Операции над векторами и их свойства: сложение и умножение

Прежде чем приступить к тематике статьи, напомним основные понятия.

Сложение двух векторов

Геометрически сложение векторов выглядит так:

- для неколлинеарных векторов:

- для коллинеарных (сонаправленных или противоположнонаправленных) векторов:

Сложение нескольких векторов

Взяв за основу описанную выше схему, мы получаем возможность произвести операцию сложения векторов в количестве более 2: поочередно прибавляя каждый последующий вектор.

Геометрически оно выглядит следующим образом:

Умножение вектора на число

Исходные данные:
1) вектор $\overrightarrow{a}$и число $k=2$;
2) вектор $\overrightarrow{b}$и число $k=-\frac{1}{3}$.

Геометрически результат умножения в соответствии с указанными выше правилами будет выглядеть следующим образом:

Свойства операций над векторами

Описанным выше операциям над векторами присущи свойства, некоторые из которых очевидны, а прочие можно обосновать геометрически.

Исходные данные: векторы $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$и произвольные действительные числа $\lambda$ и $\mu$.

1. Свойство коммутативности: $\stackrel{\rightharpoonup }{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$ .
   
2. Свойство ассоциативности: $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$ .
   
3. Свойство использования нейтрального элемента по сложению (нулевой вектор $\overrightarrow{0}$ ⃗). Это очевидное свойство: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{a}$
4. Свойство использования нейтрального элемента по умножению (число, равное единице): $1·\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$. Это очевидное свойство, не предполагающее никаких геометрических преобразований.
5. Любой ненулевой вектор $\overrightarrow{a}$ имеет противоположный вектор $-\overrightarrow{a}$ и верным является равенство: $\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{0}$. Указанное свойство - очевидное.
6. Сочетательное свойство операции умножения: $( \lambda · \mu ) · \overrightarrow{a} = \lambda · ( \mu ·\overrightarrow{a} )$. Например, растяжение вектора при умножении на число 10 можно произвести, сначала растянув вектор в 2 раза, а затем полученный результат еще в 5 раз. Также возможен вариант умножения на число 10 при сжатии вектора в 5 раз и последующего растяжения полученного результата в 50 раз.
7. Первое распределительное свойство (очевидно):$( \lambda + \mu ) · \overrightarrow{a} = \lambda ·\overrightarrow{a} + \mu · \overrightarrow{a}.$
8. Второе распределительное свойство: $\lambda · (\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}) = \lambda ·\overrightarrow{a} + \lambda · \overrightarrow{b}$ .
   Геометрически это свойство определяется подобием треугольников:
   

Свойства коммутативности и ассоциативности дают возможность складывать векторы в произвольном порядке.

Перечисленные свойства операций позволяют осуществлять необходимые преобразования векторно-числовых выражений аналогично привычным числовым. Рассмотрим это на примере.