Скалярное произведение векторов: свойства, примеры вычисления, физический смысл

31 июля 2023
10 минут
3 487

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Определение 1

Скалярное произведение векторов называют число, равное произведению дин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначение произведения векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ имеет вид $(\vec{a}, \vec{b})$ . Преобразуем в формулу:

$(\vec{a}, \vec{b}) = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}})$ . $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ обозначают длины векторов, $(\hat{\vec{a}, \vec{b}})$ - обозначение угла между заданными векторами. Если хоть один вектор нулевой, то есть имеет значение 0, то и результат будет равен нулю, $(\vec{a}, \vec{b}) = 0$

При умножении вектора самого на себя, получим квадрат его дины:

$(\vec{a}, \vec{b}) = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\hat{\vec{a}, \vec{a}}) = {|\vec{a}|}^{2} \cdot \cos 0 = {|\vec{a}|}^{2}$

Определение 2

Скалярное умножение вектора самого на себя называют скалярным квадратом.

Вычисляется по формуле:

$(\vec{a}, \vec{b}) = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}})$ .

Запись $(\vec{a}, \vec{b}) = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}}) = |\vec{a}| \cdot n p_{\vec{a}} \vec{b} = |\vec{b}| \cdot n p_{\vec{b}} \vec{a}$ показывает, что $n p_{\vec{b}} \vec{a}$ - это числовая проекция $\vec{a}$ на $\vec{b}$ , $n p_{\vec{a}} \vec{a}$ - проекция $\vec{b}$ на $\vec{a}$ соостветсвенно.

Сформулируем определение произведения для двух векторов:

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ на $\vec{b}$ называют произведение длины вектора $\vec{a}$ на проекцию $\vec{b}$ на направление $\vec{a}$ или произведение длины $\vec{b}$ на проекцию $\vec{a}$ соответственно.

Скалярное произведение в координатах

Вычисление скалярного произведения можно производить через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.

Скаларное произведение двух векторов на плоскости, в трехмерном простарнстве называют сумму координат заданных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ .

При вычислении на плоскости скаларного произведения заданных векторов $\vec{a} = (a_{x}, a_{y}), \vec{b} = (b_{x}, b_{y})$ в декартовой системе используют:

$(\vec{a}, \vec{b}) = a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y}$ ,

для трехмерного пространства применимо выражение:

$(\vec{a}, \vec{b}) = a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y} + a_{z} \cdot b_{z}$ .

Фактически это является третьим определением скалярного произведения.

Докажем это.

Доказательство 1

Для доказательства используем $(\vec{a}, \vec{b}) = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}}) = a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y}$ для векторов $\vec{a} = (a_{x}, a_{y}), \vec{b} = (b_{x}, b_{y})$ на декартовой системе.

Следует отложить векторы

$\vec{O A} = \vec{a} = (a_{x}, a_{y})$ и $\vec{O B} = \vec{b} = (b_{x}, b_{y})$ .

Тогда длина вектора $\vec{A B}$ будет равна $\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A} = \vec{b} - \vec{a} = (b_{x} - a_{x}, b_{y} - a_{y})$ .

Рассмотрим треугольник $O A B$ .

$A B^{2} = O A^{2} + O B^{2} - 2 \cdot O A \cdot O B \cdot \cos (∠ A O B)$ верно , исходя из теоремы косинусов.

По условию видно, что $O A = |\vec{a}|, O B = |\vec{b}|, A B = |\vec{b} - \vec{a}|, ∠ A O B = (\hat{\vec{a}, \vec{b}})$ , значит, формулу нахождения угла между векторами запишем иначе

${|\vec{b} - \vec{a}|}^{2} = {|\vec{a}|}^{2} + {|\vec{b}|}^{2} - 2 \cdot |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}})$ .

Тогда из первого определения следует, что ${|\vec{b} - \vec{a}|}^{2} = {|\vec{a}|}^{2} + {|\vec{b}|}^{2} - 2 \cdot (\vec{a}, \vec{b})$ , значит $(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{1}{2} \cdot ({|\vec{a}|}^{2} + {|\vec{b}|}^{2} - {|\vec{b} - \vec{a}|}^{2})$ .

Применив формулу вычисления длины векторов, получим:
$(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{1}{2} \cdot ((\sqrt{{a^{2}}_{x} + {a_{y}}^{2}})^{2} + (\sqrt{{b^{2}}_{x} + {b_{y}}^{2}} {)^{2} - (\sqrt{(b_{x} - a_{x})^{2} + (b_{y} - a_{y})^{2}})}^{2}) = = \frac{1}{2} \cdot ({a^{2}}_{x} + {a^{2}}_{y} + {b^{2}}_{x} + {b^{2}}_{y} - (b_{x} - a_{x})^{2} - (b_{y} - a_{y})^{2}) = = a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y}$

Докажем равенства:

$(\vec{a}, \vec{b}) = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}}) = = a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y} + a_{z} \cdot b_{z}$

– соответственно для векторов трехмерного пространства.

Скалярное произведение векторов с координатами говорит о том, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов его координат в пространстве и на плоскости соответственно. $\vec{a} = (a_{x}, a_{y}, a_{z}), \vec{b} = (b_{x}, b_{y}, b_{z})$ и $(\vec{a}, \vec{a}) = {a_{x}}^{2} + {a_{y}}^{2}$ .

Скалярное произведение и его свойства

Существуют свойства скалярного произведения, которые применимы для $\vec{a}, \vec{b}$ и $\vec{c}$ :

коммутативность $(\vec{a}, \vec{b}) = (\vec{b}, \vec{a})$ ;
дистрибутивность $(\vec{a} + \vec{b}, \vec{c}) = (\vec{a}, \vec{c}) + (\vec{b}, \vec{c})$ , $(\vec{a} + \vec{b}, \vec{c}) = (\vec{a}, \vec{b}) + (\vec{a}, \vec{c})$ ;
сочетательное свойство $(λ \cdot \vec{a}, \vec{b}) = λ \cdot (\vec{a}, \vec{b})$ , $(\vec{a}, λ \cdot \vec{b}) = λ \cdot (\vec{a}, \vec{b})$ , $λ$ - любое число;
скалярный квадрат всегда больше нуля $(\vec{a}, \vec{a}) \geq 0$ , где $(\vec{a}, \vec{a}) = 0$ в том случае, когда $\vec{a}$ нулевой.

Пример 1

Свойства объяснимы благодаря определению скалярного произведения на плоскости и свойствам при сложении и умножении действительных чисел.

Доказать свойство коммутативности $(\vec{a}, \vec{b}) = (\vec{b}, \vec{a})$ . Из определения имеем, что $(\vec{a}, \vec{b}) = a_{y} \cdot b_{y} + a_{y} \cdot b_{y}$ и $(\vec{b}, \vec{a}) = b_{x} \cdot a_{x} + b_{y} \cdot a_{y}$ .

По свойству коммутативности равенства $a_{x} \cdot b_{x} = b_{x} \cdot a_{x}$ и $a_{y} \cdot b_{y} = b_{y} \cdot a_{y}$ верны, значит $a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y} = b_{x} \cdot a_{x} + b_{y} \cdot a_{y}$ .

Отсюда следует, что $(\vec{a}, \vec{b}) = (\vec{b}, \vec{a})$ . Что и требовалось доказать.

Дистрибутивность справедлива для любых чисел:

$(\vec{a^{(1)}} + \vec{a^{(2)}} + . . . + \vec{a^{(n)}}, \vec{b}) = (\vec{a^{(1)}}, \vec{b}) + (\vec{a^{(2)}}, \vec{b}) + . . . + (\vec{a^{(n)}}, \vec{b})$

и $(\vec{a}, \vec{b^{(1)}} + \vec{b^{(2)}} + . . . + \vec{b^{(n)}}) = (\vec{a}, \vec{b^{(1)}}) + (\vec{a}, \vec{b^{(2)}}) + . . . + (\vec{a}, {\vec{b}}^{(n)})$ ,

отсюда имеем

$(\vec{a^{(1)}} + \vec{a^{(2)}} + . . . + \vec{a^{(n)}}, \vec{b^{(1)}} + \vec{b^{(2)}} + . . . + \vec{b^{(m)}}) = = (\vec{a^{(1)}}, \vec{b^{(1)}}) + (\vec{a^{(1)}}, \vec{b^{(2)}}) + . . . + (\vec{a^{(1)}}, \vec{b^{(m)}}) + + (\vec{a^{(2)}}, \vec{b^{(1)}}) + (\vec{a^{(2)}}, \vec{b^{(2)}}) + . . . + (\vec{a^{(2)}}, \vec{b^{(m)}}) + . . . + + (\vec{a^{(n)}}, \vec{b^{(1)}}) + (\vec{a^{(n)}}, \vec{b^{(2)}}) + . . . + (\vec{a^{(n)}}, \vec{b^{(m)}})$

Скалярное произведение с примерами и решениями

Любая задача такого плана решается с применением свойств и формул, касающихся скалярного произведения:

$(\vec{a}, \vec{b}) = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}})$ ;
$(\vec{a}, \vec{b}) = |\vec{a}| \cdot n p_{\vec{a}} \vec{b} = |\vec{b}| \cdot n p_{\vec{b}} \vec{a}$ ;
$(\vec{a}, \vec{b}) = a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y}$ или $(\vec{a}, \vec{b}) = a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y} + a_{z} \cdot b_{z}$ ;
$(\vec{a}, \vec{a}) = {|\vec{a}|}^{2}$ .

Рассмотрим некоторые примеры решения.

Пример 2

Длина $\vec{a}$ равна 3, длина $\vec{b}$ равна 7. Найти скалярное произведение, если угол имеет 60 градусов.

Решение

По условию имеем все данные, поэтому вычисляем по формуле:

$(\vec{a}, \vec{b}) = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}}) = 3 \cdot 7 \cdot \cos 60 ° = 3 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} = \frac{21}{2}$

Ответ: $(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{21}{2}$ .

Пример 3

Заданны векторы $\vec{a} = (1, - 1, \sqrt{2} - 3)$ , $\vec{b} = (0, 2, \sqrt{2} + 3)$ . Чему равно скалярной произведение.

Решение

В данном примере рассматривается формула вычисления по координатам, так как они заданы в условии задачи:

$(\vec{a}, \vec{b}) = a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y} + a_{z} \cdot b_{z} = = 1 \cdot 0 + (- 1) \cdot 2 + (\sqrt{2} + 3) \cdot (\sqrt{2} + 3) = = 0 - 2 + (2 - 9) = - 9$

Ответ: $(\vec{a}, \vec{b}) = - 9$

Пример 4

Найти скалярное произведение $\vec{A B}$ и $\vec{A C}$ . На координатной плоскости заданы точки $A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1)$ .

Решение

Для начала вычисляются координаты векторов, так как по условию даны координаты точек:

$\vec{A B} = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) \vec{A C} = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)$

Подставив в формулу с использованием координат, получим:

$(\vec{A B}, \vec{A C}) = 4 \cdot 0 + 7 \cdot 4 = 0 + 28 = 28$ .

Ответ: $(\vec{A B}, \vec{A C}) = 28$ .

Пример 5

Заданы векторы $\vec{a} = 7 \cdot \vec{m} + 3 \cdot \vec{n}$ и $\vec{b} = 5 \cdot \vec{m} + 8 \cdot \vec{n}$ , найти их произведение. $\vec{m}$ равен 3 и $\vec{n}$ равен 2 единицам, они перпендикулярные.

Решение

$(\vec{a}, \vec{b}) = (7 \cdot \vec{m} + 3 \cdot \vec{n}, 5 \cdot \vec{m} + 8 \cdot \vec{n})$ . Применив свойство дистрибутивности, получим:

$(7 \cdot \vec{m} + 3 \cdot \vec{n}, 5 \cdot \vec{m} + 8 \cdot \vec{n}) = = (7 \cdot \vec{m}, 5 \cdot \vec{m}) + (7 \cdot \vec{m}, 8 \cdot \vec{n}) + (3 \cdot \vec{n}, 5 \cdot \vec{m}) + (3 \cdot \vec{n}, 8 \cdot \vec{n})$

Выносим коэффициент за знак произведения и получим:

$(7 \cdot \vec{m}, 5 \cdot \vec{m}) + (7 \cdot \vec{m}, 8 \cdot \vec{n}) + (3 \cdot \vec{n}, 5 \cdot \vec{m}) + (3 \cdot \vec{n}, 8 \cdot \vec{n}) = = 7 \cdot 5 \cdot (\vec{m}, \vec{m}) + 7 \cdot 8 \cdot (\vec{m}, \vec{n}) + 3 \cdot 5 \cdot (\vec{n}, \vec{m}) + 3 \cdot 8 \cdot (\vec{n}, \vec{n}) = = 35 \cdot (\vec{m}, \vec{m}) + 56 \cdot (\vec{m}, \vec{n}) + 15 \cdot (\vec{n}, \vec{m}) + 24 \cdot (\vec{n}, \vec{n})$

По свойству коммутативности преобразуем:

$35 \cdot (\vec{m}, \vec{m}) + 56 \cdot (\vec{m}, \vec{n}) + 15 \cdot (\vec{n}, \vec{m}) + 24 \cdot (\vec{n}, \vec{n}) = = 35 \cdot (\vec{m}, \vec{m}) + 56 \cdot (\vec{m}, \vec{n}) + 15 \cdot (\vec{m}, \vec{n}) + 24 \cdot (\vec{n}, \vec{n}) = = 35 \cdot (\vec{m}, \vec{m}) + 71 \cdot (\vec{m}, \vec{n}) + 24 \cdot (\vec{n}, \vec{n})$

В итоге получим:

$(\vec{a}, \vec{b}) = 35 \cdot (\vec{m}, \vec{m}) + 71 \cdot (\vec{m}, \vec{n}) + 24 \cdot (\vec{n}, \vec{n})$ .

Теперь применим формулу для скалярного произведения с заданным по условию углом:

$(\vec{a}, \vec{b}) = 35 \cdot (\vec{m}, \vec{m}) + 71 \cdot (\vec{m}, \vec{n}) + 24 \cdot (\vec{n}, \vec{n}) = = 35 \cdot {|\vec{m}|}^{2} + 71 \cdot |\vec{m}| \cdot \vec{|n|} \cdot \cos (\hat{\vec{m}, \vec{n}}) + 24 \cdot {|\vec{n}|}^{2} = = 35 \cdot 3^{2} + 71 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos \frac{π}{2} + 24 \cdot 2^{2} = 411$ .

Ответ: $(\vec{a}, \vec{b}) = 411$

Если имеется числовая проекция.

Пример 6

Найти скалярное произведение $\vec{a}$ и $\vec{b}$ . Вектор $\vec{a}$ имеет координаты $\vec{a} = (9, 3, - 3)$ , проекция $\vec{b}$ с координатами $(- 3, - 1, 1)$ .

Решение

По условию векторы $\vec{a}$ и проекция $\vec{b}$ противоположно направленные, потому что $\vec{a} = - \frac{1}{3} \cdot \vec{n p_{\vec{a}} \vec{b}}$ , значит проекция $\vec{b}$ соответствует длине $\vec{n p_{\vec{a}} \vec{b}}$ , при чем со знаком «-»:

$\vec{n p_{\vec{a}} \vec{b}} = - |\vec{n p_{\vec{a}} \vec{b}}| = - \sqrt{(- 3)^{2} + (- 1)^{2} + 1^{2}} = - \sqrt{11}$ ,

Подставив в формулу, получим выражение:

$(\vec{a}, \vec{b}) = \vec{|a|} \cdot \vec{n p_{\vec{a}} \vec{b}} = \sqrt{9^{2} + 3^{2} + (- 3)^{2}} \cdot (- 11) = - 33$ .

Ответ: $(\vec{a}, \vec{b}) = - 33$ .

Задачи при известном скалярном произведении, где необходимо отыскать длину вектора или числовую проекцию.

Пример 7

Какое значение должна принять $λ$ при заданном скалярном произведении $\vec{a} = (1, 0, λ + 1)$ и $\vec{b} = (λ, 1, λ)$ будет равным -1.

Решение

Из формулы видно, что необходимо найти сумму произведений координат:

$(\vec{a}, \vec{b}) = 1 \cdot λ + 0 \cdot 1 + (λ + 1) \cdot λ = λ^{2} + 2 \cdot λ$ .

В дано имеем $(\vec{a}, \vec{b}) = - 1$ .

Чтобы найти $λ$ , вычисляем уравнение:

$λ^{2} + 2 \cdot λ = - 1$ , отсюда $λ = - 1$ .

Ответ: $λ = - 1$ .

Физический смысл скалярного произведения

Механика рассматривает приложение скалярного произведения.

При работе А с постоянной силой $\vec{F}$ перемещаемое тело из точки $M$ в $N$ можно найти произведение длин векторов $\vec{F}$ и $\vec{M N}$ с косинусом угла между ними, значит работа равна произведению векторов силы и перемещения:

$A = (\vec{F}, \vec{M N})$ .

Пример 8

Перемещение материальной точки на 3 метра под действием силы равной 5 ньтонов направлено под углом 45 градусов относительно оси. Найти $A$ .

Решение

Так как работа – это произведение вектора силы на перемещение, значит, исходя из условия $|\vec{F}| = 5, |\vec{S}| = 3, (\hat{\vec{F}, \vec{S}}) = 45 °$ , получим $A = (\vec{F}, \vec{S}) = |\vec{F}| \cdot \vec{|S|} \cdot \cos (\hat{\vec{F}, \vec{S}}) = 5 \cdot 3 \cdot \cos (45 °) = \frac{15 \sqrt{2}}{2}$ .

Ответ: $A = \frac{15 \sqrt{2}}{2}$ .

Пример 9

Материальная точка, перемещаясь из $M (2, - 1, - 3)$ в $N (5, 3 λ - 2, 4)$ под силой $\vec{F} = (3, 1, 2)$ , совершила работа равную 13 Дж. Вычислить длину перемещения.

Решение

При заданных координатах вектора $\vec{M N}$ имеем $\vec{M N} = (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1), 4 - (- 3)) = (3, 3 λ - 1, 7)$ .

По формуле нахождения работы с векторами $\vec{F} = (3, 1, 2)$ и $\vec{M N} = (3, 3 λ - 1, 7)$ получим $A = (\overset{\Rightarrow}{F}, \vec{M N}) = 3 \cdot 3 + 1 \cdot (3 λ - 1) + 2 \cdot 7 = 22 + 3 λ$ .

По условию дано, что $A = 13 Д ж$ , значит $22 + 3 λ = 13$ . Отсюда следует $λ = - 3$ , значит и $\vec{M N} = (3, 3 λ - 1, 7) = (3, - 10, 7)$ .

Чтобы найти длину перемещения $\vec{M N}$ , применим формулу и подставим значения:

$|\vec{M N}| = \sqrt{3^{2} + (- 10)^{2} + 7^{2}} = \sqrt{158}$ .

Ответ: $\sqrt{158}$ .