Автор статьи

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik

Решение уравнений четвертой степени

Содержание:
  1. Решение двучленного уравнения четвертой степени
  2. Решение возвратного уравнения четвертой степени
  3. Решение биквадратного уравнения
  4. Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями
  5. Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари

Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее.

Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.

Решение двучленного уравнения четвертой степени

Это простейший тип уравнений четвертой степени. Запись уравнения имеет вид Ax4+B=0Ax4+B=0.

Определение 1

Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:

Ax4+B=0x4+BA=0x4+2BAx2+BA-2BAx2=0(x2+BA)2-2BAx2=0(x2-24BAx+BA)(x2+24BAx+BA)=0

Остается лишь найти корни квадратных трехчленов.

Пример 1

Решить уравнение четвертой степени 4x4+1=0.

Решение

Для начала проведем разложение многочлена 4x4+1 на множители:

4x4+1=4x4+4x2+1=(2x2+1)2-4x2=(2x2-2x+1)(2x2+2x+1)

Теперь найдем корни квадратных трехчленов.

Первого:

2x2-2x+1=0D=(-2)2-4·2·1=-4x1=2+D2·2=12+ix2=2-D2·2=12-i

Второго:

2x2+2x+1=0D=22-4·2·1=-4x3=-2+D2·2=-12+ix4=-2-D2·2=-12-i

Мы получили четыре комплексных корня.

Ответ: x=12±i и x=-12±i.

Решение возвратного уравнения четвертой степени

Определение 2

Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0

х=0 не является корнем этого уравнения: A·04+B·03+C·02+B·0+A=A0. Поэтому на x2 можно смело разделить обе части этого уравнения:

Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0Ax2+Bx+C+Bx+Ax2=0Ax2+Ax2+Bx+Bx+C=0A(x2+1x2)+B(x+1x)+C=0

Проведем замену переменных x+1x=y(x+1x)2=y2x2+1x2=y2-2:

A(x2+1x2)+B(x+1x)+C=0A(y2-2)+By+C=0Ay2+By+C-2A=0

Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.

Пример 2

Найти все комплексные корни уравнения 2x4+(23+2)x3+(4+6)x2+(23+2)x+2=0.

Решение

Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на x2:

2x2+(23+2)x+4+6+(23+2)x+2x2=0

Проведем группировку:

2x2+2x2+(23+2)x+(23+2)x+4+6+=02(x2+1x2)+(23+2)(x+1x)+4+6=0

Проведем замену переменной x+1x=y(x+1x)2=y2x2+1x2=y2-2

2(x2+1x2)+(23+2)(x+1x)+4+6=02(y2-2)+(23+2)y+4+6=02y2+(23+2)y+6=0

Решим полученное квадратное уравнение:

D=(23+2)2-4·2·6=12+46+2-86==12-46+2=(23-2)2y1=-23-2+D2·2=-23-2+23-24=-22y2=-23-2-D2·2=-23-2-23+24=-3

Вернемся к замене: x+1x=-22, x+1x=-3.

Решим первое уравнение:

x+1x=-222x2+2x+2=0D=(2)2-4·2·2=-14x1=-2-D2·2=-24+i·144x2=-2-D2·2=-24-i·144

Решим второе уравнение:

x+1x=-3x2+3x+1=0D=(3)2-4·1·1=-1x3=-3+D2=-32+i·12x4=-3-D2=-32-i·12

Ответ: x=-24±i·144 и x=-32±i·12.

Решение биквадратного уравнения

Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид Ax4+Bx2+C=0. Мы можем свести такое уравнение к квадратному Ay2+By+C=0 путем замены y=x2. Это стандартный прием.

Пример 3

Решить биквадратное уравнение 2x4+5x2-3=0.

Решение

Выполним замену переменной y=x2, что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному:

2y2+5y-3=0D=52-4·2·(-3)=49y1=-5+D2·2=-5+74=12y2=-5-D2·2=-5-74=-3

Следовательно, x2=12 или x2=-3.

Первое равенство позволяет нам получить корень x=±12. Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней x=±i·3.

Ответ: x=±12 и x=±i·3.

Пример 4

Найти все комплексные корни биквадратного уравнения 16x4+145x2+9=0.

Решение

Используем метод замены y=x2 для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному:

16y2+145y+9=0D=1452-4·16·9=20449y1=-145+D2·16=-145+14332=-116y2=-145-D2·16=-145-14332=-9

Поэтому, в силу замены переменной, x2=-116 или x2=-9.

Ответ: x1, 2=±14·i, x3, 4=±3·i.

Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями

Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней».

Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари

Уравнения четвертой степени вида x4+Ax3+Bx2+Cx+D=0 в общем случае можно решить с применением метода Феррари. Для этого необходимо найти y0. Это любой из корней кубического уравнения y3-By2+(AC-4D)y-A2D+4BD-C2=0. После этого необходимо решить два квадратных уравнения x2+A2x+y02+(A24-B+y0)x2+(A2y0-C)x+y204-D=0, у которых подкоренное выражение является полным квадратом.

Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени.

Пример 5

Найти корни уравнения x4+3x3+3x2-x-6=0.

Решение

Имеем А=3, В=3, С=-1, D=-6. Применим метод Феррари для решения данного уравнения.

Составим и решим кубическое уравнение:
y3-By2+(AC-4D)y-A2D+4BD-C2=0y3-3y2+21y-19=0

Одним из корней кубического уравнения будет y0=1, так как 13-3·12+21·1-19=0.

Запишем два квадратных уравнения:
x2+A2x+y02±(A24-B+y0)x2+(A2y0-C)x+y204-D=0x2+32x+12±14x2+52x+254=0x2+32x+12±(12x+52)2=0

x2+32x+12+12x+52=0 или x2+32x+12-12x-52=0

x2+2x+3=0 или x2+x-2=0

Корнями первого уравнения будут x=-1±i·2, корнями второго х=1 и х=-2.

Ответ: x1,2=-1±i2, x3=1, x4=-2.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Сохранить статью удобным способом

Навигация по статьям

Наши социальные сети
Не получается написать работу самому?
Доверь это кандидату наук!
Связаться через
Я принимаю условия пользовательского соглашения и  политики приватности, а также даю свое согласие на обработку моих персональных данных
Выполненные работы по математике
  • Математика

    Линейная алгебра и геометрия Теория вероятностей

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      17 мая 2012

    • Стоимость:

      600 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    теория вероятности

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      16 апреля 2012

    • Стоимость:

      500 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    теория вероятности

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      16 апреля 2012

    • Стоимость:

      500 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    исследование функции и построение графика

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      27 марта 2012

    • Стоимость:

      200 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    две контрольных работы

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      25 января 2012

    • Стоимость:

      1 100 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    контрольная работа

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      24 января 2012

    • Стоимость:

      700 руб.

    Заказать такую же работу