Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik
Сложение и вычитание многочленов: правило и примеры
- 1 апреля 2023
- 6 минут
- 5 802
Данная статья разбирает такие действия с многочленами как сложение и вычитание многочленов. Сформулируем правило и рассмотрим его применение в решении задач.
Правило сложения и вычитания многочленов
Формулировку правила мы зададим сразу, после чего запишем пояснения.
Для осуществления действия сложения или вычитания многочленов, необходимо:
- записать сумму или разность многочленов в зависимости от поставленной задачи;
- в записанном выражении произвести раскрытие скобок, результатом чего станет многочлен;
- привести полученный во втором шаге многочлен в стандартный вид.
Теперь дадим пояснения по каждому шагу озвученного алгоритма.
Чтобы записать сумму или разность многочленов, необходимо заданные многочлены заключить в скобки и между ними расположить знак плюс или минус соответственно. К примеру, сумма двух многочленов x3+9·x·y-2 и 7−4·x·y запишется как (x3+9·x·y-2)+(7−4·x·y), а их разность имеет вид (x3+9·x·y-2)−(7−4·x·y).
Далее, согласно правилу, необходимо раскрыть скобки в полученном выражении: данное действие совершаем, опираясь на правило раскрытия скобок, перед которыми расположен знак плюси правило раскрытия скобок, перед которыми расположен знак минус. В приведенных выше примерах сумма многочленов (x3+9·x·y-2)+(7−4·x·y) после раскрытия скобок получит вид x3+9·x·y-2+7−4·x·y, а разность (x3+9·x·y-2)−(7−4·x·y) станет выглядеть так: x3+9·x·y-2−7+4·x·y. Мы явно видим, что в итоге получены многочлены.
Последним шагом алгоритма приведем многочлен к стандартному виду. Продолжая рассматриваемые примеры, получим: x3+9·x·y-2+7−4·x·y = x3+5·x·y+5 и x3+9·x·y-2−7+4·x·y = x3+13·x·y-9.
Мы рассмотрели все действия согласно сформулированному правилу и можем указать важный вывод, что итогом сложения или вычитания является многочлен.
Примеры сложения и вычитания
Разберем типичные задачи на сложение и вычитание многочленов.
Заданы многочлены x2+5·x+2 и x2−5·x+3. Необходимо найти их сумму и разность.
Решение
Первым действием найдем сумму исходных многочленов. Запишем ее: (x2+5·x+2)+(x2−5·x+3). Раскроем скобки и получим: x2+5·x+2+x2−5·x+3. Чтобы привести полученный многочлен к стандартному виду, совершим действие приведения подобных членов: 2·x2+5.
Кратко решение оформляется так:
(x2+5·x+2)+(x2−5·x+3)=x2+5·x+2+x2−5·x+3==(x2+x2)+(5·x−5·x)+(2+3)=2·x2+5
Произведем вычитание многочленов:
(x2+5·x+2)−(x2−5·x+3)=x2+5·x+2−x2+5·x−3==(x2−x2)+(5·x+5·x)+(2−3)=10·x−1
Ответ: (x2+5·x+2)+(x2−5·x+3)=2·x2+5 и (x2+5·x+2)−(x2−5·x+3)=10·x−1.
Одночлен – частный случай многочлена, поэтому правило сложения и вычитания, рассматриваемое в данной статье, применимо и для сложения и вычитания одночленов; для сложения и вычитания одночлена и многочлена и, наконец, для вычитания одночлена из многочлена и наоборот.
Необходимо вычесть из одночлена 17·a·b2 многочлен b4+b3+11·a·b2−2.
Решение
Сделаем запись разности (17·a·b2)−(b4+b3+11·a·b2−2). Раскроем скобки и получим многочлен вида: 17·a·b2−b4−b3−11·a·b2+2. Далее приводим многочлен к стандартному виду путем приведения подобных членов: 6·a·b2−b4−b3+2, что и будет являться разностью исходных данных.
Ответ: (15·a·b2)−(b4+b3+11·a·b2−7)=6·a·b2−b4−b3+2.
Исходные многочлены могут быть представлены как в стандартном, так и в нестандартном виде: действия сложения и вычитания могут совершаться и в том, и в том состоянии данных, на результат вычисления это никоим образом не повлияет. Единственное, чем могут отличаться результаты, полученные от сложения или вычитания многочленов нестандартного вида и многочленов в стандартном виде – это порядок следования членов многочлена-результата сложения или вычитания.
Заданы многочлены 5+3·a·2+4 и a2−2·a+2·a2+6. Необходимо найти их сумму.
Решение
Решим задачу двумя способами.
- Осуществим сложение многочленов в исходном виде: (5+3·a·2+4)+(a2−2·a+2·a2+6)==5+3·a·2+4+a2−2·a+2·a2+6=5+6·a+4+a2−2·a+2·a2+6==(5+4+6)+(6·a−2·a)+(a2+2·a2)=15+4·a+3·a2
- Первоначально запишем исходные многочлены в стандартном виде: 5+3·a·2+4=1+6·a+4=(5+4)+6·a=9+6·a и a2−2·a+2·a2+6=(a2+2·a2)−2·a+6=3·a2−2·a+6.
Теперь произведём сложение:
(9+6·a)+(3·a2−2·a+6)=9+6·a+3·a2−2·a+6==(9+6)+(6·a−2·a)+3·a2=15+4·a+3·a2
Явно видно, что оба способа дали один и тот же итог.
Ответ: (5+3·a·2+4)+(a2−2·a+2·a2+6)=15+4·a+3·a2.
По такой же схеме, как во всех указанных примерах, производится сложение или вычитание трех и более многочленов.
Заданы многочлены: 5·a·b−a·b2, 3·a·b2 и 2·a·b2−a·b+b. Необходимо выполнить их сложение.
Решение
Осуществляем действия сложения согласно сформулированному выше правилу. Составляем сумму, затем раскрываем скобки и преобразуем полученный многочлен в стандартный вид:
(5·a·b−a·b2)+(3·a·b2)+(2·a·b2−a·b+b)==5·a·b−a·b2+3·a·b2+2·a·b2−a·b+b=4·a·b+4·a·b2+b
Ответ: (5·a·b−a·b2)+(3·a·b2)+(2·a·b2−a·b+b)=4·a·b+4·a·b2+b.
Сохранить статью удобным способом