Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса

В этой статье будут рассмотрены три основных свойства тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Первое свойство - знак функции в зависимости от того, какой четверти единичной окружности приналдежит угол $\alpha$. Второе свойство - периодичность. Согласно этому свойству, тигонометрическая функция не меняет значения при изменении угла на целое число оборотов. Третье свойсто определяет, как меняются значения функций sin, cos, tg, ctg при противоположных углах $\alpha$ и $-\alpha$.

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Часто в математическом тексте или в контексте задачи можно встретить фразу: "угол первой, второй, третьей или четвертой координатной четверти". Что это такое?

Обратимся к единичной окружности. Она разделена на четыре четверти. Отметим на окружности начальную точку $A_0(1, 0)$ и, поворачивая ее вокруг точки $O$ на угол $\alpha$, попадем в точку $A_1(x, y)$. В зависимости от того, в какой четверти будет лежать точка $A_1(x, y)$, угол $\alpha$ будет называться углом первой, второй, третьей и четвертой четвети соответственно. 

Для наглядности приведем иллюстрацию.

Угол $\alpha =30°$ лежит в первой четверти. Угол $-210°$ является углом второй четверти. Угол $585°$ - угол третьей четверти. Угол $-45°$ -  это угол четвертой четверти.

При этом углы $\pm 90°, \pm 180°, \pm 270°, \pm 360°$ не принадлежат ни одной четверти, так как лежат на координатных осях.

Теперь рассмотрим знаки, которые принимают синус, косинус, тангенс и котангенс в зависимости от того, в какой четверти лежит угол.

Чтобы определить знаки синуса по четвертям, вспомним опредение. Синус - это ордината точки $A_1(x, y)$. Из рисунка видно, что в первой и второй четвертях она положительна, а в третьей и четверной - отрицательна.

Косинус - это абсцисса точки $A_1(x, y)$. В соответсии с этим, определяем знаки косинуса на окружности. Косинус положителен в первой и четвертой четвертях, а отрицателен во второй и третьей четверти.

Для определения знаков тангенса и котангенса по четвертям также вспоминаем определения этих тригонометрических функций. Тангенс - отношение ординаты точки к абсциссе. Значит, по правилу деления чисел с разными знаками, когда ордината и абсцисса имеют одинаковые знаки, знак тангенса на окружности будет положительным, а когда ордината и абсцисса имеют разные знаки - отрицательным. Аналогично определяются знаки котангенса по четвертям. 

Свойство периодичности

Свойство периодичности - одно из самых очевидных свойств тригонометрических функций.

Действительно, при изменении угла на целое число оборотов мы всегда будем попадать из начальной точки $A$ на единичной окружности в точку $A_1$ с одними и теми же координатами. Соответственно, не будут меняться и значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. 

Математически данное свойство записывается так: 

$$\begin{gathered} \sin \left(\alpha +2\mathrm{\pi }·\mathrm{z}\right)=\sin \alpha \\ \cos \left(\alpha +2\mathrm{\pi }·\mathrm{z}\right)=\cos \alpha \\ tg\left(\alpha +2\mathrm{\pi }·\mathrm{z}\right)=tg \alpha \\ ctg\left(\alpha +2\mathrm{\pi }·\mathrm{z}\right)=ctg \alpha \end{gathered}$$

Какое применение на практике находит это свойство? Свойство периодичности, как и формулы приведения, часто используется для вычисления значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов больших углов. 

Приведем примеры.

$\sin \frac{13\pi }{5}=\sin \left(\frac{3\pi }{5}+2\pi \right)=\sin \frac{3\pi }{5}$

$$\begin{gathered} tg(-689°)=tg(31°+360°·(-2\left)\right)=tg31° \\ tg(-689°)=tg(-329°+360°·(-1\left)\right)=tg(-329°) \end{gathered}$$

Свойства синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов

Вновь  обратимся к единичной окружности.

Точка $A_1(x, y)$ - результат поворота начальной точки $A_0(1, 0)$ вокруг центра окружности на угол $\alpha$. Точка $A_2(x, -y)$ - результат поворота начальной точки на угол $-\alpha$.

Точки $A_1$и $A_2$ симметричны относительно оси абсцисс. В случае, когда $\alpha =0°, \pm 180°, \pm 360°$ точки $A_1$и $A_2$ совпадают. Пусть одна точка имеет координаты $(x, y)$, а вторая - $(x, -y)$. Вспомним определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса и запишем:

$$\begin{gathered} \sin \alpha =y, \cos \alpha =x, tg \alpha =\frac{y}{x}, ctg \alpha =\frac{x}{y} \\ \sin \left(-\alpha \right)=-y, \cos \left(-\alpha \right)=x, tg\left(-\alpha \right)=\frac{-y}{x}, ctg\left(-\alpha \right)=\frac{x}{-y} \end{gathered}$$

  Отсюда следует свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов.

Согласно этому свойству, справедливы равенства

$\sin \left(-48°\right)=-\sin 48°, ctg\frac{\mathrm{\pi }}{9}=-ctg\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{9}\right), \cos 18°=\cos \left(-18°\right)$

Рассмотренное свойство часто используется при решении практических задач в случаях, когда нужно избавиться от отрицательных знаков углов в агрументах тригонометрических функций.