Угол поворота, угол произвольной величины

Среди множества терминов тригонометрии важным является понятие угла поворота. В данной статье рассмотрим поворот и все соответствующие ему определения; дадим представление о полном обороте; изучим угол поворота и его характеристики, а также поворот фигуры вокруг точки. Для лучшего понимания теория будет снабжена иллюстрациями и практическими примерами.

Поворот точки вокруг точки

Центр поворота – точка, относительно которой осуществлен поворот.

Рассмотрим, что происходит в результате поворота точки. Пусть некоторая точка $А$ поворачивается относительно центра поворота $О$, в результате чего получается точка ${А}_1$ (при совершении некоторого количества полных оборотов она может совпасть с точкой $А$). При этом точка ${А}_1$ лежит на окружности с центром в точке $О$ радиуса $ОА$. Другими словами, когда точка $А$ осуществляет поворот относительно точки $О$, она переходит в точку ${А}_1$, лежащую на окружности с центром $О$ радиуса $ОА$.

Считается, что в данном случае точка $О$ при осуществлении поворота вокруг самой себя переходит в саму себя. Или: когда точка $О$ осуществляет поворот вокруг центра поворота $О$, она переходит в саму себя.

Отметим также, что поворот точки $А$ относительно центра $О$ нужно рассматривать, в том числе, как перемещение в результате движения точки $А$ по окружности с центром в точке $О$ радиуса $ОА$.

Изобразим графически поворот точки $А$ относительно точки $О$, перемещение точки $А$ в точку ${А}_1$ отметим стрелкой:

Полный оборот

Возможно осуществить поворот точки $А$ относительно центра поворота $О$ таким образом, что точка $А$, пройдя все точки окружности, вернется на прежнее свое место. Тогда говорим, что точка совершила полный оборотвокруг точки $О$.

Проиллюстрируем:

Если движение точки $А$ по окружности продолжится, то будет выполнено два, три и так далее полных оборотов. На иллюстрации ниже справа отображено два полных оборота, а слева – три:

В рамках всего вышесказанного можно также говорить о частях полного оборота. Например, о половине оборота или трети, или четверти и так далее.

Угол поворота

Из указанного выше понятия поворота точки очевидно, что возможно бесконечное множество вариаций поворота точки $А$ относительно центра $О$. Любую точку окружности с центром $О$ можно рассматривать как точку ${А}_1$, полученную в результате поворота точки $А$. Поэтому для определения отличия одного поворота от другого вводится понятие угла поворота.

Угол поворота имеет свои характеристики, одна из которых – направление поворота. По нему определяют, как перемещалась точка – по часовой стрелке или против.

Еще одной характеристикой угла поворота служит его величина. Углы поворота имеют ту же единицу измерения, что и углы в геометрии: наиболее распространены градусы и радианы. Отметим, что угол поворота может выражаться в градусах любым действительным числом в промежутке от $-\infty$ до $+\infty$, что отличает его от угла в геометрии, который выражается только положительным числом, не превосходящим $180°$.

Чтобы обозначить углы поворота, стандартно используют буквы греческого алфавита: $\alpha , \beta , \gamma$ и так далее. Чтобы обозначить большое количество углов поворота, применяют одну и ту же букву с различными нижними индексами: ${\alpha }_1, {\alpha }_2, {\alpha }_3\dots ..{\alpha }_n$.

Разберем характеристики угла поворота подробнее.

Направление поворота

Отметим на окружности с центром $О$ точки $А$ и ${А}_1$. В точку ${А}_1$ возможно попасть, совершив точкой $А$ поворот относительно центра $О$ либо по часовой стрелке, либо – против. Очевидно определять эти повороты, как различные.

Принято считать, что поворот по часовой стрелке – поворот в отрицательном направлении направлении, а поворот против часовой стрелки – поворот в положительном направлении.

Приведем графическую иллюстрацию различных поворотов: слева на чертеже – поворот в положительном направлении; справа – в отрицательном.

Величина угла поворота, угол произвольной величины

Угол поворота точки, не являющейся центром поворота, в полной мере определяется указанием его величины. С другой стороны, по величине угла поворота можно определить, каким образом поворот был осуществлен.

Как было сказано выше, величина угла поворота варьируется в пределах от $-\infty$ до $+\infty$;

Знак плюс определяет поворот против часовой стрелки, а минус – по часовой стрелке.

Необходимо установить соответствие между самой величиной угла поворота и тем, какому повороту она соответствует.

Пусть угол поворота равен $0°$. Такому углу поворота соответствует перемещение точки в саму себя. Иначе говоря, при повороте вокруг точки $О$ на $0°$ точка $A$ остается на месте.

Теперь предположим, что поворот точки $А$ происходит в пределах половины оборота: пусть точка $А$ переходит в точку ${А}_1$. В таком случае абсолютная величина угла $АО{А}_1$, выраженная в градусах, не превосходит $180$. Если поворот имел положительное направление, то величина угла поворота считается равной величине угла $АО{А}_1$; если отрицательное – величина угла поворота равна величине угла $АО{А}_1$ со знаком минус. Для иллюстрации этих утверждений отобразим на чертеже углы поворота в $30°, 180°$ и $-150°$:

Углы поворота, превышающие $180$ или меньшие $–180$ определяются, исходя из очевидного свойства последовательных поворотов:

Несколько последовательных поворотов точки$А$ относительно центра $О$ равносильны одному повороту, величина которого равна сумме величин этих поворотов.

Рассмотрим пример, который даст нам возможность графически проиллюстрировать описанное свойство. Пусть точка $А$ выполняет поворот относительно центра $О$ на $45°$, затем еще на $60°$ и еще раз - на $-35°$. Обозначим промежуточные точки поворотов ${А}_1, {А}_2$ и ${А}_3$. В конечную точку ${А}_3$ возможно было попасть, совершив один поворот на угол поворота, величина которого равна: $45°+ 60° + (-35°) = 70°$. Проиллюстрируем:

Таким, образом, углы, превышающие $180°$, будем представлять, как несколько последовательных поворотов на углы, сумма величин которых определяет величину исходного угла поворота. Например, угол поворота $298°$ соответствует последовательным поворотам на $180°$ и $118°$, или $90°, 90°, 90°$ и $28°$, или $180°$, $180°$ и $-62°$, или $298$ последовательных поворотов на $1°$.

По такому же принципу определяются углы меньше $-180°$. Например, угол поворота $-515°$ можно определить, как последовательные повороты на $-180°,-180°$ и $-155°$.

Нами был определен угол поворота, и его величина выражается в градусах некоторым действительным числом в пределах от$-\infty$ до $+\infty$. Тригонометрия работает именно с углами поворота, хотя для удобства слово «поворот» опускают и говорят «угол». Т.е. будем рассматривать углы произвольной величины, понимая под ними углы поворота.

В заключение также отметим, что полный оборот в положительном направлении соответствует углу поворота в $360°$ или $2\mathrm{\pi }$ радиан. Соответственно при отрицательном направлении полный оборот будет соответствовать углу в $-360°$ или $-2\mathrm{\pi }$ радиан.

При этом удобно большие углы поворота представлять, как некоторое количество полных оборотов и еще один на величину в пределах от $-180°$ до $180°$. К примеру, поворот осуществляется на $1478°$. Представим эту величину как: $360 · 4 + 38$, т.е. заданному углу поворота соответствуют $4$ полных оборота и еще один поворот – на $38°$. Или еще один пример: угол поворота в $-815°$ можно представить, как $(-360) · 2 + (-95)$, т.е. заданному углу поворота соответствуют $2$ полных оборота в отрицательном направлении (против часовой стрелки) и еще один поворот того же направления на $-95°$.

Поворот фигуры вокруг точки на угол

Понятие поворота точки легко распространить на поворот любой фигуры вокруг точки на угол (такой поворот, при котором и точка, относительно которой осуществляется поворот, и сама поворачиваемая фигура лежат в одной плоскости).

Поворот фигуры – это поворот всех ее точек вокруг заданной точки на заданный угол.

Как пример, иллюстрируем следующее действие: поворот отрезка $АВ$ на угол $\alpha$ относительно точки $О$ – при повороте заданный отрезок перейдет в отрезок ${А}_1{В}_1$.