Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik
Решение уравнений четвертой степени
- 13 мая 2023
- 6 минут
- 13 554
Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее.
Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.
Решение двучленного уравнения четвертой степени
Это простейший тип уравнений четвертой степени. Запись уравнения имеет вид Ax4+B=0Ax4+B=0.
Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:
Ax4+B=0x4+BA=0x4+2√BAx2+BA-2√BAx2=0(x2+√BA)2-2√BAx2=0(x2-√24√BAx+√BA)(x2+√24√BAx+√BA)=0
Остается лишь найти корни квадратных трехчленов.
Решить уравнение четвертой степени 4x4+1=0.
Решение
Для начала проведем разложение многочлена 4x4+1 на множители:
4x4+1=4x4+4x2+1=(2x2+1)2-4x2=(2x2-2x+1)(2x2+2x+1)
Теперь найдем корни квадратных трехчленов.
Первого:
2x2-2x+1=0D=(-2)2-4·2·1=-4x1=2+√D2·2=12+ix2=2-√D2·2=12-i
Второго:
2x2+2x+1=0D=22-4·2·1=-4x3=-2+√D2·2=-12+ix4=-2-√D2·2=-12-i
Мы получили четыре комплексных корня.
Ответ: x=12±i и x=-12±i.
Решение возвратного уравнения четвертой степени
Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0
х=0 не является корнем этого уравнения: A·04+B·03+C·02+B·0+A=A≠0. Поэтому на x2 можно смело разделить обе части этого уравнения:
Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0Ax2+Bx+C+Bx+Ax2=0Ax2+Ax2+Bx+Bx+C=0A(x2+1x2)+B(x+1x)+C=0
Проведем замену переменных x+1x=y⇒(x+1x)2=y2⇒x2+1x2=y2-2:
A(x2+1x2)+B(x+1x)+C=0A(y2-2)+By+C=0Ay2+By+C-2A=0
Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.
Найти все комплексные корни уравнения 2x4+(2√3+√2)x3+(4+√6)x2+(2√3+√2)x+2=0.
Решение
Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на x2:
2x2+(2√3+√2)x+4+√6+(2√3+√2)x+2x2=0
Проведем группировку:
2x2+2x2+(2√3+√2)x+(2√3+√2)x+4+√6+=02(x2+1x2)+(2√3+√2)(x+1x)+4+√6=0
Проведем замену переменной x+1x=y⇒(x+1x)2=y2⇒x2+1x2=y2-2
2(x2+1x2)+(2√3+√2)(x+1x)+4+√6=02(y2-2)+(2√3+√2)y+4+√6=02y2+(2√3+√2)y+√6=0
Решим полученное квадратное уравнение:
D=(2√3+√2)2-4·2·√6=12+4√6+2-8√6==12-4√6+2=(2√3-√2)2y1=-2√3-√2+√D2·2=-2√3-√2+2√3-√24=-√22y2=-2√3-√2-√D2·2=-2√3-√2-2√3+√24=-√3
Вернемся к замене: x+1x=-√22, x+1x=-√3.
Решим первое уравнение:
x+1x=-√22⇒2x2+√2x+2=0D=(√2)2-4·2·2=-14x1=-√2-√D2·2=-√24+i·√144x2=-√2-√D2·2=-√24-i·√144
Решим второе уравнение:
x+1x=-√3⇒x2+√3x+1=0D=(√3)2-4·1·1=-1x3=-√3+√D2=-√32+i·12x4=-√3-√D2=-√32-i·12
Ответ: x=-√24±i·√144 и x=-√32±i·12.
Решение биквадратного уравнения
Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид Ax4+Bx2+C=0. Мы можем свести такое уравнение к квадратному Ay2+By+C=0 путем замены y=x2. Это стандартный прием.
Решить биквадратное уравнение 2x4+5x2-3=0.
Решение
Выполним замену переменной y=x2, что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному:
2y2+5y-3=0D=52-4·2·(-3)=49y1=-5+√D2·2=-5+74=12y2=-5-√D2·2=-5-74=-3
Следовательно, x2=12 или x2=-3.
Первое равенство позволяет нам получить корень x=±1√2. Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней x=±i·√3.
Ответ: x=±1√2 и x=±i·√3.
Найти все комплексные корни биквадратного уравнения 16x4+145x2+9=0.
Решение
Используем метод замены y=x2 для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному:
16y2+145y+9=0D=1452-4·16·9=20449y1=-145+√D2·16=-145+14332=-116y2=-145-√D2·16=-145-14332=-9
Поэтому, в силу замены переменной, x2=-116 или x2=-9.
Ответ: x1, 2=±14·i, x3, 4=±3·i.
Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями
Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней».
Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари
Уравнения четвертой степени вида x4+Ax3+Bx2+Cx+D=0 в общем случае можно решить с применением метода Феррари. Для этого необходимо найти y0. Это любой из корней кубического уравнения y3-By2+(AC-4D)y-A2D+4BD-C2=0. После этого необходимо решить два квадратных уравнения x2+A2x+y02+√(A24-B+y0)x2+(A2y0-C)x+y204-D=0, у которых подкоренное выражение является полным квадратом.
Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени.
Найти корни уравнения x4+3x3+3x2-x-6=0.
Решение
Имеем А=3, В=3, С=-1, D=-6. Применим метод Феррари для решения данного уравнения.
Составим и решим кубическое уравнение:
y3-By2+(AC-4D)y-A2D+4BD-C2=0y3-3y2+21y-19=0
Одним из корней кубического уравнения будет y0=1, так как 13-3·12+21·1-19=0.
Запишем два квадратных уравнения:
x2+A2x+y02±√(A24-B+y0)x2+(A2y0-C)x+y204-D=0x2+32x+12±√14x2+52x+254=0x2+32x+12±√(12x+52)2=0
x2+32x+12+12x+52=0 или x2+32x+12-12x-52=0
x2+2x+3=0 или x2+x-2=0
Корнями первого уравнения будут x=-1±i·√2, корнями второго х=1 и х=-2.
Ответ: x1,2=-1±i√2, x3=1, x4=-2.
Сохранить статью удобным способом