Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа: основные свойства

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс - обратные тригонометрические функции. Они обладают рядом свойств, которые мы рассмотрим в этой статье. Помимо словесных и математических формулировок основных свойств арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, будут приведены доказательства этих свойств.

Синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса

Это свойство используется чаще всего, поэтому логичнее всего начать рассмотрение всех основных свойств именно с него. Рассмотрим, чему равны синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса числа.

• $\sin \left(arc\sin a\right)=a, a\in \left.open1; -1\right]$;
• $\cos \left(arc\cos a\right)=a, a\in \left.open1; -1\right]$;
• $tg(arctg a)=a, a\in \left.open-\infty ; +\infty \right]$;
• $ctg(arcctg a)=a, a\in \left.open-\infty ; +\infty \right]$.

Данное свойство следует напрямую из определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. 

Рассмотрим доказательство на примере арксинуса. Согласно определению, арксинус числа  - это такой угол или число, синус которого равен числу $a$. При этом число $a$ лежит в пределах от $-1$ до $+1$ включительно. В виде формулы определение запишется так: 

$\sin (arc\sin a)=a$

Доказательство для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса строится аналогично, на базе определений этих функций. Вот несколько примеров использования данного свойства.

$$\begin{gathered} \sin \left(arc\sin \right(0,3)=0,3 \\ \cos \left(arc\cos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ tg(arctg\left(8\right))=8 \\ ctg(arcctg\left(15\frac{8}{9}\right))=15\frac{8}{9} \end{gathered}$$

Важно отметить, что для обратных функций синуса и косинуса имеет место ограничение для значений числа $a$. Так, при $a$, лежащем вне пределов отрезка $\left.open-1, 1\right]$, арксинус и арккосинус не определены и записи $arc\sin a$ и $arc\cos a$ попросту не имеют смысла. Это связано с тем, что область значений синуса и косинуса - от минус единицы до плюс единицы. Например, нельзя записать $\cos \left(arc\cos \right(\sqrt{9}\left)\right)$, так как $\sqrt{9}$ больше $1$ и данное выражение не имеет смысла. Делать подобные записи - ошибочно!

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс противоположных чисел

Существует связь между арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами противоположных чисел. Запишем соотношения, выражающие ее.

• $arc\sin \left(-a\right)=-arc\sin a, a\in \left.open-1, 1\right]$;
• $arc\cos \left(-a\right)=\mathrm{\pi }-arc\cos a, a\in \left.open-1, 1\right]$;
• $arctg\left(-a\right)=-arctg a, a\in \left.open-\infty , +\infty \right]$;
• $arcctg\left(-a\right)=\mathrm{\pi }-arcctg a, a\in \left.open-\infty , +\infty \right]$.

Докажем записанное. Начнем, как всегда, с доказательства для арксинусов. При $-1\le a\le 1$ имеет место равенство $arc\sin \left(-a\right)=-arc\sin a$. Согласно дефиниции, $arc\sin (-a)$ - это угол (число) в пределах от $-\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ до $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$, синус которого равен $-a$. Для доказательства справедливости первого равенства необходимо доказать, что $-arc\sin a$ лежит в тех же пределах от $-\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ до $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$, что и $arc\sin (-a)$. Также необходимо обосновать, что $\sin (-arc\sin a)=-a$.

Для арксинуса, по определению, справедливо двойное неравенство $-\frac{\mathrm{\pi }}{2}\le arc\sin a\le \frac{\mathrm{\pi }}{2}$. Умножим каждую часть неравенства на $-1$ и получим эквивалентное неравенство $\frac{\mathrm{\pi }}{2}\ge -arc\sin a\ge -\frac{\mathrm{\pi }}{2}$. Переписав его, получим $-\frac{\mathrm{\pi }}{2}\le -arc\sin a\le \frac{\mathrm{\pi }}{2}$.

Переходим ко второй части доказательства. Теперь осталось показать, что $\sin (-arc\sin a)=-a$. Для этого воспользуемся свойством синусов противоположных углов и запишем: $\sin \left(-arc\sin a\right)=-\sin \left(arc\sin a\right)$. С учетом свойства арксинуса, рассмотренного в предыдущем пункте, закончим доказательство.

$\sin \left(-arc\sin a\right)=-\sin \left(arc\sin a\right)=-a$

Доказательство свойства арксинусов противоположных чисел завершено.

Теперь рассмотрим доказательство свойства арккосинусов противоположных чисел.

Для того, чтобы доказать, что $arc\cos \left(-a\right)=\mathrm{\pi }-arc\cos a$ при $a\in \left.open-1, 1\right]$ необходимо во-первых показать, что число undefined. 

Для арккосинуса, по определению, справедливо двойное неравенство $0\le arc\cos a\le \mathrm{\pi }$. Умножив каждую часть неравенства на  - 1 и поменяв знаки, получим эквивалентное неравенство $0\ge -arc\cos a\ge -\mathrm{\pi }$. Перепишем его в другом виде. По свойствам неравенств, можно добавить к каждой части слагаемое, не меняя знаков. Добавим в каждую часть неравенства слагаемое $\mathrm{\pi }$. Получим $\mathrm{\pi }\ge \mathrm{\pi }-arc\cos a\ge 0$, или $0\le \mathrm{\pi }-arc\cos a\le \mathrm{\pi }$.

Теперь покажем, что $\cos \left(\mathrm{\pi }-\arccos \mathrm{a}\right)=-a$. Для этого воспользуемся формулами приведения, согласно которым можно записать $\cos \left(\mathrm{\pi }-\arccos \mathrm{a}\right)=-\cos (arc\cos a)$. Обратившись к свойству арккосинуса, разобранному ранее (см. 1 пункт), заканчиваем доказательство.

$\cos \left(\mathrm{\pi }-\arccos \mathrm{a}\right)=-\cos (arc\cos a)=-a$.

Доказательства для арктангенса и арккотангенса проводится по аналогичному принципу.

Основная польза данного свойства - возможность избавиться от операций с отрицательными числами при работе с арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами. Например, справедливы записи:

$$\begin{gathered} arc\sin \left(-\frac{1}{2}\right)=-arc\sin \frac{1}{2} \\ arc\cos \left(-\frac{5\sqrt{5}}{7}\right)=\mathrm{\pi }-\arccos \frac{5\sqrt{5}}{7} \\ \mathrm{arctg}\left(-1\right)=-\mathrm{arctg}1 \\ \mathrm{arcctg}(-\sqrt{3})=\mathrm{\pi }-\mathrm{arcctg}\sqrt{3} \end{gathered}$$

Сумма арксинуса и арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Данное свойство устанавливает связь соответственно между арксинусом и арккосинусам, арктангенсом и арккотангенсом. Запишем формулы для арксинуса и арккосинуса. 

$arc\sin a+arc\cos a=\frac{\mathrm{\pi }}{2}, a\in \left.open-1, 1\right]$

Соответственно, для арктангенса и арккотангенса

$arctg a+arcctg a=\frac{\mathrm{\pi }}{2}, a\in \left.open-\infty , +\infty \right]$

Приведем доказательство для арксинуса и арккосинуса. Формулу для суммы arcsin и arccos можно переписать в виде $arc\sin a=\frac{\mathrm{\pi }}{2}-arc\cos a$.  Теперь обратимся к определению, согласно которому арксинус - это число (угол), лежащее в пределах от $-\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ до $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$, синус которого равен $a$. 

Запишем неравенство, вытекающее из определения арккосинуса: $0\le arc\cos a\le \mathrm{\pi }$. Умножим все его части на $-1$, а затем прибавим к каждой части $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$. Получим:

$$\begin{gathered} 0\le arc\cos a\le \mathrm{\pi } \\ 0\ge -\arccos \mathrm{a}\ge -\mathrm{\pi } \\ \frac{\mathrm{\pi }}{2}\ge \frac{\mathrm{\pi }}{2}-\arccos \mathrm{a}\ge -\frac{\mathrm{\pi }}{2} \\ -\frac{\mathrm{\pi }}{2}\le \frac{\mathrm{\pi }}{2}-\arccos \mathrm{a}\le \frac{\mathrm{\pi }}{2} \end{gathered}$$

Завершая доказательство, покажем, что $\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-arc\cos a\right)=a$. Для этого используем формулу приведения и свойство косинуса от арккосинуса. 

$\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-arc\cos a\right)=\cos \left(arc\cos a\right)=a$

Таким образом, доказано, что сумма арксинуса и арккосинуса равна $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$. По такому же принципу проводится доказательство для суммы арктангенса и арккотангенса. 

Пользуясь разобранными свойствами, можно выряжать арксинус через арккосинус, арккосинус через арксинус, арктангенс через арккотангенс и наоборот.

Известно, что $arc\sin \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}=\frac{\mathrm{\pi }}{12}$. Найдем арккосинус этого числа.

$$\begin{gathered} arc\sin \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}+arc\cos \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}=\frac{\mathrm{\pi }}{2} \\ arc\cos \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}-arc\sin \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} \\ arc\cos \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\frac{\mathrm{\pi }}{12}=\frac{5\mathrm{\pi }}{12} \end{gathered}$$

Арксинус синуса, арккосинус косинуса, арктангенс тангенса и арккотангенс котангенса

Запишем соотношения, иллюстрирующие свойства арксинуса синуса, арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса.

• $arc\sin (\sin \alpha )=\alpha , -\frac{\mathrm{\pi }}{2}\le \alpha \le \frac{\mathrm{\pi }}{2}$;
• $arc\cos (\cos \alpha )=\alpha , 0\le \alpha \le \mathrm{\pi }$;
• $arctg(tg \alpha )=\alpha , -\frac{\mathrm{\pi }}{2}\le \alpha \le \frac{\mathrm{\pi }}{2}$;
• $arcctg(ctg \alpha )=\alpha , 0\le \alpha \le \mathrm{\pi }$.

Данные равенства и неравенства являются прямым следствием определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Покажем это, доказав, что $arc\sin (\sin \alpha )=\alpha$ при $-\frac{\mathrm{\pi }}{2}\le \alpha \le \frac{\mathrm{\pi }}{2}$.

Обозначим $\sin \alpha$ через $a$. $a$ - число, лежащее в интервале от $-1$ до $+1$. Тогда равенство $arc\sin (\sin \alpha )=\alpha$ можно переписать в виде $arc\sin a=\alpha$. Данное равенство, при заданных условиях, аналогично определению синуса. Таким образом, мы доказали, что $arc\sin (\sin \alpha )=\alpha$ при $-\frac{\mathrm{\pi }}{2}\le \alpha \le \frac{\mathrm{\pi }}{2}$.

Выражение $arc\sin (\sin \alpha )$ имеет смысл не только при $\alpha$, лежащем в пределах от $-\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ до $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$. Однако, равенство $arc\sin (\sin \alpha )=\alpha$ выполняется только при соблюдении условия $-\frac{\mathrm{\pi }}{2}\le \alpha \le \frac{{\displaystyle \mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 2}}$.

Аналогично, соблюдение условий обязательно для арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса.

К примеру, запись $arc\sin \left(\sin \frac{8\mathrm{\pi }}{3}\right)=\frac{8\mathrm{\pi }}{3}$ будет ошибочной, так как число $\frac{8\mathrm{\pi }}{3}$ не удовлетворяет условиям неравенства.

Описанные в этой статье свойства позволяют получить ряд полезных формул, определяющих связи между основными и обратными тригонометрическими функциями. Соотношениям, связывающим sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg и arcctg будет посвящена отдельная статья.