Нахождение угла между векторами

14 мая 2023
6 минут
7 975

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.

Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку $O$ и отложим от нее векторы $\vec{O A} = \vec{b}$ и $\vec{O B} = \vec{b}$

Определение 1

Углом между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется угол между лучами $О А$ и $О В$ .

Полученный угол будем обозначать следующим образом: $(\hat{\vec{a}, \vec{b}})$

Нахождение угла между векторами

Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от $0$ до $π$ или от $0$ до $180$ градусов.

$(\hat{\vec{a}, \vec{b}}) = 0$ , когда векторы являются сонаправленными и $(\hat{\vec{a}, \vec{b}}) = π$ , когда векторы противоположнонаправлены.

Определение 2

Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен $90$ градусов или $\frac{π}{2}$ радиан.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол $(\hat{\vec{a}, \vec{b}})$ не определен.

Нахождение угла между векторами

Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.

Согласно определению скалярное произведение есть $(\vec{a}, \vec{b}) = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}})$ .

Если заданные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:

$\cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}}) = \frac{(\vec{a}, \vec{b})}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.

Пример 1

Исходные данные: векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ . Длины их равны $3$ и $6$ соответственно, а их скалярное произведение равно $- 9$ . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.

Решение

Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда $\cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}}) = \frac{- 9}{3 \cdot 6} = - \frac{1}{2}$ ,

Теперь определим угол между векторами: $(\hat{\vec{a}, \vec{b}}) = a r c \cos (- \frac{1}{2}) = \frac{3 π}{4}$

Ответ: $\cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}}) = - \frac{1}{2}, (\hat{\vec{a}, \vec{b}}) = \frac{3 π}{4}$

Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.

Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости $\vec{a} = (a_{x}, a_{y}), \vec{b} = (b_{x}, b_{y})$ выглядит так:

$\cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}}) = \frac{a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y}}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2}} \cdot \sqrt{b_{x}^{2} + b_{y}^{2}}}$

А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве $\vec{a} = (a_{x}, a_{y}, a_{z}), \vec{b} = (b_{x}, b_{y}, b_{z})$ будет иметь вид: $\cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}}) = \frac{a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y} + a_{z} \cdot b_{z}}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}} \cdot \sqrt{b_{x}^{2} + b_{y}^{2} + b_{z}^{2}}}$

Пример 2

Исходные данные: векторы $\vec{a} = (2, 0, - 1), \vec{b} = (1, 2, 3)$ в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.

Решение

Для решения задачи можем сразу применить формулу:

$\cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}}) = \frac{2 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + (- 1) \cdot 3}{\sqrt{2^{2} + 0^{2} + (- 1)^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 3^{2}}} = - \frac{1}{\sqrt{70}} \Rightarrow (\hat{\vec{a}, \vec{b}}) = a r c \cos (- \frac{1}{\sqrt{70}}) = - a r c \cos \frac{1}{\sqrt{70}}$

Также можно определить угол по формуле:

$\cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}}) = \frac{(\vec{a}, \vec{b})}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$ ,

но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: $|\vec{a}| = \sqrt{2^{2} + 0^{2} + (- 1)^{2}} = \sqrt{5} |\vec{b}| = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 3^{2}} = \sqrt{14} (\hat{\vec{a}, \vec{b}}) = 2 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + (- 1) \cdot 3 = - 1 \cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}}) = \frac{(\hat{\vec{a}, \vec{b}})}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{- 1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{14}} = - \frac{1}{\sqrt{70}} \Rightarrow (\hat{\vec{a}, \vec{b}}) = - a r c \cos \frac{1}{\sqrt{70}}$

Ответ: $(\hat{\vec{a}, \vec{b}}) = - a r c \cos \frac{1}{\sqrt{70}}$

Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.

Пример 3

Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки $A (2, - 1), B (3, 2), C (7, - 2)$ . Необходимо определить косинус угла между векторами $\vec{A C}$ и $\vec{B C}$ .

Решение

Найдем координаты векторов по координатам заданных точек $\vec{A C} = (7 - 2, - 2 - (- 1)) = (5, - 1) \vec{B C} = (7 - 3, - 2 - 2) = (4, - 4)$

Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: $\cos (\hat{\vec{A C}, \vec{B C}}) = \frac{(\vec{A C}, \vec{B C})}{|\vec{A C}| \cdot |\vec{B C}|} = \frac{5 \cdot 4 + (- 1) \cdot (- 4)}{\sqrt{5^{2} + (- 1)^{2}} \cdot \sqrt{4^{2} + (- 4)^{2}}} = \frac{24}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{32}} = \frac{3}{\sqrt{13}}$

Ответ: $\cos (\hat{\vec{A C}, \vec{B C}}) = \frac{3}{\sqrt{13}}$

Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки $O$ векторы $\vec{O A} = \vec{a}$ и $\vec{O B} = \vec{b}$ , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике $О А В$ , будет верным равенство:

$A B^{2} = O A^{2} + O B^{2} - 2 \cdot O A \cdot O B \cdot \cos (∠ A O B)$ ,

что равносильно:

${|\vec{b} - \vec{a}|}^{2} = |\vec{a}| + |\vec{b}| - 2 \cdot |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\hat{\vec{a}, \vec{b})}$

и отсюда выведем формулу косинуса угла:

$\cos (\hat{\vec{a}, \vec{b})} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{|\vec{a}|}^{2} + {|\vec{b}|}^{2} - {|\vec{b} - \vec{a}|}^{2}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.

Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:

$\cos (\hat{\vec{a}, \vec{b})} = \frac{(\vec{a}, \vec{b})}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$