Компланарные векторы и условие компланарности

13 июля 2023
3 минуты
7 203

Ирина Мальцевская Автор

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В данной статье мы рассмотрим такие темы, как:

определение компланарных векторов;
условия компланарности векторов;
примеры задач на компланарность векторов.

Определение компланарных векторов

Определение 1

Компланарные векторы — это векторы, которые параллельны одной плоскости или лежат на одной плоскости.

Примечание

Два любых вектора всегда компланарны, поскольку всегда можно найти плоскости параллельные 2-м произвольным векторам.

Условия компланарности векторов

Для 3-х векторов выполняется условие: если смешанное произведение 3-х векторов равно нулю, то эти три вектора компланарны.
Для 3-х векторов выполняется условие: если три вектора линейно зависимы, то они компланарны.
Для n-векторов выполняется условие: если среди векторов не более 2-х линейно независимых векторов, то они компланарны.

Примеры решения задач на компланарность векторов

Пример 1

Исследуем на компланарность векторы

$\bar{a} = (1; 2; 3), b = (1; 1; 1) и \bar{c} = (1; 2; 1)$

Как решить?

Векторы будут являться компланарными, если их смешанное произведение равно нулю, поэтому вычисляем смешанное произведение заданных векторов. Для этого составляем определитель, по строкам которого записываются координаты векторов-сомножителей:

$(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}) = |\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix}| = = 1 \times 1 \times 1 + 1 \times 2 \times 3 + 2 \times 1 \times 1 - 1 \times 1 \times 3 - 2 \times 1 \times 1 - 1 \times 2 \times 1 = 2 \neq 0$

Отсюда следует, что смешанное произведение не равняется нулю, поэтому векторы не являются компланарными.

Ответ: векторы не являются компланарными.

Пример 2

Докажем, что три вектора

$\bar{a} = (1; - 1; 2), b = (0; 1; - 1) и \bar{c} = (2; - 2; 4)$ компланарны.

Как решить?

Находим смешанное произведение данных векторов:

$(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}) = |\begin{matrix} 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 2 & - 2 & 4 \end{matrix}| = = 1 \times 1 \times 4 + 0 \times (- 2) \times 2 + (- 1) \times (- 1) \times \times 2 - 2 \times 1 \times 2 - (- 2) \times (- 1) \times 1 - 0 \times (- 1)$

Из данного примера видно, что смешанное произведение равняется нулю.

Ответ: векторы являются компланарными.

Пример 3

Проверим, компланарны ли векторы

$\bar{a} = {1; 1; 1}, \bar{b} = {1; 2; 0), \bar{c} = {0; - 1; 1}, \bar{d} = {3; 3; 3} .$

Как решить?

Необходимо найти количество линейно независимых векторов: записываем значения векторов в матрицу и выполняем элементарные преобразования:

$(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 3 & 3 & 3 \end{matrix}) ~$

Из 2-ой строки вычитаем 1-ю, из 4-ой вычитаем 1-ю, умноженную на 3:

$(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 - 1 & 2 - 1 & 0 - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 3 - 3 & 3 - 3 & 3 - 3 \end{matrix}) ~ (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) ~$

К 3-ей строке прибавляем 2-ю:

$(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 + 0 & - 1 + 1 & 1 + (- 1) \\ 3 - 3 & 3 - 3 & 3 - 3 \end{matrix}) ~ (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

Поскольку в матрице только две ненулевые строки, делаем вывод, что среди них всего два линейно независимых вектора.

Ответ: векторы являются компланарными, поскольку среди них всего два линейно независимых вектора.