Разложение дроби на простейшие

13 сентября 2023
10 минут
9 492

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Для закрепления материала будут рассмотрены несколько примеров и рассмотрена теория по разложению дробей на простейшие. Подробно рассмотрим метод неопределенных коэффициентов и метод частных значений, изучим всевозможные комбинации.

Простые дроби имеют название элементарных дробей.

Типы дробей

Дроби различают:

$\frac{A}{x - a}$ ;
$\frac{A}{(x - a)^{n}}$ ;
$\frac{M x + N}{x^{2} + p x + q}$ ;
$\frac{M x + N}{(x^{2} + p x + q)^{n}}$ .

$A$ , $M$ , $N$ , $a$ , $p$ , $q$ из которых являются числами, а дискриминант дробей $3$ и $4$ меньше нуля, то есть корней не имеет выражение.

При упрощении выражения быстрее выполняются вычислительные функции. Представление дробно-рациональной дроби как суммы простейших дробей аналогично. Для этого применяют ряды Лорана для того, чтобы разложить в степенные ряды или для поиска интегралов.

Например, если необходимо брать интеграл от дробно-рациональной функции вида $\int_{}^{} \frac{2 x^{3} + 3}{x^{3} + x} d x$ . После чего необходимо произвести разложение подынтегральной функции на простейшие дроби. Все это к формированию простых интегралов. Получаем, что

$\int \frac{2 x^{3} + 3}{x^{3} + x} d x = \int (2 + \frac{2}{x} - \frac{3 x + 2}{x^{2} + 1}) d x = = \int 2 d x + \int \frac{3}{x} d x - \int \frac{3 x + 2}{x^{2} + 1} d x = = 2 x + 3 \ln (x) - \frac{3}{2} \int \frac{d (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} - 2 \int \frac{d x}{x^{2} + 1} = = 2 x + 3 \ln (x) - \frac{3}{2} \ln (x^{2} + 1) - 2 a r c \tan (x) + C$

Алгоритм метода неопределенных коэффициентов

Для того, чтобы правильно произвести разложение, необходимо придерживаться нескольких пунктов:

Произвести разложение на множители. можно применять вынесение за скобки, формулы сокращенного умножения, подбор корня. Имеющийся пример $x^{3} + x = x (x^{2} + 1)$ для упрощения выносят х за скобки.
Разложение дроби на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами.

Рассмотрим на нескольких примерах:

Пример 2

Когда в знаменателе имеется выражение вида $(x - a) (x - b) (x - c) (x - d)$ , количество множителей не имеет значения, дробь можно представить в виде дроби первого типа $\frac{A}{x - a} + \frac{B}{x - b} + \frac{C}{x - c} + \frac{D}{x - d}$ , где $a$ , $b$ , $c$ и $d$ являются числами, $A$ , $B$ , $C$ и $D$ – неопределенными коэффициентами.

Пример 3

Когда знаменатель имеет выражение $(x - a)^{2} (x - b)^{4} (x - c)^{3}$ , количество множителей также не имеет значения, причем саму дробь необходимо привести ко второму или первому типу вида:

$\frac{A_{2}}{{(x - a)}^{2}} + \frac{A_{1}}{x - a} + \frac{B_{4}}{{(x - b)}^{4}} + \frac{B_{3}}{{(x - b)}^{3}} + \frac{B_{2}}{{(x - b)}^{2}} + \frac{B_{1}}{x - b} + + \frac{C_{3}}{{(x - c)}^{3}} + \frac{C_{2}}{{(x - c)}^{2}} + \frac{C_{1}}{x - c}$

где имеющиеся $a$ , $b$ , $c$ являются числами, а $A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, C_{1}, C_{2}, C_{3}$ - неопределенными коэффициентами. Какова степень многочлена, такое количество слагаемых имеем.

Пример 4

Когда знаменатель имеет вид типа $(x^{2} + p x + q) (x^{2} + r x + s)$ , тогда количество квадратичных функций значения не имеет, а дробь принимает вид третьего типа $\frac{P x + Q}{x^{2} + p x + q} + \frac{R x + S}{x^{2} + r x + s}$ ,где имеющиеся $p$ , $q$ , $r$ и $s$ являются числами, а $P$ , $Q$ , $R$ и $S$ – определенными коэффициентами.

Пример 5

Когда знаменатель имеет вид ${(x^{2} + p x + q)}^{4} {(x^{2} + r x + s)}^{2}$ , количество множителей значения не имеет также , как и их степени, дробь представляется в виде третьего и четверного типов вида

$\frac{P_{4} x + Q_{4}}{(x^{2} + p x + q)^{4}} + \frac{P_{3} x + Q_{3}}{(x^{2} + p x + q)^{3}} + \frac{P_{2} x + Q_{2}}{(x^{2} + p x + q)^{2}} + \frac{P_{1} x + Q_{1}}{x^{2} + p x + q} + + \frac{R_{2} x + S_{2}}{(x^{2} + r x + s)^{2}} + \frac{R_{1} x + S_{1}}{x^{2} + r x + s}$

где имеющиеся $p$ , $q$ , $r$ и $s$ являются числами, а $P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}, R_{1}, R_{2}, S_{1}, S_{2}$ - неопределенными коэффициентами.

Пример 6

Когда имеется знаменатель вида $(x - a) (x - b)^{3} (x^{2} + p x + q) (x^{2} + r x + s)^{2}$ , тогда дробь необходимо представить в виде четвертого типа

$\frac{A}{x - a} + \frac{B_{3}}{{(x - b)}^{3}} + \frac{В_{2}}{{(x - b)}^{2}} + \frac{В_{1}}{x - b} + + \frac{P x + Q}{x^{2} + p x + q} + \frac{R_{2} x + S_{2}}{{(x^{2} + r x + s)}^{2}} + \frac{R_{1} x + S_{1}}{x^{2} + r x + s}$

Рассмотрим на примере дроби. Когда дробь раскладывается в сумму третьим типом вида $\frac{2 x - 3}{x^{3} + x} = \frac{2 x - 3}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ , где $A$ , $B$ и $C$ являются неопределенными коэффициентами.

Приведение полученной суммы простейших дробей при наличии неопределенного коэффициента к общему знаменателю, применяем метода группировки при одинаковых степенях х и получаем, что

$\frac{2 x - 3}{x^{3} + x} = \frac{2 x - 3}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1} = = \frac{A (x^{2} + 1) + (B x + C) x}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A x^{2} + A + B x^{2} + C x}{x (x^{2} + 1)} = = \frac{x^{2} (A + B) + x C + A}{x (x^{2} + 1)}$

Когда $х$ отличен от $0$ , тогда решение сводится к приравниванию двух многочленов. Получаем $2 x - 3 = x^{2} (A + B) + x C + A$ . Многочлены считаются равными тогда, когда совпадают коэффициенты при одинаковых степенях.

Приравнивание коэффициентов с одинаковыми степенями х. Получим, что система линейных уравнений при наличии определенных коэффициентов:
$\{\begin{cases} \begin{matrix} A + B = 0 \\ C = 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} A = - 3 \end{matrix} \end{cases}$
Решение полученной системы при помощи любого способа для нахождения неопределенных коэффициентов: $\{\begin{cases} \begin{matrix} A + B = 0 \\ C = 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} A = - 3 \end{matrix} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \begin{matrix} A = - 3 \\ B = 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} C = 2 \end{matrix} \end{cases}$
Производим запись ответа:
$\frac{2 x 3 + 3}{x 3 + x} = 2 - \frac{2 x - 3}{x 3 + x} = 2 - \frac{2 x - 3}{x (x 2 + 1)} = = 2 - (\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}) = 2 - (\frac{- 3}{x} + \frac{3 x + 2}{x^{2} + 1}) = 2 + \frac{3}{x} - \frac{3 x + 2}{x^{2} + 1}$

Необходимо постоянно выполнять проверки. Это способствует тому, что приведение к общему знаменателю получит вид

$2 + \frac{3}{x} - \frac{3 x + 2}{x^{2} + 1} = \frac{2 x (x^{2} + 1) - (3 x + 2) x}{x (x^{2} + 1)} = \frac{2 x^{3} + 3}{x^{3} + x}$

Методом неопределенных коэффициентов считают метод разложения дроби на другие простейшие.

Использование метода частных значений способствует представлению линейных множителей таким образом:

$(x - a) (x - b) (x - c) (x - d)$ .

Пример 7

Произвести разложение дроби $\frac{2 x^{2} - x - 7}{x^{3} - 5 x^{2} + 6 x}$ .

Решение

По условию имеем, что степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя, тогда деление выполнять не нужно. Необходимо перейти к разложению на множители. для начала необходимо выполнить вынесение х за скобки. Получим, что

$x^{3} - 5 x^{2} + 6 x = x (x^{2} - 5 x + 6)$

Квадратный трехчлен $x^{2} - 5 x + 6$ имеет корни, которые находим не по дискриминанту, а по теореме Виета. Получим:

$\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 5 \\ x_{1} \cdot x_{2} = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} = 3 \\ x_{2} = 2 \end{cases}$

Запись трехчлена может быть в виде $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 3) (x - 2)$ .

Тогда изменится знаменатель: $x^{2} - 5 x^{2} + 6 x = x (x^{2} - 5 x + 6) = x (x - 3) (x - 2)$

Имея такой знаменатель, дробь раскладываем на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами. Выражение примет вид:

$\frac{2 x^{2} - x - 7}{x^{3} - 5 x^{2} + 6 x} = \frac{2 x^{2} - x - 7}{x (x - 3) (x - 2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 3} + \frac{C}{x - 2}$

Полученный результат необходимо приводить к общему знаменателю. Тогда получаем:

$\frac{2 x^{2} - x - 7}{x^{3} - 5 x^{2} + 6 x} = \frac{2 x^{2} - x - 7}{x (x - 3) (x - 2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 3} + \frac{C}{x - 2} = = \frac{A (x - 3) (x - 2) + B x (x - 2) + C x (x - 3)}{x (x - 3) (x - 2)}$

После упрощения придем к неравенству вида

$\frac{2 x^{2} - x - 7}{x (x - 3) (x - 2)} = \frac{A (x - 3) (x - 2) + B x (x - 2) + C x (x - 3)}{x (x - 3) (x - 2)} \Rightarrow \Rightarrow 2 x^{2} - x - 7 = A (x - 3) (x - 2) + B x (x - 2) + C x (x - 3)$

Теперь переходим к нахождению неопределенных коэффициентов. Нужно подставлять полученные значения в равенство для того, чтобы знаменатель обратился в ноль, то есть значения $х = 0$ , $х = 2$ и $х = 3$ .

Если $х = 0$ , получим:

$2 \cdot 0^{2} - 0 - 7 = A (0 - 3) (0 - 2) + B \cdot 0 \cdot (0 - 2) + C \cdot 0 \cdot (0 - 3) - 7 = 6 A \Rightarrow A = - \frac{7}{6}$

Если $x = 2$ , тогда

$2 \cdot 2^{2} - 2 - 7 = A (2 - 3) (2 - 2) + B \cdot 2 \cdot (2 - 2) + C \cdot 2 \cdot (2 - 3) - 1 = - 2 C \Rightarrow C = \frac{1}{2}$

Если $x = 3$ , тогда

$2 \cdot 3^{2} - 3 - 7 = A (3 - 3) (3 - 2) + B \cdot 3 \cdot (3 - 2) + C \cdot 3 \cdot (3 - 3) 8 = 3 B \Rightarrow B = \frac{8}{3}$

Ответ: $\frac{2 x^{2} - x - 7}{x^{3} - 5 x^{2} + 6 x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 3} + \frac{C}{x - 2} = - \frac{7}{6} \cdot \frac{1}{x} + \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{x - 3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 2}$

Метод коэффициентов и метод частных значений отличаются только способом нахождения неизвестных. Данные методы могут быть совмещены для быстрого упрощения выражения.

Пример 8

Произвести разложение выражения $\frac{x^{4} + 3 x^{3} + 2 x - 11}{(x - 1) (x + 1) (x - 3)^{3}}$ на простейшие дроби.

Решение

По условию имеем, что степень числителя многочлена меньше знаменателя, значит зазложение примет вид

$\frac{x^{4} + 3 x^{3} + 2 x - 11}{(x - 1) (x + 1) (x - 3)^{3}} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{(x - 3)^{3}} + \frac{C}{(x - 3)^{2}} + \frac{C}{x - 3}$

Производим приведение к общему знаменателю. Имеем, что

$\frac{x^{4} + 3 x^{3} + 2 x - 11}{(x - 1) (x + 1) (x - 3)^{3}} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{(x - 3)^{3}} + \frac{C}{(x - 3)^{2}} + \frac{C}{x - 3} = = (\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{A (x + 1) (x - 3)^{3} + B (x - 1) (x - 3)^{3}}{(x - 1) (x + 1) (x - 3)^{3}} \end{matrix} + \\ + \frac{C_{3} (x - 1) (x + 1) + C_{2} (x - 1) (x + 1) (x - 3) + C_{1} (x - 1) (x + 1) (x - 3)^{2}}{(x - 1) (x + 1) (x - 3)^{3}} \end{matrix})$

Приравняем числители и получим, что

$x^{4} + 3 x^{3} + 2 x + 11 = = A (x + 1) (x - 3)^{3} + B (x - 1) (x - 3)^{3} + + C_{3} (x - 1) (x + 1) + C_{2} (x - 1) (x + 1) (x - 3) + C_{1} (x - 1) (x + 1) (x - 3)^{2}$

Из выше написанного понятно, что нули знаменателя – это $х = 1$ , $х = - 1$ и $х = 3$ . Тогда применим метод частных решений. Для этого подставим значения х. получим, что если х=1:

$- 5 = - 16 A \Rightarrow A = \frac{5}{16}$

Если $х = - 1$

$- 15 = 128 B \Rightarrow B = - \frac{15}{128}$

Если $х = 3$

$157 = 8 C_{3} \Rightarrow C_{3} = \frac{157}{8}$

Отсюда следует, что нужно найти значения $C_{1}$ и $C_{3}$ .

Поэтому подставим полученный значения в числитель, тогда

$x^{4} + 3 x^{3} + 2 x - 11 = = \frac{5}{16} (x + 1) (x - 3)^{3} - \frac{15}{128} (x - 1) (x - 3)^{3} + \frac{157}{8} (x - 1) (x + 1) + + C_{2} (x - 1) (x + 1) (x - 3) + C_{1} (x - 1) (x + 1) (x - 3)^{2}$

Раскроем скобки для того, чтобы привести подобные слагаемые с одинаковыми степенями. Придем к выражению вида

$x^{4} + 3 x^{3} + 2 x - 11 = x^{4} (\frac{25}{128} + C_{1}) + x^{3} (- \frac{85}{64} + C_{2} - 6 C_{1}) + + x^{2} (\frac{673}{32} - 3 C_{2} + 8 C_{1}) + x (\frac{405}{64} - C_{2} + 6 C_{1}) + 3 C_{2} - 9 C_{1} - \frac{3997}{128}$

Необходимо приравнять соответствующие коэффициенты с одинаковыми степенями, тогда сможем найти искомое значение $C_{1}$ и $C_{3}$ . Теперь необходимо решить систему:

$\{\begin{cases} \begin{matrix} \frac{25}{128} + C_{1} = 1 \\ - \frac{85}{64} + C_{2} - 6 C_{1} = 3 \\ \frac{673}{32} - 3 C_{2} + 8 C_{1} = 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \frac{405}{64} - C_{2} + 6 C_{1} = 2 \\ 3 C_{2} - 9 C_{1} - \frac{3997}{128} = 11 \end{matrix} \end{cases}$

Первое уравнение дает возможность найти $C_{1} = \frac{103}{128}$ , а второе $C_{2} = 3 + \frac{85}{64} + 6 C_{1} = 3 + \frac{85}{64} + 6 \cdot \frac{103}{128} = \frac{293}{32}$ .

Итог решения – это искомое разложение дроби на простейшие вида:

$\frac{x^{4} + 3 x^{3} + 2 x - 11}{(x - 1) (x + 1) (x - 3)^{3}} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C_{3}}{{(x - 3)}^{3}} + \frac{C_{2}}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{C_{1}}{x - 3} = = \frac{5}{16} \frac{1}{x - 1} - \frac{15}{128} \frac{1}{x + 1} + \frac{157}{8} \cdot \frac{1}{{(x - 3)}^{3}} + \frac{293}{32} \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{103}{128} \frac{1}{x - 3}$

Примечание

При непосредственном применении метода неопределенных коэффициентов необходимо было бы решать все пять линейных уравнений, объединенных в систему. Такой метод упрощает поиск значения переменных и дальнейшее решение в совокупности. Иногда применяется несколько методов. Это необходимо для быстрого упрощения всего выражения и поиска результата.