Условие коллинеарности векторов

6 марта 2023
6 минут
6 306

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В статье ниже рассмотрим условия, при которых векторы считаются коллинеарными, а также разберем тему на конкретных примерах. И, прежде чем приступить к обсуждению, напомним некоторые определения.

Определение 1

Коллинеарные векторы – ненулевые векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому.

Данное определение дает возможность убедиться в коллинеарности векторов в их геометрическом отображении, однако точность такого способа может иметь погрешности, например, в зависимости, от качества самого чертежа. Поэтому обратимся к алгебраическому толкованию: сформируем условие, которое будет явным признаком коллинеарности.

Согласно схемам операций над векторами умножение вектора на некоторое заданное число приводит к соответствующему сжатию или растяжению вектора при сохранении или смене направления. Тогда вектор $\vec{b} = λ \cdot \vec{a}$ коллинеарен вектору $\vec{a}$ , где $λ$ – некоторое действительное число. Справедливым будет и обратное утверждение: если вектор $\vec{b}$ коллинеарен вектору $\vec{a}$ , его можно представить в виде $λ \cdot \vec{a}$ . Это является необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов.

Определение 2

Для коллинеарности двух векторов необходимо и достаточно, чтобы они были связаны равенствами: $\vec{b} = λ \cdot \vec{a}$ или $\vec{a} = μ \cdot \vec{b}, μ \in R$

Координатная форма условия коллинеарности векторов

Исходные данные: вектор $\vec{a}$ задан в некоторой прямоугольной системе координат на плоскости и имеет координаты $(a_{x}, a_{y})$ , тогда, согласно полученному выше условию, вектор $\vec{b} = λ \cdot \vec{a}$ имеет координаты $(λ \cdot a_{x}, λ \cdot a_{y})$ .

По аналогии: если вектор $\vec{a}$ задан в трехмерном пространстве, то он будет представлен в виде координат $a = (a_{x}, a_{y}, a_{z})$ , а вектор $\vec{b} = λ \cdot \vec{a}$ имеет координаты $(λ \cdot a_{x}, λ \cdot a_{y}, λ \cdot a_{z})$ . Из полученных утверждений следуют условия коллинеарности двух векторов в координатном толковании.

Определение 3

Для коллинеарности двух ненулевых векторов на плоскости необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями: $\{\begin{cases} b_{x} = λ \cdot a_{x} \\ b_{y} = λ \cdot a_{y} \end{cases}$ или $\{\begin{cases} a_{x} = μ \cdot b_{x} \\ a_{y} = μ \cdot b_{y} \end{cases}$
Для коллинеарности двух ненулевых векторов в пространстве необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями: $\{\begin{cases} \begin{array}{l} b_{x} = λ \cdot a_{x} \\ b_{y} = λ \cdot a_{y} \end{array} \\ b_{z} = λ \cdot a_{z} \end{cases} \begin{array}{l} \end{array}$ или $\{\begin{cases} \begin{array}{l} a_{x} = μ \cdot b_{x} \\ a_{y} = μ \cdot b_{y} \end{array} \\ a_{z} = μ \cdot b_{z} \end{cases}$

Мы можем также получить еще одно условие коллинеарности векторов, опираясь на понятие их произведения.

Если ненулевые векторы $\vec{a} = (a_{x}, a_{y}, a_{z})$ и $\vec{b} = (b_{x}, b_{y}, b_{z})$ коллинеарны, то согласно векторному определению произведения $[\vec{a} \times \vec{b}] = \vec{0}$ . И это также соответствует равенству: $|\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{matrix}| = \vec{0}$ , что, в свою очередь, возможно только тогда, когда заданные векторы связаны соотношениями $\vec{b} = λ \cdot \vec{a}$ и $\vec{a} = μ \cdot \vec{b}$ , где $μ$ - произвольное действительное число (на основании теоремы о ранге матрицы), что указывает на факт коллинеарности векторов.

Определение 4

Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору.

Рассмотрим применение условия коллинеарности на конкретных примерах.

Пример 1

Исходные данные: векторы $\vec{a} = (3 - 2 \sqrt{2}, 1)$ и $\vec{b} = (\frac{1}{\sqrt{2} + 1}, \sqrt{2} + 1)$ . Необходимо определить, коллинеарны ли они.

Решение

Выполним задачу, опираясь на условие коллинеарности векторов на плоскости в координатах: $\{\begin{cases} b_{x} = λ \cdot a_{x} \\ b_{y} = λ \cdot a_{y} \end{cases}$ Подставив заданные значения координат, получим: $b_{x} = λ \cdot a_{x} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = λ \cdot (3 - 2 \sqrt{2}) \Rightarrow λ = \frac{1}{(\sqrt{2} + 1) \cdot (3 - 2 \sqrt{2})} = \frac{1}{3 \sqrt{2} - 4 + 3 - 2 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} b_{y} = λ \cdot a_{y} \Leftrightarrow \sqrt{2} + 1 = \frac{1}{\sqrt{2 - 1}} \cdot 1 \Leftrightarrow (\sqrt{2} + 1) \cdot (\sqrt{2} - 1) = 1 \Leftrightarrow 1 \equiv 1$

Т.е. $\vec{b} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \cdot \vec{a}$ , следовательно, заданные векторы коллинеарны.

Ответ: заданные векторы коллинеарны.

Пример 2

Исходные данные: векторы $\vec{a} = (1, 0, - 2)$ и $\vec{b} = (- 3, 0, 6)$ . Необходимо убедиться в их коллинеарности.

Решение

Т.к. $\{\begin{cases} \begin{array}{l} b_{x} = λ \cdot a_{x} \\ b_{y} = λ \cdot a_{y} \end{array} \\ b_{z} = λ \cdot a_{z} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \begin{array}{l} - 3 = - 3 \cdot 1 \\ 0 = - 3 \cdot 0 \end{array} \\ 6 = - 3 \cdot (- 2) \end{cases}$ , то верным будет равенство: $\vec{b} = - 3 \cdot \vec{a}$ , что является необходимым и достаточным условием коллинеарности. Таким образом, заданные векторы коллинеарны.

Найдем также векторное произведение заданных векторов и убедимся, что оно равно нулевому вектору: $[\vec{a} \times \vec{b}] = |\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{matrix}| = |\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & - 2 \\ - 3 & 0 & 6 \end{matrix}| = \vec{i} \cdot 0 \cdot 6 + \vec{j} \cdot (- 2) \cdot (- 3) + \vec{k} \cdot 1 \cdot 0 - \vec{k} \cdot 0 \cdot (- 3) - \vec{j} \cdot 1 \cdot 6 - \vec{i} \cdot (- 2) \cdot 0 = \vec{0}$ Ответ: заданные векторы коллинеарны.

Пример 3

Исходные данные: векторы $\vec{a} = (2, 7)$ и $\vec{b} = (p, 3)$ . Необходимо определить, при каком значении $p$ заданные векторы будут коллинеарны.

Решение

Согласно выведенному выше условию, векторы коллинеарны, если

$\vec{b} = λ \cdot \vec{a} \Leftrightarrow \{\begin{cases} b_{x} = λ \cdot a_{x} \\ b_{y} = λ \cdot a_{y} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} p = λ \cdot 2 \\ 3 = λ \cdot 7 \end{cases}$

тогда $λ = \frac{3}{7}$ , а $p = λ \cdot 2 \Leftrightarrow p = \frac{6}{7}$ .

Ответ: при $p = \frac{6}{7}$ заданные векторы коллинеарны.

Также распространены задачи на нахождения вектора, коллинеарного заданному. Решаются они без затруднений, основываясь на условии коллинеарности: : достаточным будет взять произвольное действительное число λ и определить вектор, коллинеарный данному.

Пример 4

Исходные данные: вектор $\vec{a} = (2, - 6)$ . Необходимо найти любой ненулевой вектор, коллинеарный заданному.

Решение

Ответом может послужить, например, $\frac{1}{2} \cdot \vec{a} = (1, - 3)$ или вектор $3 \cdot \vec{a} = (6, - 18)$ .

Ответ: вектор, коллинеарный заданному имеет координаты $(1, - 3)$ .

Пример 5

Исходные данные: вектор $\vec{a} = (3, 4, - 5)$ . Необходимо определить координаты вектора единичной длины, коллинеарного заданному.

Решение

Вычислим длину заданного вектора по его координатам: $|\vec{a}| = \sqrt{a_{x}^{2} + b_{x}^{2} + c_{x}^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2} + (- 5)^{2}} = 5 \sqrt{2}$ Разделим каждую из заданных координат на полученную длину и получим единичный вектор, коллинеарный данному: $\frac{1}{|\vec{a}|} \cdot \vec{a} = (\frac{3}{5 \sqrt{2}}, \frac{4}{5 \sqrt{2}}, - \frac{1}{\sqrt{2}})$

Ответ: $(\frac{3}{5 \sqrt{2}}, \frac{4}{5 \sqrt{2}}, - \frac{1}{\sqrt{2}})$