Операции над n-мерными векторами: сложение, умножение, свойства

23 августа 2023
6 минут
1 267

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В статьях ранее мы рассматривали понятие вектора как элемента плоскости или пространства, т.е. геометрического объекта, имеющего конкретные очертания. Однако также возможно взглянуть на понятие с алгебраической точки зрения, когда вектор - уже не отрезок с заданным направлением, а упорядоченный комплекс чисел с определенными свойствами.

Определение 1

$n$ -вектор – упорядоченный набор n действительных чисел.

Записывается в виде строки $a = (a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n})$ или столбца $a = (\begin{matrix} \begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \end{matrix} \\ a_{n} \end{matrix})$ , где

$a_{i}$ – координаты n-вектора, обозначаемые латинскими буквами и записываемые в скобках.

Определение 2

Размерность $n$ -вектора – это количество его координат. Например, задан $n$ -мерный вектор $\vec{b}$ с координатами (2, -5, 3, 9). Заданный вектор является четырёхмерным.

Определение 3

Равные $n$ -векторы – $n$ -векторы, имеющие одну и ту же размерность, а также равенство одноименных координат.

Определение 4

Нулевой вектор – вектор, у которого все координаты равны нулю: $0 = (0, 0, . ., 0)$

Определение 5

Противоположные векторы – векторы с координатами, равными по модулю, но противоположными по знаку. Например,

$a = (a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n})$

$- a = (- a_{1}, - a_{2}, . . ., - a_{n})$

Над $n$ -мерными векторами возможно проведение операций сложения и умножения на число.

Сложение n-векторов

Определение 6

Результатом сложения двух $n$ -мерных векторов будет вектор, координаты которого являются суммой соответствующих координат заданных векторов.

Операции сложения подлежат векторы одинаковой размерности.

Исходные данные: $a = (a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n})$ и $a = (b_{1}, b_{2}, . . ., b_{n})$ .

Результатом будет вектор $a + b = (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, . . ., a_{n} + b_{n})$ .

Операция вычитания отдельно не рассматривается, поскольку по сути разностью векторов $a$ и $b$ является сумма векторов $а$ и $- b$ .

Умножение n-вектора на число

Определение 7

Результатом умножения заданного вектора на действительное или комплексное число будет вектор, каждая из координат которого определяется умножением исходной координаты на заданное число.

Исходные данные: $a = (a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n})$ и число $λ$ .

Результатом произведения будет:

$λ \cdot a = (λ \cdot a_{1}, λ \cdot a_{2}, . . ., λ \cdot a_{n})$

Множество всех $n$ -векторов с производимыми действиями умножения на число и сложения составляют линейное пространство.

Операции над 2-мерными и 3-мерными векторами

Операции над 2-мерными и 3-мерными векторами полностью сопоставимы с аналогичными операциями над векторами-геометрическими объектами. По сути координаты двухмерных и трехмерных векторов являются координатами вектора на плоскости или в пространстве в прямоугольной системе координат.

Свойства операций над n-мерными векторами

Исходные данные: векторы $a = (a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n})$ , $b = (b_{1}, b_{2}, . . ., b_{n})$ , $c = (c_{1}, c_{2}, . . ., c_{n})$ и действительные или комплексные числа $λ, μ$ .

Свойство коммутативности: $a + b = b + a$ .
Свойство ассоциативности: $(a + b) + c = a + (b + c)$ .
Свойство использования нейтрального элемента по сложению (нулевой вектор): $a + 0 = a$ .
Свойство использования нейтрального элемента по умножению (число, равное 1): $1 \cdot а = а$

Определение 7

Любой ненулевой вектор $а$ имеет противоположный вектор $- а$ и верным является равенство:

$а + (- а) = 0$ .

Сочетательное свойство умножения: $(λ \cdot μ) \cdot a = λ \cdot (μ \cdot a)$ .

Первое распределительное свойство: $(λ + μ) \cdot a = λ \cdot a + μ \cdot a$ .

Второе распределительное свойство: $λ \cdot (a + b) = λ \cdot a + λ \cdot b$ .

Рассмотри некоторые примеры по теме.

Пример 1

Исходные данные: векторы $a = (1, \sqrt{2}, 7, 0), b = (\frac{1}{2}, - 1, \ln (5), 2.3)$

Необходимо найти сумму и разность векторов.

Решение

Заданные вектора имеют одинаковую размерность, следовательно, операция сложения выполнима. Для этого найдем сумму координат векторов:

$a + b = (1, \sqrt{2}, 7, 0) + (\frac{1}{2}, - 1, \ln (5), 2.3) = = (1 + \frac{1}{2}, \sqrt{2} + (- 1), 7 + \ln (5), 0 + 2.3) = = (\frac{3}{2}, \sqrt{2} - 1, 7 + \ln (5), 2.3)$

Разницей исходных векторов будет являться сумма векторов $a$ и $b \cdot (- 1)$ :

$a - b = a + (- 1) \cdot b = (1, \sqrt{2}, 7, 0) + (- 1) \cdot (\frac{1}{2}, - 1, \ln (5), 2.3)$

Выполним умножение вектора на число:

$a - b = (1, \sqrt{2}, 7, 0) + (- 1) \cdot (\frac{1}{2}, - 1, \ln (5), 2.3) = = (1, \sqrt{2}, 7, 0) + ((- 1) \cdot \frac{1}{2}, (- 1) \cdot (- 1), (- 1) \cdot \ln (5), (- 1) \cdot 2.3) = = (1, \sqrt{2}, 7, 0) + (- \frac{1}{2}, 1, \ln (\frac{1}{5}), - 2.3)$

И совершим действие сложения:

$a - b = (1, \sqrt{2}, 7, 0) + (- \frac{1}{2}, 1, \ln (\frac{1}{5}), - 2.3) = = (1 + (- \frac{1}{2}), \sqrt{2} + 1, 7 + \ln (\frac{1}{5}), 0 + (- 2.3)) = = (\frac{1}{2}, \sqrt{2} + 1, 7 + \ln (\frac{1}{5}), - 2.3)$

Ответ:

$a + b = (\frac{3}{2}, \sqrt{2} - 1, 7 + \ln (\frac{1}{5}), 2.3) a - b = (\frac{1}{2}, \sqrt{2} + 1, 7 + \ln (\frac{1}{5}), - 2.3)$

Пример 2

Исходные данные: векторы $a = (1, \sqrt{2}, 7, 0), b = (\frac{1}{2}, - 1, \ln (5), 2.3)$

Необходимо найти вектор: $a - 2 \cdot (b + 3 \cdot a)$

Решение

Упростим выражение, опираясь на свойства операций над векторами:

$a - 2 \cdot (b + 3 \cdot a) = a - 2 \cdot b - 6 \cdot a = - 5 \cdot a + (- 2) \cdot b$

Определим координаты полученного вектора:

$- 5 \cdot a + (- 2) \cdot b = = - 5 \cdot (1, \sqrt{2}, 7, 0) + (- 2) (\frac{1}{2}, - 1, \ln (5), 2.3) = = ((- 5) \cdot 1, (- 5) \cdot \sqrt{2}, (- 5) \cdot 7, (- 5) \cdot 0) + + ((- 2) \cdot \frac{1}{2}, (- 2) \cdot (- 1), (- 2) \cdot \ln (5), (- 2) \cdot 2.3) = = (- 5, - 5 \sqrt{2}, - 35, 0) + (- 1, 2, \ln (\frac{1}{25}), - 4.6) = = (- 5 + (- 1), - 5 \sqrt{2} + 2, - 35 + \ln (\frac{1}{25}), 0 + (- 4.6)) = = (- 6, - 5 \sqrt{2} + 2, - 35 + \ln (\frac{1}{25}), - 4.6)$

Ответ:

$a - 2 \cdot (b + 3 \cdot a) = (- 6, - 5 \sqrt{2} + 2, - 35 + \ln (\frac{1}{25}), - 4.6)$

Пример 3

Исходные данные: векторы $с = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{matrix}), d = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}), e = (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})$

Необходимо определить координаты вектора: $c + d + 2 e$

Решение

Выполним операцию умножения вектора $е$ на число 2, а затем найдем сумму:

$c + d + 2 \cdot e = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) = = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 2 \cdot (- 1) \\ 2 \cdot (- 1) \\ 2 \cdot 1 \end{matrix}) = = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) + (\begin{matrix} - 2 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}) = = (\begin{matrix} 1 + 0 + (- 2) \\ 2 + 0 + (- 2) \\ - 3 + 3 + 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})$

Ответ: $c + d + 2 \cdot e = (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})$

Пример 4

Исходные данные: векторы $a = (1, \sqrt{2}, 7, 0), b = (\frac{1}{2}, - 1, \ln (5), 2.3), f = (4, 11, 21)$

Необходимо найти вектор: $3 \cdot a + 2 \cdot b - 7 \cdot (a + f)$

Решение

Исходные векторы имеют разную размерность ( $а$ и $f$ ), поэтому выполнить необходимые операции не представляется возможным.

Ответ: невозможно выполнить указанные действия с заданными векторами.