Общий взгляд на преобразование дробей

Данный обобщенный материал известен из школьного курса математики. Тут рассматриваем дроби общего вида с числами, степенями, корнями, логарифмами, тригонометрическими функция ми или другими объектами. Будут рассмотрены основные преобразования дробей вне зависимости от их вида.

Что такое дробь?

Существует еще несколько определений.

От обыкновенных дробей к дробям общего вида

Знакомство с дробью происходит еще в $5$ классе, когда проходят обыкновенные дроби. Из определения видно, что числителем и знаменателем являются натуральные числа.

После изучения действий с обыкновенными дробями имеем дело с дробями, которые имеют в знаменателе не одно натуральное число, а выражения с натуральными числами.

Когда имеем дело с дробями, где есть буквы или буквенные выражения, то записывается таким образом:

$\frac{a+b}{c}, \frac{a-b}{c}, \frac{a·c}{b·d}$.

Для вычисления зачастую необходимо приходить к переводу смешанных чисел в обыкновенные дроби. Когда целую часть обозначим как $a$, тогда дробная имеет вид $b/c$, получаем дробь вида $\frac{a·c+b}{c}$, откуда понятно появления таких дробей $\frac{2·11+3}{11}$, $\frac{5·2+1}{2}$ и так далее.

Черта дроби расценивается как знак деления. Поэтому запись можно преобразовать по-другому:

$1:\left(a-(2·b+1)\right)=\frac{1}{a-\left(2·b+1\right)}, \left(5-1,7·3\right):\left(2·3-4:2\right)=\frac{5-1,7·3}{2·3-4:2}$, где частное $4:2$ можно заменить на дробь, тогда получим выражение вида

$\frac{5-1,7·3}{2·3-{\displaystyle \frac{4}{2}}}$

Вычисления с рациональными дробями занимают особое место в математике, так как в числителе и знаменателе могут быть не просто числовые значения, а многочлены.

Рациональные выражения рассматриваются как дроби общего вида.

Изучение корней, степеней с рациональными показателями, логарифмов, тригонометрических функций говорит о том, что их применение появляется в заданных дробях вида:

Виды преобразований дробей

Для ряда тождественных преобразований рассматривают несколько видов:

Преобразование выражений в числителе и знаменателе

Если дана дробь вида $A/B$, то $A$ и $B$ являются некоторыми выражениями. Тогда при замене получим дробь вида $A_1/B_1$_. Необходимо доказать справедливость равенства $A/A_1=B/B_1$ при любом значении переменных, удовлетворяющих ОДЗ.

Имеем, что $A$ и $A_1$ и $B$ и $B_1$ тождественно равны, тогда их значения тоже равны. Отсюда следует, что при любом их значении $A/B$ и $A_1/B_1$ данные дроби будут равны.

Такое преобразование упрощает работу с дробями, если необходимо преобразовывать отдельно числитель и отдельно знаменатель.

Изменение знака перед дробью,  в ее числителе, знаменателе

Преобразования дробей – это также и замена знаков перед дробью. Рассмотрим некоторые правила:

Рассмотрим примеры.

Приведение дроби к новому знаменателю

При изучении обыкновенных дробей, мы коснулись основного свойства дробей, которое позволяет умножать, делить числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число. Это видно из равенства $\frac{a·m}{b·m}=\frac{a}{b}$ и $\frac{a:m}{b:m}=\frac{a}{b}$, где $a, b, m$ являются натуральными числами.

Это равенство действительно для любых значений $a, b , m$ и всех $a$, кроме $b\ne 0$ и $m\ne 0$. То есть мы получаем, что если числитель дроби $А/В$ с $A$ и $C$, которые являются некоторыми выражениями, умножить или разделить на выражение $M$, не равное $0$, тогда получим дробь, тождественно равную начальной. Получаем, что $\frac{A·M}{B·M}=\frac{A}{B}$ и $\frac{A:M}{B:M}=\frac{A}{B}$.

Отсюда видно, что преобразования основываются на $2$ преобразованиях: приведении к общему знаменателю,  сокращении.

При приведении к общему знаменателю производится умножение на одно и то же число или выражение числитель и знаменатель. То есть мы переходим к решению тождественной равной преобразованной дроби.

Рассмотрим примеры.

Такое преобразование как избавление от иррациональности в знаменателе также применимо. Оно избавляет от наличия корня в знаменателе, что упрощает процесс решения.

Сокращение дробей

Основное свойство – это преобразование, то есть ее непосредственное сокращение. При сокращении мы получаем упрощенную дробь. Рассмотрим на примере:

Сокращение дроби является простым, когда общие множители сразу явно видны. Практически это встречается не часто, поэтому предварительно необходимо проводить некоторые преобразования выражений такого вида. Бывают случаи, когда необходимо находить общий множитель.

Если имеется дробь вида $\frac{x^{2{\displaystyle \frac{2}{3}}}·(1-{\cos }^{2}x)}{{\left(2·\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}·\cos {\displaystyle \frac{x}{2}}\right)}^2·x^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}}$, тогда необходимо применять тригонометрические формулы и свойства степеней для того, чтобы можно было преобразовать дробь к виду $\frac{x^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}·x^{2{\displaystyle \frac{1}{3}}}·{\sin }^{2}x}{{\sin }^{2}x·x^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}}$. Это даст возможность сократить ее на $x^{\frac{1}{3}}·{\sin }^{2}x$.

Представление дроби в виде суммы

Когда числитель имеет алгебраическую сумму выражений типа $A_1, A_2,\dots , A_n$, а знаменатель обозначается $B$, тогда эта дробь может быть представлена как $A_1/B, A_2/B, \dots , A_n/B$.

Данное преобразование в корне отличается от  сложения дробей с одинаковыми показателями. Рассмотрим пример.

Любая дробь, имеющая вид $А/В$ представляется  в виде суммы дробей любым способом.  Выражение $A$ в числителе может быть уменьшено или увеличено на любое число или выражение${А}_0$, которое даст возможность прейти к $\frac{A+A_0}{B}-\frac{A_0}{B}$.

Разложение дроби на простейшие  является частным случаем для преобразования дроби в сумму. Чаще всего его применяют при сложных вычислениях для интегрирования.