Сложение и вычитание одночленов: правило и примеры

11 августа 2023
6 минут
705

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Знакомство с одночленами продолжим материалом статьи ниже: разберем выполнение базовых действий с одночленами, таких как сложение и вычитание. Рассмотрим, в каких случаях эти действия подлежат выполнению и что дадут в итоге; сформулируем правило сложения и вычитания и применим его при решении типовых задач.

Результат сложения и вычитания одночленов

Сложение и вычитание одночленов будем изучать, опираясь на действия с многочленами, поскольку, в общем, результат сложения или вычитания одночленов – многочлен, и только в частных ситуациях – одночлен.

Иначе говоря, сложение и вычитание на множестве одночленов можно ввести лишь с ограничениями. Уточним, что это означает, проведя аналогию с вычитанием натуральных чисел. На множестве натуральных чисел действие вычитания рассматривается также с ограничением: чтобы результатом стало натуральное число, вычитание необходимо произвести только по схеме: из большего натурального числа меньшее.

Другое дело, если речь идет о множестве целых чисел, включающем в себя и натуральные: здесь вычитание производится без ограничений.

То же самое можно применить, когда речь идет о сложении или вычитании двух одночленов. Чтобы в итоге получить одночлен, на множестве одночленов сложение или вычитание возможно осуществить с ограничением: исходные складываемые или вычитаемые одночлены должны быть подобными слагаемыми (тогда их называют подобными одночленами), или один из них должен быть нулем. В прочих случаях результат осуществления действий - уже не одночлен.

А вот на множестве многочленов, которое содержит все одночлены, сложение и вычитание одночленов изучается в качестве частного случая сложения и вычитания многочленов. В этом случае действия рассматриваются без указанных выше ограничений, так как итог их выполнения - многочлен (или одночлен как частный случай многочлена).

Правило сложения и вычитания одночленов

Сформулируем правило сложения и вычитания одночленов в виде последовательности действий:

Определение 1

Чтобы осуществить действие сложения или вычитания двух одночленов необходимо:

записать сумму или разность одночленов в зависимости от поставленной задачи: одночлены необходимо заключить в скобки, поставив между ними знак плюс или минус соответственно;
если одночлены в скобках присутствуют в нестандартном виде, привести их к стандартному виду;
раскрыть скобки;
привести подобные слагаемые, если таковые есть, и исключить слагаемые, равные нулю.

Теперь применим озвученное правило для решения задач.

Примеры сложения и вычитания одночленов

Пример 1

Заданы одночлены $8 \cdot x$ и $- 3 \cdot x$ . Необходимо выполнить их сложение и вычитание.

Решение

Выполним действие сложения. Запишем сумму, заключив исходные одночлены в скобки и поставив между ними знак плюс: $(8 \cdot x) + (- 3 \cdot x)$ . Одночлены в скобках имеют стандартный вид, значит второй шаг алгоритма правила можно пропустить. Следующим действием раскроем скобки: $8 \cdot x - 3 \cdot x$ , а затем приведем подобные слагаемые: $8 \cdot x - 3 \cdot x = (8 - 3) \cdot x = 5 \cdot x$ .

Кратко решение запишем так: $(8 \cdot x) + (- 3 \cdot x) = 8 \cdot x - 3 \cdot x = 5 \cdot x$ .

Аналогично произведем действие вычитания: $(8 \cdot x) - (- 3 \cdot x) = 8 \cdot x + 3 \cdot x = 11 \cdot x$ .

Ответ: $(8 \cdot x) + (- 3 \cdot x) = 5 \cdot x$ и $(8 \cdot x) - (- 3 \cdot x) = 11 \cdot x$ .

Рассмотрим пример, где один из одночленов – нуль.

Пример 2

Необходимо найти разность между одночленом $- 5 \cdot x^{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot 0 \cdot x \cdot z^{2}$ и одночленом $x \cdot \frac{2}{3} \cdot y^{5} \cdot z \cdot (- \frac{3}{8}) \cdot x \cdot y$ .

Решение

Действуем по алгоритму согласно правилу. Запишем разность: $(- 5 \cdot x^{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot 0 \cdot x \cdot z^{2}) - (x \cdot \frac{2}{3} \cdot y^{5} \cdot z \cdot (- \frac{3}{8}) \cdot x \cdot y)$ . Заключенные в скобки одночлены приведем к стандартному виду и тогда получим: $(0) - (- \frac{1}{4} \cdot x^{2} \cdot y^{6} \cdot z)$ . Раскроем скобки, что даст нам следующий вид выражения: $0 + \frac{1}{4} \cdot x^{2} \cdot y^{6} \cdot z$ , оно, в силу свойства прибавления нуля, будет тождественно равно $\frac{1}{4} \cdot x^{2} \cdot y^{6} \cdot z$ .

Таким образом, краткая запись решения будет такой:

$(- 5 \cdot x^{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot 0 \cdot x \cdot z^{2}) - (x \cdot \frac{2}{3} \cdot y^{5} \cdot z \cdot (- \frac{3}{8}) \cdot x \cdot y) = = (0) - (- \frac{1}{4} \cdot x^{2} \cdot y^{6} \cdot z) = \frac{1}{4} \cdot x^{2} \cdot y^{6} \cdot z$

Ответ: $(- 5 \cdot x^{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot 0 \cdot x \cdot z^{2}) - (x \cdot \frac{2}{3} \cdot y^{5} \cdot z \cdot (- \frac{3}{8}) \cdot x \cdot y) = \frac{1}{4} \cdot x^{2} \cdot y^{6} \cdot z$

Рассмотренные примеры дали в результате сложения и вычитания одночлены. Однако, как уже упоминалось, в общем случае результат действий сложения и вычитания – многочлен.

Пример 3

Заданы одночлены $- 9 \cdot x \cdot z^{3}$ и $- 13 \cdot x \cdot y \cdot z$ . Необходимо найти их сумму.

Решение

Записываем сумму: $(- 9 \cdot x \cdot z^{3}) + (- 13 \cdot x \cdot y \cdot z)$ . Одночлены имеют стандартный вид, поэтому осуществляем раскрытие скобок: $(- 9 \cdot x \cdot z^{3}) + (- 13 \cdot x \cdot y \cdot z) = - 9 \cdot x \cdot z^{3} - 13 \cdot x \cdot y \cdot z$ . Подобных членов в полученном выражении нет, приводить нам нечего, значит полученное выражение и будет являться результатом вычисления: $- 9 \cdot x \cdot z^{3} - 13 \cdot x \cdot y \cdot z$ .

Ответ: $(- 9 \cdot x \cdot z^{3}) + (- 13 \cdot x \cdot y \cdot z) = - 9 \cdot x \cdot z^{3} - 13 \cdot x \cdot y \cdot z$ .

По такой же схеме осуществляется действие сложения или вычитания трех и более одночленов.

Пример 4

Необходимо решить пример: $0, 2 \cdot a^{3} \cdot b^{2} + 7 \cdot a^{3} \cdot b^{2} - 3 \cdot a^{3} \cdot b^{2} - 2, 7 \cdot a^{3} \cdot b^{2}$ .

Решение

Все заданные одночлены имеют стандартный вид и являются подобными. Приведем подобные члены, выполнив сложение и вычитание числовых коэффициентов, а буквенную часть оставляя исходной: $0, 2 \cdot a^{3} \cdot b^{2} + 7 \cdot a^{3} \cdot b^{2} - 3 \cdot a^{3} \cdot b^{2} - 2, 7 \cdot a^{3} \cdot b^{2} = = (0, 2 + 7 - 3 - 2, 7) \cdot a^{3} \cdot b^{2} = 1, 5 \cdot a^{3} \cdot b^{2}$

Ответ: $0, 2 \cdot a^{3} \cdot b^{2} + 7 \cdot a^{3} \cdot b^{2} - 3 \cdot a^{3} \cdot b^{2} - 2, 7 \cdot a^{3} \cdot b^{2} = 1, 5 \cdot a^{3} \cdot b^{2}$ .

Пример 5

Заданы одночлены: $5, - 3 \cdot a, 15 \cdot a, - 0, 5 \cdot x \cdot z^{4}, - 12 \cdot a, - 2$ и $0, 5 \cdot x \cdot z^{4}$ . Необходимо найти их сумму.

Решение

Запишем сумму: $(5) + (- 3 \cdot a) + (15 \cdot a) + (- 0, 5 \cdot x \cdot z^{4}) + (- 12 \cdot a) + (- 2) + (0, 5 \cdot x \cdot z^{4})$ . В результате раскрытия скобок получим: $5 - 3 \cdot a + 15 \cdot a - 0, 5 \cdot x \cdot z^{4} - 12 \cdot a - 2 + 0, 5 \cdot x \cdot z^{4}$ . Сгруппируем подобные слагаемые: $(5 - 2) + (- 3 \cdot a + 15 \cdot a - 12 \cdot a) + (- 0, 5 \cdot x \cdot z^{4} + 0, 5 \cdot x \cdot z^{4})$ и приведем их: $3 + 0 + 0 = 3$

Ответ: $(5) + (- 3 \cdot a) + (15 \cdot a) + (- 0, 5 \cdot x \cdot z^{4}) + (- 12 \cdot a) + (- 2) + (0, 5 \cdot x \cdot z^{4}) = 3$ .