Как освободиться от иррациональности в знаменателе: способы, примеры, решения

19 марта 2023
13 минут
15 529

Содержание:

Понятие освобождения от иррациональности в знаменателе
Основные действия для избавления от иррациональности в знаменателе дроби
Как преобразовать выражение в знаменателе дроби
Избавление от иррациональности методом умножения на корень
Избавление от иррациональности методом умножения на сопряженное выражение
Преобразование дробей с иррациональностью в знаменателе с использованием формул суммы и разности кубов
Последовательное применение различных способов преобразования

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

При изучении преобразований иррационального выражения очень важным является вопрос о том, как освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. Целью этой статьи является объяснение этого действия на конкретных примерах задач. В первом пункте мы рассмотрим основные правила данного преобразования, а во втором – характерные примеры с подробными пояснениями.

Понятие освобождения от иррациональности в знаменателе

Начнем с пояснения, в чем вообще заключается смысл такого преобразования. Для этого вспомним следующие положения.

Об иррациональности в знаменателе дроби можно говорить в том случае, если там присутствует радикал, он же знак корня. Числа, которые записаны при помощи такого знака, часто относятся к числу иррациональных. Примерами могут быть $\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{- 2}{\sqrt{x} + 3}, \frac{x + y}{\sqrt{x} - 2 \cdot \sqrt{x \cdot y + 1}}, \frac{11}{\sqrt{7 - \sqrt{5}}}$ $\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{- 2}{\sqrt{x} + 3}, \frac{x + y}{\sqrt{x} - 2 \cdot \sqrt{x \cdot y + 1}}, \frac{11}{\sqrt{7 - \sqrt{5}}}$ . К дробям с иррациональными знаменателями также относятся те, что имеют там знаки корней различной степени (квадратный, кубический и т.д.), например, $\frac{3}{\sqrt[3]{4}}, \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x \cdot y} + \sqrt{y}}$ $\frac{3}{\sqrt[3]{4}}, \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x \cdot y} + \sqrt{y}}$ . Избавляться от иррациональности следует для упрощения выражения и облегчения дальнейших вычислений. Сформулируем основное определение:

Определение 1

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби – значит преобразовать ее, заменив на тождественно равную дробь, в знаменателе которой не содержится корней и степеней.

Такое действие может называться освобождением или избавлением от иррациональности, смысл при этом остается тем же. Так, переход от $\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ к $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ , т.е. к дроби с равным значением без знака корня в знаменателе и будет нужным нам действием. Приведем еще один пример: у нас есть дробь $\frac{x}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$ $\frac{x}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$ . Проведем необходимые преобразования и получим тождественно равную ей дробь $\frac{x \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{y})}{x - y}$ $\frac{x \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{y})}{x - y}$ , освободившись от иррациональности в знаменателе.

После формулировки определения мы можем переходить непосредственно к изучению последовательности действий, которые нужно выполнить для такого преобразования.

Основные действия для избавления от иррациональности в знаменателе дроби

Для освобождения от корней нужно провести два последовательных преобразования дроби: умножить обе части дроби на число, отличное от нуля, а затем преобразовать выражение, получившееся в знаменателе. Рассмотрим основные случаи.

В наиболее простом случае можно обойтись преобразованием знаменателя. Например, мы можем взять дробь со знаменателем, равным корню из $9$ $9$ . Вычислив $\sqrt{9}$ $\sqrt{9}$ , мы запишем в знаменателе $3$ $3$ и избавимся таким образом от иррациональности.

Однако гораздо чаще приходится предварительно умножать числитель и знаменатель на такое число, которое потом позволит привести знаменатель к нужному виду (без корней). Так, если мы выполним умножение $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ на $\sqrt{x + 1}$ $\sqrt{x + 1}$ , мы получим дробь $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x + 1}}$ $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x + 1}}$ и сможем заменить выражение в ее знаменателе на $x + 1$ $x + 1$ . Так мы преобразовали $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ в $\frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$ $\frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$ , избавившись от иррациональности.

Иногда преобразования, которые нужно выполнить, бывают довольно специфическими. Разберем несколько наглядных примеров.

Как преобразовать выражение в знаменателе дроби

Как мы уже говорили, проще всего выполнить преобразование знаменателя.

Пример 1

Условие: освободите дробь $\frac{1}{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{18} + \sqrt{50})}$ $\frac{1}{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{18} + \sqrt{50})}$ от иррациональности в знаменателе.

Решение

Для начала раскроем скобки и получим выражение $\frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{50}}$ $\frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{50}}$ . Используя основные свойства корней, перейдем к выражению $\frac{1}{\sqrt{2 \cdot 18} + \sqrt{2 \cdot 50}}$ $\frac{1}{\sqrt{2 \cdot 18} + \sqrt{2 \cdot 50}}$ . Вычисляем значения обоих выражений под корнями и получаем $\frac{1}{\sqrt{36} + \sqrt{100}}$ $\frac{1}{\sqrt{36} + \sqrt{100}}$ . Здесь уже можно извлечь корни. В итоге у нас получилась дробь $\frac{1}{6 + 10}$ $\frac{1}{6 + 10}$ , равная $\frac{1}{16}$ $\frac{1}{16}$ . На этом преобразования можно закончить.

Запишем ход всего решения без комментариев:

$\frac{1}{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{18} + \sqrt{50})} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{50}} = = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot 18} + \sqrt{2 \cdot 50}} = \frac{1}{\sqrt{36} + \sqrt{100}} = \frac{1}{6 + 10} = \frac{1}{16}$ $\frac{1}{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{18} + \sqrt{50})} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{50}} = = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot 18} + \sqrt{2 \cdot 50}} = \frac{1}{\sqrt{36} + \sqrt{100}} = \frac{1}{6 + 10} = \frac{1}{16}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{18} + \sqrt{50})} = \frac{1}{16}$ $\frac{1}{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{18} + \sqrt{50})} = \frac{1}{16}$ .

Пример 2

Условие: дана дробь $\frac{7 - x}{\sqrt{(x + 1)^{2}}}$ $\frac{7 - x}{\sqrt{(x + 1)^{2}}}$ . Избавьтесь от иррациональности в знаменателе.

Решение

Ранее в статье, посвященной преобразованиям иррациональных выражений с применением свойств корней, мы упоминали, что при любом $A$ $A$ и четных $n$ $n$ мы можем заменить выражение $\sqrt[n]{A^{n}}$ $\sqrt[n]{A^{n}}$ на $| A |$ $| A |$ на всей области допустимых значений переменных. Следовательно, в нашем случае мы можем записать так: $\frac{7 - x}{\sqrt{{(x + 1)}^{2}}} = \frac{7 - x}{open x + 1 |}$ $\frac{7 - x}{\sqrt{{(x + 1)}^{2}}} = \frac{7 - x}{openx + 1|}$ . Таким способом мы освободились от иррациональности в знаменателе.

Ответ: $\frac{7 - x}{\sqrt{{(x + 1)}^{2}}} = \frac{7 - x}{open x + 1 |}$ $\frac{7 - x}{\sqrt{{(x + 1)}^{2}}} = \frac{7 - x}{openx + 1|}$ .

Избавление от иррациональности методом умножения на корень

Если в знаменателе дроби находится выражение вида $\sqrt{A}$ $\sqrt{A}$ и само выражение $A$ $A$ не имеет знаков корней, то мы можем освободиться от иррациональности, просто умножив обе части исходной дроби на $\sqrt{A}$ $\sqrt{A}$ . Возможность этого действия определяется тем, что $\sqrt{A}$ $\sqrt{A}$ на области допустимых значений не будет обращаться в $0$ $0$ . После умножения в знаменателе окажется выражение вида $\sqrt{A} \cdot \sqrt{A}$ $\sqrt{A} \cdot \sqrt{A}$ , которое легко избавить от корней: $\sqrt{A} \cdot \sqrt{A} = {(\sqrt{A})}^{2} = A$ $\sqrt{A} \cdot \sqrt{A} = {(\sqrt{A})}^{2} = A$ . Посмотрим, как правильно применять этот метод на практике.

Пример 3

Условие: даны дроби $\frac{x}{\sqrt{3}}$ $\frac{x}{\sqrt{3}}$ и $\frac{- 1}{\sqrt{x^{2} + y - 4}}$ $\frac{- 1}{\sqrt{x^{2} + y - 4}}$ . Избавьтесь от иррациональности в их знаменателях.

Решение

Выполним умножение первой дроби на корень второй степени из $3$ $3$ . Получим следующее:

$\frac{x}{\sqrt{3}} = \frac{x \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{x \cdot \sqrt{3}}{{(\sqrt{3})}^{2}} = \frac{x \cdot \sqrt{3}}{3}$ $\frac{x}{\sqrt{3}} = \frac{x \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{x \cdot \sqrt{3}}{{(\sqrt{3})}^{2}} = \frac{x \cdot \sqrt{3}}{3}$

Во втором случае нам надо выполнить умножение на $\sqrt{x^{2} + y - 4}$ и преобразовать получившееся выражение в знаменателе:

$\frac{- 1}{\sqrt{x^{2} + y - 4}} = \frac{(- 1) \cdot \sqrt{x^{2} + y - 4}}{\sqrt{x^{2} + y - 4} \cdot \sqrt{x^{2} + y - 4}} = = \frac{- \sqrt{x^{2} + y - 4}}{{(\sqrt{x^{2} + y - 4})}^{2}} = \frac{- \sqrt{x^{2} + y - 4}}{x^{2} + y - 4}$

Ответ: $\frac{x}{\sqrt{3}} = \frac{x \cdot \sqrt{3}}{3}$ и $\frac{- 1}{\sqrt{x^{2} + y - 4}} = \frac{- \sqrt{x^{2} + y - 4}}{x^{2} + y - 4}$ .

Если же в знаменателе исходной дроби имеются выражения вида ${(\sqrt[n]{A})}^{m}$ или $\sqrt[n]{A^{m}}$ (при условии натуральных $m$ и $n$ ), нам нужно выбрать такой множитель, чтобы получившееся выражение можно было преобразовать в ${(\sqrt[n]{A})}^{n \cdot k}$ или $\sqrt[n]{A^{n \cdot k}}$ (при натуральном $k$ ). После этого избавиться от иррациональности будет несложно. Разберем такой пример.

Пример 4

Условие: даны дроби $\frac{7}{\sqrt[5]{6^{3}}}$ и $\frac{x}{{(\sqrt[4]{x^{2} + 1})}^{15}}$ . Избавьтесь от иррациональности в знаменателях.

Решение

Нам нужно взять натуральное число, которое можно разделить на пять, при этом оно должно быть больше трех. Чтобы показатель $6$ стал равен $5$ , нам надо выполнить умножение на $\sqrt[5]{6^{2}}$ . Следовательно, обе части исходной дроби нам придется умножить на $\sqrt[5]{6^{2}}$ :

$\frac{7}{\sqrt[5]{6^{3}}} = \frac{7 \cdot \sqrt[5]{6^{2}}}{\sqrt[5]{6^{3}} \cdot \sqrt[5]{6^{2}}} = \frac{7 \cdot \sqrt[5]{6^{2}}}{\sqrt[5]{6^{3}} \cdot 6^{2}} = \frac{7 \cdot \sqrt[5]{6^{2}}}{\sqrt[5]{6^{5}}} = = \frac{7 \cdot \sqrt[5]{6^{2}}}{6} = \frac{7 \cdot \sqrt[5]{36}}{6}$

Во втором случае нам потребуется число, большее $15$ , которое можно разделить на $4$ без остатка. Берем $16$ . Чтобы получить такой показатель степени в знаменателе, нам надо взять в качестве множителя $\sqrt[4]{x^{2} + 1}$ . Уточним, что значение этого выражения не будет $0$ ни в каком случае. Вычисляем:

$\frac{x}{{(\sqrt[4]{x^{2} + 1})}^{15}} = \frac{x \cdot \sqrt[4]{x^{2} + 1}}{{(\sqrt[4]{x^{2} + 1})}^{15} \cdot \sqrt[4]{x^{2} + 1}} = = \frac{x \cdot \sqrt[4]{x^{2} + 1}}{{(\sqrt[4]{x^{2} + 1})}^{16}} = \frac{x \cdot \sqrt[4]{x^{2} + 1}}{{({(\sqrt[4]{x^{2} + 1})}^{4})}^{4}} = \frac{x \cdot \sqrt[4]{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Ответ: $\frac{7}{\sqrt[5]{6^{3}}} = \frac{7 \cdot \sqrt[5]{36}}{6}$ и $\frac{x}{{(\sqrt[4]{x^{2} + 1})}^{15}} = \frac{x \cdot \sqrt[4]{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$ .

Избавление от иррациональности методом умножения на сопряженное выражение

Следующий метод подойдет для тех случаев, когда в знаменателе исходной дроби стоят выражения $a + \sqrt{b}, a - \sqrt{b}, \sqrt{a} + b, \sqrt{a} - b, \sqrt{a} + \sqrt{b}, \sqrt{a} - \sqrt{b}$ . В таких случаях нам надо взять в качестве множителя сопряженное выражение. Поясним смысл этого понятия.

Для первого выражения $a + \sqrt{b}$ сопряженным будет $a - \sqrt{b}$ , для второго $a - \sqrt{b}$ – $a + \sqrt{b}$ . Для $\sqrt{a} + b$ – $\sqrt{a} - b$ , для $\sqrt{a} - b$ – $\sqrt{a} + b$ , для $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ – $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ , а для $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ – $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ . Иначе говоря, сопряженное выражение – это такое выражение, в котором перед вторым слагаемым стоит противоположный знак.

Давайте рассмотрим, в чем именно заключается данный метод. Допустим, у нас есть произведение вида $(\sqrt{a} - \sqrt{b}) \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b})$ . Оно может быть заменено разностью квадратов $(\sqrt{a} - \sqrt{b}) \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b}) = {(\sqrt{a})}^{2} - {(\sqrt{b})}^{2}$ , после чего мы переходим к выражению $a - b$ , лишенному радикалов. Таким образом, мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби с помощью умножения на сопряженное выражение. Возьмем пару наглядных примеров.

Пример 5

Условие: избавьтесь от иррациональности в выражениях $\frac{3}{\sqrt{7} - 3}$ и $\frac{x}{- \sqrt{5} - \sqrt{2}}$ .

Решение

В первом случае берем сопряженное выражение, равное $\sqrt{7} + 3$ . Теперь производим умножение обеих частей исходной дроби на него:

$\frac{3}{\sqrt{7} - 3} = \frac{3 \cdot (\sqrt{7} + 3)}{(\sqrt{7} - 3) \cdot (\sqrt{7} + 3)} = \frac{3 \cdot (\sqrt{7} + 3)}{{(\sqrt{7})}^{2} - 3^{2}} = = \frac{3 \cdot (\sqrt{7} + 3)}{7 - 9} = \frac{3 \cdot (\sqrt{7} + 3)}{- 2} = \frac{- 3 \cdot (\sqrt{7} + 3)}{2}$

Во втором случае нам понадобится выражение $- \sqrt{5} + \sqrt{2}$ , которое является сопряженным выражению $- \sqrt{5} - \sqrt{2}$ . Умножим на него числитель и знаменатель и получим:

$\frac{x}{- \sqrt{5} - \sqrt{2}} = \frac{x \cdot (- \sqrt{5} + \sqrt{2})}{(- \sqrt{5} - \sqrt{2}) \cdot (- \sqrt{5} + \sqrt{2})} = = \frac{x \cdot (- \sqrt{5} + \sqrt{2})}{{(- \sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}} = \frac{x \cdot (- \sqrt{5} + \sqrt{2})}{5 - 2} = \frac{x \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{5})}{3}$

Возможно также перед умножением выполнить преобразование: если мы вынесем из знаменателя сначала минус, считать будет удобнее:

$\frac{x}{- \sqrt{5} - \sqrt{2}} = - \frac{x}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = - \frac{x \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{2})} = = - \frac{x \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{{(\sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}} = - \frac{x \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{5 - 2} = - \frac{x \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3} = = \frac{x \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{5})}{3}$

Ответ: $\frac{3}{\sqrt{7} - 3} = \frac{- 3 \cdot (\sqrt{7} + 3)}{2}$ и $\frac{x}{- \sqrt{5} - \sqrt{2}} = \frac{x \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{5})}{3}$ .

Важно обратить внимание на то, чтобы выражение, полученное в итоге умножения, не обращалось в $0$ ни при каких переменных из области допустимых значений для данного выражения.

Пример 6

Условие: дана дробь $\frac{x}{\sqrt{x} + 4}$ . Преобразуйте ее так, чтобы в знаменателе не было иррациональных выражений.

Решение

Начнем с нахождения области допустимых значений переменной $x$ . Она определена условиями $x \geq 0$ и $\sqrt{x} + 4 \neq 0$ . Из них можно сделать вывод, что нужная область представляет собой множество $x \geq 0$ .

Сопряженное знаменателю выражение представляет собой $\sqrt{x} - 4$ . Когда мы можем выполнить умножение на него? Только в том случае, если $\sqrt{x} - 4 \neq 0$ . На области допустимых значений это будет равносильно условию x≠16. В итоге мы получим следующее:

$\frac{x}{\sqrt{x} + 4} = \frac{x \cdot (\sqrt{x} - 4)}{(\sqrt{x} + 4) \cdot (\sqrt{x} - 4)} = = \frac{x \cdot (\sqrt{x} - 4)}{{(\sqrt{x})}^{2} - {(4)}^{2}} = \frac{x \cdot (\sqrt{x} - 4)}{x - 16}$

Если $x$ будет равен $16$ , то мы получим:

$\frac{x}{\sqrt{x} + 4} = \frac{16}{\sqrt{16} + 4} = \frac{16}{4 + 4} = 2$

Следовательно, $\frac{x}{\sqrt{x} + 4} = \frac{x \cdot (\sqrt{x} - 4)}{x - 16}$ при всех значениях $x$ , принадлежащих области допустимых значений, за исключением $16$ . При $x = 16$ получим $\frac{x}{\sqrt{x} + 4} = 2$ .

Ответ: $\frac{x}{\sqrt{x} + 4} = open\begin{array}{l} \frac{x \cdot (\sqrt{x} - 4)}{x - 16}, x \in [0, 16) \cup (16, + \infty) \\ 2, x = 16 \end{array}$ .

Преобразование дробей с иррациональностью в знаменателе с использованием формул суммы и разности кубов

В предыдущем пункте мы выполняли умножение на сопряженные выражения с тем, чтобы потом использовать формулу разности квадратов. Иногда для избавления от иррациональности в знаменателе полезно воспользоваться и другими формулами сокращенного умножения, например, разностью кубов $a^{3} - b^{3} = (a - b) \cdot (a^{2} + a \cdot b + b^{2})$ . Этой формулой удобно пользоваться, если в знаменателе исходной дроби стоят выражения с корнями третьей степени вида $\sqrt[3]{A} - \sqrt[3]{B}$ , ${(\sqrt[3]{A})}^{2} + \sqrt[3]{A} \cdot \sqrt[3]{B} + {(\sqrt[3]{B})}^{2}$ . и т.д. Чтобы применить ее, нам нужно умножить знаменатель дроби на неполный квадрат суммы ${(\sqrt[3]{A})}^{2} + \sqrt[3]{A} \cdot \sqrt[3]{B} + {(\sqrt[3]{B})}^{2}$ или разность $\sqrt[3]{A} - \sqrt[3]{B}$ . Точно также можно применить и формулу суммы $a^{3} + b^{3} = (а) \cdot (a^{2} - a \cdot b + b^{2})$ .

Пример 7

Условие: преобразуйте дроби $\frac{1}{\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{2}}$ и $\frac{3}{4 - 2 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^{2}}}$ так, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе.

Решение

Для первой дроби нам нужно воспользоваться методом умножения обеих частей на неполный квадрат суммы $\sqrt[3]{7}$ и $\sqrt[3]{2}$ , поскольку потом мы сможем выполнить преобразование с помощью формулы разности кубов:

$\frac{1}{\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{2}} = \frac{1 \cdot ({(\sqrt[3]{7})}^{2} + \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{2} + {(\sqrt[3]{2})}^{2})}{(\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{2}) \cdot ({(\sqrt[3]{7})}^{2} + \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{2} + {(\sqrt[3]{2})}^{2})} = = \frac{{(\sqrt[3]{7})}^{2} + \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{2} + {(\sqrt[3]{2})}^{2}}{{(\sqrt[3]{7})}^{3} - {(\sqrt[3]{2})}^{3}} = \frac{\sqrt[3]{7^{2}} + \sqrt[3]{7 \cdot 2} + \sqrt[3]{2^{2}}}{7 - 2} = = \frac{\sqrt[3]{49} + \sqrt[3]{14} + \sqrt[3]{4}}{5}$

Во второй дроби представим знаменатель как $2^{2} - 2 \cdot \sqrt[3]{x} + {(\sqrt[3]{x})}^{2}$ . В этом выражении виден неполный квадрат разности $2$ и $\sqrt[3]{x}$ , значит, мы можем умножить обе части дроби на сумму $2 + \sqrt[3]{x}$ и воспользоваться формулой суммы кубов. Для этого должно быть соблюдено условие $2 + \sqrt[3]{x} \neq 0$ , равносильное $\sqrt[3]{x} \neq - 2$ и $x \neq - 8$ :

$\frac{3}{4 - 2 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^{2}}} = \frac{3}{(2^{2} - 2 \cdot \sqrt[3]{x} + {(\sqrt[3]{x})}^{2})} = = \frac{3 \cdot (2 + \sqrt[3]{x})}{(2^{2} - 2 \cdot \sqrt[3]{x} + {(\sqrt[3]{x})}^{2}) \cdot (2 + \sqrt[3]{x})} = \frac{6 + 3 \cdot \sqrt[3]{x}}{2^{3} + {(\sqrt[3]{x})}^{3}} = = \frac{6 + 3 \cdot \sqrt[3]{x}}{8 + x}$

Подставим в дробь $- 8$ и найдем значение:

$\frac{3}{4 - 2 \cdot \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{8^{2}}} = \frac{3}{4 - 2 \cdot 2 + 4} = \frac{3}{4}$

Подведем итоги. При всех $x$ , входящих в область значений исходной дроби (множество $R$ ), за исключением $- 8$ , мы получим $\frac{3}{4 - 2 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^{2}}} = \frac{6 + 3 \cdot \sqrt[3]{x}}{8 + x}$ . Если $x = 8$ , то $\frac{3}{4 - 2 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^{2}}} = \frac{3}{4}$ .

Ответ: $\frac{3}{4 - 2 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^{2}}} = open\begin{array}{l} \frac{6 + 3 \cdot \sqrt[3]{x}}{8 + x}, x \neq 8 \\ \frac{3}{4}, x = - 8 \end{array}$ .

Последовательное применение различных способов преобразования

Часто на практике встречаются более сложные примеры, когда мы не можем освободиться от иррациональности в знаменателе с помощью всего одного метода. Для них нужно последовательно выполнять несколько преобразований или подбирать нестандартные решения. Возьмем одну такую задачу.

Пример N

Условие: преобразуйте $\frac{5}{\sqrt[4]{7} - \sqrt[4]{2}}$ , чтобы избавиться от знаков корней в знаменателе.

Решение

Выполним умножение обеих частей исходной дроби на сопряженное выражение $\sqrt[4]{7} + \sqrt[4]{2}$ с ненулевым значением. Получим следующее:

$\frac{5}{\sqrt[4]{7} - \sqrt[4]{2}} = \frac{5 \cdot (\sqrt[4]{7} + \sqrt[4]{2})}{(\sqrt[4]{7} - \sqrt[4]{2}) \cdot (\sqrt[4]{7} + \sqrt[4]{2})} = = \frac{5 \cdot (\sqrt[4]{7} + \sqrt[4]{2})}{{(\sqrt[4]{7})}^{2} - {(\sqrt[4]{2})}^{2}} = \frac{5 \cdot (\sqrt[4]{7} + \sqrt[4]{2})}{\sqrt{7} - \sqrt{2}}$

А теперь применим тот же способ еще раз:

$\frac{5 \cdot (\sqrt[4]{7} + \sqrt[4]{2})}{\sqrt{7} - \sqrt{2}} = \frac{5 \cdot (\sqrt[4]{7} + \sqrt[4]{2}) \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{2})}{(\sqrt{7} - \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{2})} = = \frac{5 \cdot (\sqrt[4]{7} + \sqrt[4]{2}) \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{2})}{{(\sqrt{7})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}} = \frac{5 \cdot (\sqrt[4]{7} + \sqrt[4]{7}) \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{2})}{7 - 2} = = \frac{5 \cdot (\sqrt[4]{7} + \sqrt[4]{2}) \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{2})}{5} = (\sqrt[4]{7} + \sqrt[4]{2}) \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{2})$

Ответ: $\frac{5}{\sqrt[4]{7} - \sqrt[4]{2}} = (\sqrt[4]{7} + \sqrt[4]{2}) \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{2})$ .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter