Автор статьи

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Универсальная тригонометрическая подстановка, вывод формул, примеры

Содержание:

Данная статья посвящена разбору такой темы, как универсальная тригонометрическая подстановка. Суть данного термина состоит в том, что мы находим значение любой тригонометрической функции (sin α, cos α, tg α, ctg α) через формулу тангенса половинного угла. Этот вариант намного проще и рациональнее, так как выполнять дальнейшие вычисления легче без корней, а с целыми числами.

Мы подробно рассмотрим этот раздел. Для начала мы расскажем вам о формулах тангенса половинного угла, которой мы будем часто пользоваться. После мы перейдем к практическому применении формул, рассмотрим несколько примеров использования универсальной тригонометрической подстановки.

Универсальная тригонометрическая подстановка для sin α, cos α, tg α, ctg α

Во введении мы рассказали, что основной темой этого раздела станет основная тригонометрическая подстановка. Для начала запишем и разберем формулы, с помощью которых можно выразить sin α, cos α, tg α, ctg α через тангенс половинного угла α2 .

sin α=2·tgα21+tg2α2,  cos α=1-tg2α21+tg2α2tg α=2·tgα21-tg2α2,    ctg=1-tg2α22·tgα2

Указанные формулы будут правильны для всех углов α . Для работы в задаче должен быть определен входящие тангенсы и котангенсы.

Формулы для sin α и cos αsin α=2·tgα21+tg2α2 и   cos α=1-tg2α21+tg2α2 имеют место для aπ+2π·z , где z – любое целое число, так как при a=π+2π·z,  tg α2 не определен.

Формула tg α=2·tgα21-tg2α2 справедлива для απ2+π·z и aπ+2π·z , так как при a=π2+π·z не определен tg αЗнаменатель дроби обращается в нуль, а при α=π+2π·z не определен tg α2 .

Формула ctg=1-tg2α22·tgα2 , выражающая ctg через tg α2 , справедлива для aπ·z , так как при a=π·z не определен ctg, при a=π+2π·z не определен tg α2, а при α=2π·z знаменатель дроби обращается в нуль.

Вывод формул

Разберем вывод формул, выражающих sin α, cos α, tg α, ctg α через тангенс половинного угла. Начнем с формул для синуса и косинуса. Представим синус и косинус по формулам двойного угла как sin α=2·sin α2·cosα2 и cos α=cos2α2-sin2α2 соответственно. Теперь выражения 2·sinα2·cosα2 и cos2α2-sin2α2 запишем в виде дробей со знаменателем 1 как 2·sinα2·cosα21 и cos2α2-sin2α21 . Воспользуемся основным тождеством из тригонометрии и заменим единицы в знаменателе на сумму квадратов sin и cos, после чего получаем 2·sinα2·cosα2sin2α2+cos2α2 и cos2α2-sin2α2sin2α2+cos2α2

Для решения данного выражения необходимо числитель и знаменатель полученных дробей разделить на cos2α2 (его значение не равно нулю при условии απ+2π·z ). Вся формула будет выглядеть так sin α=2·sinα2·cosα2=2·sinα2·cosα2sin2α2+cos2α2=2·sinα2·cosα2cos2α2sin2α2+cos2α2cos2α2=2·sinα2cosα2sin2α2сos2α2+cos2α2сos2α2=2·tgα2tg2α2+1 

и cos α=cos2α2-sin2α2=cos2α2-sin2α21=cos2α2-sin2α2sin2α2+cos2α2==cos2α2-sin2α2cos2α2sin2α2+cos2α2cos2α2=cos2α2cos2α2-sin2α2cos2α2sin2α2cos2α2+cos2α2cos2α2=1-tg2α2tg2α2+1

Мы закончили вывод формул для sin и cos, завершив все вычислительные действия.

Следующий шаг – это вывод определенных формул для нахождения tg и ctg.

Взяв за основу описанные выше примеры tg α=sin αcos α и ctg α=cos αsin α , мы сразу получаем формулы, которые выражают тангенс и котангенс через тангенс половинного угла:

tg α=sin αcos α=2·tg α21+tg2 α21-tg2 α21+tg2 α2=2·tg α21-tg2 α2;

ctg α= cos αsin α=1-tg2 α21+tg2 α22·tg α21+tg2 α2=1-tg2 α22·tg α2;

В этом разделе мы нашли все формулы, которые нам потребуются для выражения основных тригонометрических функций.

Примеры использования в задачах и упражнениях

Для начала рассмотрим пример применения универсальной тригонометрической подстановки при преобразовании выражений.

Пример 1

Необходимо привести 2+3·cos 4αsin 4α-5 к примеру, который содержит только одну функцию tg 2α.

В данном упражнении мы также воспользуемся универсальной подстановкой, которая является одним из важных правил тригонометрии. Применим к косинусу и синусу 4α те самые формулировки, которые выражают основные функции через тангенс половинного угла. Получив сложное выражение, нам остается только его упростить.

2+3·cos 4αsin 4α-5=2+tg22αtg22α+12·tg2αtg22α+1-5=2·tg22α+2+3-3·tg22αtg22α+12·tg2α-5·2·tg22α-5tg22α+1=tg22α-55·tg22α-2·tg2α+5

2+3·cos 4αsin 4α-5=tg22α-55·tg22α-2·tg2α+5.

Вспомним, что во введении мы подробно рассказали, как менять sin α, cos α, tg α, ctg α в частных случаях. Она заключается в том, чтобы преобразовать первоначальное рациональное выражение, содержащее sin, cos, tg и ctg, к выражению с одной функцией благодаря формуле. Это намного проще и понятнее. Мы выражаем все формулы через tg половинного угла. Данное преобразование обязательно пригодится при решении разнообразных уравнений и задач, интегрировании основных функций sin α, cos α, tg α, ctg α.

Навигация по статьям

Выполненные работы по математике
  • Математика

    Формирование вычислительных навыков на уроках математики в начальной школе.

    • Вид работы:

      Курсовая

    • Выполнена:

      14 июля 2022 г.

    • Стоимость:

      2 580 руб

    Заказать такую же работу
  • Математика

    Роль геометрии в развитии научного мышления

    • Вид работы:

      Эссе

    • Выполнена:

      19 мая 2022 г.

    • Стоимость:

      300 руб

    Заказать такую же работу
  • Математика

    Геометрия в повседневной жизни

    • Вид работы:

      Эссе

    • Выполнена:

      18 мая 2022 г.

    • Стоимость:

      800 руб

    Заказать такую же работу
  • Математика

    Значение геометрии в современном мире

    • Вид работы:

      Эссе

    • Выполнена:

      17 мая 2022 г.

    • Стоимость:

      400 руб

    Заказать такую же работу
  • Математика

    Методы обучения математике

    • Вид работы:

      Эссе

    • Выполнена:

      16 мая 2022 г.

    • Стоимость:

      500 руб

    Заказать такую же работу
  • Математика

    Проблемы и перспективы современного школьного математического образования

    • Вид работы:

      Эссе

    • Выполнена:

      15 мая 2022 г.

    • Стоимость:

      650 руб

    Заказать такую же работу