Раскрытие скобок: правила, примеры, решения

1 апреля 2023
18 минут
6 997

Содержание:

Что называется раскрытием скобок?
Правила раскрытия скобок, примеры
Умножение скобки на скобку
Раскрытие скобок в произведениях нескольких скобок и выражений
Скобка в натуральной степени
Деление скобки на число и скобки на скобку
Порядок раскрытия скобок

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Раскрытие скобок является одним из видов преобразования выражения. В этом разделе мы опишем правила раскрытия скобок, а также рассмотрим наиболее часто встречающиеся примеры задач.

Что называется раскрытием скобок?

Скобки используются для указания на порядок выполнения действий в числовых и буквенных выражениях, а также в выражениях с переменными. От выражения со скобками удобно перейти к тождественно равному выражению без скобок. Например, заменить выражение $2 \cdot (3 + 4)$ на выражение вида $2 \cdot 3 + 2 \cdot 4$ без скобок. Этот прием носит название раскрытия скобок.

Определение 1

Под раскрытием скобок подразумевают приемы избавления от скобок и рассматривают его обычно в отношении выражений, которые могут содержать:

знаки « $+$ » или « $-$ » перед скобками, в которые заключены суммы или разности;
произведение числа, буквы или нескольких букв и суммы или разности, которая помещена в скобки.

Так мы привыкли рассматривать процесс раскрытия скобок в курсе школьной программы. Однако никто не мешает нам посмотреть на это действие шире. Мы можем назвать раскрытием скобок переход от выражения, которое содержит отрицательные числа в скобках, к выражению, не имеющему скобок. К примеру, мы можем перейти от $5 + (- 3) - (- 7)$ к $5 - 3 + 7$ . Фактически, это тоже раскрытие скобок.

Точно также мы можем заменить произведение выражений в скобках вида $(a + b) \cdot (c + d)$ на сумму $a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d$ . Такой прием также не противоречит смыслу раскрытия скобок.

Вот еще один пример. Мы можем допустить, что в выражениях вместо чисел и переменных могут быть использованы любые выражения. Например, выражению $x^{2} \cdot (\frac{1}{a} - \sqrt{x} + \sin (b))$ будет соответствовать выражение без скобок вида $x^{2} \cdot \frac{1}{a} - x^{2} \cdot x + x^{2} \cdot \sin (b)$ .

Отдельного внимания заслуживать еще один момент, который касается особенностей записи решений при раскрытии скобок. Мы можем записать начальное выражение со скобками и полученный после раскрытия скобок результат как равенство. Например, после раскрытия скобок вместо выражения $3 - (5 - 7)$ мы получаем выражение $3 - 5 + 7$ . Оба этих выражения мы можем записать в виде равенства $3 - (5 - 7) = 3 - 5 + 7$ .

Проведение действий с громоздкими выражениями может потребовать записи промежуточных результатов. Тогда решение будет иметь вид цепочки равенств. Например, $5 - (3 - (2 - 1)) = 5 - (3 - 2 + 1) = 5 - 3 + 2 - 1$ или $5 - (3 - (2 - 1)) = 5 - 3 + (2 - 1) = 5 - 3 + 2 - 1$ .

Правила раскрытия скобок, примеры

Приступим к рассмотрению правил раскрытия скобок.

У одиночных чисел в скобках

Отрицательные числа в скобках часто встречаются в выражениях. Например, $(- 4)$ и $3 + (- 4)$ . Положительные числа в скобках тоже имеют место быть.

Сформулируем правило раскрытия скобок, в которых заключены одиночные положительные числа. Предположим, что $а$ – это любое положительное число. Тогда (а) мы можем заменить на $а$ , $+ (а)$ на $+ а$ , $- (а)$ на $- а$ . Если вместо а взять конкретное число, то согласно правилу: число $(5)$ запишется как $5$ , выражение $3 + (5)$ без скобок примет вид $3 + 5$ , так как $+ (5)$ заменяется на $+ 5$ , а выражение $3 + (- 5)$ эквивалентно выражению $3 - 5$ , так как $+ (- 5)$ заменяется на $- 5$ .

Положительные числа обычно записываются без использования скобок, так как скобки в этом случае излишни.

Теперь рассмотрим правило раскрытия скобок, внутри которых содержится одиночное отрицательное число. $+ (- a)$ мы заменяем на $- a$ , $- (- a)$ заменяется на $+ a$ . Если выражение начинается с отрицательного числа $(- a)$ , которое записано в скобках, то скобки опускаются и вместо $(- a)$ остается $- a$ .

Приведем примеры: $(- 5)$ можно записать как $- 5$ , $(- 3) + 0, 5$ принимает вид $- 3 + 0, 5$ , $4 + (- 3)$ превращается в $4 - 3$ , $а - (- 4) - (- 3)$ после раскрытия скобок принимает вид $4 + 3$ , так как $- (- 4)$ и $- (- 3)$ заменяется на $+ 4$ и $+ 3$ .

Следует понимать, что записать выражение $3 \cdot (- 5)$ как $3 \cdot - 5$ нельзя. Об этом речь пойдет в следующих пунктах.

Давайте посмотрим, на чем основываются правила раскрытия скобок.

Согласно правилу разность $a - b$ равна $a + (- b)$ . На основе свойств действий с числами мы можем составить цепочку равенств $(a + (- b)) + b = a + ((- b) + b) = a + 0 = a$ , которая будет справедлива. Эта цепочка равенств в силу смысла вычитания доказывает, что выражение $a + (- b)$ - это разность $a - b$ .

Основываясь на свойствах противоположных чисел и правил вычитания отрицательных чисел мы можем утверждать, что $- (- a) = a, a - (- b) = a + b$ .

Встречаются выражения, которые составляются из числа, знаков минуса и нескольких пар скобок. Использование приведенных выше правил позволяет последовательно избавляться от скобок, продвигаясь от внутренних скобок к наружным или в обратном направлении. Примером такого выражения может быть $- (- ((- (5))))$ . Раскроем скобки, продвигаясь изнутри наружу: $- (- ((- (5)))) = - (- ((- 5))) = - (- (- 5)) = - (5) = - 5$ . Также этот пример можно разобрать и в обратном направлении: $- (- ((- (5)))) = ((- (5))) = (- (5)) = - (5) = - 5$ .

Под $a$ и $b$ можно понимать не только числа, но также произвольные числовые или буквенные выражения со знаком « $+$ » впереди, которые не являются суммами или разностями. Во всех этих случаях можно применять правила точно также, как мы делали это в отношении одиночных чисел в скобках.

К примеру, после раскрытия скобок выражение $- (- 2 \cdot x) - (x^{2}) + (- \frac{1}{x}) - (2 \cdot x \cdot y^{2} : z)$ примет вид $2 \cdot x - x^{2} - \frac{1}{x} - 2 \cdot x \cdot y^{2} : z$ . Как мы это сделали? Мы знаем, что $- (- 2 \cdot x)$ есть $+ 2 \cdot x$ , а так как это выражение стоит вначале, то $+ 2 \cdot x$ можно записать как $2 \cdot x$ , $- (x^{2}) = - x^{2}$ , $+ (- \frac{1}{x}) = - \frac{1}{x}$ и $- (2 \cdot x \cdot y^{2} : z) = - 2 \cdot x \cdot y^{2} : z$ .

В произведениях двух чисел

Начнем с правила раскрытия скобок в произведении двух чисел.

Предположим, что $a$ и $b$ – это два положительных числа. В этом случае произведение двух отрицательных чисел $- a$ и $- b$ вида $(- a) \cdot (- b)$ мы можем заменить на $(a \cdot b)$ , а произведения двух чисел с противоположными знаками вида $(- a) \cdot b$ и $a \cdot (- b)$ заменить на $(- a \cdot b)$ . Умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.

Верность первой части записанного правила подтверждается правилом умножения отрицательных чисел. Для подтверждения второй части правила мы можем использовать правила умножения чисел с разными знаками.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

Рассмотрим алгоритм раскрытия скобок в произведении двух отрицательных чисел $- 4 \frac{3}{5}$ и $- 2$ , вида $(- 2) \cdot (- 4 \frac{3}{5})$ . Для этого заменим исходное выражение на $(2 \cdot 4 \frac{3}{5})$ . Раскроем скобки и получим $2 \cdot 4 \frac{3}{5}$ .

А если мы возьмем частное отрицательных чисел $(- 4) : (- 2)$ , то запись после раскрытия скобок будет иметь вид $4 : 2$

На месте отрицательных чисел $- a$ и $- b$ могут быть любые выражения со знаком минус впереди, которые не являются суммами или разностями. К примеру, это могут быть произведения, частные, дроби, степени, корни, логарифмы, тригонометрические функции и т.п.

Раскроем скобки в выражении $(- 3 \cdot \frac{x}{x^{2} + 1} \cdot \sqrt{x}) \cdot (\ln (5))$ . Согласно правилу, мы можем произвести следующие преобразования: $(- 3 \cdot \frac{x}{x^{2} + 1} \cdot \sqrt{x}) \cdot (\ln (5)) = (- 3 \cdot \frac{x}{x^{2} + 1} \cdot \sqrt{x} \cdot \ln (5)) = 3 \cdot \frac{x}{x^{2} + 1} \cdot \sqrt{x} \cdot \ln (5)$ .

Выражение $(- 3) \cdot 2$ можно преобразовать в выражение $(- 3 \cdot 2)$ . После этого можно раскрыть скобки: $- 3 \cdot 2$ .

$\frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{5}) = (- \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}$

Деление чисел с разными знаками также может потребовать предварительного раскрытия скобок: $(- 5) : 2 = (- 5 : 2) = - 5 : 2$ и $2 \frac{3}{4} : (- 3, 5) = (- 2 \frac{3}{4} : 3, 5) = - 2 \frac{3}{4} : 3, 5$ .

Правило может быть использовано для выполнения умножения и деления выражений с разными знаками. Приведем два примера.

$(- \frac{1}{x + 1}) : x^{- 3} = (- \frac{1}{x + 1} : x^{- 3}) = - \frac{1}{x + 1} : x^{- 3}$

$\sin (x) \cdot (- x^{2}) = (- \sin (x) \cdot x^{2}) = - \sin (x) \cdot x^{2}$

В произведениях трех и большего количества чисел

Перейдем к произведенимя и частным, которые содержат большее количество чисел. Для раскрытия скобок здесь будет действовать следующее правило. При четном количестве отрицательных чисел можно опустить скобки, заменив числа противоположными. После этого необходимо заключить полученное выражение в новые скобки. При нечетном количестве отрицательных чисел, опустив скобки, заменить числа на противоположные. После этого полученное выражение необходимо взять в новые скобки и поставить перед ним знак минус.

Пример 2

Для примера, возьмем выражение $5 \cdot (- 3) \cdot (- 2)$ , которое представляет собой произведение трех чисел. Отрицательных чисел два, следовательно, мы можем записать выражение как $(5 \cdot 3 \cdot 2)$ и затем окончательно раскрыть скобки, получив выражение $5 \cdot 3 \cdot 2$ .

В произведении $(- 2, 5) \cdot (- 3) : (- 2) \cdot 4 : (- 1, 25) : (- 1)$ пять чисел являются отрицательными. поэтому $(- 2, 5) \cdot (- 3) : (- 2) \cdot 4 : (- 1, 25) : (- 1) = (- 2, 5 \cdot 3 : 2 \cdot 4 : 1, 25 : 1)$ . Окончательно раскрыв скобки, получаем −2,5·3:2·4:1,25:1.

Обосновать приведенное выше правило можно следующим образом. Во-первых, такие выражения мы можем переписать как произведение, заменив умножением на обратное число деление. Представляем каждое отрицательное число как произведение множительного числа и $- 1$ или $- 1$ заменяем на $(- 1) \cdot a$ .

Используя переместительное свойство умножения меняем местами множители и переносим все множители, равные $- 1$ , в начало выражения. Произведение четного числа минус единиц равно $1$ , а нечетного – равно $- 1$ , что позволяет нам использовать знак минус.

Если бы мы не использовали правило, то цепочка действий по раскрытию скобок в выражении $(- \frac{2}{3}) : (- 2) \cdot 4 : (- \frac{6}{7})$ выглядела бы следующим образом:

$(- \frac{2}{3}) : (- 2) \cdot 4 : (- \frac{6}{7}) = (- \frac{2}{3}) \cdot (- \frac{1}{2}) \cdot 4 \cdot (- \frac{7}{6}) = = (- 1) \cdot \frac{2}{3} \cdot (- 1) \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (- 1) \cdot \frac{7}{6} = = (- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1) \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{7}{6} = (- 1) \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{7}{6} = = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{7}{6}$

Приведенное выше правило может быть использовано при раскрытии скобок в выражениях, которые представляют собой произведения и частные со знаком минус, не являющихся суммами или разностями. Возьмем для примера выражение

$x^{2} \cdot (- x) : (- \frac{1}{x}) \cdot x^{- 3} : 2$ .

Его можно привести к выражению без скобок $x^{2} \cdot x : \frac{1}{x} \cdot x^{- 3} : 2$ .

Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «+»

Рассмотрим правило, которое можно применить для раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс, а «содержимое» этих скобок не умножается и не делится на какое-либо число или выражение.

Согласно правилу скобки вместе со стоящим перед ними знаком опускаются, при этом знаки всех слагаемых в скобках сохраняются. Если перед первым слагаемым в скобках не стоит никакого знака, то нужно поставить знак плюс.

Пример 3

Для примера приведем выражение $(12 - 3, 5) - 7$ . Опустив скобки, мы сохраняем знаки слагаемых в скобках и ставим перед первым слагаемым знак плюс. Запись будет иметь вид $(12 - 3, 5) - 7 = + 12 - 3, 5 - 7$ . В приведенном примере знак перед первым слагаемым ставить не обязательно, так как $+ 12 - 3, 5 - 7 = 12 - 3, 5 - 7$ .

Пример 4

Рассмотрим еще один пример. Возьмем выражение $(x + 2 a - \frac{3}{x^{2} + 1} - x^{2}) - 4 + \frac{1}{x}$ и проведем с ним действия $(x + 2 a - \frac{3}{x^{2} + 1} - x^{2}) - 4 + \frac{1}{x} = = x + 2 a - \frac{3}{x^{2} + 1} - x^{2} - 4 + \frac{1}{x}$

Вот еще один пример раскрытия скобок:

Пример 5

$(2 + \frac{x^{2} + 1}{x} - x \cdot y \cdot z) + 2 \cdot x^{- 1} + (- 1 + x - x^{2}) = = 2 + \frac{x^{2} + 1}{x} - x \cdot y \cdot z + 2 \cdot x^{- 1} - 1 + x + x^{2}$

Как раскрываются скобки, перед которыми стоит знак минус

Рассмотрим случаи, когда перед скобками стоит знак минус, и которые не не умножаются (или делятся) на какое-либо число или выражение. Согласно правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак « $-$ », скобки со знаком « $-$ » опускаются, при этом знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

Пример 6

К примеру:

$- (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}, - (\frac{1}{x + 1}) = - (\frac{1}{x + 1}), - (- x^{2}) = x^{2}$

Выражения с переменными могут быть преобразованы с использованием того же правила:

$- (- x + \frac{x}{3}) - 3 - (- 2 \cdot x^{2} + 3 \cdot x^{3} \cdot \frac{x + 1}{x - 1} - \sqrt{x + 2})$ ,

получаем $x - \frac{x}{3} - 3 + 2 \cdot x^{2} - 3 \cdot x^{3} \cdot \frac{x + 1}{x - 1} - \sqrt{x + 2}$ .

Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку

Здесь мы рассмотрим случаи, когда нужно раскрыть скобки, которые умножаются или делятся на какое-либо число или выражение. Тут применимы формулы вида $(a 1 \pm a 2 \pm \dots \pm a n) \cdot b = (a 1 \cdot b \pm a 2 \cdot b \pm \dots \pm a n \cdot b)$ или $b \cdot (a 1 \pm a 2 \pm \dots \pm a n) = (b \cdot a 1 \pm b \cdot a 2 \pm \dots \pm b \cdot a n)$ , где $a 1, a 2, \dots, a n$ и $b$ – некоторые числа или выражения.

Пример 7

Например, проведем раскрытие скобок в выражении $(3 - 7) \cdot 2$ . Согласно правилу, мы можем провести следующие преобразования: $(3 - 7) \cdot 2 = (3 \cdot 2 - 7 \cdot 2)$ . Получаем $3 \cdot 2 - 7 \cdot 2$ .

Раскрыв скобки в выражении $3 \cdot x^{2} \cdot (1 - x + \frac{1}{x + 2})$ , получаем $3 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot x^{2} \cdot x + 3 \cdot x^{2} \cdot \frac{1}{x + 2}$ .

Умножение скобки на скобку

Рассмотрим произведение двух скобок вида $(a 1 + a 2) \cdot (b 1 + b 2)$ . Это поможет нам получить правило для раскрытия скобок при проведении умножения скобки на скобку.

Для того, чтобы решить приведенный пример, обозначим выражение $(b 1 + b 2)$ как $b$ . Это позволит нам использовать правило умножения скобки на выражение. Получим $(a 1 + a 2) \cdot (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) \cdot b = (a 1 \cdot b + a 2 \cdot b) = a 1 \cdot b + a 2 \cdot b$ . Выполнив обратную замену $b$ на $(b 1 + b 2)$ , снова применим правило умножения выражения на скобку: $a 1 \cdot b + a 2 \cdot b = = a 1 \cdot (b 1 + b 2) + a 2 \cdot (b 1 + b 2) = = (a 1 \cdot b 1 + a 1 \cdot b 2) + (a 2 \cdot b 1 + a 2 \cdot b 2) = = a 1 \cdot b 1 + a 1 \cdot b 2 + a 2 \cdot b 1 + a 2 \cdot b 2$

Благодаря ряду несложных приемов мы можем прийти к сумме произведений каждого из слагаемых из первой скобки на каждое из слагаемых из второй скобки. Правило можно распространить на любое количество слагаемых внутри скобок.

Сформулируем правила умножения скобки на скобку: чтобы перемножить между собой две суммы, необходимо каждое из слагаемых первой суммы перемножить на каждое из слагаемых второй суммы и сложить полученные результаты.

Формула будет иметь вид:

$(a_{1} + a_{2} + . . . + a_{m}) \cdot (b_{1} + b_{2} + . . . + b_{n}) = = a_{1} b_{1} + a_{1} b_{2} + . . . + a_{1} b_{n} + + a_{2} b_{1} + a_{2} b_{2} + . . . + a_{2} b_{n} + + . . . + + a_{m} b_{1} + a_{m} b_{1} + . . . a_{m} b_{n}$

Проведем раскрытие скобок в выражении $(1 + x) \cdot (x 2 + x + 6)$ Оно представляет собой произведение двух сумм. Запишем решение: $(1 + x) \cdot (x^{2} + x + 6) = = (1 \cdot x^{2} + 1 \cdot x + 1 \cdot 6 + x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 6) = = 1 \cdot x^{2} + 1 \cdot x + 1 \cdot 6 + x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 6$

Отдельно стоит остановиться на тех случаях, когда в скобках присутствует знак минус наряду со знаками плюс. Для примера возьмем выражение $(1 - x) \cdot (3 \cdot x \cdot y - 2 \cdot x \cdot y^{3})$ .

Сначала представим выражения в скобках в виде сумм: $(1 + (- x)) \cdot (3 \cdot x \cdot y + (- 2 \cdot x \cdot y^{3}))$ . Теперь мы можем применить правило: $(1 + (- x)) \cdot (3 \cdot x \cdot y + (- 2 \cdot x \cdot y^{3})) = = (1 \cdot 3 \cdot x \cdot y + 1 \cdot (- 2 \cdot x \cdot y^{3}) + (- x) \cdot 3 \cdot x \cdot y + (- x) \cdot (- 2 \cdot x \cdot y^{3}))$

Раскроем скобки: $1 \cdot 3 \cdot x \cdot y - 1 \cdot 2 \cdot x \cdot y^{3} - x \cdot 3 \cdot x \cdot y + x \cdot 2 \cdot x \cdot y^{3}$ .

Раскрытие скобок в произведениях нескольких скобок и выражений

При наличии в выражении трех и более выражений в скобках, раскрывать скобки необходимо последовательно. Начать преобразование необходимо с того, что два первых множителя берут в скобки. Внутри этих скобок мы можем проводить преобразования согласно правилам, рассмотренным выше. Например, скобки в выражении $(2 + 4) \cdot 3 \cdot (5 + 7 \cdot 8)$ .

В выражении содержится сразу три множителя $(2 + 4)$ , $3$ и $(5 + 7 \cdot 8)$ . Будем раскрывать скобки последовательно. Заключим первые два множителя еще в одни скобки, которые для наглядности сделаем красными: $(2 + 4) \cdot 3 \cdot (5 + 7 \cdot 8) = ((2 + 4) \cdot 3) \cdot (5 + 7 \cdot 8)$ .

В соответствии с правилом умножения скобки на число мы можем провести следующие действия: $((2 + 4) \cdot 3) \cdot (5 + 7 \cdot 8) = (2 \cdot 3 + 4 \cdot 3) \cdot (5 + 7 \cdot 8)$ .

Умножаем скобку на скобку: $(2 \cdot 3 + 4 \cdot 3) \cdot (5 + 7 \cdot 8) = 2 \cdot 3 \cdot 5 + 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 8 + 4 \cdot 3 \cdot 5 + 4 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 8$ .

Скобка в натуральной степени

Степени, основаниями которых являются некоторые выражения, записанные в скобках, с натуральными показателями можно рассматривать как произведение нескольких скобок. При этом по правилам из двух предыдущих пунктов их можно записать без этих скобок.

Рассмотрим процесс преобразования выражения $(a + b + c)^{2}$ . Его можно записать в виде произведения двух скобок $(a + b + c) \cdot (a + b + c)$ . Произведем умножение скобки на скобку и получим $a \cdot a + a \cdot b + a \cdot c + b \cdot a + b \cdot b + b \cdot c + c \cdot a + c \cdot b + c \cdot c$ .

Разберем еще один пример:

Пример 8

${(\frac{1}{x} + 2)}^{3} = (\frac{1}{x} + 2) \cdot (\frac{1}{x} + 2) \cdot (\frac{1}{x} + 2) = = (\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 2 + 2 \cdot \frac{1}{x} + 2 \cdot 2) \cdot (\frac{1}{x} + 2) = = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 2 \cdot \frac{1}{x} + 2 \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} + 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} \cdot 2 + + \frac{1}{x} 2 \cdot 2 + 2 \cdot \frac{1}{x} \cdot 2 + 2 \cdot 2 \cdot 2$

Деление скобки на число и скобки на скобку

Деление скобки на число предполагает, что необходимо разделить на число все заключенные в скобки слагаемые. Например, $(x 2 - x) : 4 = x^{2} : 4 - x : 4$ .

Деление можно предварительно заменить умножением, после чего можно воспользоваться подходящим правилом раскрытия скобок в произведении. Это же правило применимо и при делении скобки на скобку.

Например, нам необходимо раскрыть скобки в выражении $(x + 2) : \frac{2}{3}$ . Для этого сначала заменим деление умножением на обратное число $(x + 2) : \frac{2}{3} = (x + 2) \cdot \frac{2}{3}$ . Умножим скобку на число $(x + 2) \cdot \frac{2}{3} = x \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{2}{3}$ .

Вот еще один пример деления на скобку:

Пример 9

$(\frac{1}{x} + x + 1) : (x + 2)$ .

Заменим деление умножением: $(\frac{1}{x} + x + 1) \cdot \frac{1}{x + 2}$ .

Выполним умножение: $(\frac{1}{x} + x + 1) \cdot \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x + 2} + x \cdot \frac{1}{x + 2} + 1 \cdot \frac{1}{x + 2}$ .

Порядок раскрытия скобок

Теперь рассмотрим порядок применения правил, разобранных выше в выражениях общего вида, т.е. в выражениях, которые содержат суммы с разностями, произведения с частными, скобки в натуральной степени.

Порядок выполнения действий:

первым делом необходимо выполнить возведение скобок в натуральную степень;
на втором этапе производится раскрытие скобок в произведениях и частных;
заключительным шагом будет раскрытие скобок в суммах и разностях.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примере выражения $(- 5) + 3 \cdot (- 2) : (- 4) - 6 \cdot (- 7)$ . Намнем преобразование с выражений $3 \cdot (- 2) : (- 4)$ и $6 \cdot (- 7)$ , которые должны принять вид $(3 \cdot 2 : 4)$ и $(- 6 \cdot 7)$ . При подстановке полученных результатов в исходное выражение получаем: $(- 5) + 3 \cdot (- 2) : (- 4) - 6 \cdot (- 7) = (- 5) + (3 \cdot 2 : 4) - (- 6 \cdot 7)$ . Раскрываем скобки: $- 5 + 3 \cdot 2 : 4 + 6 \cdot 7$ .

Имея дело с выражениями, которые содержат скобки в скобках, удобно проводить преобразования, продвигаясь изнутри наружу.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter