Использование свойств корней при преобразовании иррациональных выражений: примеры, решения

Содержание:

25 марта 2023
21 минута
268

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В данной статье мы рассмотрим часть материала на тему преобразования иррациональных выражений, подробно разобрав тонкости и нюансы преобразований, которые выполняются на основе свойств корней.

Свойства корней

Вспомним основные свойства корней. Это поможет нам последовательно разбирать тему, не возвращаясь к предыдущим разделам.

Начнем с квадратных корней. Будем считать, что $a, b, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ – это действительные числа.

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ , где $a \geq 0, b \geq 0$ . Оно распространяется на произведение $k$ неотрицательных множителей $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ как $\sqrt{a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{k}} = \sqrt{a_{1}} \cdot \sqrt{a_{2}} \cdot . . . \cdot \sqrt{a_{k}}$ ;

$\sqrt{a : b} = \sqrt{a} : \sqrt{b}$ или в другой записи $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ , где $a \geq 0, b > 0$ ;

$\sqrt{a^{2}} = |a|$ и его обобщение $\sqrt{a^{2 m}} = |a^{m}|$ , где $a$ – любое действительное число, а $m$ – натуральное (при этом число $2 \cdot m$ – четное).

Введем определение корня $n$ -ой степени. Тут уже $a, b, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ - действительные числа, $m, n, n_{1}, n_{2}, . . ., n_{k}$ - натуральные числа.

$\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ , где $a \geq 0, b \geq 0$ , его обобщение $\sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{k}} = \sqrt[n]{a_{1}} \cdot \sqrt[n]{a_{2}} \cdot . . . \cdot \sqrt[n]{a_{k}}$ , где $a_{1} \geq 0, a_{2} \geq 0, \dots, a_{k} \geq 0$ .

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ , где $a \geq 0, b > 0$ .

$\sqrt[2 \cdot m]{a^{2 \cdot m}} = |a|, \sqrt[2 m - 1]{a^{2 m - 1}} = a$ , где $a$ – любое действительное число.

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}, \sqrt[n_{1}]{\sqrt[n_{2}]{. . . \sqrt[n_{k}]{a}}} = \sqrt[n_{1} \cdot n_{2} \cdot . . . \cdot n_{k}]{a}$ , где $a \geq 0$ .

$\sqrt[n \cdot m]{a^{m}} = \sqrt[n]{a}$ , где $a \geq 0$ .

$\sqrt[n]{a^{m}} = {(\sqrt[n]{a})}^{m}$ , где $a \geq 0$ .

Преобразование выражений с числами под знаками корней

Обычно начинают изучение алгоритмов работы с числовыми выражениями. И уже только после этого переходят к работе с выражениями, содержащими переменные. Также построим наш материал и мы.

При указанных ограничениях на числа $a, b$ и проч. все перечисленные свойства корней представляют собой верные числовые равенства. Это значит, что если числа $a, b$ и т.д. соответствуют перечисленным условиям, то значение выражения, которое записано в левой части равенства, равно значению выражения, размещенного в правой части.

Рассмотрим приведенный выше тезис на примере.

Пример 1

Выражение $\sqrt{4 \cdot 9}$ , в котором числа $4$ и $9$ - положительные, можно заменить произведением корней $\sqrt{4} \cdot \sqrt{9}$ согласно свойству корня, по которому произведение корня можно заменить произведением корней.

Проведем несложные расчеты для того, чтобы подтвердить истинность наших выводов:

$\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = \sqrt{6^{2}} = 6$ и $\sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = \sqrt{2^{2}} \cdot \sqrt{3^{2}} = 2 \cdot 3 = 6$ .

Мы можем заменить иррациональное выражение $1 + \sqrt{4 \cdot 9}$ выражением $1 + \sqrt{4} \cdot \sqrt{9}$ и наоборот.

Это значит, что при наличии в составе исходного выражения выражения, которое по виду совпадает с выражением из левой или правой частей любого из перечисленных свойств корней, то мы можем заменить его соответствующим выражением из левой или правой части. В этом и заключается смысл преобразования выражений с использованием свойств корней.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 2

Предположим, что нам нужно упростить выражение $\sqrt{3} \cdot \sqrt{5 \cdot 7} - \sqrt{3 \cdot 5 \cdot 7}$ .

Решение

Здесь числа $3, 5$ и $7$ положительные, что позволяет нам применять свойства корней без ограничений. Правильными будет несколько вариантов решений.

Корень $\sqrt{5 \cdot 7}$ на базе свойства $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ можно представить как $\sqrt{5} \cdot \sqrt{7}$ , а корень $\sqrt{3 \cdot 5 \cdot 7}$ с использованием свойства $\sqrt{a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{k}} = \sqrt{a_{1}} \cdot \sqrt{a_{2}} \cdot . . . \cdot \sqrt{a_{k}}$ при $k = 3$ - как $\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{7}$ . В этом случае решение будет иметь такой вид:
$\sqrt{3} \cdot \sqrt{5 \cdot 7} - \sqrt{3 \cdot 5 \cdot 7} = = \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{7} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{7} = 0$

Также можно заменить $\sqrt{5 \cdot 7}$ на $\sqrt{5} \cdot \sqrt{7}$ , и дальше $\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{7}$ на $\sqrt{3 \cdot 5 \cdot 7}$ , в этом случае решение будет выглядеть так:
$\sqrt{3} \cdot \sqrt{5 \cdot 7} - \sqrt{3 \cdot 5 \cdot 7} = = \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{7} - \sqrt{3 \cdot 5 \cdot 7} = = \sqrt{3 \cdot 5 \cdot 7} - \sqrt{3 \cdot 5 \cdot 7} = 0$

Еще один вариант решения выглядит следующим образом:
$\sqrt{3} \cdot \sqrt{5 \cdot 7} - \sqrt{3 \cdot 5 \cdot 7} = = \sqrt{3} \cdot \sqrt{5 \cdot 7} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{7} = = \sqrt{3} \cdot \sqrt{5 \cdot 7} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{5 \cdot 7} = 0$

Ответ: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{5 \cdot 7} - \sqrt{3 \cdot 5 \cdot 7} = 0$

Рассмотрим еще один пример.

Пример 3

Нам необходимо преобразовать выражение $\sqrt{5^{2}} + \sqrt{(- 2)^{2}} - \sqrt{4^{2 \cdot 2}} + \sqrt{(- 3)^{2 \cdot 3}}$ .

Решение

Выберем из всего многообразия свойств корней нужные для решения. Их будет два: $\sqrt{a^{2}} = |a|$ и $\sqrt{a^{2 m}} = |a^{m}|$ , которые справедливы для любых значений $a$ .

Решение будет иметь вид:

$\sqrt{5^{2}} + \sqrt{(- 2)^{2}} - \sqrt{4^{2 \cdot 2}} + \sqrt{(- 3)^{2 \cdot 3}} = = |5| + |- 2| - |4^{2}| + |(- 3)^{3}| = = |5| + |- 2| - |16| + |- 27| = = 5 + 2 - 16 + 27 = 18$

Мы могли бы использовать здесь и свойства степеней для проведения преобразования выражения под знаками корней:
$\sqrt{5^{2}} + \sqrt{(- 2)^{2}} - \sqrt{4^{2 \cdot 2}} + \sqrt{(- 3)^{2 \cdot 3}} = = \sqrt{5^{2}} + \sqrt{(- 1)^{2} \cdot 2^{2}} - \sqrt{4^{2 \cdot 2}} + \sqrt{(- 1)^{2 \cdot 3} \cdot 3^{2 \cdot 3}} = = \sqrt{5^{2}} + \sqrt{2^{2}} - \sqrt{4^{2 \cdot 2}} + \sqrt{3^{2 \cdot 3}}$
А уже дальше применять свойства корней:
$\sqrt{5^{2}} + \sqrt{2^{2}} - \sqrt{4^{2 \cdot 2}} + \sqrt{3^{2 \cdot 3}} = = |5| + |2| - |4^{2}| + |3^{3}| = |5| + |2| - |16| + |27| = = 5 + 2 - 16 + 27 = 18$

Ответ: $\sqrt{5^{2}} + \sqrt{(- 2)^{2}} - \sqrt{4^{2 \cdot 2}} + \sqrt{(- 3)^{2 \cdot 3}} = 18$

С преобразованием выражений, которые содержат только квадратные корни, разобрались. Теперь разберемся с корнями, имеющими другие показатели.

Пример 4

Преобразуйте иррациональное выражение $\sqrt[3]{(- 2)^{3}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{81}}} \cdot \sqrt[6]{\frac{3}{64}} \cdot \sqrt[12]{3^{6}}$ .

Решение

Для решения используем свойство $\sqrt[2 m - 1]{a^{2 m - 1}} = a$ . Заменим первый множитель произведения $\sqrt[3]{{(- 2)}^{3}}$ числом $- 2$ :

$\sqrt[3]{(- 2)^{3}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{81}}} \cdot \sqrt[6]{\frac{3}{64}} \cdot \sqrt[12]{3^{6}} = = (- 2) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{81}}} \cdot \sqrt[6]{\frac{3}{64}} \cdot \sqrt[12]{3^{6}}$

Используя свойство $\sqrt[n_{1}]{\sqrt[n_{2}]{. . . \sqrt[n_{k}]{a}}} = \sqrt[n_{1} \cdot n_{2} \cdot . . . \cdot n_{k}]{a}$ второй множитель $\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{81}}}$ представим как $\sqrt[12]{81}$ . Заменим $81$ четвертой степенью тройки, так как это же число фигурирует под знаками корней в остальных множителях:

$(- 2) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{81}}} \cdot \sqrt[6]{\frac{3}{64}} \cdot \sqrt[12]{3^{6}} = = (- 2) \cdot \sqrt[12]{81} \cdot \sqrt[6]{\frac{3}{64}} \cdot \sqrt[12]{3^{6}} = = (- 2) \cdot \sqrt[12]{3^{4}} \cdot \sqrt[6]{\frac{3}{64}} \cdot \sqrt[12]{3^{6}}$

Заменим корень из дроби $\sqrt[6]{\frac{3}{64}}$ на отношение корней вида $\frac{\sqrt[6]{3}}{\sqrt[6]{64}}$ . Преобразуем полученное выражение $\frac{\sqrt[6]{3}}{\sqrt[6]{64}} = \frac{\sqrt[6]{3}}{\sqrt[6]{2^{6}}} = \frac{\sqrt[6]{2}}{2}$ .

$(- 2) \cdot \sqrt[12]{3^{4}} \cdot \sqrt[6]{\frac{3}{64}} \cdot \sqrt[12]{3^{6}} = = (- 2) \cdot \sqrt[12]{3^{4}} \cdot \frac{\sqrt[6]{2}}{2} \cdot \sqrt[12]{3^{6}}$

Произведем действия с двойками и в результате получим: $- \sqrt[12]{3^{4}} \cdot \sqrt[6]{3} \cdot \sqrt[12]{3^{6}}$ . Осталось лишь преобразовать произведение корней.

Используем наименьшее общее кратное (НОК) для того, чтобы привести произведения корней к одному показателю. В нашем случае это $12$ , так как два корня имеют такой показатель, а корень $\sqrt[6]{3}$ придется привести к этому показателю.

Используем равенство $\sqrt[n \cdot m]{a^{m}} = \sqrt[n]{a}$ справа налево: $\sqrt[6]{3} = \sqrt[6 \cdot 2]{3^{2}} = \sqrt[12]{3^{2}}$ . С учетом полученного результата:

$- \sqrt[12]{3^{4}} \cdot \sqrt[6]{3} \cdot \sqrt[12]{3^{6}} = = - \sqrt[12]{3^{4}} \cdot \sqrt[12]{3^{2}} \cdot \sqrt[12]{3^{6}}$

Заменим произведение корней на корень произведения и продолжим преобразования:

$- \sqrt[12]{3^{4}} \cdot \sqrt[12]{3^{2}} \cdot \sqrt[12]{3^{6}} = = - \sqrt[12]{3^{4} \cdot 3^{2} \cdot 3^{6}} = - \sqrt[12]{3^{12}} = - 3$

Запишем краткий вариант решения:

$\sqrt[3]{(- 2)^{3}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{81}}} \cdot \sqrt[6]{\frac{3}{64}} \cdot \sqrt[12]{3^{6}} = = (- 2) \cdot \sqrt[12]{3^{4}} \cdot \frac{\sqrt[6]{3}}{2} \cdot \sqrt[12]{3^{6}} = = - \sqrt[12]{3^{4}} \cdot \sqrt[6]{3} \cdot \sqrt[12]{3^{6}} = = - \sqrt[12]{3^{4}} \cdot \sqrt[12]{3^{2}} \cdot \sqrt[12]{3^{6}} = = - \sqrt[12]{3^{4} \cdot 3^{2} \cdot 3^{6}} = - \sqrt[12]{3^{12}} = - 3$

Ответ: $\sqrt[3]{(- 2)^{3}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{81}}} \cdot \sqrt[6]{\frac{3}{64}} \cdot \sqrt[12]{3^{6}} = - 3$

Обращаем ваше внимание на то, что применение свойств корней требует учета ограничений, которые накладываются на числа под знаками корней ( $a \geq 0$ и т.п.). Невнимание к ним может привести к ошибкам в вычислениях. Например, свойство $\sqrt[n \cdot m]{a^{m}} = \sqrt[n]{a}$ справедливо для неотрицательных $a$ . Используя его, мы можем осуществить переход от $\sqrt[3]{8}$ к $\sqrt[18]{8^{6}}$ , так как $8$ – положительное число. Если же взять имеющий смысл корень из отрицательного числа, к примеру, $\sqrt[3]{- 8}$ , то, применив свойство, мы заменим его на $\sqrt[18]{{(- 8)}^{6}}$ . Это будет такой же ошибкой, как если бы мы заменили $- 2$ на $2$ .

Действительно, $\sqrt[3]{- 8} = - 2$ , а $\sqrt[18]{(- 8)^{6}} = \sqrt[18]{(- 1)^{6} \cdot 8^{6}} = \sqrt[18]{8^{6}} = \sqrt[3]{8} = 2$ . Получается, что при отрицательных $a$ равенство $\sqrt[n \cdot m]{a^{m}} = \sqrt[n]{a}$ может быть неверным.

Другие свойства корней точно также могут стать неверными, если применять их без учета оговоренных условий. Это вовсе не значит, что наличие отрицательного числа под знаком корня полностью исключает возможность проведения преобразований с использованием свойств корней. Это значит, что необходимо провести ряд предварительных действий с числами или воспользоваться правилом определения корня нечетной степени из отрицательного числа, которому соответствует равенство $\sqrt[2 \cdot m + 1]{- a} = - \sqrt[2 \cdot m + 1]{a}$ , в котором − $a$ – отрицательное число (при этом $a$ – положительное).

Например, не получится заменить $\sqrt{(- 2) \cdot (- 3)}$ на $\sqrt{- 2} \cdot \sqrt{- 3}$ , так как $- 2$ и $- 3$ – это два отрицательных числа. Мы можем провести предварительные действия: использовать правило умножения отрицательных чисел и перейти от корня $\sqrt{(- 2) \cdot (- 3)}$ к $\sqrt{2 \cdot 3}$ .

Далее мы можем применить свойство корня из произведения: $\sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}$

Переходить от корня $\sqrt[3]{- 8}$ к корню восемнадцатой степени, который мы проводили в одном из предыдущих примеров, неправильно делать так: $\sqrt[3]{- 8} = \sqrt[18]{(- 8)^{6}}$ . Лучше провести вычисления следующим образом: $\sqrt[3]{- 8} = - \sqrt[3]{8} = - \sqrt[18]{8^{6}}$ .

Подведем промежуточные итоги:

Определение 1

Преобразование выражений с использованием свойств корней предполагает:

выбор подходящего свойства из списка;
учет имеющихся у подходящего свойства ограничений, уход от этих ограничений путем проведения промежуточных преобразований;
проведение преобразований, требующихся по условию задачи.

Преобразование выражений с переменными под знаками корней

Иррациональные выражения, которые содержат под знаком корня числа и переменные, также можно преобразовывать, используя свойства корней. Однако делать это надо аккуратно, соблюдая все оговоренные условия для того, чтобы не допустить ошибок в вычислениях.

Например, используя формулу $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ , выражение $\sqrt{x \cdot (x + 1)}$ можно записать как $\sqrt{x} \cdot \sqrt{x + 1}$ лишь в том случае, если значения x удовлетворяют условиям $x \geq 0$ и $x + 1 \geq 0$ , так как указанная формула задана для $a \geq 0$ и $b \geq 0$ .

Что будет, если не уделять условиям должного внимания? Продемонстрируем на примере: нам нужно вычислить значение выражения $\sqrt{x \cdot (x + 1)}$ при $x = - 2$ . Подставив в выражение значение переменной, получим $\sqrt{(- 2) \cdot (- 2 + 1)} = \sqrt{2}$ . Это правильная последовательность действий. А теперь представим, что мы поторопились применить свойства корней и привели выражение к виду $\sqrt{x} \cdot \sqrt{x + 1}$ . Подставив значение переменной, получаем выражение, которое не имеет смысла $\sqrt{- 2} \cdot \sqrt{- 2 + 1}$ .

Переход от выражения $\sqrt{x \cdot (x + 1)}$ к выражению $\sqrt{x} \cdot \sqrt{x + 1}$ приводит к изменениям области допустимых значений переменной $x$ (ОДЗ). ОДЗ можно использовать как инструмент контроля допустимости проведенных преобразований. Если ОДЗ после проделанных переходов изменилась, то это должно настораживать.

Найти ОДЗ просто. Для выражения $\sqrt{x \cdot (x + 1)}$ определить ОДЗ можно из неравенства $x \cdot (x + 1) \geq 0$ . Решение неравенства дает нам числовое множество $(- \infty, - 1] \cup [0, + \infty)$ . Определить ОДЗ для выражения $\sqrt{x \cdot (x + 1)}$ можно через систему неравенств $\{\begin{cases} x \geq 0, \\ x + 1 \geq 0 \end{cases}$ . Получаем $[0, + \infty)$ . Сравнив полученные ОДЗ мы можем сделать вывод о том, что произошло сужение ОДЗ.

Отсутствие изменения ОДЗ не является гарантом правильности полученного решения. Так, например, мы можем применить свойство $\sqrt[n \cdot m]{a^{m}} = \sqrt[n]{a}$ для проведения замены $\sqrt[6]{{(x - 7)}^{2}}$ на $\sqrt[3]{x - 7}$ . ОДЗ после преобразований остается неизменной, но сама замена не может проводиться при $x - 7 < 0 (x < 7)$ . Если взять $х = 6$ , то значение выражения $\sqrt[6]{{(x - 7)}^{2}}$ будет равно $1$ , а значение выражения $\sqrt[6]{{(x - 7)}^{2}}$ будет равно $- 1$ . Причиной появления ошибки стало невнимательное отношение к условиям, при которых свойства корня могут применяться. Для формулы $\sqrt[n \cdot m]{a^{m}} = \sqrt[n]{a}$ обязательным условием является $a \geq 0$ .

Почему мы фокусируем ваше внимание на условиях, при которых допустимо применять свойства корней? В основном потому, что большинство школьных примеров область допустиых значений переменных для приведенных выражений такова, что можно пользоваться свойствами корней без ограничений. Эти облегчает усвоение материала, однако одновременно приучает применять свойства корней бездумно, без учета ограничений. Это может подвести на ЕГЭ и прочих серьезных экзаменах, где всегда есть задачи «с подвохом».

Пример 5

Упростите выражения $1) \sqrt[6]{x^{2}} \cdot \sqrt[3]{x^{5}} \cdot \sqrt{x - 1} \cdot {(\sqrt{x - 1})}^{5}, 2) \sqrt[6]{(x + 2)^{2}} \cdot \sqrt[3]{(x + 2)^{5}}$ .

Решение

Определим ОДЗ для переменной $x$ , решив систему $\{\begin{cases} x^{2} \geq 0 \\ x - 1 \geq 0 \end{cases}$ . Получаем множество $[1, + \infty)$ . Это позволяет нам сделать вывод, что при любом значении переменной $x$ из $[1, + \infty)$ значения выражений $x$ и $x - 1$ положительные. Мы можем использовать свойства корней без ограничений.

$\sqrt[6]{x^{2}} \cdot \sqrt[3]{x^{5}} \cdot \sqrt{x - 1} \cdot {(\sqrt{x - 1})}^{5} = = \sqrt[6]{x^{2}} \cdot \sqrt[6]{x^{10}} \cdot \sqrt{x - 1} \cdot \sqrt{{(x - 1)}^{5}} = \sqrt[6]{x^{2} \cdot x^{10}} \cdot \sqrt{(x - 1) \cdot (x - 1)^{5}} = = \sqrt[6]{x^{12}} \cdot \sqrt{(x - 1)^{6}} = x^{2} \cdot (x - 1)^{3}$

или

$\sqrt[6]{x^{2}} \cdot \sqrt[3]{x^{5}} \cdot \sqrt{x - 1} \cdot {(\sqrt{x - 1})}^{5} = = \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x^{5}} \cdot \sqrt{x - 1} \cdot \sqrt{{(x - 1)}^{5}} = = \sqrt[3]{x \cdot x^{5}} \cdot \sqrt{(x - 1) \cdot (x - 1)^{5}} = = \sqrt[3]{x^{6}} \cdot \sqrt{(x - 1)^{6}} = x^{2} \cdot {(x - 1)}^{3}$

ОДЗ переменной $x$ для выражения $\sqrt[6]{(x + 2)^{2}} \cdot \sqrt[3]{(x + 2)^{5}}$ есть множество всех действительных чисел. Для проведения преобразований оптимальным решением могло бы стать использование свойства $\sqrt[n \cdot m]{a^{m}} = \sqrt[n]{a}$ , но оно дано для $a \geq 0$ , а не для любого $a$ .

Можем ли мы на базе указанного свойства провести преобразования?
$\sqrt[6]{(x + 2)^{2}} \cdot \sqrt[3]{(x +)^{5}} = \sqrt[6]{(x + 2)^{2}} \cdot \sqrt[6]{(x + 2)^{10}} = = \sqrt[6]{(x + 2)^{2} \cdot (x + 2)^{10}} = \sqrt[6]{(x + 2)^{12}} = (x + 2)^{2}$

или

$\sqrt[6]{(x + 2)^{2}} \cdot \sqrt[3]{(x + 2)^{5}} = \sqrt[6]{(x + 2)^{2}} \cdot \sqrt[6]{(x + 2)^{10}} = = \sqrt[3]{(x + 2) \cdot {(x + 2)}^{5}} = \sqrt[3]{(x + 2)^{6}} = {(x + 2)}^{2}$

При условии $x + 2 \geq 0$ , что то же самое $x \geq - 2$ , можем. А для остальных $x$ из ОДЗ, то есть, для $x < - 2$ это может привести к получению неверных результатов.

При $x < - 2$ , используя определение модуля числа, выражение $x + 2$ запишем как $- | x + 2 |$ :
$\sqrt[6]{(x + 2)^{2}} \cdot \sqrt[3]{(x + 2)^{5}} = \sqrt[6]{{(- |x + 2|)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{(- |x + 2|)^{5}} = = \sqrt[6]{(- 1)^{2} \cdot {|x + 2|}^{2}} \cdot \sqrt[3]{(- 1)^{5} \cdot {|x + 2|}^{5}} = = \sqrt[6]{{|x + 2|}^{2}} \cdot (\sqrt[3]{{|x + 2|}^{5}}) = - \sqrt[6]{{|x + 2|}^{2}} \cdot \sqrt[3]{{|x + 2|}^{5}}$

Теперь мы можем преобразовать полученное выражение, воспользовавшись свойствами корней, так как значение выражения $| x + 2 |$ неотрицательно при любых $x$ . Получаем:

$- \sqrt[6]{{|x + 2|}^{2}} \cdot \sqrt[3]{{|x + 2|}^{5}} = - \sqrt[6]{{|x + 2|}^{2}} \cdot \sqrt[6]{{|x + 2|}^{10}} = = - \sqrt[6]{{|x + 2|}^{2} \cdot {|x + 2|}^{10}} = - \sqrt[6]{{|x + 2|}^{12}} - {|x + 2|}^{2}$
или
$- \sqrt[6]{{|x + 2|}^{2}} \cdot \sqrt[3]{{|x + 2|}^{5}} = - \sqrt[3]{|x + 2|} \cdot \sqrt[3]{{|x + 2|}^{5}} = = - \sqrt[3]{|x + 2| \cdot {|x + 2|}^{5}} = - \sqrt[3]{{|x + 2|}^{6}} = - {|x + 2|}^{2}$

Раскрываем модуль с учетом того, что преобразования мыв проводили для $x < - 2$ : $- {|x + 2|}^{2} = - (- (x + 2)^{2} = - (- x - 2)^{2}$ .

Ответ:

$1) \sqrt[6]{x^{2}} \cdot \sqrt[3]{x^{5}} \cdot \sqrt{x - 1} \cdot {(\sqrt{x - 1})}^{5} = x^{2} \cdot (x - 1)^{3}, 2) \sqrt[6]{(x + 2)^{2}} \cdot \sqrt[3]{(x + 2)^{5}} = \{\begin{cases} (x + 2)^{2}, x \geq - 2 \\ - (- x - 2)^{2}, x < - 2 \end{cases}$

Пример 6

Упростите иррациональное выражение $\sqrt[8]{(x^{2} - x - 2)^{6}}$ , представив его в виде корня четвертой степени.

Решение

ОДЗ переменной $x$ состоит из всех действительных чисел. Используем свойство степени $a^{m \cdot n} = (a^{m})^{n}$ для того, чтобы записать выражение в виде $\sqrt[4 \cdot 2]{((x^{2} - x - 2)^{3})^{2}}$ . Теперь мы можем продолжить преобразования, используя свойство корня $\sqrt[n \cdot m]{a^{m}} = \sqrt[n]{a}$ , которое задано для неотрицательных $a$ . Это значит, что преобразование $\sqrt[4 \cdot 2]{((x^{2} - x - 2)^{3})^{2}} = \sqrt[4]{(x^{2} - x - 2)^{3}}$ имеет место для всех значений переменной $x$ , которые будут удовлетворять условию $(x^{2} - x - 2)^{3} \geq 0$ .

Решим записанное неравенство для того, чтобы найти множество значений переменной $x$ , удовлетворяющих условию. Сначала перейдем к неравенству $(x + 1)^{3} \cdot (x - 2)^{3} \geq 0$ , затем применим метод интервалов и получим $х \in (- \infty, - 1] \cup [2, + \infty)$ .

При остальных $x$ из ОДЗ, то есть, при $x \in (- 1, 2)$ значения выражения $(x^{2} - x - 2)^{3}$ отрицательны, и само выражение можно представить как $- | (x^{2} - x - 2)^{3} |$ . Тогда при $x \in (- 1, 2)$ имеем

$\sqrt[4 \cdot 2]{((x^{2} - x - 2)^{3})^{2}} = \sqrt[4 \cdot 2]{(- {|(x^{2} - x - 2^{3})|}^{2}} = = \sqrt[4 \cdot 2]{(- 1)^{2} \cdot {|{(x^{2} - x - 2)}^{3}|}^{2}} = \sqrt[4 \cdot 2]{{|(x^{2} - x - 2)^{3}|}^{2}} = = \sqrt[4]{|{(x^{2} - x - 2)}^{3}|} = \sqrt[4]{- (x^{2} - x - 2)^{3}}$

Итак,
$\sqrt[8]{(x^{2} - x - 2)^{6}} = = \{\begin{cases} \sqrt[4]{(x^{2} - x - 2)^{3}}, x \in (- \infty, 1] \cup [2, + \infty) \\ \sqrt[4]{- (x^{2} - x - 2)^{3}}, x \in (- 1, 2) \end{cases}$

Можно записать полученные результаты, записав их при помощи модуля: $\sqrt[8]{(x^{2} - x - 2)^{6}} = \sqrt[4]{|(x^{2} - x - 2)^{3}|}$ . Теперь, используя свойства модуля, можно переписать последнее выражение : $\sqrt[4]{|(x^{2} - x - 2)^{3}|}$ .

Ответ: $\sqrt[8]{(x^{2} - x - 2)^{6}} = \sqrt[4]{|(x^{2} - x - 2)^{3}|}$

Использование модуля делает процесс вычислений достаточно трудоемким. Упростить процесс преобразований можно следующим образом: взять за основу свойства корней, предположить, что числа $a$ и $b$ могут принимать любые значение, не обязательно те, что удовлетворяют условиям задачи и провести рассуждения по аналогии с теми, которые провели мы в решении последней задачи. Полученные результаты позволят нам проводить вычисления намного быстрее.

Вспомогательные результаты

Оформим вспомогательные результаты в виде таблицы, в которой будет две колонки. Слева будут расположены выражения, которые требуется заменить, справа выражения, которыми можно заменить соответствующие выражения, расположенные в левой колонке. Эти замены можно производить при любых значениях переменных из области допустимых значений. Буквами $A$ и $B$ мы обозначили произвольные числа или выражения корня.

Выражения, которые заменяем	Выражения, на которые заменяем
$\sqrt[n]{A \cdot B}, n$ - нечетное $\sqrt[n]{A \cdot B}, n$ - четное	$\sqrt[n]{A} \cdot \sqrt[n]{B}$ $\sqrt[n]{\|A\|} \cdot \sqrt[n]{\|B\|}$
$\sqrt[n]{A} \cdot \sqrt[n]{B}, n$ - любое натуральное	$\sqrt[n]{A \cdot B}$
$\sqrt[n]{\frac{A}{B}}, n$ - нечетное $\sqrt[n]{\frac{A}{B}}, n$ - четное	$\frac{\sqrt[n]{A}}{\sqrt[n]{B}}$ $\frac{\sqrt[n]{\|A\|}}{\sqrt[n]{\|B\|}}$
$\frac{\sqrt[n]{A}}{\sqrt[n]{B}}, n$ -любое натуральное	$\sqrt[n]{\frac{A}{B}}$
$\sqrt[n]{A^{n}}, n$ - нечетное $\sqrt[n]{A^{n}}, n$ -четное	$A$ $\|A\|$
$A, n$ - нечетное $A, n$ - четное	$\sqrt[n]{A^{n}} \{\begin{cases} \sqrt[n]{A^{n}}, A \geq 0 * (с м . с н о с к у) \\ - \sqrt[n]{A^{n}} < 0 * (с м . с н о с к у) \end{cases}$
$\sqrt[n]{\sqrt[m]{A}}$ , $m$ и $n$ - любые натуральные	$\sqrt[n \cdot m]{A}$
$\sqrt[n \cdot m]{A},$ $m$ и $n$ - любые натуральные	$\sqrt[n]{\sqrt[m]{A}}$
$\sqrt[n \cdot m]{A^{m}},$ $m$ - нечетное $n$ - натуральное $\sqrt[n \cdot m]{A^{m}},$ $m$ - четное $n$ - натуральное	$\sqrt[n]{A}$ $\sqrt[n]{\|A\|}$
$\sqrt[n]{A}$ , $m$ - нечетное $n$ - натуральное $m$ - четное $n$ - четное $\sqrt[n]{A}$ , $m$ - четное $n$ - нечетное	$\sqrt[n \cdot m]{A^{m}} \{\begin{cases} \sqrt[n \cdot m]{A^{m}}, A \geq 0 * (с м . с н о с к у) \\ - \sqrt[n \cdot m]{A^{m}}, A < 0 * (с м . с н о с к у) \end{cases}$
$\sqrt[n]{A^{m}}$ , $m$ - нечетное $n$ - натуральное $m$ - четное $n$ - четное $\sqrt[n]{A^{m}}$ , $m$ - четное $n$ - нечетное	${(\sqrt[n]{A})}^{m}$ ${(\sqrt[n]{\|A\|})}^{m}$
${(\sqrt[n]{A})}^{m}$ , $m$ и $n$ - любые натуральные	$\sqrt[n]{A^{m}}$
$* A \geq 0$ и $A < 0$ следует понимать так: для всех значений переменных из ОДЗ для выражения из левой части, при которох значений вырожения $A$ неотрицательны или отрицательны соответственно.

Первые результаты этой таблицы можно применить относительно произведений трех, четырех и т.д. множителей, которые находятся под знаком корня. Например, при нечетных $n$ корень $\sqrt[n]{A_{1} \cdot A_{2} \cdot . . . \cdot A_{k}}$ можно заменить произведением $\sqrt[n]{A_{1}} \cdot \sqrt[n]{A_{2}} \cdot . . . \cdot \sqrt[n]{A_{k}}$ , а при четных $n$ – произведением $\sqrt[n]{|A_{1}|} \cdot \sqrt[n]{|A_{2}|} \cdot . . . \cdot \sqrt[n]{|A_{k}|}$ .

Используя данные таблицы корень $\sqrt{x \cdot (x + 1)}$ на ОДЗ переменной $x$ сразу можно записать как произведение корней вида $\sqrt{|x|} \cdot \sqrt{|x + 1|}$ .

Точно также, на ОДЗ переменной $x$ выражение $\sqrt[4]{\frac{x - 3}{x - 5}}$ можно записать в виде дроби $\frac{\sqrt[4]{|x - 2|}}{\sqrt[4]{|x - 5|}}$ .

Вот еще несколько примеров: $x - 2 = \{\begin{cases} \sqrt[4]{(x - 2)^{4}}, x \geq 2 \\ - \sqrt[4]{(x - 2)^{4}}, x < 2 \end{cases}, 1 - \sqrt[12]{(x^{2} - 5)^{6}} = 1 - \sqrt{|x^{2} - 5|}$ и $5 \cdot \sqrt[4]{x^{2}} = 5 \cdot {(\sqrt[4]{|x|})}^{2}$ .

Используя результаты, размещенные в таблице, решим пример последней задачи еще раз:

$\sqrt[8]{(x^{2} - x - 2)^{6}} = \sqrt[4 \cdot 2]{((x^{2} - x - 2)^{3})^{2}} = = \sqrt[4]{|{(x^{2} - x - 2)}^{3}|} = \sqrt[4]{{|x^{2} - x - 2|}^{3}}$

Посмотрим, как мы получили результат так быстро. При нечетных $n$ выражение $\sqrt[n]{A \cdot B}$ на всей ОДЗ переменных можно записать как $\sqrt[n]{A} \cdot \sqrt[n]{B}$ , а при четных $n$ – как $\sqrt[n]{|A|} \cdot \sqrt[n]{|B|}$ .

Доказательство 1

Приведем доказательства: при нечетных $n$ для любого набора значений переменных из ОДЗ для исходного выражения $\sqrt[n]{A \cdot B}$ значения выражений $A$ и $B$ таковы, что:

либо они оба неотрицательны,
либо первое неотрицательно, а второе отрицательно,
либо первое отрицательно, а второе неотрицательно,
либо они оба отрицательны.

Используя свойство корней $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ , которое верно при $a \geq 0, b \geq 0$ , мы можем сделать вывод, что $\sqrt[n]{A \cdot B} = \sqrt[n]{A} \cdot \sqrt[n]{B}$ .

Во втором случае мы можем провести следующие преобразования:

$\sqrt[n]{A \cdot B} = \sqrt[n]{A \cdot (- |B|)} = - \sqrt[n]{A \cdot |B|} = = - \sqrt[n]{A} \cdot \sqrt[n]{|B|} = - \sqrt[n]{A} \cdot \sqrt[n]{- B} = = - \sqrt[n]{A} \cdot (- \sqrt[n]{B}) = \sqrt[n]{A} \cdot \sqrt[n]{B}$

В третьем случае, аналогично,

$\sqrt[n]{A \cdot B} = \sqrt[n]{(|- A|) \cdot B} = - \sqrt[n]{|A| \cdot B} = = - \sqrt[n]{|A|} \cdot \sqrt[n]{B} = - \sqrt[n]{- A} \cdot \sqrt[n]{B} = = - (- \sqrt[n]{A}) \cdot \sqrt[n]{B} = \sqrt[n]{A} \cdot \sqrt[n]{B}$

И в четвертом случае имеем:

$\sqrt[n]{A \cdot B} = \sqrt[n]{(|- A|) \cdot (- |B|)} = \sqrt[n]{|A| \cdot |B|} = = \sqrt[n]{|A|} \cdot \sqrt[n]{|B|} = \sqrt[n]{- A} \cdot \sqrt[n]{- B} = = (- \sqrt[n]{A}) \cdot (+ \sqrt[n]{B}) = \sqrt[n]{A} \cdot \sqrt[n]{B}$

Так мы доказали, что при нечетных $n$ на ОДЗ переменных для выражения $\sqrt[n]{A \cdot B}$ это выражение можно заменить на $\sqrt[n]{A} \cdot \sqrt[n]{B}$ .

Докажем справедливость второй части утверждения.

Доказательство 2

При четных $n$ при любом наборе значений переменных из ОДЗ переменных для выражения $\sqrt[n]{A \cdot B}$ значение выражения $A \cdot B$ неотрицательно. Поэтому $\sqrt[n]{A \cdot B}$ можно записать как $\sqrt[n]{|A \cdot B|}$ , а так как модуль произведения равен произведению модулей, то последнее выражение можно переписать в виде $\sqrt[n]{|A| \cdot |B|}$ , откуда в силу свойства корней имеем $\sqrt[n]{|A|} \cdot \sqrt[n]{|B|}$ . Что и требовалось доказать.

Для примера возьмем иррациональное выражение $\sqrt[3]{x \cdot (x - 1)}$ . Область допустимых значений переменной $x$ для этого выражения является множество всех действительных чисел. Используя утверждение, которое мы доказали выше, мы можем заменить выражение $\sqrt[3]{x \cdot (x - 1)}$ выражением $\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x - 1}$ на множестве $R$ . Корень $\sqrt[6]{(x + 3) \cdot (x - 5)}$ запишем в виде произведения корней $\sqrt[6]{|x + 3|} \cdot \sqrt[6]{|x - 5|}$ на области допустимых значений переменной $x$ для исходного выражения, т.е. на множестве $(- \infty, - 3] \cup [5, + \infty)$ .

Как еще мы можем удостовериться в правильности полученных результатов?

Доказательство 3

Можно доказать, что при четных $m$ и любых натуральных $n$ на ОДЗ переменных для выражения $\sqrt[n \cdot m]{A^{m}}$ его можно заменить на $\sqrt[n]{|A|}$ . Для тех значений переменных из ОДЗ, при которых значения выражения $A$ неотрицательны, выражение $\sqrt[n \cdot m]{A^{m}}$ можно переписать в виде $\sqrt[n \cdot m]{|A^{m}|}$ и дальше в силу свойств модуля как $\sqrt[n \cdot m]{|A^{m}|}$ . А по свойству корней $\sqrt[n \cdot m]{a^{m}} = \sqrt[n]{a}$ , где $a \geq 0$ , имеет место равенство $\sqrt[n \cdot m]{{|A|}^{m}} = \sqrt[n]{A}$ .

А для тех значений переменных, при которых значения выражения $A$ отрицательны, выражение $\sqrt[n \cdot m]{A^{m}}$ можно переписать как $\sqrt[n \cdot m]{{(- |A|)}^{m}}$ . Дальше имеют место такие переходы: $\sqrt[n \cdot m]{{(- |A|)}^{m}} = \sqrt[n \cdot m]{{(- 1)}^{m} \cdot {|A|}^{m}} = \sqrt[n \cdot m]{{|A|}^{m}} = \sqrt[n]{|A|}$ . Первый из них возможен в силу свойств степени, второй – в силу того, что $m$ – четное, а третий – в силу свойства корней $\sqrt[n \cdot m]{a^{m}} = \sqrt[n]{a}$ , где $a \geq 0$ . На этом доказательство завершено.

Аналогично обосновываются и остальные результаты из таблицы.

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.