Сложение и вычитание алгебраических дробей: правила, примеры

12 марта 2023
11 минут
1 872

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Данная статья начинает изучение действий с алгебраическими дробями: рассмотрим подробно такие действия как сложение и вычитание алгебраических дробей. Разберем схему сложения и вычитания алгебраических дробей как с одинаковыми знаменателями, так и с разными. Изучим, как сложить алгебраическую дробь с многочленом и как произвести их вычитание. На конкретных примерах поясним каждый шаг поиска решения задач.

Действия сложения и вычитания при одинаковых знаменателях

Схема сложения обыкновенных дробей применима и для алгебраических. Мы знаем, что при сложении или вычитании обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями необходимо сложить или вычесть их числители, а знаменатель остается исходным.

К примеру: $\frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3 + 2}{7} = \frac{5}{7}$ и $\frac{5}{11} - \frac{4}{11} = \frac{5 - 4}{11} = \frac{1}{11}$ .

Соответственно аналогичным образом записывается правило сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:

Определение 1

Чтобы осуществить сложение или вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, нужно соответственно сложить или вычесть числители исходных дробей, а знаменатель записать без изменений.

Данное правило дает возможность сделать вывод, что результат сложения или вычитания алгебраических дробей - новая алгебраическая дробь (в частном случае: многочлен, одночлен или число).

Укажем пример применения сформулированного правила.

Пример 1

Заданы алгебраические дроби: $\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot y - 5}{x^{2} \cdot y - 2}$ и $\frac{3 - x \cdot y}{x^{2} \cdot y - 2}$ . Необходимо осуществить их сложение.

Решение

Исходные дроби содержат одинаковые знаменатели. Согласно правилу, выполним сложение числителей заданных дробей, а знаменатель оставим неизменным.

Сложив многочлены, являющиеся числителями исходных дробей, получим: $x^{2} + 2 \cdot x \cdot y - 5 + 3 - x \cdot y = x^{2} + (2 \cdot x \cdot y - x \cdot y) - 5 + 3 = x^{2} + x \cdot y - 2$ .

Тогда искомая сумма будет записана как: $\frac{x^{2} + x \cdot y - 2}{x^{2} \cdot y - 2}$ .

В практике, как во многих случаях, решение приводится цепочкой равенств, наглядно показывающей все этапы решения:

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot y - 5}{x^{2} \cdot y - 2} + \frac{3 - x \cdot y}{x^{2} \cdot y - 2} = \frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot y - 5 + 3 - x \cdot y}{x^{2} \cdot y - 2} = \frac{x^{2} + x \cdot y - 2}{x^{2} \cdot y - 2}$

Ответ: $\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot y - 5}{x^{2} \cdot y - 2} + \frac{3 - x \cdot y}{x^{2} \cdot y - 2} = \frac{x^{2} + x \cdot y - 2}{x^{2} \cdot y - 2}$ .

Результатом сложения или вычитания может стать сократимая дробь, в этом случае оптимально ее сократить.

Пример 2

Необходимо вычесть из алгебраической дроби $\frac{x}{x^{2} - 4 \cdot y^{2}}$ дробь $\frac{2 \cdot y}{x^{2} - 4 \cdot y^{2}}$ .

Решение

Знаменатели исходных дробей равны. Произведем действия с числителями, а именно: вычтем из числителя первой дроби числитель второй, после чего запишем результат, оставляя знаменатель неизменным:

$\frac{x}{x^{2} - 4 \cdot y^{2}} - \frac{2 \cdot y}{x^{2} - 4 \cdot y^{2}} = \frac{x - 2 \cdot y}{x^{2} - 4 \cdot y^{2}}$

Мы видим, что полученная дробь – сократимая. Осуществим ее сокращение, преобразовав знаменатель при помощи формулы разности квадратов:

$\frac{x - 2 \cdot y}{x^{2} - 4 \cdot y^{2}} = \frac{x - 2 \cdot y}{(x - 2 \cdot y) \cdot (x + 2 \cdot y)} = \frac{1}{x + 2 \cdot y}$

Ответ: $\frac{x}{x^{2} - 4 \cdot y^{2}} - \frac{2 \cdot y}{x^{2} - 4 \cdot y^{2}} = \frac{1}{x + 2 \cdot y}$ .

По такому же принципу складываются или вычитаются три и более алгебраических дробей при одинаковых знаменателях. К примеру:

$\frac{1}{x^{5} + 2 \cdot x^{3} - 1} + \frac{3 \cdot x - x^{4}}{x^{5} + 2 \cdot x^{3} - 1} - \frac{x^{2}}{x^{5} + 2 \cdot x^{3} - 1} - \frac{2 \cdot x^{3}}{x^{5} + 2 \cdot x^{3} - 1} = \frac{1 + 3 \cdot x - x^{4} - x^{2} - 2 \cdot x^{3}}{x^{5} + 2 \cdot x^{3} - 1}$

Действия сложения и вычитания при разных знаменателях

Вновь обратимся к схеме действий с обыкновенными дробями: чтобы выполнить сложение или вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями, необходимо привести их к общему знаменателю, а затем сложить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

К примеру, $\frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{11}{15}$ или $\frac{1}{2} - \frac{3}{7} = \frac{7}{14} - \frac{6}{14} = \frac{1}{14}$ .

Так же по аналогии сформулируем правило сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями:

Определение 2

Чтобы осуществить сложение или вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями, необходимо:

исходные дроби привести к общему знаменателю;
выполнить сложение или вычитание полученных дробей с одинаковыми знаменателями.

Очевидно, что ключевым здесь будет навык приведения алгебраических дробей к общему знаменателю. Разберем подробнее.

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю, необходимо осуществить тождественное преобразование заданных дробей, в результате которого знаменатели исходных дробей становятся одинаковыми. Здесь оптимально действовать по следующему алгоритму приведения алгебраических дробей к общему знаменателю:

сначала определяем общий знаменатель алгебраических дробей;
затем находим дополнительные множители для каждой из дробей, разделив общий знаменатель на знаменатели исходных дробей;
последним действием числители и знаменатели заданных алгебраических дробей умножаются на соответствующие дополнительные множители.

Пример 3

Заданы алгебраические дроби: $\frac{a + 2}{2 \cdot a^{3} - 4 \cdot a^{2}}, \frac{a + 3}{3 \cdot a^{2} - 6 \cdot a}$ и $\frac{a + 1}{4 \cdot a^{5} - 16 \cdot a^{3}}$ . Необходимо привести их к общему знаменателю.

Решение

Действуем по указанному выше алгоритму. Определим общий знаменатель исходных дробей. С этой целью разложим знаменатели заданных дробей на множители: $2 \cdot a^{3} - 4 \cdot a^{2} = 2 \cdot a^{2} \cdot (a - 2), 3 \cdot a^{2} - 6 \cdot a = 3 \cdot a \cdot (a - 2)$ и $4 \cdot a^{5} - 16 \cdot a^{3} = 4 \cdot a^{3} \cdot (a - 2) \cdot (a + 2)$ . Отсюда можем записать общий знаменатель: $12 \cdot a^{3} \cdot (a - 2) \cdot (a + 2)$ .

Теперь нам предстоит найти дополнительные множители. Разделим, согласно алгоритму, найденный общий знаменатель на знаменатели исходных дробей:

для первой дроби: $12 \cdot a^{3} \cdot (a - 2) \cdot (a + 2) : (2 \cdot a^{2} \cdot (a - 2)) = 6 \cdot a \cdot (a + 2)$ ;
для второй дроби: $12 \cdot a^{3} \cdot (a - 2) \cdot (a + 2) : (3 \cdot a \cdot (a - 2)) = 4 \cdot a^{2} \cdot (a + 2);$
для третьей дроби: $12 \cdot a^{3} \cdot (a - 2) \cdot (a + 2) : (4 \cdot a^{3} \cdot (a - 2) \cdot (a + 2)) = 3$ .

Следующий шаг - умножение числителей и знаменателей заданных дробей на найденные дополнительные множители:

$\frac{a + 2}{2 \cdot a^{3} - 4 \cdot a^{2}} = \frac{(a + 2) \cdot 6 \cdot a \cdot (a + 2)}{(2 \cdot a^{3} - 4 \cdot a^{2}) \cdot 6 \cdot a \cdot (a + 2)} = \frac{6 \cdot a \cdot (a + 2)^{2}}{12 \cdot a^{3} \cdot (a - 2) \cdot (a + 2)} \frac{a + 3}{3 \cdot a^{2} - 6 \cdot a} = \frac{(a + 3) \cdot 4 \cdot a^{2} \cdot (a + 2)}{(3 \cdot a^{2} - 6 \cdot a) \cdot 4 \cdot a^{2} \cdot (a + 2)} = \frac{4 \cdot a^{2} \cdot (a + 3) \cdot (a + 2)}{12 \cdot a^{3} \cdot (a - 2) \cdot (a + 2)} \frac{a + 1}{4 \cdot a^{5} - 16 \cdot a^{3}} = \frac{(a + 1) \cdot 3}{(4 \cdot a^{5} - 16 \cdot a^{3}) \cdot 3} = \frac{3 \cdot (a + 1)}{12 \cdot a^{3} \cdot (a - 2) \cdot (a + 2)}$

Ответ: $\frac{a + 2}{2 \cdot a^{3} - 4 \cdot a^{2}} = \frac{6 \cdot a \cdot (a + 2)^{2}}{12 \cdot a^{3} \cdot (a - 2) \cdot (a + 2)}; \frac{a + 3}{3 \cdot a^{2} - 6 \cdot a} = \frac{4 \cdot a^{2} \cdot (a + 3) \cdot (a + 2)}{12 \cdot a^{3} \cdot (a - 2) \cdot (a + 2)}; \frac{a + 1}{4 \cdot a^{5} - 16 \cdot a^{3}} = \frac{3 \cdot (a + 1)}{12 \cdot a^{3} \cdot (a - 2) \cdot (a + 2)} .$

Так, мы привели исходные дроби к общему знаменателю. В случае необходимости далее можно преобразовать полученный результат в вид алгебраических дробей, осуществив умножение многочленов и одночленов в числителях и знаменателях.

Уточним также такой момент: найденный общий знаменатель оптимально оставлять в виде произведения на случай необходимости сократить конечную дробь.

Мы рассмотрели подробно схему приведения исходных алгебраических дробей к общему знаменателю, теперь можем приступить к разбору примеров на сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Пример 4

Заданы алгебраические дроби: $\frac{1 - 2 \cdot x}{x^{2} + x}$ и $\frac{2 \cdot x + 5}{x^{2} + 3 \cdot x + 2}$ . Необходимо осуществить действие их сложения.

Решение

Исходные дроби имеют разные знаменатели, поэтому первым действием приведем их к общему знаменателю. Раскладываем знаменатели на множители: $x^{2} + x = x \cdot (x + 1)$ , а $x^{2} + 3 \cdot x + 2 = (x + 1) \cdot (x + 2)$ , т.к. корни квадратного трехчлена $x^{2} + 3 \cdot x + 2$ это числа: $- 1$ и $- 2$ . Определяем общий знаменатель: $x \cdot (x + 1) \cdot (x + 2)$ , тогда дополнительные множители будут: $x + 2$ и $- x$ для первой и второй дробей соответственно.

Таким образом: $\frac{1 - 2 \cdot x}{x^{2} + x} = \frac{1 - 2 \cdot x}{x \cdot (x + 1)} = \frac{(1 - 2 \cdot x) \cdot (x + 2)}{x \cdot (x + 1) \cdot (x + 2)} = \frac{x + 2 - 2 \cdot x^{2} - 4 \cdot x}{x \cdot (x + 1) \cdot (x + 2)} = \frac{2 - 2 \cdot x^{2} - 3 \cdot x}{x \cdot (x + 1) \cdot (x + 2)}$ и $\frac{2 \cdot x + 5}{x^{2} + 3 \cdot x + 2} = \frac{2 \cdot x + 5}{(x + 1) \cdot (x + 2)} = \frac{(2 \cdot x + 5) \cdot x}{(x + 1) \cdot (x + 2) \cdot x} = \frac{2 \cdot x^{2} + 5 \cdot x}{x \cdot (x + 1) \cdot (x + 2)}$

Теперь сложим дроби, которые мы привели к общему знаменателю:

$\frac{2 - 2 \cdot x^{2} - 3 \cdot x}{x \cdot (x + 1) \cdot (x + 2)} + \frac{2 \cdot x^{2} + 5 \cdot x}{x \cdot (x + 1) \cdot (x + 2)} = = \frac{2 - 2 \cdot x^{2} - 3 \cdot x + 2 \cdot x^{2} + 5 \cdot x}{x \cdot (x + 1) \cdot (x + 2)} = \frac{2 \cdot 2 \cdot x}{x \cdot (x + 1) \cdot (x + 2)}$

Полученную дробь возможно сократить на общий множитель $x + 1$ :

$\frac{2 + 2 \cdot x}{x \cdot (x + 1) \cdot (x + 2)} = \frac{2 \cdot (x + 1)}{x \cdot (x + 1) \cdot (x + 2)} = \frac{2}{x \cdot (x + 2)}$

И, напоследок, полученный результат запишем в виде алгебраической дроби, заменив произведение в знаменателе многочленом:

$\frac{2}{x \cdot (x + 2)} = \frac{2}{x^{2} + 2 \cdot x}$

Запишем ход решения кратко в виде цепочки равенств:

$\frac{1 - 2 \cdot x}{x^{2} + x} + \frac{2 \cdot x + 5}{x^{2} + 3 \cdot x + 2} = \frac{1 - 2 \cdot x}{x \cdot (x + 1)} + \frac{2 \cdot x + 5}{(x + 1) \cdot (x + 2)} = = \frac{(1 - 2 \cdot x) \cdot (x + 2)}{x \cdot (x + 1) \cdot (x + 2)} + \frac{(2 \cdot x + 5) \cdot x}{(x + 1) \cdot (x + 2) \cdot x} = \frac{2 - 2 \cdot x^{2} - 3 \cdot x}{x \cdot (x + 1) \cdot (x + 2)} + \frac{2 \cdot x^{2} + 5 \cdot x}{x \cdot (x + 1) \cdot (x + 2)} = = \frac{2 - 2 \cdot x^{2} - 3 \cdot x + 2 \cdot x^{2} + 5 \cdot x}{x \cdot (x + 1) \cdot (x + 2)} = \frac{2 \cdot (x + 1)}{x \cdot (x + 1) \cdot (x + 2)} = \frac{2}{x \cdot (x + 2)} = \frac{2}{x^{2} + 2 \cdot x}$

Ответ: $\frac{1 - 2 \cdot x}{x^{2} + x} + \frac{2 \cdot x + 5}{x^{2} + 3 \cdot x + 2} = \frac{2}{x^{2} + 2 \cdot x}$

Обратите внимание еще на такую деталь: перед тем, как алгебраические дроби сложить или вычесть, при наличии возможности их желательно преобразовать с целью упрощения.

Пример 5

Необходимо осуществить вычитание дробей: $\frac{2}{1 \frac{1}{3} \cdot x - \frac{2}{21}}$ и $\frac{3 \cdot x - 1}{\frac{1}{7} - 2 \cdot x}$ .

Решение

Преобразуем исходные алгебраические дроби для упрощения дальнейшего решения. Вынесем за скобки числовые коэффициенты переменных в знаменателе:

$\frac{2}{1 \frac{1}{3} \cdot x - \frac{2}{21}} = \frac{2}{\frac{4}{3} \cdot x - \frac{2}{21}} = \frac{2}{\frac{4}{3} \cdot (x - \frac{1}{14})}$ и $\frac{3 \cdot x - 1}{\frac{1}{7} - 2 \cdot x} = \frac{3 \cdot x - 1}{- 2 \cdot (x - \frac{1}{14})}$

Данное преобразование однозначно дало нам пользу: мы явно видим наличие общего множителя.

Избавимся вообще от числовых коэффициентов в знаменателях. Для этого используем основное свойство алгебраических дробей: числитель и знаменатель первой дроби умножим на $\frac{3}{4}$ , а второй на $- \frac{1}{2}$ , тогда получим:

$\frac{2}{\frac{4}{3} \cdot (x - \frac{1}{14})} = \frac{\frac{3}{4} \cdot 2}{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} \cdot (x - \frac{1}{14})} = \frac{\frac{3}{2}}{x - \frac{1}{14}}$ и $\frac{3 \cdot x - 1}{- 2 \cdot (x - \frac{1}{14})} = \frac{- \frac{1}{2} \cdot (3 \cdot x - 1)}{- \frac{1}{2} \cdot (- 2) \cdot (x - \frac{1}{14})} = \frac{- \frac{3}{2} \cdot x + \frac{1}{2}}{x - \frac{1}{14}}$ .

Совершим действие, которое нам позволит избавиться от дробных коэффициентов: умножим полученные дроби на $14$ :

$\frac{\frac{3}{2}}{x - \frac{1}{14}} = \frac{14 \cdot \frac{3}{2}}{14 \cdot (x - \frac{1}{14})} = \frac{21}{14 \cdot x - 1}$ и $\frac{- \frac{3}{2} \cdot x + \frac{1}{2}}{x - \frac{1}{14}} = \frac{14 \cdot (- \frac{3}{2} \cdot x + \frac{1}{2})}{x - \frac{1}{14}} = \frac{- 21 \cdot x + 7}{14 \cdot x - 1}$ .

Наконец, выполним требуемое в условии задачи действие – вычитание:

$\frac{2}{1 \frac{1}{3} \cdot x - \frac{2}{21}} - \frac{3 \cdot x - 1}{\frac{1}{7} - 2 \cdot x} = \frac{21}{14 \cdot x - 1} - \frac{- 21 \cdot x + 7}{14 \cdot x - 1} = \frac{21 - (- 21 \cdot x + 7)}{14 \cdot x - 1} = \frac{21 \cdot x + 14}{14 \cdot x - 1}$

Ответ: $\frac{2}{1 \frac{1}{3} \cdot x - \frac{2}{21}} - \frac{3 \cdot x - 1}{\frac{1}{7} - 2 \cdot x} = \frac{21 \cdot x + 14}{14 \cdot x - 1}$ .

Сложение и вычитание алгебраической дроби и многочлена

Данное действие сводится также к сложению или вычитанию алгебраических дробей: необходимо представить исходный многочлен как дробь со знаменателем $1$ .

Пример 6

Необходимо произвести сложение многочлена $x^{2} - 3$ с алгебраической дробью $\frac{3 \cdot x}{x + 2}$ .

Решение

Запишем многочлен как алгебраическую дробь со знаменателем $1$ : $\frac{x^{2} - 3}{1}$

Теперь можем выполнить сложение по правилу сложения дробей с разными знаменателями:

$x^{2} - 3 + \frac{3 \cdot x}{x + 2} = \frac{x^{2} - 3}{1} + \frac{3 \cdot x}{x + 2} = \frac{(x^{2} - 3) \cdot (x + 2)}{1 \cdot (x + 2)} + \frac{3 \cdot x}{x + 2} = = \frac{x^{3} + 2 \cdot x^{2} - 3 \cdot x - 6}{x + 2} + \frac{3 \cdot x}{x + 2} = \frac{x^{3} + 2 \cdot x^{2} - 3 \cdot x - 6 + 3 \cdot x}{x + 2} = = \frac{x^{3} + 2 \cdot x^{2} - 6}{x + 2}$

Ответ: $x^{2} - 3 + \frac{3 \cdot x}{x + 2} = \frac{x^{3} + 2 \cdot x^{2} - 6}{x + 2}$ .