Действия с дробями: правила, примеры, решения

Данная статья рассматривает действия над дробями. Будут сформированы и обоснованы правила сложения, вычитания, умножения, деления или возведения в степень дробей вида $\frac{A}{B}$ , где $A$ и $B$ могут быть числами, числовыми выражениями или выражениями с переменными. В заключении будут рассмотрены примеры решения с подробным описанием.

Правила выполнения действий с числовыми дробями общего вида

Числовые дроби общего вида имеют числитель и знаменатель, в которых имеются натуральные числа или числовые выражения. Если рассмотреть такие дроби, как $\frac{3}{5}, \frac{2, 8}{4}, \frac{1 + 2 \cdot 3}{4 \cdot (5 - 2)}, \frac{\frac{3}{4} + \frac{7}{8}}{2, 3 - 0, 8}, \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2}}, \frac{π}{1 - \frac{2}{3 + π}}, \frac{2^{0, 5}}{\ln 3}$ , то видно, что числитель и знаменатель может иметь не только числа, но и выражения различного плана.

Определение 1

Существуют правила, по которым идет выполнение действий с обыкновенными дробями. Оно подходит и для дробей общего вида:

При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются только числители, а знаменатель остается прежним, а именно: $\frac{a}{d} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \pm c}{d}$ , значения $a, c$ и $d \neq 0$ являются некоторыми числами или числовыми выражениями.
При сложении или вычитании дроби при разных знаменателях, необходимо произвести приведение к общему, после чего произвести сложение или вычитание полученных дробей с одинаковыми показателями. Буквенно это выглядит таком образом $\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \cdot p \pm c \cdot r}{s}$ , где значения $a, b \neq 0, c, d \neq 0, p \neq 0, r \neq 0, s \neq 0$ являются действительными числами, $а b \cdot p = d \cdot r = s$ . Когда $p = d$ и $r = b$ , тогда $\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d \pm c \cdot d}{b \cdot d}$ .
При умножении дробей выполняется действие с числителями, после чего со знаменателями, тогда получим $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$ , где $a, b \neq 0, c, d \neq 0$ выступают в роли действительных чисел.
При делении дроби на дробь первую умножаем на вторую обратную, то есть производим замену местами числителя и знаменателя: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$ .

Обоснование правил

Определение 2

Существуют следующие математические моменты, на которые следует опираться при вычислении:

дробная черта означает знак деления;
деление на число рассматривается как умножение на его обратное значение;
применение свойства действий с действительными числами;
применение основного свойства дроби и числовых неравенств.

С их помощью можно производить преобразования вида:

$\frac{a}{d} \pm \frac{c}{d} = a \cdot d^{- 1} \pm c \cdot d^{- 1} = (a \pm c) \cdot d^{- 1} = \frac{a \pm c}{d}; \frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \cdot p}{b \cdot p} \pm \frac{c \cdot r}{d \cdot r} = \frac{a \cdot p}{s} \pm \frac{c \cdot e}{s} = \frac{a \cdot p \pm c \cdot r}{s}; \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} \cdot \frac{b \cdot c}{b \cdot d} = ((a \cdot d) \cdot {(a \cdot d)}^{- 1}) \cdot ((b \cdot c) \cdot {(b \cdot d)}^{- 1}) = = (a \cdot d \cdot b \cdot c) \cdot {(b \cdot d)}^{- 1} \cdot {(b \cdot d)}^{- 1} = \frac{a \cdot d \cdot b \cdot c}{b \cdot d} \cdot {(b \cdot d)}^{- 1} = = (a \cdot c) \cdot (b \cdot d)^{- 1} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Примеры

В предыдущем пункте было сказано про действия с дробями. Именно после этого дробь нуждается в упрощении. Подробно эта тема была рассмотрена в пункте о преобразовании дробей.

Для начала рассмотрим пример сложения и вычитания дробей с одинаковым знаменателем.

Пример 1

Даны дроби $\frac{8}{2, 7}$ и $\frac{1}{2, 7}$ , то по правилу необходимо числитель сложить, а знаменатель переписать.

Решение

Тогда получаем дробь вида $\frac{8 + 1}{2, 7}$ . После выполнения сложения получаем дробь вида $\frac{8 + 1}{2, 7} = \frac{9}{2, 7} = \frac{90}{27} = 3 \frac{1}{3}$ . Значит, $\frac{8}{2, 7} + \frac{1}{2, 7} = \frac{8 + 1}{2, 7} = \frac{9}{2, 7} = \frac{90}{27} = 3 \frac{1}{3}$ .

Ответ: $\frac{8}{2, 7} + \frac{1}{2, 7} = 3 \frac{1}{3}$

Имеется другой способ решения. Для начала производится переход к виду обыкновенной дроби, после чего выполняем упрощение. Это выглядит таким образом:

$\frac{8}{2, 7} + \frac{1}{2, 7} = \frac{80}{27} + \frac{10}{27} = \frac{90}{27} = 3 \frac{1}{3}$

Пример 2

Произведем вычитание из $\frac{1 - \sqrt{2}}{3 \cdot (\log_{2} 3 \cdot \log_{2} 5 + 1)}$ дроби вида $\frac{\sqrt[3]{2}}{3 \cdot (\log_{2} 3 \cdot \log_{2} 5 + 1)}$ .

Так как даны равные знаменатели, значит, что мы выполняем вычисление дроби при одинаковом знаменателе. Получим, что

$\frac{1 - \sqrt{2}}{3 \cdot (\log_{2} 3 \cdot \log_{2} 5 + 1)} - \frac{\sqrt[3]{2}}{3 \cdot (\log_{2} 3 \cdot \log_{2} 5 + 1)} = \frac{1 - \sqrt{2} - \sqrt[3]{2}}{3 \cdot (\log_{2} 3 \cdot \log_{2} 5 + 1)}$

Имеются примеры вычисления дробей с разными знаменателями. Важный пункт – это приведение к общему знаменателю. Без этого мы не сможем выполнять дальнейшие действия с дробями.

Процесс отдаленно напоминает приведение к общему знаменателю. То есть производится поиск наименьшего общего делителя в знаменателе, после чего добавляются недостающие множители к дробям.

Если складываемые дроби не имеют общих множителей, тогда им может стать их произведение.

Пример 3

Рассмотрим на примере сложения дробей $\frac{2}{\sqrt[5]{3} + 1}$ и $\frac{1}{2}$ .

Решение

В данном случае общим знаменателем выступает произведение знаменателей. Тогда получаем, что $2 \cdot (\sqrt[5]{3} + 1)$ . Тогда при выставлении дополнительных множителей имеем, что к первой дроби он равен $2$ , а ко второй $\sqrt[5]{3} + 1$ . После перемножения дроби приводятся к виду $\frac{4}{2 \cdot (\sqrt[5]{3} + 1)}$ . Общее приведение $\frac{1}{2}$ будет иметь вид $\frac{\sqrt[5]{3} + 1}{2 \cdot (\sqrt[5]{3} + 1)}$ . Полученные дробные выражения складываем и получаем, что

$\frac{2}{\sqrt[5]{3} + 1} + \frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot (\sqrt[5]{3} + 1)} + \frac{1 \cdot (\sqrt[5]{3} + 1)}{2 \cdot (\sqrt[5]{3} + 1)} = = \frac{4}{2 \cdot (\sqrt[5]{3} + 1)} + \frac{\sqrt[5]{3} + 1}{2 \cdot (\sqrt[5]{3} + 1)} = \frac{4 + \sqrt[5]{3} + 1}{2 \cdot (\sqrt[5]{3} + 1)} = \frac{5 + \sqrt[5]{3}}{2 \cdot (\sqrt[5]{3} + 1)}$

Ответ: $\frac{2}{\sqrt[5]{3} + 1} + \frac{1}{2} = \frac{5 + \sqrt[5]{3}}{2 \cdot (\sqrt[5]{3} + 1)}$

Когда имеем дело с дробями общего вида, тогда о наименьшем общем знаменателе обычно дело не идет. В качестве знаменателя нерентабельно принимать произведение числителей. Для начала необходимо проверить, имеется ли число, которое меньше по значению, чем их произведение.

Пример 4

Рассмотрим на примере $\frac{1}{6 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}$ и $\frac{1}{4 \cdot 2^{\frac{3}{5}}}$ , когда их произведение будет равно $6 \cdot 2^{\frac{1}{5}} \cdot 4 \cdot 2^{\frac{3}{5}} = 24 \cdot 2^{\frac{4}{5}}$ . Тогда в качестве общего знаменателя берем $12 \cdot 2^{\frac{3}{5}}$ .

Рассмотрим примеры умножений дробей общего вида.

Пример 5

Для этого необходимо произвести умножение $\frac{\sqrt{2} + 1}{6}$ и $\frac{2 \cdot \sqrt{5}}{3 \cdot (\sqrt{2} + 1)}$ .

Решение

Следую правилу, необходимо переписать и в виде знаменателя написать произведение числителей. Получаем, что $\frac{\sqrt{2} + 1}{6} \cdot \frac{2 \cdot \sqrt{5}}{3 \cdot (\sqrt{2} + 1)} \frac{(\sqrt{2} + 1) \cdot 2 \cdot \sqrt{5}}{6 \cdot 3 \cdot (\sqrt{2} + 1)}$ . Когда дробь будет умножена, можно производить сокращения для ее упрощения. Тогда $\frac{5 \cdot \sqrt[3]{3}}{\sqrt{2} + 1} : \frac{10}{\sqrt[3]{9}} = \frac{5 \cdot \sqrt[3]{3}}{\sqrt{2} + 1} \cdot \frac{\sqrt[3]{9}}{10}$ .

Используя правило перехода от деления к умножению на обратную дробь, получим дробь, обратную данной. Для этого числитель и знаменатель меняются местами. Рассмотрим на примере:

$\frac{5 \cdot \sqrt[3]{3}}{\sqrt{2} + 1} : \frac{10}{\sqrt[3]{9}} = \frac{5 \cdot \sqrt[3]{3}}{\sqrt{2} + 1} \cdot \frac{\sqrt[3]{9}}{10}$

После чего должны выполнить умножение и упростить полученную дробь. Если необходимо, то избавиться от иррациональности в знаменателе. Получаем, что

$\frac{5 \cdot \sqrt[3]{3}}{\sqrt{2} + 1} : \frac{10}{\sqrt[3]{9}} = \frac{5 \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9}}{10 \cdot (\sqrt{2} + 1)} = \frac{5 \cdot 2}{10 \cdot (\sqrt{2} + 1)} = \frac{3}{2 \cdot (\sqrt{2} + 1)} = = \frac{3 \cdot (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot (\sqrt{2} + 1) \cdot (\sqrt{2} - 1)} = \frac{3 \cdot (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot ({(\sqrt{2})}^{2} - 1^{2})} = \frac{3 \cdot (\sqrt{2} - 1)}{2}$

Ответ: $\frac{5 \cdot \sqrt[3]{3}}{\sqrt{2} + 1} : \frac{10}{\sqrt[3]{9}} = \frac{3 \cdot (\sqrt{2} - 1)}{2}$

Данный пункт применим, когда число или числовое выражение может быть представлено в виде дроби, имеющую знаменатель, равный $1$ , тогда и действие с такой дробью рассматривается отдельным пунктом. Например, выражение $\frac{1}{6 \cdot (\sqrt[4]{7} - 1)} \cdot \sqrt{3}$ видно, что корень из $3$ может быть заменен другим $\frac{\sqrt{3}}{1}$ выражением. Тогда эта запись будет выглядеть как умножение двух дробей вида $\frac{1}{6 \cdot (\sqrt[4]{7} - 1)} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{6 \cdot (\sqrt[4]{7} - 1)} \cdot \frac{\sqrt{3}}{1}$ .

Выполнение действие с дробями, содержащими переменные

Правила, рассмотренные в первой статье , применимы для действий с дробями, содержащими переменные. Рассмотрим правило вычитания, когда знаменатели одинаковые.

Необходимо доказать, что $A, C$ и $D$ ( $D$ не равное нулю) могут быть любыми выражениями, причем равенство $\frac{A}{D} \pm \frac{C}{D} = \frac{A \pm C}{D}$ равноценно с его областью допустимых значений.

Необходимо взять набор переменных ОДЗ. Тогда $А, С, D$ должны принимать соответственные значения $a_{0}, c_{0}$ и $d_{0}$ . Подстановка вида $\frac{A}{D} \pm \frac{C}{D}$ приводит разность вида $\frac{a_{0}}{d_{0}} \pm \frac{c_{0}}{d_{0}}$ , где по правилу сложения получаем формулу вида $\frac{a_{0} \pm c_{0}}{d_{0}}$ . Если подставить выражение $\frac{A \pm C}{D}$ , тогда получаем ту же дробь вида $\frac{a_{0} \pm c_{0}}{d_{0}}$ . Отсюда делаем вывод, что выбранное значение, удовлетворяющее ОДЗ, $\frac{A \pm C}{D}$ и $\frac{A}{D} \pm \frac{C}{D}$ считаются равными.

При любом значении переменных данные выражения будут равны, то есть их называют тождественно равными. Значит это выражение считается доказываемым равенством вида $\frac{A}{D} \pm \frac{C}{D} = \frac{A \pm C}{D}$ .

Примеры сложения и вычитания дробей с переменными

Когда имеются одинаковые знаменатели, необходимо только складывать или вычитать числители. Такая дробь может быть упрощена. Иногда приходится работать с дробями, которые являются тождественно равными, но при первом взгляде это незаметно, так как необходимо выполнять некоторые преобразования. Например, $x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}} + 1$ и ${(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2}$ или $\frac{1}{2} \cdot \sin 2 α$ и $\sin a \cdot \cos a$ . Чаще всего требуется упрощение исходного выражения для того, чтобы увидеть одинаковые знаменатели.

Пример 6

Вычислить: $1) \frac{x^{2} + 1}{\sqrt{x} + x - 2} - \frac{5 - x}{\sqrt{x} + x - 2}$ , $2) \frac{l g^{2} x + 4}{x \cdot (l g x + 2)} + \frac{4 \cdot l g x}{x \cdot (l g x + 2)}$ , $\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} + \frac{x}{\sqrt{x} + 1}$ .

Решение

Чтобы произвести вычисление, необходимо вычесть дроби, которым имеют одинаковые знаменатели. Тогда получаем, что $\frac{x^{2} + 1}{\sqrt{x} + x - 2} - \frac{5 - x}{\sqrt{x} + x - 2} = \frac{x^{2} + 1 - (5 - x)}{\sqrt{x} + x - 2}$ . После чего можно выполнять раскрытие скобок с приведением подобных слагаемых. Получаем, что $\frac{x^{2} + 1 - (5 - x)}{\sqrt{x} + x - 2} = \frac{x^{2} + 1 - 5 + x}{\sqrt{x} + x - 2} = \frac{x^{2} + x - 4}{\sqrt{x} + x - 2}$
Так как знаменатели одинаковые, то остается только сложить числители, оставив знаменатель: $\frac{l g^{2} x + 4}{x \cdot (l g x + 2)} + \frac{4 \cdot l g x}{x \cdot (l g x + 2)} = \frac{l g^{2} x + 4 + 4}{x \cdot (l g x + 2)}$
Сложение было выполнено. Видно, что можно произвести сокращение дроби. Ее числитель может быть свернут по формуле квадрата суммы, тогда получим $(l g x + 2)^{2}$ из формул сокращенного умножения. Тогда получаем, что
$\frac{l g^{2} x + 4 + 2 \cdot l g x}{x \cdot (l g x + 2)} = \frac{(l g x + 2)^{2}}{x \cdot (l g x + 2)} = \frac{l g x + 2}{x}$
Заданные дроби вида $\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} + \frac{x}{\sqrt{x} + 1}$ с разными знаменателями. После преобразования можно перейти к сложению.

Рассмотрим двоякий способ решения.

Первый способ заключается в том, что знаменатель первой дроби подвергается разложению на множители при помощи квадратов, причем с ее последующим сокращением. Получим дробь вида

$\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} - 1) \cdot (\sqrt{x} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{x} + 1}$

Значит, $\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} + \frac{x}{\sqrt{x} + 1} = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{x}{\sqrt{x} + 1} = \frac{1 + x}{\sqrt{x} + 1}$ .

В таком случае необходимо избавляться от иррациональности в знаменателе.

Получим:

$\frac{1 + x}{\sqrt{x} + 1} = \frac{(1 + x) \cdot (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 1) \cdot (\sqrt{x} - 1)} = \frac{\sqrt{x} - 1 + x \cdot \sqrt{x} - x}{x - 1}$

Второй способ заключается в умножении числителя и знаменателя второй дроби на выражение $\sqrt{x} - 1$ . Таким образом, мы избавляемся от иррациональности и переходим к сложению дроби при наличии одинакового знаменателя. Тогда

$\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} + \frac{x}{\sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} + \frac{x \cdot (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 1) \cdot (\sqrt{x} - 1)} = = \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} + \frac{x \cdot \sqrt{x} - x}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} - 1 + x \cdot \sqrt{x} - x}{x - 1}$

Ответ: $1) \frac{x^{2} + 1}{\sqrt{x} + x - 2} - \frac{5 - x}{\sqrt{x} + x - 2} = \frac{x^{2} + x - 4}{\sqrt{x} + x - 2}$ , $2) \frac{l g^{2} x + 4}{x \cdot (l g x + 2)} + \frac{4 \cdot l g x}{x \cdot (l g x + 2)} = \frac{l g x + 2}{x}$ , $3) \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} + \frac{x}{\sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x} - 1 + x \cdot \sqrt{x} - x}{x - 1}$ .

В последнем примере получили, что приведение к общему знаменателю неизбежно. Для этого необходимо упрощать дроби. Для сложения или вычитая всегда необходимо искать общий знаменатель, который выглядит как произведение знаменателей с добавлением дополниетльных множителей к числителям.

Пример 7

Вычислить значения дробей: $1) \frac{x}{3} + \frac{1}{\sqrt[7]{x} + 2 \cdot \sqrt{2}}$ , $2) \frac{\sqrt{x} + 1}{x \cdot \ln^{2} (x + 1) \cdot (2^{x} - 4)} - \frac{\sin x}{x^{5} \cdot \ln (x + 1) \cdot (2^{x} - 4)}$ , $3) \frac{1}{\cos^{2} x - x} + \frac{1}{\cos^{2} x + 2 \cdot \cos x \cdot \sqrt{x} + x}$

Решение

Никаких сложных вычислений знаменатель не требует, поэтому нужно выбрать их произведение вида $3 \cdot (\sqrt[7]{x} + 2 \cdot \sqrt{2})$ , тогда к первой дроби $\sqrt[7]{x} + 2 \cdot \sqrt{2}$ выбирают как дополнительный множитель, а $3$ ко второй. При перемножении получаем дробь вида $\frac{x}{3} + \frac{1}{\sqrt[7]{x} + 2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{x \cdot (\sqrt[7]{x} + 2 \cdot \sqrt{2})}{3 \cdot (\sqrt[7]{x} + 2 \cdot \sqrt{2})} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot (\sqrt[7]{x} + 2 \cdot \sqrt{2})} = = \frac{x \cdot (\sqrt[7]{x} + 2 \cdot \sqrt{2}) + 3}{3 \cdot (\sqrt[7]{x} + 2 \cdot \sqrt{2})} = \frac{x \cdot \sqrt[7]{x} + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot x + 3}{3 \cdot (\sqrt[7]{x} + 2 \cdot \sqrt{2})}$
Видно, что знаменатели представлены в виде произведения, что означает ненужность дополнительных преобразований. Общим знаменателем будет считаться произведение вида $x^{5} \cdot \ln^{2} (x + 1) \cdot (2^{x} - 4)$ . Отсюда $x^{4}$ является дополнительным множителем к первой дроби, а $\ln (x + 1)$ ко второй. После чего производим вычитание и получаем, что:
$\frac{\sqrt{x} + 1}{x \cdot \ln^{2} (x + 1) \cdot (2^{x} - 4)} - \frac{\sin x}{x^{5} \cdot \ln (x + 1) \cdot (2^{x} - 4)} = = \frac{(\sqrt{x} + 1) \cdot x^{4}}{x^{5} \cdot \ln^{2} (x + 1) \cdot (2^{x} - 4)} - \frac{\sin x \cdot \ln (x + 1)}{x^{5} \cdot \ln^{2} (x + 1) \cdot (2^{x} - 4)} = = \frac{(\sqrt{x} + 1) \cdot x^{4} - \sin x \cdot \ln (x + 1)}{x^{5} \cdot \ln^{2} (x + 1) \cdot (2^{x} - 4)} = \frac{\sqrt{x} \cdot x^{4} + x^{4} - \sin x \cdot \ln (x + 1)}{x^{5} \cdot \ln^{2} (x + 1) \cdot (2^{x} - 4)}$
Данный пример имеет смысл при работе со знаменателями дробями. Необходимо применить формулы разности квадратов и квадрат суммы, так как именно они дадут возможность перейти к выражению вида $\frac{1}{(\cos x - \sqrt{x}) \cdot (\cos x + \sqrt{x})} + \frac{1}{(\cos x + \sqrt{x})^{2}}$ . Видно, что дроби приводятся к общему знаменателю. Получаем, что $(\cos x - \sqrt{x}) \cdot {(\cos x + \sqrt{x})}^{2}$ .

После чего получаем, что

$\frac{1}{\cos^{2} x - x} + \frac{1}{\cos^{2} x + 2 \cdot \cos x \cdot \sqrt{x} + x} = = \frac{1}{(\cos x - \sqrt{x}) \cdot (\cos x + \sqrt{x})} + \frac{1}{{(\cos x + \sqrt{x})}^{2}} = = \frac{\cos x + \sqrt{x}}{(\cos x - \sqrt{x}) \cdot {(\cos x + \sqrt{x})}^{2}} + \frac{\cos x - \sqrt{x}}{(\cos x - \sqrt{x}) \cdot {(\cos x + \sqrt{x})}^{2}} = = \frac{\cos x + \sqrt{x} + \cos x - \sqrt{x}}{(\cos x - \sqrt{x}) \cdot {(\cos x + \sqrt{x})}^{2}} = \frac{2 \cdot \cos x}{(\cos x - \sqrt{x}) \cdot {(\cos x + \sqrt{x})}^{2}}$

Ответ:

$1) \frac{x}{3} + \frac{1}{\sqrt[7]{x} + 2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{x \cdot \sqrt[7]{x} + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot x + 3}{3 \cdot (\sqrt[7]{x} + 2 \cdot \sqrt{2})}$ , $2) \frac{\sqrt{x} + 1}{x \cdot \ln^{2} (x + 1) \cdot (2^{x} - 4)} - \frac{\sin x}{x^{5} \cdot \ln (x + 1) \cdot (2^{x} - 4)} = = \frac{\sqrt{x} \cdot x^{4} + x^{4} - \sin x \cdot \ln (x + 1)}{x^{5} \cdot \ln^{2} (x + 1) \cdot (2^{x} - 4)}$ , $3) \frac{1}{\cos^{2} x - x} + \frac{1}{\cos^{2} x + 2 \cdot \cos x \cdot \sqrt{x} + x} = \frac{2 \cdot \cos x}{(\cos x - \sqrt{x}) \cdot {(\cos x + \sqrt{x})}^{2}}$ .

Примеры умножения дробей с переменными

При умножении дробей числитель умножается на числитель, а знаменатель на знаменатель. Тогда можно применять свойство сокращения.

Пример 8

Произвести умножение дробей $\frac{\sqrt{\sqrt{x} + 2 \cdot x}}{x^{2} \cdot (\ln x^{2} \cdot \ln x + 1)}$ и $\frac{3 \cdot x^{2 \frac{1}{3}} \cdot (\sqrt{x + 1} - 2)}{\sin (2 \cdot x - \sqrt{x})}$ .

Решение

Необходимо выполнить умножение. Получаем, что

$\frac{\sqrt{\sqrt{x} + 2 \cdot x}}{x^{2} \cdot (\ln x^{2} \cdot \ln x + 1)} \cdot \frac{3 \cdot x^{2 \frac{1}{3}} \cdot (\sqrt{x + 1} - 2)}{\sin (2 \cdot x - \sqrt{x)}} = = \frac{\sqrt{\sqrt{x} - 2 \cdot x} \cdot 3 \cdot x^{2 \frac{1}{3}} \cdot (\sqrt{x + 1} - 2)}{x^{2} \cdot (\ln x^{2} \cdot \ln x + 1) \cdot \sin (2 \cdot x - \sqrt{x})}$

Число $3$ переносится на первое место для удобства подсчетов, причем можно произвести сокращение дроби на $x^{2}$ , тогда получим выражение вида

$\frac{3 \cdot \sqrt{\sqrt{x} - 2 \cdot x} \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot (\sqrt{x + 1} - 2)}{(\ln x^{2} \cdot \ln x + 1) \cdot \sin (2 \cdot x - \sqrt{x})}$

Ответ: $\frac{\sqrt{\sqrt{x} + 2 \cdot x}}{x^{2} \cdot (\ln x^{2} \cdot \ln x + 1)} \cdot \frac{3 \cdot x^{2 \frac{1}{3}} \cdot (\sqrt{x + 1} - 2)}{\sin (2 \cdot x - \sqrt{x)}} = \frac{3 \cdot \sqrt{\sqrt{x} - 2 \cdot x} \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot (\sqrt{x + 1} - 2)}{(\ln x^{2} \cdot \ln x + 1) \cdot \sin (2 \cdot x - \sqrt{x})}$ .

Деление

Деление у дробей аналогично умножению, так как первую дробь умножают на вторую обратную. Если взять к примеру дробь $\frac{\sqrt{\sqrt{x} + 2 \cdot x}}{x^{2} \cdot (\ln x^{2} \cdot \ln x + 1)}$ и разделить на $\frac{3 \cdot x^{2 \frac{1}{3}} \cdot (\sqrt{x + 1} - 2)}{\sin (2 \cdot x - \sqrt{x})}$ , тогда это можно записать таким образом, как

$\frac{\sqrt{\sqrt{x} + 2 \cdot x}}{x^{2} \cdot (\ln x^{2} \cdot \ln x + 1)} : \frac{3 \cdot x^{2 \frac{1}{3}} \cdot (\sqrt{x + 1} - 2)}{\sin (2 \cdot x - \sqrt{x)}}$ , после чего заменить произведением вида $\frac{\sqrt{\sqrt{x} + 2 \cdot x}}{x^{2} \cdot (\ln x^{2} \cdot \ln x + 1)} \cdot \frac{3 \cdot x^{2 \frac{1}{3}} \cdot (\sqrt{x + 1} - 2)}{\sin (2 \cdot x - \sqrt{x)}}$

Возведение в степень

Перейдем к рассмотрению действия с дробями общего вида с возведением в степень. Если имеется степень с натуральным показателем, тогда действие рассматривают как умножение одинаковых дробей. Но рекомендовано использовать общий подход, базирующийся на свойствах степеней. Любые выражения $А$ и $С$ , где $С$ тождественно не равняется нулю, а любое действительное $r$ на ОДЗ для выражения вида ${(\frac{A}{C})}^{r}$ справедливо равенство ${(\frac{A}{C})}^{r} = \frac{A^{r}}{C^{r}}$ . Результат – дробь, возведенная в степень. Для примера рассмотрим:

${(\frac{(x^{0, 7} - π) \cdot \ln^{3} \sqrt{x - 2} - 5}{x + 1})}^{2, 5} = = \frac{{((x^{0, 7} - π) \cdot \ln^{3} \sqrt{x - 2} - 5)}^{2, 5}}{{(x + 1)}^{2, 5}}$

Порядок выполнения действий с дробями

Действия над дробями выполняются по определенным правилам. На практике замечаем, что выражение может содержать несколько дробей или дробных выражений. Тогда необходимо все действия выполнять в строгом порядке: возводить в степень, умножать, делить, после чего складывать и вычитать. При наличии скобок первое действие выполняется именно в них.

Пример 9

Вычислить $\frac{1 - \sqrt{x}}{\cos x} - \frac{1}{c o s x} \cdot (1 + \frac{1}{\sqrt{x}})$ .

Решение

Так как имеем одинаковый знаменатель, то $\frac{1 - \sqrt{x}}{\cos x}$ и $\frac{1}{c o s x}$ , но производить вычитания по правилу нельзя, сначала выполняются действия в скобках, после чего умножение, а потом сложение. Тогда при вычислении получаем, что

$1 + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$

При подстановке выражения в исходное получаем, что $\frac{1 - \sqrt{x}}{\cos x} - \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$ . При умножении дробей имеем: $\frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\cos x \cdot \sqrt{x}}$ . Произведя все подстановки, получим $\frac{1 - \sqrt{x}}{\cos x} - \frac{\sqrt{x} + 1}{\cos x \cdot \sqrt{x}}$ . Теперь необходимо работать с дробями, которые имеют разные знаменатели. Получим:

$\frac{\sqrt{x} \cdot (1 - \sqrt{x})}{\cos x \cdot \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} + 1}{\cos x \cdot \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} \cdot (1 - \sqrt{x}) - (1 + \sqrt{x})}{\cos x \cdot \sqrt{x}} = = \frac{\sqrt{x} - x - \sqrt{x - 1}}{\cos x \cdot \sqrt{x}} = - \frac{x + 1}{\cos x \cdot \sqrt{x}}$

Ответ: $\frac{1 - \sqrt{x}}{\cos x} - \frac{1}{c o s x} \cdot (1 + \frac{1}{\sqrt{x}}) = - \frac{x + 1}{\cos x \cdot \sqrt{x}}$ .