Сложение и вычитание многочленов: правило и примеры

Данная статья разбирает такие действия с многочленами как сложение и вычитание многочленов. Сформулируем правило и рассмотрим его применение в решении задач.

Правило сложения и вычитания многочленов

Формулировку правила мы зададим сразу, после чего запишем пояснения.

Определение 1

Для осуществления действия сложения или вычитания многочленов, необходимо:

записать сумму или разность многочленов в зависимости от поставленной задачи;
в записанном выражении произвести раскрытие скобок, результатом чего станет многочлен;
привести полученный во втором шаге многочлен в стандартный вид.

Теперь дадим пояснения по каждому шагу озвученного алгоритма.

Чтобы записать сумму или разность многочленов, необходимо заданные многочлены заключить в скобки и между ними расположить знак плюс или минус соответственно. К примеру, сумма двух многочленов $x^{3} + 9 \cdot x \cdot y - 2$ и $7 - 4 \cdot x \cdot y$ запишется как $(x^{3} + 9 \cdot x \cdot y - 2) + (7 - 4 \cdot x \cdot y)$ , а их разность имеет вид $(x^{3} + 9 \cdot x \cdot y - 2) - (7 - 4 \cdot x \cdot y)$ .

Далее, согласно правилу, необходимо раскрыть скобки в полученном выражении: данное действие совершаем, опираясь на правило раскрытия скобок, перед которыми расположен знак плюси правило раскрытия скобок, перед которыми расположен знак минус. В приведенных выше примерах сумма многочленов $(x^{3} + 9 \cdot x \cdot y - 2) + (7 - 4 \cdot x \cdot y)$ после раскрытия скобок получит вид $x^{3} + 9 \cdot x \cdot y - 2 + 7 - 4 \cdot x \cdot y$ , а разность $(x^{3} + 9 \cdot x \cdot y - 2) - (7 - 4 \cdot x \cdot y)$ станет выглядеть так: $x^{3} + 9 \cdot x \cdot y - 2 - 7 + 4 \cdot x \cdot y$ . Мы явно видим, что в итоге получены многочлены.

Последним шагом алгоритма приведем многочлен к стандартному виду. Продолжая рассматриваемые примеры, получим: $x^{3} + 9 \cdot x \cdot y - 2 + 7 - 4 \cdot x \cdot y = x^{3} + 5 \cdot x \cdot y + 5$ и $x^{3} + 9 \cdot x \cdot y - 2 - 7 + 4 \cdot x \cdot y = x^{3} + 13 \cdot x \cdot y - 9$ .

Мы рассмотрели все действия согласно сформулированному правилу и можем указать важный вывод, что итогом сложения или вычитания является многочлен.

Примеры сложения и вычитания

Разберем типичные задачи на сложение и вычитание многочленов.

Пример 1

Заданы многочлены $x^{2} + 5 \cdot x + 2$ и $x^{2} - 5 \cdot x + 3$ . Необходимо найти их сумму и разность.

Решение

Первым действием найдем сумму исходных многочленов. Запишем ее: $(x^{2} + 5 \cdot x + 2) + (x^{2} - 5 \cdot x + 3)$ . Раскроем скобки и получим: $x^{2} + 5 \cdot x + 2 + x^{2} - 5 \cdot x + 3$ . Чтобы привести полученный многочлен к стандартному виду, совершим действие приведения подобных членов: $2 \cdot x^{2} + 5$ .

Кратко решение оформляется так:

$(x^{2} + 5 \cdot x + 2) + (x^{2} - 5 \cdot x + 3) = x^{2} + 5 \cdot x + 2 + x^{2} - 5 \cdot x + 3 = = (x^{2} + x^{2}) + (5 \cdot x - 5 \cdot x) + (2 + 3) = 2 \cdot x^{2} + 5$

Произведем вычитание многочленов:

$(x^{2} + 5 \cdot x + 2) - (x^{2} - 5 \cdot x + 3) = x^{2} + 5 \cdot x + 2 - x^{2} + 5 \cdot x - 3 = = (x^{2} - x^{2}) + (5 \cdot x + 5 \cdot x) + (2 - 3) = 10 \cdot x - 1$

Ответ: $(x^{2} + 5 \cdot x + 2) + (x^{2} - 5 \cdot x + 3) = 2 \cdot x^{2} + 5$ и $(x^{2} + 5 \cdot x + 2) - (x^{2} - 5 \cdot x + 3) = 10 \cdot x - 1$ .

Одночлен – частный случай многочлена, поэтому правило сложения и вычитания, рассматриваемое в данной статье, применимо и для сложения и вычитания одночленов; для сложения и вычитания одночлена и многочлена и, наконец, для вычитания одночлена из многочлена и наоборот.

Пример 2

Необходимо вычесть из одночлена $17 \cdot a \cdot b^{2}$ многочлен $b^{4} + b^{3} + 11 \cdot a \cdot b^{2} - 2$ .

Решение

Сделаем запись разности $(17 \cdot a \cdot b^{2}) - (b^{4} + b^{3} + 11 \cdot a \cdot b^{2} - 2)$ . Раскроем скобки и получим многочлен вида: $17 \cdot a \cdot b^{2} - b^{4} - b^{3} - 11 \cdot a \cdot b^{2} + 2$ . Далее приводим многочлен к стандартному виду путем приведения подобных членов: $6 \cdot a \cdot b^{2} - b^{4} - b^{3} + 2$ , что и будет являться разностью исходных данных.

Ответ: $(15 \cdot a \cdot b^{2}) - (b^{4} + b^{3} + 11 \cdot a \cdot b^{2} - 7) = 6 \cdot a \cdot b^{2} - b^{4} - b^{3} + 2$ .

Исходные многочлены могут быть представлены как в стандартном, так и в нестандартном виде: действия сложения и вычитания могут совершаться и в том, и в том состоянии данных, на результат вычисления это никоим образом не повлияет. Единственное, чем могут отличаться результаты, полученные от сложения или вычитания многочленов нестандартного вида и многочленов в стандартном виде – это порядок следования членов многочлена-результата сложения или вычитания.

Пример 3

Заданы многочлены $5 + 3 \cdot a \cdot 2 + 4$ и $a^{2} - 2 \cdot a + 2 \cdot a^{2} + 6$ . Необходимо найти их сумму.

Решение

Решим задачу двумя способами.

Осуществим сложение многочленов в исходном виде: $(5 + 3 \cdot a \cdot 2 + 4) + (a^{2} - 2 \cdot a + 2 \cdot a^{2} + 6) = = 5 + 3 \cdot a \cdot 2 + 4 + a^{2} - 2 \cdot a + 2 \cdot a^{2} + 6 = 5 + 6 \cdot a + 4 + a^{2} - 2 \cdot a + 2 \cdot a^{2} + 6 = = (5 + 4 + 6) + (6 \cdot a - 2 \cdot a) + (a^{2} + 2 \cdot a^{2}) = 15 + 4 \cdot a + 3 \cdot a^{2}$
Первоначально запишем исходные многочлены в стандартном виде: $5 + 3 \cdot a \cdot 2 + 4 = 1 + 6 \cdot a + 4 = (5 + 4) + 6 \cdot a = 9 + 6 \cdot a$ и $a^{2} - 2 \cdot a + 2 \cdot a^{2} + 6 = (a^{2} + 2 \cdot a^{2}) - 2 \cdot a + 6 = 3 \cdot a^{2} - 2 \cdot a + 6$ .

Теперь произведём сложение:

$(9 + 6 \cdot a) + (3 \cdot a^{2} - 2 \cdot a + 6) = 9 + 6 \cdot a + 3 \cdot a^{2} - 2 \cdot a + 6 = = (9 + 6) + (6 \cdot a - 2 \cdot a) + 3 \cdot a^{2} = 15 + 4 \cdot a + 3 \cdot a^{2}$

Явно видно, что оба способа дали один и тот же итог.

Ответ: $(5 + 3 \cdot a \cdot 2 + 4) + (a^{2} - 2 \cdot a + 2 \cdot a^{2} + 6) = 15 + 4 \cdot a + 3 \cdot a^{2}$ .

По такой же схеме, как во всех указанных примерах, производится сложение или вычитание трех и более многочленов.

Пример 4

Заданы многочлены: $5 \cdot a \cdot b - a \cdot b^{2}, 3 \cdot a \cdot b^{2}$ и $2 \cdot a \cdot b^{2} - a \cdot b + b$ . Необходимо выполнить их сложение.

Решение

Осуществляем действия сложения согласно сформулированному выше правилу. Составляем сумму, затем раскрываем скобки и преобразуем полученный многочлен в стандартный вид:

$(5 \cdot a \cdot b - a \cdot b^{2}) + (3 \cdot a \cdot b^{2}) + (2 \cdot a \cdot b^{2} - a \cdot b + b) = = 5 \cdot a \cdot b - a \cdot b^{2} + 3 \cdot a \cdot b^{2} + 2 \cdot a \cdot b^{2} - a \cdot b + b = 4 \cdot a \cdot b + 4 \cdot a \cdot b^{2} + b$

Ответ: $(5 \cdot a \cdot b - a \cdot b^{2}) + (3 \cdot a \cdot b^{2}) + (2 \cdot a \cdot b^{2} - a \cdot b + b) = 4 \cdot a \cdot b + 4 \cdot a \cdot b^{2} + b$ .