt{2}) x + 2 = 0$ .

Решение

Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на $x^{2}$ :

$2 x^{2} + (2 \sqrt{3} + \sqrt{2}) x + 4 + \sqrt{6} + \frac{(2 \sqrt{3} + \sqrt{2})}{x} + \frac{2}{x^{2}} = 0$

Проведем группировку:

$2 x^{2} + \frac{2}{x^{2}} + (2 \sqrt{3} + \sqrt{2}) x + \frac{(2 \sqrt{3} + \sqrt{2})}{x} + 4 + \sqrt{6} + = 0 2 (x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) + (2 \sqrt{3} + \sqrt{2}) (x + \frac{1}{x}) + 4 + \sqrt{6} = 0$

Проведем замену переменной $x + \frac{1}{x} = y \Rightarrow {(x + \frac{1}{x})}^{2} = y^{2} \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = y^{2} - 2$

$2 (x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) + (2 \sqrt{3} + \sqrt{2}) (x + \frac{1}{x}) + 4 + \sqrt{6} = 0 2 (y^{2} - 2) + (2 \sqrt{3} + \sqrt{2}) y + 4 + \sqrt{6} = 0 2 y^{2} + (2 \sqrt{3} + \sqrt{2}) y + \sqrt{6} = 0$

Решим полученное квадратное уравнение:

$D = {(2 \sqrt{3} + \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot \sqrt{6} = 12 + 4 \sqrt{6} + 2 - 8 \sqrt{6} = = 12 - 4 \sqrt{6} + 2 = {(2 \sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2} y_{1} = \frac{- 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{D}}{2 \cdot 2} = \frac{- 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} + 2 \sqrt{3} - \sqrt{2}}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2} y_{2} = \frac{- 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} - \sqrt{D}}{2 \cdot 2} = \frac{- 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2}}{4} = - \sqrt{3}$

Вернемся к замене: $x + \frac{1}{x} = - \frac{\sqrt{2}}{2}, x + \frac{1}{x} = - \sqrt{3}$ .

Решим первое уравнение:

$x + \frac{1}{x} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow 2 x^{2} + \sqrt{2} x + 2 = 0 D = {(\sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = - 14 x_{1} = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{D}}{2 \cdot 2} = - \frac{\sqrt{2}}{4} + i \cdot \frac{\sqrt{14}}{4} x_{2} = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{D}}{2 \cdot 2} = - \frac{\sqrt{2}}{4} - i \cdot \frac{\sqrt{14}}{4}$

Решим второе уравнение:

$x + \frac{1}{x} = - \sqrt{3} \Rightarrow x^{2} + \sqrt{3} x + 1 = 0 D = {(\sqrt{3})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = - 1 x_{3} = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{D}}{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + i \cdot \frac{1}{2} x_{4} = \frac{- \sqrt{3} - \sqrt{D}}{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - i \cdot \frac{1}{2}$

Ответ: $x = - \frac{\sqrt{2}}{4} \pm i \cdot \frac{\sqrt{14}}{4}$ и $x = - \frac{\sqrt{3}}{2} \pm i \cdot \frac{1}{2}$ .

Решение биквадратного уравнения

Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид $A x^{4} + B x^{2} + C = 0$ . Мы можем свести такое уравнение к квадратному $A y^{2} + B y + C = 0$ путем замены $y = x^{2}$ . Это стандартный прием.

Пример 3

Решить биквадратное уравнение $2 x^{4} + 5 x^{2} - 3 = 0$ .

Решение

Выполним замену переменной $y = x^{2}$ , что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному:

$2 y^{2} + 5 y - 3 = 0 D = 5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3) = 49 y_{1} = \frac{- 5 + \sqrt{D}}{2 \cdot 2} = \frac{- 5 + 7}{4} = \frac{1}{2} y_{2} = \frac{- 5 - \sqrt{D}}{2 \cdot 2} = \frac{- 5 - 7}{4} = - 3$

Следовательно, $x^{2} = \frac{1}{2}$ или $x^{2} = - 3$ .

Первое равенство позволяет нам получить корень $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ . Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней $x = \pm i \cdot \sqrt{3}$ .

Ответ: $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $x = \pm i \cdot \sqrt{3}$ .

Пример 4

Найти все комплексные корни биквадратного уравнения $16 x^{4} + 145 x^{2} + 9 = 0$ .

Решение

Используем метод замены $y = x^{2}$ для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному:

$16 y^{2} + 145 y + 9 = 0 D = 145^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 9 = 20449 y_{1} = \frac{- 145 + \sqrt{D}}{2 \cdot 16} = \frac{- 145 + 143}{32} = - \frac{1}{16} y_{2} = \frac{- 145 - \sqrt{D}}{2 \cdot 16} = \frac{- 145 - 143}{32} = - 9$

Поэтому, в силу замены переменной, $x^{2} = - \frac{1}{16}$ или $x^{2} = - 9$ .

Ответ: $x_{1, 2} = \pm \frac{1}{4} \cdot i, x_{3, 4} = \pm 3 \cdot i$ .

Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями

Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней».

Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари

Уравнения четвертой степени вида $x^{4} + A x^{3} + B x^{2} + C x + D = 0$ в общем случае можно решить с применением метода Феррари. Для этого необходимо найти $y_{0}$ . Это любой из корней кубического уравнения $y^{3} - B y^{2} + (A C - 4 D) y - A^{2} D + 4 B D - C^{2} = 0$ . После этого необходимо решить два квадратных уравнения $x^{2} + \frac{A}{2} x + \frac{y_{0}}{2} + \sqrt{(\frac{A^{2}}{4} - B + y_{0}) x^{2} + (\frac{A}{2} y_{0} - C) x + \frac{y_{0}^{2}}{4} - D} = 0$ , у которых подкоренное выражение является полным квадратом.

Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени.

Пример 5

Найти корни уравнения $x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{2} - x - 6 = 0$ .

Решение

Имеем $А = 3, В = 3, С = - 1, D = - 6$ . Применим метод Феррари для решения данного уравнения.

Составим и решим кубическое уравнение:
$y^{3} - B y^{2} + (A C - 4 D) y - A^{2} D + 4 B D - C^{2} = 0 y^{3} - 3 y^{2} + 21 y - 19 = 0$

Одним из корней кубического уравнения будет $y_{0} = 1$ , так как $1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 21 \cdot 1 - 19 = 0$ .

Запишем два квадратных уравнения:
$x^{2} + \frac{A}{2} x + \frac{y_{0}}{2} \pm \sqrt{(\frac{A^{2}}{4} - B + y_{0}) x^{2} + (\frac{A}{2} y_{0} - C) x + \frac{y_{0}^{2}}{4} - D} = 0 x^{2} + \frac{3}{2} x + \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} x^{2} + \frac{5}{2} x + \frac{25}{4}} = 0 x^{2} + \frac{3}{2} x + \frac{1}{2} \pm \sqrt{{(\frac{1}{2} x + \frac{5}{2})}^{2}} = 0$

$x^{2} + \frac{3}{2} x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} x + \frac{5}{2} = 0$ или $x^{2} + \frac{3}{2} x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x - \frac{5}{2} = 0$

$x^{2} + 2 x + 3 = 0$ или $x^{2} + x - 2 = 0$

Корнями первого уравнения будут $x = - 1 \pm i \cdot \sqrt{2}$ , корнями второго $х = 1$ и $х = - 2$ .

Ответ: $x_{1, 2} = - 1 \pm i \sqrt{2}, x_{3} = 1, x_{4} = - 2$ .