Processing math: 100%
Автор статьи

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik

Смешанное произведение векторов, его свойства, примеры и решения

Содержание:
  1. Термин
  2. Умножение в системе координат
  3. Разбор типовых задач
  4. Геометрический смысл

Для того, чтобы подробно рассмотреть такую тему, нужно охватить еще несколько разделов. Тема напрямую связана с такими терминами, как скалярное и векторное произведение. В этой статье мы постарались дать точное определение, указать формулу, которая поможет определить произведение, используя координаты векторов. Помимо этого, статья включает в себя разделы с перечислением свойств произведения и представлены подробный разбор типовых равенств и задач.

Термин

Для того, чтобы определить, в чем заключается данный термин, нужно взять три вектора.

Определение 1

Смешанным произведением a, b и d является та величина, которая равняется скалярному произведению opena×b] и d , где opena×b] - умножение a и b . Операцию умножения a, b и d зачастую обозначают a·b·d . Можно преобразовать формулу так:a·b·d=(opena×b],d) .

Умножение в системе координат

Мы можем умножить вектора, если они указаны на координатной плоскости.

Возьмем i, j, k

Произведение векторов в данном конкретном случае будет иметь следующий вид:opena×b]=(ay·bz-az·by)·i+(az·bx+ax·bz)·j+(ax·by+ay·bx)·k=openayazbybz|·i-openaxazbxbz|·j+openaxaybxby|·k

Определение 2

Для выполнения скалярного произведения в системе координат необходимо сложить результаты, полученный во время умножения координат.

Из этого следует:

opena×b]=(ay·bz-az·by)·i+(az·bx+ax·bz)·j+(ax·by+ay·bx)·k=openayazbybz|·i-openaxazbxbz|·j+openaxaybxby|·k

Мы также можем определить смешанное произведение векторов, если в заданной системе координат указаны координаты векторов, которые умножаются.

opena×b]=( openayazbybz|·i-openaxazbxbz|·j+openaxaybxby|·k, dx·i+dy·j+dz·k)==openayazbybz|·dx-openaxazbxbz|·dy+openaxaybxby|·dz=openaxayazbxbybzdxdydz|

Таким образом, можно сделать вывод, что:

a·b·d=(opena×b|, d)=openaxayazbxbybzdxdydz|

Определение 3

Смешанное произведение можно приравнять к определителю матрицы, в качестве строк которой использованы векторные координаты. Наглядно это выглядит так: a·b·d=(opena×b|, d)=openaxayazbxbybzdxdydz| .

Свойства операции над векторами Из особенностей, которые выделяются в скалярном или векторном произведении, можно вывести особенности, которые характеризуют смешанное произведение. Ниже мы приведем основные свойства.

  1. (λ·a)·b·d=a·(λ·b)·d=a·b·(λ·d)=λ·a·b·d    λR ;
  2. a·b·d=d·a·b=b·d·a;   a·d·b=b·a·d=d·b·a ;
  3. (a(1)+a(2))·b·d=a(1)·b·d+a(2)·b·da·(b(1)+b(2))·d=a·b(1)·d+a·b(2)·da·b·(d(1)+d(2))=a·b·d(2)+a·b·d(2)

Помимо приведенных свойств, следует уточнить, что если множитель нулевой, то результатом умножения также станет нуль.

Результатом умножения также будет нуль в том случае, если два или больше множителей равны.

Действительно, если a=b , то, следуя определению векторного произведения [a×b]=opena|·openb|·sin 0 =0 , следовательно, смешанное произведение равно нулю, так как ([a×b], d)=(0, d)=0 .

Если же a=b или b=d , то угол между векторами [a×b] и d равен π2 . По определению скалярного произведения векторов ([a×b], d)=open[a×b]|·opend|·cosπ2=0 .

Свойства операции умножения чаще всего требуются во время решения задач.
Для того, чтобы подробно разобрать данную тему, возьмем несколько примеров и подробно их распишем.

Пример 1

Докажите равенство ([a×b], d+λ·a+b)=([a×b], d) , где λ - некоторое действительное число.

Для того, чтобы найти решение этого равенства, следует преобразовать его левую часть. Для этого необходимо воспользоваться третьим свойством смешанного произведения, которое гласит:

([a×b], d+λ·a+b)=([a×b], d)+([a×b], λ·a)+([a×b], b)
Мы разобрали, что (([a×b], b)=0. Из этого следует, что
([a×b], d+λ·a+b)=([a×b], d)+([a×b], λ·a)+([a×b], b)==([a×b], d)+([a×b], λ·a)+0=([a×b], d)+([a×b], λ·a)

Согласно первому свойству ([a×b], λ·a)=λ·([a×b],a) , а ([a×b], a)=0 . Таким образом, ([a×b], λ·a) . Поэтому,
([a×b], d+λ·a+b)=([a×b], d)+([a×b], λ·a)==([a×b], d)+0=([a×b], d)

Равенство доказано.

Пример 2

Необходимо доказать, что модуль смешанного произведения трех векторов не больше, чем произведения их длин.

Решение

Исходя из условия, можно представить пример в виде неравенства open(opena×b], d)|opena|·openb|·opend| .

По определению, преобразуем неравенство open(opena×b], d)|=openopena×b]|·opend|·opencos(open^a×b], d)|==opena|·openb|·opensin(^a, b)|·opend|·opencos([^a×b], d)|

Используя элементарные функции, можно сделать вывод, что 0opensin(^a, b)|1,  0opencos([^a×b], d)|1 .

Из этого можно сделать вывод, что
open(opena×b], d)|=opena|·openb|·opensin(^a, b)|·opend|·opencos(open^a×b], d)|opena|·openb|·1·opend|·1=opena|·openb|·opend|

Неравенство доказано.

Разбор типовых задач

Для того, чтобы определить, чему равно произведение векторов, следует знать координаты умножаемых векторов. Для операции можно использовать такую формулу a·b·d=(opena×b], d)=openaxayazbxbybzdxdydz|

Пример 3

В прямоугольной системе координат представлены 3 вектора с такими координатами: a=(1, -2, 3),  b(-2, 2, 1),  d=(3,-2, 5) . Необходимо определить, чему равно произведение указанных векторов a·b·d .

Исходя из теории, представленной выше, мы можем воспользоваться правилом, которое гласит, что смешанное произведение может быть вычислено через определитель матрицы. Это будет выглядеть так: a·b·d=(opena×b], d)=openaxayazbxbybzdxdydz|=open1-23-2213-25|==1·2·5+(-1)·1·3+3·(-2)·(-2)-3·2·3-(-1)·(-2)·5-1·1·(-2)=-7

Пример 4

Необходимо найти произведение векторовi+j, i+j-k, i+j+2·k , где i,j, k - орты прямоугольной декартовой системы координат.

Исходя из условия, которое гласит, что вектора расположены в данной системе координат, можно вывести их координаты: i+j=(1, 1, 0)i+j-k=(1, 1, -1)i+j+2·k=(1, 1, 2)

Используем формулу, которая использовалась выше
(open(i+j)×(i+j-k], (i+j+2·k))=open11011-1112|=0(open(i+j)×(i+j-k], (i+j+2·k))=0

Смешанное произведение также возможно определить с помощью длины вектора, которая уже известна, и угла между ними. Разберем этот тезис в примере.

Пример 5

В прямоугольной системе координат расположены три вектора a,b и d , которые перпендикулярны между собой. Они представляют собой правую тройку, их длины составляют 4, 2 и 3. Необходимо умножить вектора.

Обозначим c=opena×b] .

Согласно правилу, результатом умножения скалярных векторов является число, которое равно результату умножения длин используемых векторов на косинус угла между ними. Делаем вывод, что a·b·d=([a×b], d)=(c,d)=openc|·opend|·cos(^c, d) .

Используем длину вектора d , указанную в условии примера: a·b·d=openc|·opend|·cos(^c, d)=3·openc|·cos(^c, d) . Необходимо определить openс|и ^(с, d) . По условию (^a,b)=π2, opena|=4, openb|=2 . Вектор c найдем с помощью формулы: openc|=open[a×b]|=opena|·openb|·sin(^a, b)=4·2·sinπ2=8
Можно сделать вывод, что c перпендикулярен a и b . Вектора a, b, c будут являться правой тройкой, так использована декартовая система координат. Векторы c и d будут однонаправленными, то есть, (^c,d)=0 . Используя выведенные результаты, решаем пример a·b·d=3·openc|·cos(^c, d)=3·8·cos 0=24 .

a·b·d=24 .

Геометрический смысл

Используем множители a, b и d .

Вектора a, b и d исходят от одной точки. Используем их как стороны для построения фигуры.

Обозначим, что c=[a×b]. Для данного случая можно определить произведение векторов как a·b·d=openc|·opend|·cos(^c, d)=openc|·npcd , где npcd - числовая проекция вектора d на направление вектора c=[a×b] .

Абсолютная величина npcd равняется числу, которое также является равно высоте фигуры, для которого использованы вектора a, b и d в качестве сторон. Исходя из этого, следует уточнить, что c=[a×b] перпендикулярен a и вектору и вектору согласно определению умножения векторов. Величина c=openopenaxb]| равняется площади параллелепипеда, построенного на векторах a и b .

Делаем вывод, что модуль произведения opena·b·d|=openc|·opennpcd| равен результату умножения площади основания на высоту фигуры, которая построена на векторах a, b и d .

Определение 4

Абсолютная величина векторного произведения является объемом параллелепипеда: Vпараллелепипида=opena·b·d| .

Данная формула и является геометрическим смыслом.

Определение 5

Объем тетраэдра, который построен на a,b и d , равняется 1/6 объема параллелепипеда Получаем, Vтэтраэда=16·Vпараллелепипида=16·opena·b·d| .

Геометрический смысл

Для того, чтобы закрепить знания, разберем несколько типичных примеров

Пример 6

Необходимо найти объем параллелепипеда, в качестве сторон которого используются AB=(3, 6, 3), AC=(1, 3, -2), AA1=(2, 2, 2) , заданные в прямоугольной системе координат. Объем параллелепипеда можно найти, используя формулу об абсолютной величине. Из этого следует:AB·AC·AA1=open36313-2222|=3·3·2+6·(-2)·2+3·1·2-3·3·2-6·1·2-3·(-2)·2=-18

Тогда, Vпараллелепипеда=open-18|=18 .

Vпараллелепипида=18

Пример 7

В системе координат заданы точки A(0, 1,  0), B(3, -1, 5),  C(1, 0, 3), D(-2, 3, 1) . Следует определить объем тетраэдра, который расположен на этих точках.

Воспользуемся формулой Vтэтраэдра=16·openAB·AC·AD| . Мы можем определить координаты векторов по координатам точек: AB=(3-0, -1-1, 5-0)=(3, -2, 5)AC=(1-0, 0-1, 3-0) =(1,-1, 3)AD=(-2-0, 3-1, 1-0)=(-2, 2, 1)

Дальше определяем смешанное произведение AB·AC·AD по координатам векторов: AB·AC·AD=open3-251-13-221|=3·(-1)·1+(-2)·3·(-2)+5·1·2-5·(-1)·(-2)-(-2)·1·1-3·3·2=-7 Объем Vтэтраэдра=16·open-7|=76 .

Vтэтраэдра=76 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Сохранить статью удобным способом

Навигация по статьям

Наши социальные сети
Не получается написать работу самому?
Доверь это кандидату наук!
Связаться через
Я принимаю условия пользовательского соглашения и  политики приватности, а также даю свое согласие на обработку моих персональных данных
Выполненные работы по математике
  • Математика

    Линейная алгебра и геометрия Теория вероятностей

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      17 мая 2012

    • Стоимость:

      600 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    теория вероятности

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      16 апреля 2012

    • Стоимость:

      500 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    теория вероятности

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      16 апреля 2012

    • Стоимость:

      500 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    исследование функции и построение графика

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      27 марта 2012

    • Стоимость:

      200 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    две контрольных работы

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      25 января 2012

    • Стоимость:

      1 100 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    контрольная работа

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      24 января 2012

    • Стоимость:

      700 руб.

    Заказать такую же работу