Подобные слагаемые, их приведение, примеры

Приведение подобных слагаемых является одним из наиболее употребимых тождественных преобразований. В этом разделе мы дадим определение термина, разберем, что обозначает словосочетание «приведение подобных слагаемых», рассмотрим основные правила выполнения действий и наиболее распространенные типы задач.

Определение и примеры подобных слагаемых

В большинстве учебных пособий тема подобных слагаемых разбирается после знакомства с буквенными выражениями, когда появляется необходимость проводить с ними различные преобразования.

Приведем примеры.

Рассмотрим сумму двух слагаемых $3·a+2·a$. В этой сумме слагаемые имеют одну и ту же  буквенную часть, которая представлена буквой $a$. Согласно определению, эти два слагаемых являются подобными. Числа $2$и $3$в данном случае являются числовыми коэффициентами.

Рассмотрим сумму $5·x·y^3·z+12·x·y^3·z+1$. Здесь подобными являются слагаемые $5·x·y^3·z$ и $12·x·y^3·z$, которые имеют одинаковую буквенную часть $x·y^3·z$. Следует обратить внимание на то, что в буквенной части присутствует степень $y^3$. Наличие степени не нарушает данное выше определение буквенной части в связи с тем, что $y^3$ по сути является произведением $y·y·y$.

Числовые коэффициенты $1$ и $-1$ в случае подобных слагаемых часто не записываются, но подразумеваются. К примеру, сумма $3·z^5+z^5-z^5$ состоит из трех слагаемых $3·z^5$, $z^5$ и $-z^5$, которые являются подобными. Здесь $z^5$– это одинаковая буквенная часть, $3$, $1$ и $-1$ – коэффициенты.

Если слагаемые в буквенном выражении не имеют буквенной части, то они также являются подобными. Например, сумма $5+7·x-4+2·x+y$ представлена $4$ подобными слагаемыми, два из которых ($5$ и $-4$) не имеют буквенной части.

Буквенная часть может быть представлена не только произведением букв, но также и произвольным буквенным выражением. Например:

$3·\sqrt{5·a}-2·\sqrt{5·a}+12·\sqrt{5·a}$.

Здесь общей буквенной частью подобных слагаемых является выражение $\sqrt{5·a}$.

По аналогии можно выделить подобные слагаемые в выражении $4·(x^2+x-1/x)-0,5·(x^2+x-1/x)-1$. Это будут слагаемые с одинаковой буквенной частью $(x^2+x-1/x)$.

Обобщим изложенные выше утверждения и дадим еще одно определение подобных слагаемых.

Возьмем для примера выражение $2·x·y+3·y·x$ и рассмотрим такой нюанс: являются ли слагаемые $2·x·y$ и $3·y·x$ подобными. В задачах этот вопрос может иметь следующую формулировку: одинаково ли буквенное выражение части $x·y$ и $y·x$ указанных слагаемых? Буквенные множители в приведенном примере имеют различный порядок, что в свете данного выше определения не делает их подобными.

Однако, если использовать переместительное свойство умножения, то можно изменить порядок множителей, не влияя на результат умножения. Это позволяет нам переписать выражение $2·x·y+3·y·x$ можно переписать в виде $2·x·y+3·x·y$. Тогда слагаемые будут подобны.

К слову, в некоторых источниках при нестрогом отношении к вопросу, слагаемые из примера могут называться подобными. Но лучше не допускать таких неточностей в трактовках.

Приведение подобных слагаемых, правило, примеры

Под преобразованием выражений, которые содержат подобные слагаемые, подразумевается проведение сложения этих слагаемых. Проводится это действие обычно в три этапа:

• перестановка слагаемых таким образом, чтобы подобные слагаемые оказались рядом;
• вынесение за скобки буквенной части;
• вычисление значения числового выражения, которое осталось в скобках.

Приведем пример таких вычислений.

Особо хочется отметить тот факт, что приведение подобных слагаемых базируется на распределительном свойстве умножения относительно сложения, которое можно выразить равенством $a·(b+c)=a·b+a·c$. Когда мы выполняем приведение подобных слагаемых, мы используем это равенство справа налево, т.е. в виде$a·b+a·c=a·(b+c)$.