Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik
Смешанное произведение векторов, его свойства, примеры и решения
- 11 марта 2023
- 11 минут
- 3 487
Для того, чтобы подробно рассмотреть такую тему, нужно охватить еще несколько разделов. Тема напрямую связана с такими терминами, как скалярное и векторное произведение. В этой статье мы постарались дать точное определение, указать формулу, которая поможет определить произведение, используя координаты векторов. Помимо этого, статья включает в себя разделы с перечислением свойств произведения и представлены подробный разбор типовых равенств и задач.
Термин
Для того, чтобы определить, в чем заключается данный термин, нужно взять три вектора.
Смешанным произведением →a, →b и →d является та величина, которая равняется скалярному произведению open→a×→b] и →d , где open→a×→b] - умножение →a и →b . Операцию умножения →a, →b и →d зачастую обозначают →a·→b·→d . Можно преобразовать формулу так:→a·→b·→d=(open→a×→b],→d) .
Умножение в системе координат
Мы можем умножить вектора, если они указаны на координатной плоскости.
Возьмем →i, →j, →k
Произведение векторов в данном конкретном случае будет иметь следующий вид:open→a×→b]=(ay·bz-az·by)·→i+(az·bx+ax·bz)·→j+(ax·by+ay·bx)·→k=openayazbybz|·→i-openaxazbxbz|·→j+openaxaybxby|·→k
Для выполнения скалярного произведения в системе координат необходимо сложить результаты, полученный во время умножения координат.
Из этого следует:
open→a×→b]=(ay·bz-az·by)·→i+(az·bx+ax·bz)·→j+(ax·by+ay·bx)·→k=openayazbybz|·→i-openaxazbxbz|·→j+openaxaybxby|·→k
Мы также можем определить смешанное произведение векторов, если в заданной системе координат указаны координаты векторов, которые умножаются.
open→a×→b]=( openayazbybz|·→i-openaxazbxbz|·→j+openaxaybxby|·→k, dx·→i+dy·→j+dz·→k)==openayazbybz|·dx-openaxazbxbz|·dy+openaxaybxby|·dz=openaxayazbxbybzdxdydz|
Таким образом, можно сделать вывод, что:
→a·→b·d=(open→a×→b|, →d)=openaxayazbxbybzdxdydz|
Смешанное произведение можно приравнять к определителю матрицы, в качестве строк которой использованы векторные координаты. Наглядно это выглядит так: →a·→b·d=(open→a×→b|, →d)=openaxayazbxbybzdxdydz| .
Свойства операции над векторами Из особенностей, которые выделяются в скалярном или векторном произведении, можно вывести особенности, которые характеризуют смешанное произведение. Ниже мы приведем основные свойства.
- (λ·→a)·→b·→d=→a·(λ·→b)·→d=→a·→b·(λ·→d)=λ·→a·→b·→d λ∈R ;
- →a·→b·→d=→d·→a·→b=→b·→d·→a; →a·→d·→b=→b·→a·→d=→d·→b·→a ;
- (→a(1)+→a(2))·→b·→d=→a(1)·→b·→d+→a(2)·→b·→d→a·(→b(1)+→b(2))·→d=→a·→b(1)·→d+→a·→b(2)·→d→a·→b·(→d(1)+→d(2))=→a·→b·→d(2)+→a·→b·→d(2)
Помимо приведенных свойств, следует уточнить, что если множитель нулевой, то результатом умножения также станет нуль.
Результатом умножения также будет нуль в том случае, если два или больше множителей равны.
Действительно, если →a=→b , то, следуя определению векторного произведения [→a×→b]=open→a|·→openb|·sin 0 =0 , следовательно, смешанное произведение равно нулю, так как ([→a×→b], →d)=(→0, →d)=0 .
Если же →a=→b или →b=→d , то угол между векторами [→a×→b] и →d равен π2 . По определению скалярного произведения векторов ([→a×→b], →d)=open[→a×→b]|·open→d|·cosπ2=0 .
Свойства операции умножения чаще всего требуются во время решения задач.
Для того, чтобы подробно разобрать данную тему, возьмем несколько примеров и подробно их распишем.
Докажите равенство ([→a×→b], →d+λ·→a+→b)=([→a×→b], →d) , где λ - некоторое действительное число.
Для того, чтобы найти решение этого равенства, следует преобразовать его левую часть. Для этого необходимо воспользоваться третьим свойством смешанного произведения, которое гласит:
([→a×→b], →d+λ·→a+→b)=([→a×→b], →d)+([→a×→b], λ·→a)+([→a×→b], →b)
Мы разобрали, что (([→a×→b], →b)=0. Из этого следует, что
([→a×→b], →d+λ·→a+→b)=([→a×→b], →d)+([→a×→b], λ·→a)+([→a×→b], →b)==([→a×→b], →d)+([→a×→b], λ·→a)+0=([→a×→b], →d)+([→a×→b], λ·→a)
Согласно первому свойству ([⇀a×⇀b], λ·→a)=λ·([⇀a×⇀b],→a) , а ([⇀a×⇀b], →a)=0 . Таким образом, ([⇀a×⇀b], λ·→a) . Поэтому,
([⇀a×⇀b], →d+λ·→a+→b)=([⇀a×⇀b], →d)+([⇀a×⇀b], λ·→a)==([⇀a×⇀b], →d)+0=([⇀a×⇀b], →d)
Равенство доказано.
Необходимо доказать, что модуль смешанного произведения трех векторов не больше, чем произведения их длин.
Решение
Исходя из условия, можно представить пример в виде неравенства open(open→a×→b], →d)|≤open→a|·open→b|·open→d| .
По определению, преобразуем неравенство open(open→a×→b], →d)|=openopen→a×→b]|·open→d|·opencos(open^→a×→b], →d)|==open→a|·open→b|·opensin(^→a, →b)|·open→d|·opencos([^→a×→b], d)|
Используя элементарные функции, можно сделать вывод, что 0≤opensin(^→a, →b)|≤1, 0≤opencos([^→a×→b], →d)|≤1 .
Из этого можно сделать вывод, что
open(open→a×→b], →d)|=open→a|·open→b|·opensin(^→a, →b)|·open→d|·opencos(open^→a×→b], →d)|≤≤open→a|·open→b|·1·open→d|·1=open→a|·open→b|·open→d|
Неравенство доказано.
Разбор типовых задач
Для того, чтобы определить, чему равно произведение векторов, следует знать координаты умножаемых векторов. Для операции можно использовать такую формулу →a·→b·→d=(open→a×→b], →d)=openaxayazbxbybzdxdydz| .
В прямоугольной системе координат представлены 3 вектора с такими координатами: →a=(1, -2, 3), →b(-2, 2, 1), →d=(3,-2, 5) . Необходимо определить, чему равно произведение указанных векторов →a·→b·→d .
Исходя из теории, представленной выше, мы можем воспользоваться правилом, которое гласит, что смешанное произведение может быть вычислено через определитель матрицы. Это будет выглядеть так: →a·→b·→d=(open→a×→b], →d)=openaxayazbxbybzdxdydz|=open1-23-2213-25|==1·2·5+(-1)·1·3+3·(-2)·(-2)-3·2·3-(-1)·(-2)·5-1·1·(-2)=-7
Необходимо найти произведение векторов→i+→j, →i+→j-→k, →i+→j+2·→k , где →i,→j, →k - орты прямоугольной декартовой системы координат.
Исходя из условия, которое гласит, что вектора расположены в данной системе координат, можно вывести их координаты: →i+→j=(1, 1, 0)→i+→j-→k=(1, 1, -1)→i+→j+2·→k=(1, 1, 2)
Используем формулу, которая использовалась выше
(open(→i+→j)×(→i+→j-→k], (→i+→j+2·→k))=open11011-1112|=0(open(→i+→j)×(→i+→j-→k], (→i+→j+2·→k))=0
Смешанное произведение также возможно определить с помощью длины вектора, которая уже известна, и угла между ними. Разберем этот тезис в примере.
В прямоугольной системе координат расположены три вектора →a,→b и →d , которые перпендикулярны между собой. Они представляют собой правую тройку, их длины составляют 4, 2 и 3. Необходимо умножить вектора.
Обозначим →c=open→a×→b] .
Согласно правилу, результатом умножения скалярных векторов является число, которое равно результату умножения длин используемых векторов на косинус угла между ними. Делаем вывод, что →a·→b·→d=([→a×→b], →d)=(→c,→d)=open→c|·open→d|·cos(^→c, →d) .
Используем длину вектора →d , указанную в условии примера: →a·→b·→d=open→c|·open→d|·cos(^→c, →d)=3·open→c|·cos(^→c, →d) . Необходимо определить open→с|и ^(→с, →d) . По условию (^→a,→b)=π2, open→a|=4, open→b|=2 . Вектор →c найдем с помощью формулы: open→c|=open[→a×→b]|=open→a|·open→b|·sin(^→a, →b)=4·2·sinπ2=8
Можно сделать вывод, что →c перпендикулярен →a и →b . Вектора →a,→ b, →c будут являться правой тройкой, так использована декартовая система координат. Векторы →c и →d будут однонаправленными, то есть, (^→c,→d)=0 . Используя выведенные результаты, решаем пример →a·→b·→d=3·open→c|·cos(^→c, →d)=3·8·cos 0=24 .
→a·→b·→d=24 .
Геометрический смысл
Используем множители →a, →b и →d .
Вектора →a, →b и →d исходят от одной точки. Используем их как стороны для построения фигуры.
Обозначим, что →c=[→a×→b]. Для данного случая можно определить произведение векторов как →a·→b·→d=open→c|·open→d|·cos(^→c, →d)=open→c|·np→c→d , где np→c→d - числовая проекция вектора →d на направление вектора →c=[→a×→b] .
Абсолютная величина np→c→d равняется числу, которое также является равно высоте фигуры, для которого использованы вектора →a, →b и →d в качестве сторон. Исходя из этого, следует уточнить, что →c=[→a×→b] перпендикулярен →a и вектору и вектору согласно определению умножения векторов. Величина →c=openopen→ax→b]| равняется площади параллелепипеда, построенного на векторах →a и →b .
Делаем вывод, что модуль произведения open→a·→b·→d|=open→c|·opennp→c→d| равен результату умножения площади основания на высоту фигуры, которая построена на векторах →a, →b и →d .
Абсолютная величина векторного произведения является объемом параллелепипеда: Vпараллелепипида=open→a·→b·→d| .
Данная формула и является геометрическим смыслом.
Объем тетраэдра, который построен на →a,→b и →d , равняется 1/6 объема параллелепипеда Получаем, Vтэтраэда=16·Vпараллелепипида=16·open→a·→b·→d| .
Для того, чтобы закрепить знания, разберем несколько типичных примеров
Необходимо найти объем параллелепипеда, в качестве сторон которого используются →AB=(3, 6, 3), →AC=(1, 3, -2), →AA1=(2, 2, 2) , заданные в прямоугольной системе координат. Объем параллелепипеда можно найти, используя формулу об абсолютной величине. Из этого следует:→AB·→AC·→AA1=open36313-2222|=3·3·2+6·(-2)·2+3·1·2-3·3·2-6·1·2-3·(-2)·2=-18
Тогда, Vпараллелепипеда=open-18|=18 .
Vпараллелепипида=18
В системе координат заданы точки A(0, 1, 0), B(3, -1, 5), C(1, 0, 3), D(-2, 3, 1) . Следует определить объем тетраэдра, который расположен на этих точках.
Воспользуемся формулой Vтэтраэдра=16·open→AB·→AC·→AD| . Мы можем определить координаты векторов по координатам точек: →AB=(3-0, -1-1, 5-0)=(3, -2, 5)→AC=(1-0, 0-1, 3-0) =(1,-1, 3)→AD=(-2-0, 3-1, 1-0)=(-2, 2, 1)
Дальше определяем смешанное произведение →AB·→AC·→AD по координатам векторов: →AB·→AC·→AD=open3-251-13-221|=3·(-1)·1+(-2)·3·(-2)+5·1·2-5·(-1)·(-2)-(-2)·1·1-3·3·2=-7 Объем Vтэтраэдра=16·open-7|=76 .
Vтэтраэдра=76 .
Сохранить статью удобным способом