Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik
Условие коллинеарности векторов
- 6 марта 2023
- 6 минут
- 6 952
В статье ниже рассмотрим условия, при которых векторы считаются коллинеарными, а также разберем тему на конкретных примерах. И, прежде чем приступить к обсуждению, напомним некоторые определения.
Коллинеарные векторы – ненулевые векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому.
Данное определение дает возможность убедиться в коллинеарности векторов в их геометрическом отображении, однако точность такого способа может иметь погрешности, например, в зависимости, от качества самого чертежа. Поэтому обратимся к алгебраическому толкованию: сформируем условие, которое будет явным признаком коллинеарности.
Согласно схемам операций над векторами умножение вектора на некоторое заданное число приводит к соответствующему сжатию или растяжению вектора при сохранении или смене направления. Тогда вектор →b=λ·→a→b=λ⋅→a коллинеарен вектору →a→a , где λ – некоторое действительное число. Справедливым будет и обратное утверждение: если вектор →b коллинеарен вектору →a, его можно представить в виде λ·→a. Это является необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов.
Для коллинеарности двух векторов необходимо и достаточно, чтобы они были связаны равенствами: →b=λ·→a или →a=μ·→b, μ∈R
Координатная форма условия коллинеарности векторов
Исходные данные: вектор →a задан в некоторой прямоугольной системе координат на плоскости и имеет координаты (ax, ay), тогда, согласно полученному выше условию, вектор →b=λ·→a имеет координаты (λ·ax, λ·ay).
По аналогии: если вектор →a задан в трехмерном пространстве, то он будет представлен в виде координат a=(ax, ay, az) , а вектор →b=λ·→a имеет координаты (λ·ax, λ·ay, λ·az). Из полученных утверждений следуют условия коллинеарности двух векторов в координатном толковании.
- openbx=λ·axby=λ·ay или openax=μ·bxay=μ·by Для коллинеарности двух ненулевых векторов на плоскости необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями:
- Для коллинеарности двух ненулевых векторов в пространстве необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями:openbx=λ·axby=λ·ay bz=λ·azили openax=μ·bxay=μ·by az=μ·bz
Мы можем также получить еще одно условие коллинеарности векторов, опираясь на понятие их произведения.
Если ненулевые векторы →a=(ax, ay, az) и →b=(bx, by, bz) коллинеарны, то согласно векторному определению произведения open→a×→b]=→0. И это также соответствует равенству: open→i→j→kaxayazbxbybz|=→0, что, в свою очередь, возможно только тогда, когда заданные векторы связаны соотношениями →b=λ·→a и →a=μ·→b , где μ - произвольное действительное число (на основании теоремы о ранге матрицы), что указывает на факт коллинеарности векторов.
Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору.
Рассмотрим применение условия коллинеарности на конкретных примерах.
Исходные данные: векторы →a=(3-2√2, 1) и →b=(1√2+1, √2+1) . Необходимо определить, коллинеарны ли они.
Решение
Выполним задачу, опираясь на условие коллинеарности векторов на плоскости в координатах: openbx=λ·axby=λ·ay Подставив заданные значения координат, получим: bx=λ·ax⇔1√2+1=λ·(3-2√2)⇒λ=1(√2+1)·(3-2√2)=13√2-4+3-2√2=1√2-1by=λ·ay⇔√2+1=1√2-1·1⇔(√2+1)·(√2-1)=1 ⇔1≡1
Т.е. →b=1√2-1·→a, следовательно, заданные векторы коллинеарны.
Ответ: заданные векторы коллинеарны.
Исходные данные: векторы →a=(1, 0, -2) и →b=(-3, 0, 6) . Необходимо убедиться в их коллинеарности.
Решение
Т.к. openbx=λ·axby=λ·ay bz=λ·az⇔open-3=-3·10=-3·06=-3·(-2) , то верным будет равенство: →b=-3·→a , что является необходимым и достаточным условием коллинеарности. Таким образом, заданные векторы коллинеарны.
Найдем также векторное произведение заданных векторов и убедимся, что оно равно нулевому вектору: open→a×→b]=open→i→j→kaxayazbxbybz|=open→i→j→k10-2-306|=→i·0·6+→j·(-2)·(-3)+→k·1·0-→k·0·(-3)-→j·1·6-→i·(-2)·0=→0Ответ: заданные векторы коллинеарны.
Исходные данные: векторы →a=(2, 7) и →b=(p, 3) . Необходимо определить, при каком значении pзаданные векторы будут коллинеарны.
Решение
Согласно выведенному выше условию, векторы коллинеарны, если
→b=λ·→a⇔openbx=λ·axby=λ·ay⇔openp=λ·23=λ·7
тогда λ=37, а p=λ·2⇔p=67 .
Ответ: при p=67 заданные векторы коллинеарны.
Также распространены задачи на нахождения вектора, коллинеарного заданному. Решаются они без затруднений, основываясь на условии коллинеарности: : достаточным будет взять произвольное действительное число λ и определить вектор, коллинеарный данному.
Исходные данные: вектор →a=(2, -6) . Необходимо найти любой ненулевой вектор, коллинеарный заданному.
Решение
Ответом может послужить, например, 12·→a=(1, -3) или вектор 3·→a=(6, -18) .
Ответ: вектор, коллинеарный заданному имеет координаты (1, -3).
Исходные данные: вектор →a=(3, 4, -5) . Необходимо определить координаты вектора единичной длины, коллинеарного заданному.
Решение
Вычислим длину заданного вектора по его координатам: open→a|=√a2x+b2x+c2x=√32+42+(-5)2=5√2 Разделим каждую из заданных координат на полученную длину и получим единичный вектор, коллинеарный данному: 1open→a|·→a=(35√2, 45√2,- 1√2)
Ответ: (35√2, 45√2,- 1√2)
Сохранить статью удобным способом