Уравнение и его корни: определения, примеры

19 октября 2023
8 минут
6 763

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

После того, как мы изучили понятие равенств, а именно один из их видов – числовые равенства, можно перейти к еще одному важному виду – уравнениям. В рамках данного материала мы объясним, что такое уравнение и его корень, сформулируем основные определения и приведем различные примеры уравнений и нахождения их корней.

Понятие уравнения

Обычно понятие уравнения изучается в самом начале школьного курса алгебры. Тогда оно определяется так:

Определение 1

Уравнением называется равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.

Принято обозначать неизвестные маленькими латинскими буквами, например, $t, r, m$ др., но чаще всего используются $x, y, z$ . Иными словами, уравнение определяет форма его записи, то есть равенство будет уравнением только тогда, когда будет приведен к определенному виду – в нем должна быть буква, значение которое надо найти.

Приведем несколько примеров простейших уравнений. Это могут быть равенства вида $x = 5$ , $y = 6$ и т.д., а также те, что включают в себя арифметические действия, к примеру, $x + 7 = 38, z - 4 = 2, 8 \cdot t = 4, 6 : x = 3$ .

После того, как изучено понятие скобок, появляется понятие уравнений со скобками. К ним относятся $7 \cdot (x - 1) = 19$ , $x + 6 \cdot (x + 6 \cdot (x - 8)) = 3$ и др. Буква, которую надо найти, может встречаться не один раз, а несколько, как, например, в уравнении $x + 2 + 4 \cdot x - 2 - x = 10$ . Также неизвестные могут быть расположены не только слева, но и справа или в обеих частях одновременно, например, $x \cdot (8 + 1) - 7 = 8, 3 - 3 = z + 3$ или $8 \cdot x - 9 = 2 \cdot (x + 17)$ .

Далее, после того, как ученики знакомятся с понятием целых, действительных, рациональных, натуральных чисел, а также логарифмами, корнями и степенями, появляются новые уравнения, включающие в себя все эти объекты. Примерам таких выражений мы посвятили отдельную статью.

В программе за $7$ класс впервые возникает понятие переменных. Это такие буквы, которые могут принимать разные значения (подробнее см. в статье о числовых, буквенных выражениях и выражениях с переменными). Основываясь на этом понятии, мы можем дать новое определение уравнению:

Определение 2

Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

То есть, к примеру, выражение $x + 3 = 6 \cdot x + 7$ – это уравнение с переменной $x$ , а $3 \cdot y - 1 + y = 0$ – уравнение с переменной $y$ .

В одном уравнении может быть не одна переменная, а две и более. Их называют соответственно уравнениями с двумя, тремя переменными и др. Запишем определение:

Определение 3

Уравнениями с двумя (тремя, четырьмя и более) переменными называют уравнения, которые включают в себя соответствующее количество неизвестных.

К примеру, равенство вида $3, 7 \cdot x + 0, 6 = 1$ является уравнением с одной переменной $x$ , а $x - z = 5$ – уравнением с двумя переменными $x$ и $z$ . Примером уравнения с тремя переменными может быть выражение $x^{2} + (y - 6)^{2} + (z + 0, 6)^{2} = 26$ .

Корень уравнения

Когда мы говорим об уравнении, сразу возникает необходимость определиться с понятием его корня. Попробуем объяснить, что оно означает.

Пример 1

Нам дано некое уравнение, включающее в себя одну переменную. Если мы подставим вместо неизвестной буквы число, то уравнение станет числовым равенством – верным или неверным. Так, если в уравнении $a + 1 = 5$ мы заменим букву числом $2$ , то равенство станет неверным, а если $4$ , то получится верное равенство $4 + 1 = 5$ .

Нас больше интересуют именно те значения, с которыми переменная обратится в верное равенство. Они и называются корнями или решениями. Запишем определение.

Определение 4

Корнем уравнения называют такое значение переменной, которое обращает данное уравнение в верное равенство.

Корень также можно назвать решением, или наоборот – оба эти понятия означают одно и то же.

Пример 2

Возьмем пример для пояснения этого определения. Выше мы приводили уравнение $a + 1 = 5$ . Согласно определению, корнем в данном случае будет $4$ , потому что при подстановке вместо буквы оно дает верное числовое равенство, а двойка не будет решением, поскольку ей отвечает неверное равенство $2 + 1 = 5$ .

Сколько корней может иметь одно уравнение? Любое ли уравнение имеет корень? Ответим на эти вопросы.

Уравнения, не имеющие ни одного корня, тоже существуют. Примером может быть $0 \cdot x = 5$ . Мы можем подставить в него бесконечно много разных чисел, но ни одно из них не превратит его в верное равенство, поскольку умножение на $0$ всегда дает $0$ .

Также бывают уравнения, имеющие несколько корней. У них может быть как конечное, так и бесконечно большое количество корней.

Пример 3

Так, в уравнении $x - 2 = 4$ есть только один корень – шесть, в $x^{2} = 9$ два корня – три и минус три, в $x \cdot (x - 1) \cdot (x - 2) = 0$ три корня – нуль, один и два, в уравнении x=x корней бесконечно много.

Теперь поясним, как правильно записывать корни уравнения. Если их нет, то мы так и пишем: «уравнение корней не имеет». Можно также в этом случае указать знак пустого множества $\emptyset$ . Если корни есть, то пишем их через запятую или указываем как элементы множества, заключив в фигурные скобки. Так, если у какого-либо уравнения есть три корня $- 2, 1$ и $5$ , то пишем - $2, 1, 5$ или ${- 2, 1, 5}$ .

Допускается запись корней в виде простейших равенств. Так, если неизвестная в уравнении обозначена буквой $y$ , а корнями являются $2$ и $7$ , то мы пишем $y = 2$ и $y = 7$ . Иногда к буквам добавляются нижние индексы, например, $x_{1} = 3, x_{2} = 5$ . Таким образом мы указываем на номера корней. Если решений у уравнения бесконечно много, то мы записываем ответ как числовой промежуток или используем общепринятые обозначения: множество натуральных чисел обозначается $N$ , целых – $Z$ , действительных – $R$ . Скажем, если нам надо записать, что решением уравнения будет любое целое число, то мы пишем, что $x \in Z$ , а если любое действительное от единицы до девяти, то $y \in [1, 9]$ .

Когда у уравнения два, три корня или больше, то, как правило, говорят не о корнях, а о решениях уравнения. Сформулируем определение решения уравнения с несколькими переменными.

Определение 5

Решение уравнения с двумя, тремя и более переменными – это два, три и более значения переменных, которые обращают данное уравнение в верное числовое равенство.

Поясним определение на примерах.

Пример 4

Допустим, у нас есть выражение $x + y = 7$ , которое представляет из себя уравнение с двумя переменными. Подставим вместо первой единицу, а вместо второй двойку. У нас получится неверное равенство, значит, эта пара значений не будет решением данного уравнения. Если же мы возьмем пару $3$ и $4$ , то равенство станет верным, значит, мы нашли решение.

Такие уравнения тоже могут не иметь корней или иметь бесконечное их количество. Если нам надо записать два, три, четыре и более значений, то мы пишем их через запятую в круглых скобках. То есть в примере выше ответ будет выглядеть как $(3, 4)$ .

На практике чаще всего приходится иметь дело с уравнениями, содержащими одну переменную. Алгоритм их решения мы подробно рассмотрим в статье, посвященной решению уравнений.