Преобразование выражений с дробями: примеры, решения

26 марта 2023
6 минут
1 030

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Давайте рассмотрим основные преобразования, которые могут применимы для выражений с дробями.

Выражения с дробями и дробные выражения

Судя по заявленной в заголовке статьи теме, речь пойдет о преобразовании выражений с переменными числовых выражений, запись которых содержит хотя бы одну дробь.

Отдельные дроби в данном материале мы рассматривать не будем, так как уделили им достаточно внимания в статье «Преобразование дробей: общий взгляд». Остановимся лишь на разнице смысла словосочетаний «дробные выражения» и « выражения с дробями».

Выражение с дробями – это более общее понятие по сравнению с «дробным выражением». Далеко не любое выражение, содержащее дробь, является дробным выражением. Так, например, выражение $\frac{x}{2} - 1$ является целым рациональным числом.

Основные тождественные преобразования выражений с дробями: перестановка местами слагаемых и множителей, раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых. Все эти приемы мы разбирали для выражений различных видов.

Важно при проведении преобразований соблюдать принятый порядок действий.

Пример 1

Упростите выражение $3 \cdot (\frac{\sqrt{x} + 1}{x^{2} - 4} - 1) - 2 \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{x^{2} - 4} + 3$ .

Решение

Раскроем скобки: $3 \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{x^{2} - 4} - 3 - 2 \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{x^{2} - 4} + 3$ . Мы получили выражение, в котором присутствуют подобные слогаемые $3 \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{x^{2} - 4}$ и $- 2 \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{x^{2} - 4}$ , а также $- 3$ и $3$ . Методом приведения получим дробь $\frac{\sqrt{x} + 1}{x^{2} - 4}$ .

Решение можно записать кратко:
$3 \cdot (\frac{\sqrt{x} + 1}{x^{2} - 4} - 1) - 2 \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{x^{2} - 4} + 3 = = 3 \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{x^{2} - 4} - 3 - 2 \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{x^{2} - 4} + 3 = \frac{\sqrt{x} + 1}{x^{2} - 4}$

Ответ: $3 \cdot (\frac{\sqrt{x} + 1}{x^{2} - 4} - 1) - 2 \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{x^{2} - 4} + 3 = \frac{\sqrt{x} + 1}{x^{2} - 4}$ .

Пример 2

Представьте выражение ${(\frac{1}{x})}^{2} + 6 \cdot \frac{1}{x} + 9$ в виде квадрата суммы.

Решение

Мы можем записать число $6$ как $2 \cdot 3$ , а $9$ как $3^{2}$ . Тогда исходное выражение примет следующий вид:

${(\frac{1}{x})}^{2} + 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{x} + 3^{2}$

Теперь используем формулу сокращенного умножения квадрат суммы: ${(\frac{1}{x})}^{2} + 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{x} + 3^{2} = {(\frac{1}{x} + 3)}^{2}$ .

Ответ: ${(\frac{1}{x})}^{2} + 6 \cdot \frac{1}{x} + 9 = {(\frac{1}{x} + 3)}^{2}$ .

Работа с отдельными дробями

Предлагаем вам обсудить преобразование отдельных дробей, которые входят в запись выражения. Это необходимо для того, чтобы в следующем пункте мы могли перейти к выполнению действий с дробями, которые входят в исходное выражение.

С дробями, являющимися частью выражения, можно выполнять все те преобразования, которые мы подробно описали в материале «Преобразование дробей». Любое преобразование должно давать нам тождественную дробь, а исходное выражение при этом должно давать тождественно равное выражение.

Пример 3

Преобразовать выражение с дробью $\sqrt{x + 1} + \frac{(x - 1)^{2} - 1}{x}$ к более простому виду.

Решение

Для начала поработаем с дробью $\frac{(x - 1)^{2} - 1}{x}$ : раскроем скобки, приведем подобные слагаемые в числителе: $\frac{(x - 1)^{2} - 1}{x} = \frac{x^{2} - 2 \cdot x + 1 - 1}{x} = \frac{x^{2} - 2 \cdot x}{x}$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки в числителе и произведем сокращение алгебраической дроби: $\frac{x^{2} - 2 \cdot x}{x} = \frac{x \cdot (x - 2)}{x} = x - 2$ .

Подставим полученный результат вместо дроби в выражение из условия задачи, получим:

$\sqrt{x + 1} + x - 2$ .

Ответ: $\sqrt{x + 1} + \frac{(x - 1)^{2} - 1}{x} = \sqrt{x + 1} + x - 2$ .

Выполнение действий с дробями

Действия с дробями проводятся в соответствии с общепринятым порядком. Стоит учитывать тот факт, что любое число может быть представлено в виде дроби со знаменателем $1$ .

Пример 4

Упростите выражение $\sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x + 2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{\sqrt{x}}$ .

Решение

Существует несколько вариантов решения данной задачи. В контексте темы мы решим ее методом выполнения действий с дробями:

$\sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x + 2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{\sqrt{x}} = = \sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{x} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{\sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{x}}$

Полученное произведение $\sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{x}$ запишем в виде дроби для того, чтобы нам проще был провести вычитание дробей:

$\sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{x} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{\sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{x}} = = \frac{\sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{x}}{1} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{\sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{x}} = = \frac{\sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{x}} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{\sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{x}} = = \frac{(x + 2) \cdot x}{\sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{x}} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{\sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{x}} = = \frac{(x + 2) \cdot x - {(x + 1)}^{2}}{\sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{x}} = \frac{x^{2} + 2 \cdot x - (x^{2} + 2 \cdot x + 1)}{\sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{x}} = = \frac{- 1}{\sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{x}} = - \frac{1}{\sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{x}}$

Для того, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, можно выполнить еще одно действие:

$- \frac{1}{\sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{x}} = - \frac{\sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{x}}{x^{2} + 2 \cdot x}$

Ответ: $\sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x + 2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{\sqrt{x}} = - \frac{\sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{x}}{x^{2} + 2 \cdot x}$ .

Применение свойств корней, степеней, логарифмов и т.п.

Выражения с дробями могут содержать логарифмы, корни, тригонометрические функции, степени с различными показателями. Для их преобразования могут применяться соответствующие свойства.

Применимо к дробям, стоит выделить свойство логарифма разности $\log_{c} \frac{a}{b} = \log_{c} a - \log_{c} b$ , свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ , свойство модуля частного $|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}$ и свойство дроби в степени ${(\frac{a}{b})}^{p} = \frac{a^{p}}{b^{p}}$ .

Поясним написанное выше на примерах.

Выражение $\frac{4}{x^{6}} - 2 \cdot \frac{2}{x^{3}} + 1$ можно преобразовать, заменив первую дробь степенью ${(\frac{2}{x^{3}})}^{2}$ на базе свойств степени. Это позволяет нам представить исходное выражение в виде квадрата разности.

В логарифмическом выражении $\ln \frac{x + 3}{x} + \ln x$ логарифм дроби можно заменить разностью логарифмов. Далее приводим подобные слагаемые и таким образом упрощаем выражение: $\ln \frac{x + 3}{x} + \ln x = \ln (x + 3) - \ln x + \ln x = \ln (x + 3)$ .

В тригонометрических выражениям отношение синуса к косинусу можно заменить тангенсом одного и того же угла.

Избавиться от аргумента-дроби можно при переходе от половинного аргумента к целому с использованием соответствующих формул. Например, $2 \cdot \sin^{2} \frac{x - 3}{2} = 1 - \cos (x - 3)$ .

Как видите, тема эта очень объемная. Для ее подробного изучения мы рекомендуем обратиться к материалам, изложенным в разделах, посвященных преобразованию тригонометрических выражений, иррациональных выражений с использованием свойств корня, выражений с использованием свойств степеней, логарифмических выражений с использованием свойств логарифмов.