Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik
Операции над n-мерными векторами: сложение, умножение, свойства
- 23 августа 2023
- 6 минут
- 1 267
В статьях ранее мы рассматривали понятие вектора как элемента плоскости или пространства, т.е. геометрического объекта, имеющего конкретные очертания. Однако также возможно взглянуть на понятие с алгебраической точки зрения, когда вектор - уже не отрезок с заданным направлением, а упорядоченный комплекс чисел с определенными свойствами.
-вектор – упорядоченный набор n действительных чисел.
Записывается в виде строки или столбца , где
– координаты n-вектора, обозначаемые латинскими буквами и записываемые в скобках.
Размерность -вектора – это количество его координат. Например, задан -мерный вектор с координатами (2, -5, 3, 9). Заданный вектор является четырёхмерным.
Равные -векторы – -векторы, имеющие одну и ту же размерность, а также равенство одноименных координат.
Нулевой вектор – вектор, у которого все координаты равны нулю:
Противоположные векторы – векторы с координатами, равными по модулю, но противоположными по знаку. Например,
Над -мерными векторами возможно проведение операций сложения и умножения на число.
Сложение n-векторов
Результатом сложения двух -мерных векторов будет вектор, координаты которого являются суммой соответствующих координат заданных векторов.
Операции сложения подлежат векторы одинаковой размерности.
Исходные данные: и .
Результатом будет вектор .
Операция вычитания отдельно не рассматривается, поскольку по сути разностью векторов и является сумма векторов и .
Умножение n-вектора на число
Результатом умножения заданного вектора на действительное или комплексное число будет вектор, каждая из координат которого определяется умножением исходной координаты на заданное число.
Исходные данные: и число .
Результатом произведения будет:
Множество всех -векторов с производимыми действиями умножения на число и сложения составляют линейное пространство.
Операции над 2-мерными и 3-мерными векторами
Операции над 2-мерными и 3-мерными векторами полностью сопоставимы с аналогичными операциями над векторами-геометрическими объектами. По сути координаты двухмерных и трехмерных векторов являются координатами вектора на плоскости или в пространстве в прямоугольной системе координат.
Свойства операций над n-мерными векторами
Исходные данные: векторы , , и действительные или комплексные числа .
- Свойство коммутативности: .
- Свойство ассоциативности: .
- Свойство использования нейтрального элемента по сложению (нулевой вектор): .
- Свойство использования нейтрального элемента по умножению (число, равное 1):
Любой ненулевой вектор имеет противоположный вектор и верным является равенство:
.
Сочетательное свойство умножения: .
Первое распределительное свойство: .
Второе распределительное свойство: .
Рассмотри некоторые примеры по теме.
Исходные данные: векторы
Необходимо найти сумму и разность векторов.
Решение
Заданные вектора имеют одинаковую размерность, следовательно, операция сложения выполнима. Для этого найдем сумму координат векторов:
Разницей исходных векторов будет являться сумма векторов и :
Выполним умножение вектора на число:
И совершим действие сложения:
Ответ:
Исходные данные: векторы
Необходимо найти вектор:
Решение
Упростим выражение, опираясь на свойства операций над векторами:
Определим координаты полученного вектора:
Ответ:
Исходные данные: векторы
Необходимо определить координаты вектора:
Решение
Выполним операцию умножения вектора на число 2, а затем найдем сумму:
Ответ:
Исходные данные: векторы
Необходимо найти вектор:
Решение
Исходные векторы имеют разную размерность ( и ), поэтому выполнить необходимые операции не представляется возможным.
Ответ: невозможно выполнить указанные действия с заданными векторами.