Проекция вектора на ось и числовая проекция

7 ноября 2023
7 минут
5 671

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Ось – это направление. Значит, проекция на ось или на направленную прямую считается одним и тем же. Проекция бывает алгебраическая и геометрическая. В геометрическом понимают проекцию вектора на ось как вектор, а алгебраическом – число. То есть применяются понятия проекция вектора на ось и числовая проекция вектора на ось.

Если имеем ось $L$ и ненулевой вектор $\vec{A B}$ , то можем построить вектор $\overset{⇀}{A_{1} B_{1}}$ , обозначив проекции его точек $A_{1}$ и $B_{1}$ .

${\vec{A_{1} B}}_{1}$ будет являться проекцией вектора $\vec{A B}$ на $L$ .

Проекция вектора на ось и числовая проекция — Определение 1

Если идет речь о проекции $\vec{a}$ на ненулевой $\vec{b}$ или проекции $\vec{a}$ на направление $\vec{b}$ , то имеется в виду проекция $\vec{a}$ на ось, с которой совпадает направление $\vec{b}$ . Проекция $\vec{a}$ на прямую, определяемая $\vec{b}$ , имеет обозначение $\vec{n p_{\vec{b}} \vec{a}}$ . Известно, что когда угол между $\vec{a}$ и $\vec{b}$ , можно считать $\vec{n p_{\vec{b}} \vec{a}}$ и $\vec{b}$ сонаправленными. В случае, когда угол тупой, $\vec{n p_{\vec{b}} \vec{a}}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены. В ситуации перпендикулярности $\vec{a}$ и $\vec{b}$ , причем $\vec{a}$ - нулевой, проекция $\vec{a}$ по направлению $\vec{b}$ является нулевым вектором.

Числовая проекция вектора на ось

Числовая характеристика проекции вектора на ось – числовая проекция вектора на заданную ось.

Определение 2

Числовой проекцией вектора на ось называют число, которое равно произведению длины данного вектора на косинус угла между данным вектором и вектором, который определяет направление оси.

Числовая проекция $\vec{A B}$ на $L$ имеет обозначение $n p_{L} \vec{A B}$ , а $\vec{a}$ на $\vec{b}$ - $n p_{\vec{b}} \vec{a}$ .

Исходя из формулы, получим $n p_{\vec{b}} \vec{a} = |\vec{a}| \cdot \cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}})$ , откуда $|\vec{a}|$ является длиной вектора $\vec{a}$ , $(\hat{\overset{⇀}{a}, \vec{b}})$ - угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ .

Получим формулу вычисления числовой проекции: $n p_{\vec{b}} \vec{a} = |\vec{a}| \cdot \cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}})$ . Она применима при известных длинах $\vec{a}$ и $\vec{b}$ и угле между ними. Формула применима при известных координатах $\vec{a}$ и $\vec{b}$ , но имеется ее упрощенный вид.

Пример 2

Узнать числовую проекцию $\vec{a}$ на прямую по направлению $\vec{b}$ при длине $\vec{a}$ равной 8 и углом между ними в 60 градусов. По условию имеем $|\overset{⇀}{a}| = 8, (\hat{\overset{⇀}{a}, \vec{b}}) = 60 °$ . Значит, подставляем числовые значения в формулу $n p_{\overset{⇀}{b}} \vec{a} = |\vec{a}| \cdot \cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}}) = 8 \cdot \cos 60 ° = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ .

Ответ: 4.

При известном $\cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}}) = \frac{(\overset{⇀}{a}, \vec{b})}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$ , имеем $(\vec{a}, \vec{b})$ как скалярное произведение $\vec{a}$ и $\vec{b}$ . Следуя из формулы $n p_{\vec{b}} \vec{a} = |\vec{a}| \cdot \cos (\hat{\overset{⇀}{a}, \vec{b}})$ , мы можем найти числовую проекцию $\vec{a}$ направленную по вектору $\vec{b}$ и получим $n p_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{(\vec{a}, \vec{b})}{|\vec{b}|}$ . Формула эквивалента определению, указанному в начале пункта.

Определение 3

Числовой проекцией вектора $\vec{a}$ на ось , совпадающей по направлению с $\vec{b}$ , называют отношение скалярного произведения векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ к длине $\vec{b}$ . Формула $n p_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{(\vec{a}, \vec{b})}{|\vec{b}|}$ применима для нахождения числовой проекции $\vec{a}$ на прямую, совпадающую по направлению с $\vec{b}$ , при известных $\vec{a}$ и $\vec{b}$ координатах.

Пример 3

Задан $\vec{b} = (- 3, 4)$ . Найти числовую проекцию $\vec{a} = (1, 7)$ на $L$ .

Решение

На координатной плоскости $n p_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{(\vec{a}, \vec{b})}{|\vec{b}|}$ имеет вид $n p_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{(\vec{a}, \vec{b})}{|\vec{b}|} = \frac{a_{x} \cdot b_{x} + a_{y \cdot} b_{y}}{\sqrt{b_{x}^{2} + b_{y}^{2}}}$ , при $\vec{a} = (a_{x}, a_{y})$ и $\vec{b} = (b_{x}, b_{y})$ . Чтобы найти числовую проекцию вектора $\vec{a}$ на ось $L$ , нужно: $n p_{L} \vec{a} = n p_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{(\vec{a}, \vec{b})}{|\vec{b}|} = \frac{a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y}}{\sqrt{b_{x}^{2} + b_{y}^{2}}} = \frac{1 \cdot (- 3) + 7 \cdot 4}{\sqrt{(- 3)^{2} + 4^{2}}} = 5$ .

Ответ: 5.

Пример 4

Найти проекцию $\vec{a}$ на $L$ , совпадающей с направлением $\vec{b}$ , где имеются $\vec{a} = (- 2, 3, 1)$ и $\vec{b} = (3, - 2, 6)$ . Задано трехмерное пространство.

Решение

По заданным $\vec{a} = (a_{x}, a_{y}, a_{z})$ и $\vec{b} = (b_{x}, b_{y}, b_{z})$ вычислим скалярное произведение: $(\overset{⇀}{a}, \vec{b}) = a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y} + a_{z} \cdot b_{z}$ . Длину $\vec{b}$ найдем по формуле $|\vec{b}| = \sqrt{b_{x}^{2} + b_{y}^{2} + b_{z}^{2}}$ . Отсюда следует, что формула определения числовой проекции $\vec{a}$ будет: $n p_{\vec{b}} \overset{⇀}{a} = \frac{(\vec{a}, \vec{b})}{|\vec{b}|} = \frac{a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y} + a_{z} \cdot b_{z}}{\sqrt{b_{x}^{2} + b_{y}^{2} + b_{z}^{2}}}$ .

Подставляем числовые значения: $n p_{L} \vec{a} = n p_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{(- 2) \cdot 3 + 3 \cdot (- 2) + 1 \cdot 6}{\sqrt{3^{2} + (- 2)^{2} + 6^{2}}} = \frac{- 6}{\sqrt{49}} = - \frac{6}{7}$ .

Ответ: $- \frac{6}{7}$ .

Просмотрим связь между $\vec{a}$ на $L$ и длиной проекции $\vec{a}$ на $L$ . Начертим ось $L$ , добавив $\vec{a}$ и $\vec{b}$ из точки на $L$ , после чего проведем перпендикулярную прямую с конца $\vec{a}$ на $L$ и проведем проекцию на $L$ . Существуют 5 вариаций изображения:

Числовая проекция вектора на ось

Первый случай при $\vec{a} = \vec{n p_{\vec{b}} \vec{a}}$ означает $|\vec{a}| = |\vec{n p_{\vec{b}} \vec{a}}|$ , отсюда следует $n p_{\vec{b}} \vec{a} = |\vec{a}| \cdot \cos (\hat{\vec{a,} \vec{b}}) = |\vec{a}| \cdot \cos 0 ° = |\vec{a}| = |\vec{n p_{\vec{b}} \vec{a}}|$ .

Второй случай подразумевает применение $|\overset{⇀}{n p_{\vec{b}} \vec{a}}| = |\vec{a}| \cdot \cos (\vec{a}, \vec{b})$ , значит, $n p_{\vec{b}} \vec{a} = |\vec{a}| \cdot \cos (\hat{\vec{a}, \vec{b})} = |\vec{n p_{\vec{b}} \vec{a}}|$ .

Третий случай объясняет, что при $\vec{n p_{\vec{b}} \vec{a}} = \vec{0}$ получаем $n p_{\overset{⇀}{b}} \vec{a} = |\vec{a}| \cdot \cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}}) = |\vec{a}| \cdot \cos 90 ° = 0$ , тогда $|\vec{n p_{\vec{b}} \vec{a}}| = 0$ и $n p_{\vec{b}} \vec{a} = 0 = |\vec{n p_{\vec{b}} \vec{a}}|$ .

Четвертый случай показывает $|\vec{n p_{\vec{b}} \vec{a}}| = |\vec{a}| \cdot \cos (180 ° - \hat{\vec{a}, \vec{b}}) = - |\vec{a}| \cdot \cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}})$ , следует $n p_{\vec{b}} \vec{a} = |\vec{a}| \cdot \cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}}) = - |\vec{n p_{\vec{b}} \vec{a}}|$ .

Пятый случай показывает $|\vec{a}| = |\vec{n p_{\vec{b}} \vec{a}}|$ , что означает $|\vec{a}| = |\vec{n p_{\vec{b}} \vec{a}}|$ , отсюда имеем $n p_{\vec{b}} \vec{a} = |\vec{a}| \cdot \cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}}) = |\vec{a}| \cdot \cos 180 ° = - |\vec{a}| = - |n p_{\vec{b}} \vec{a}|$ .

Определение 4

Числовой проекцией вектора $\vec{a}$ на ось $L$ , которая направлена как и $\vec{b}$ , имеет значение:

длины проекции вектора $\vec{a}$ на $L$ при условии, если угол между $\vec{a}$ и $\vec{b}$ меньше 90 градусов или равен 0: $n p_{\vec{b}} \vec{a} = |\vec{n p_{\vec{b}} \vec{a}}|$ с условием $0 \leq (\hat{\vec{a}, \vec{b})} < 90 °$ ;
ноля при условии перпендикулярности $\vec{a}$ и $\vec{b}$ : $n p_{\vec{b}} \vec{a} = 0$ , когда $(\hat{\vec{a} \vec{, b}}) = 90 °$ ;
длины проекции $\vec{a}$ на $L$ , умноженной на -1, когда имеется тупой или развернутый угол векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ : $n p_{\vec{b}} \vec{a} = - |\vec{n p_{\vec{b}} \vec{a}}|$ с условием $90 ° < (\hat{\vec{a}, \vec{b}}) \leq 180 °$ .

Пример 5

Дана длина проекции $\vec{a}$ на $L$ , равная $\sqrt{2}$ . Найти числовую проекцию $\vec{a}$ при условии, что угол равен $\frac{5 π}{6}$ радиан.

Решение

Из условия видно, что данный угол является тупым: $\frac{π}{2} < \frac{5 π}{6} < π$ . Тогда можем найти числовую проекцию $\vec{a}$ на $L$ : $n p_{L} \vec{a} = - |\vec{n p_{L} \vec{a}}| = - \sqrt{2}$ .

Ответ: $- \sqrt{2}$ .

Пример 6

Дана плоскость $О х y z с$ длиной вектора $\vec{a}$ равной $6 \sqrt{3}$ , $\vec{b} (- 2, 1, 2)$ с углом в 30 градусов. Найти координаты проекции $\vec{a}$ на ось $L$ .

Решение

Для начала вычисляем числовую проекцию вектора $\vec{a}$ : $n p_{L} \vec{a} = n p_{\vec{b}} \vec{a} = |\vec{a}| \cdot \cos (\hat{\vec{a}, \vec{b})} = 6 \sqrt{3} \cdot \cos 30 ° = 6 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9$ .

По условию угол острый, тогда числовая проекция $\vec{a}$ = длине проекции вектора $\vec{a}$ : $n p_{L} \vec{a} = |\vec{n p_{L} \vec{a}}| = 9$ . Данный случай показывает, что векторы $\vec{n p_{L} \vec{a}}$ и $\vec{b}$ сонаправлены, значит имеется число $t$ , при котором верно равенство: $\vec{n p_{L} \vec{a}} = t \cdot \vec{b}$ . Отсюда видим, что $|\vec{n p_{L} \vec{a}}| = t \cdot |\vec{b}|$ , значит можем найти значение параметра $t$ : $t = \frac{|\vec{n p_{L} \vec{a}}|}{|\vec{b}|} = \frac{9}{\sqrt{(- 2)^{2} + 1^{2} + 2^{2}}} = \frac{9}{\sqrt{9}} = 3$ .

Тогда $\vec{n p_{L} \vec{a}} = 3 \cdot \vec{b}$ с координатами проекции вектора $\vec{a}$ на ось $L$ равны $\vec{b} = (- 2, 1, 2)$ , где необходимо умножить значения на 3. Имеем $\vec{n p_{L} \vec{a}} = (- 6, 3, 6)$ . Ответ: $(- 6, 3, 6)$ .

Необходимо повторить ранее изученную информацию об условии коллинеарности векторов.