Сумма и разность синусов (sin) и косинусов (cos): вывод формул, примеры, объяснение

Формулы суммы и разности синусов и косинусов для двух углов $α$ и $β$ позволяют перейти от суммы указанных углов к произведению углов $\frac{α + β}{2}$ и $\frac{α - β}{2}$ . Сразу отметим, что не стоит путать формулы суммы и разности синусов и косинусов с формулами синусов и косинусов суммы и разности. Ниже мы перечислим эти формулы, приведем их вывод и покажем примеры применения для конкретных задач.

Формулы суммы и разности синусов и косинусов

Запишем, как выглядят формулы суммы и разности для синусов и для косинусов

Формулы суммы и разности для синусов

$\sin α + \sin β = 2 \sin \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2} \sin α - \sin β = 2 \sin \frac{α - β}{2} \cos \frac{α + β}{2}$

Формулы суммы и разности для косинусов

$\cos α + \cos β = 2 \cos \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2} \cos α - \cos β = - 2 \sin \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2}, \cos α - \cos β = 2 \sin \frac{α + β}{2} \cdot \frac{β - α}{2}$

Данные формулы справедливы для любых углов $α$ и $β$ . Углы $\frac{α + β}{2}$ и $\frac{α - β}{2}$ называются соответственно полусуммой и полуразностью углов альфа и бета. Дадим формулировку для каждой формулы.

Определения формул сумм и разности синусов и косинусов

Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус полуразности.

Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус полусуммы.

Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы и косинуса полуразности этих углов.

Разность косинусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на косинус полуразности этих углов, взятому с отрицательным знаком.

Вывод формул суммы и разности синусов и косинусов

Для вывода формул суммы и разности синуса и косинуса двух углов используются формулы сложения. Приведем их ниже

$\sin (α + β) = \sin α \cdot \cos β + \cos α \cdot \sin β \sin (α - β) = \sin α \cdot \cos β - \cos α \cdot \sin β \cos (α + β) = \cos α \cdot \cos β - \sin α \cdot \sin β \cos (α - β) = \cos α \cdot \cos β + \sin α \cdot \sin β$

Также представим сами углы в виде суммы полусумм и полуразностей.

$α = \frac{α + β}{2} + \frac{α - β}{2} = \frac{α}{2} + \frac{β}{2} + \frac{α}{2} - \frac{β}{2} β = \frac{α + β}{2} - \frac{α - β}{2} = \frac{α}{2} + \frac{β}{2} - \frac{α}{2} + \frac{β}{2}$

Переходим непосредственно к выводу формул суммы и разности для sin и cos.

Вывод формулы суммы синусов

В сумме $\sin α + \sin β$ заменим $α$ и $β$ на выражения для этих углов, приведенные выше. Получим

$\sin α + \sin β = \sin (\frac{α + β}{2} + \frac{α - β}{2}) + \sin (\frac{α + β}{2} - \frac{α - β}{2})$

Теперь к первому выражению применяем формулу сложения, а ко второму - формулу синуса разностей углов (см. формулы выше)

$\sin (\frac{α + β}{2} + \frac{α - β}{2}) = \sin \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2} + \cos \frac{α + β}{2} \sin \frac{α - β}{2} \sin (\frac{α + β}{2} - \frac{α - β}{2}) = \sin \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2} - \cos \frac{α + β}{2} \sin \frac{α - β}{2} \sin (\frac{α + β}{2} + \frac{α - β}{2}) + \sin (\frac{α + β}{2} - \frac{α - β}{2}) = (\sin \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2} + \cos \frac{α + β}{2} \sin \frac{α - β}{2}) + (\sin \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2} - \cos \frac{α + β}{2} \sin \frac{α - β}{2})$ Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и получим искомую формулу

$(\sin \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2} + \cos \frac{α + β}{2} \sin \frac{α - β}{2}) + (\sin \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2} - \cos \frac{α + β}{2} \sin \frac{α - β}{2}) = = 2 \sin \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2}$

Действия по выводу остальных формул аналогичны.

Вывод формулы разности синусов

$\sin α - \sin β = \sin (\frac{α + β}{2} + \frac{α - β}{2}) - \sin (\frac{α + β}{2} - \frac{α - β}{2}) \sin (\frac{α + β}{2} + \frac{α - β}{2}) - \sin (\frac{α + β}{2} - \frac{α - β}{2}) = (\sin \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2} + \cos \frac{α + β}{2} \sin \frac{α - β}{2}) - (\sin \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2} - \cos \frac{α + β}{2} \sin \frac{α - β}{2}) = = 2 \sin \frac{α - β}{2} \cos \frac{α + β}{2}$

Вывод формулы суммы косинусов

$\cos α + \cos β = \cos (\frac{α + β}{2} + \frac{α - β}{2}) + \cos (\frac{α + β}{2} - \frac{α - β}{2}) \cos (\frac{α + β}{2} + \frac{α - β}{2}) + \cos (\frac{α + β}{2} - \frac{α - β}{2}) = (\cos \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2} - \sin \frac{α + β}{2} \sin \frac{α - β}{2}) + (\cos \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2} + \sin \frac{α + β}{2} \sin \frac{α - β}{2}) = = 2 \cos \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2}$

Вывод формулы разности косинусов

$\cos α - \cos β = \cos (\frac{α + β}{2} + \frac{α - β}{2}) - \cos (\frac{α + β}{2} - \frac{α - β}{2}) \cos (\frac{α + β}{2} + \frac{α - β}{2}) - \cos (\frac{α + β}{2} - \frac{α - β}{2}) = (\cos \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2} - \sin \frac{α + β}{2} \sin \frac{α - β}{2}) - (\cos \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2} + \sin \frac{α + β}{2} \sin \frac{α - β}{2}) = = - 2 \sin \frac{α + β}{2} \sin \frac{α - β}{2}$

Примеры решения практических задач

Для начала, сделаем проверку одной из формул, подставив в нее конкретные значения углов. Пусть $α = \frac{π}{2}, β = \frac{π}{6}$ . Вычислим значение суммы синусов этих углов. Сначала воспользуемся таблицей основных значений тригонометрических функций, а затем применим формулу для суммы синусов.

Пример 1. Проверка формулы суммы синусов двух углов

$α = \frac{π}{2}, β = \frac{π}{6} \sin \frac{π}{2} + \sin \frac{π}{6} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \sin \frac{π}{2} + \sin \frac{π}{6} = 2 \sin \frac{\frac{π}{2} + \frac{π}{6}}{2} \cos \frac{\frac{π}{2} - \frac{π}{6}}{2} = 2 \sin \frac{π}{3} \cos \frac{π}{6} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$

Рассмотрим теперь случай, когда значения углов отличаются от основных значений, представленных в таблице. Пусть $α = 165 °, β = 75 °$ . Вычислим значение разности синусов этих углов.

Пример 2. Применение формулы разности синусов

$α = 165 °, β = 75 ° \sin α - \sin β = \sin 165 ° - \sin 75 ° \sin 165 - \sin 75 = 2 \cdot \sin \frac{165 ° - 75 °}{2} \cos \frac{165 ° + 75 °}{2} = = 2 \cdot \sin 45 ° \cdot \cos 120 ° = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

С помощью формул суммы и разности синусов и косинусов можно перейти от суммы или разности к произведению тригонометрических функций. Часто эти формулы называют формулами перехода от суммы к произведению. Формулы суммы и разности синусов и косинусов широко используются при решении тригонометрических уравнений и при преобразовании тригонометрических выражений.