Степенные выражения (выражения со степенями) и их преобразование

Рассмотрим тему преобразования выражений со степенями, но прежде остановимся на ряде преобразований, которые можно проводить с любыми выражениями, в том числе со степенными. Мы научимся раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, работать с основанием и показателем степени, использовать свойства степеней.

Что представляют собой степенные выражения?

В школьном курсе мало кто использует словосочетание «степенные выражения», зато этот термин постоянно встречается в сборниках для подготовки к ЕГЭ. В большинства случаев словосочетанием обозначаются выражения, которые содержат в своих записях степени. Это мы и отразим в нашем определении.

Степенное выражение – это выражение, которое содержит степени.

Приведем несколько примеров степенных выражений, начиная со степени с натуральным показателем и заканчивая степенью с действительным показателем.

Самыми простыми степенными выражениями можно считать степени числа с натуральным показателем: $3^2, 7^5+1, (2+1{)}^5, (-0,1{)}^4, {\left(2\frac{2}{3}\right)}^3, 3·a^2-a+a^2, x^3-1, (a^2{)}^3$. А также степени с нулевым показателем: $5^0, (a+1{)}^0, 3+5^2-3,2^0$. И степени с целыми отрицательными степенями: $\frac{(0,5{)}^2+(0,5{)}^{-2}}{2}$.

Чуть сложнее работать со степенью, имеющей рациональный  и иррациональный показатели: ${264}^{\frac{1}{4}}-3·\sqrt{3}·3^{\frac{1}{2}}, \frac{2^{3,5}·2^{-2}}{2^{-1,5}}, \frac{1}{a^{{\displaystyle \frac{1}{4}}}}·\left(a^{\frac{1}{2}}-2·a^{-\frac{1}{6}}·b^{\frac{1}{2}}\right), x^{\mathrm{\pi }}·x^{1-\mathrm{\pi }}, {\left(2^{\sqrt{3}}\right)}^{\sqrt{3}}+5$.

В качестве показателя может выступать переменная $\sqrt{3^{x-54}}-7·\sqrt{3^{x-58}}$ или логарифм $x^{2·lgx}-5·x^{lgx}$.

С вопросом о том, что такое степенные выражения, мы разобрались. Теперь займемся их преобразованием.

Основные виды преобразований степенных выражений

В первую очередь мы рассмотрим основные тождественные преобразования выражений, которые можно выполнять со степенными выражениями.

Вычислите значение степенного выражения $2^3·(4^2-12)$.

Решение

Все преобразования мы будем проводить с соблюдением порядка выполнения действий. В данном случае начнем мы с выполнения действий в скобках: заменим степень на цифровое значение и вычислим разность двух чисел. Имеем $2^3·(4^2-12)=2^3·(16-12)=2^3·4$.

Нам остается заменить степень $2^3$ ее значением $8$ и вычислить произведение $8·4=32$. Вот наш ответ.

Ответ: $2^3·(4^2-12)=32$.

Упростите выражение со степенями $3·a^4·b^{-7}-1+2·a^4·b^{-7}$.

Решение

Данное нам в условии задачи выражение содержит подобные слагаемые, которые мы можем привести: $3·a^4·b^{-7}-1+2·a^4·b^{-7}=5·a^4·b^{-7}-1$.

Ответ: $3·a^4·b^{-7}-1+2·a^4·b^{-7}=5·a^4·b^{-7}-1$.

Представьте выражение со степенями $9-{\left(b^{3·\mathrm{\pi }-1}\right)}^2$ в виде произведения.

Решение

Представим число $9$ как степень $3^2$ и применим формулу сокращенного умножения:

$$\begin{gathered} 9-{\left(b^{3·\mathrm{\pi }-1}\right)}^2=3^2-{\left(b^{3·\mathrm{\pi }-1}\right)}^2= \\ =\left(3-b^{3·\mathrm{\pi }-1}\right)\left(3+b^{3·\mathrm{\pi }-1}\right) \end{gathered}$$

Ответ: $9-{\left(b^{3·\mathrm{\pi }-1}\right)}^2=\left(3-b^{3·\mathrm{\pi }-1}\right)\left(3+b^{3·\mathrm{\pi }-1}\right)$.

А теперь перейдем к разбору тождественных преобразований, которые могут применяться именно в отношении степенных выражений. 

Работа с основанием и показателем степени

Степень в основании или показателе может иметь и числа, и переменные, и некоторые выражения. Например, $(2+0,3·7{)}^{5-3,7}$ и $(a·(a+1)-a^2{)}^{2·(x+1)}$. Работать с такими записями сложно. Намного проще заменить выражение в основании степени или выражение в показателе тождественно равным выражением.

Проводятся преобразования степени и показателя по известным нам правилам отдельно друг от друга. Самое главное, чтобы в результате преобразований получилось выражение, тождественное исходному.

Цель преобразований – упростить исходное выражение или получить решение задачи. Например, в примере, который мы привели выше, $(2+0,3·7{)}^{5-3,7 }$можно выполнить действия для перехода к степени $4,1^{1,3}$. Раскрыв скобки, мы можем привести подобные слагаемые в основании степени $(a·(a+1)-a^2{)}^{2·(x+1)}$ и получить степенное выражение более простого вида $a^{2·(x+1)}$.

Использование свойств степеней

Свойства степеней, записанные в виде равенств, являются одним из главных инструментов преобразования выражений со степенями. Приведем здесь основные из них, учитывая, что $a$ и $b$ – это любые положительные числа, а $r$ и $s$ - произвольные действительные числа:

• $a^r·a^s=a^{r+s}$;
• $a^r:a^s=a^{r-s}$;
• $(a·b{)}^r=a^r·b^r$;
• $(a:b{)}^r=a^r:b^r$;
• $(a^r{)}^s=a^{r·s}$.

В тех случаях, когда мы имеем дело с натуральными, целыми, положительными показателями степени, ограничения на числа $a$ и $b$ могут быть гораздо менее строгими. Так, например, если рассмотреть равенство $a^m·a^n=a^{m+n}$, где $m$ и $n$ – натуральные числа, то оно будет верно для любых значений $a$, как положительных, так и отрицательных, а также для $a=0$.

Применять свойства степеней без ограничений можно в тех случаях, когда основания степеней положительные или содержат переменные, область допустимых значений которых такова, что на ней основания принимают лишь положительные значения. Фактически, в рамках школьной программы по математике задачей учащегося является выбор подходящего свойства и правильное его применение.

При подготовке к поступлению в Вузы могут встречаться задачи, в которых неаккуратное применение свойств будет приводить к сужению ОДЗ и другим сложностям с решением. В данном разделе мы разберем всего два таких случая. Больше информации по вопросу можно найти в теме «Преобразование выражений с использованием свойств степеней».

Представьте выражение $a^{2,5}·(a^2{)}^{-3}:a^{-5,5}$ в виде степени с основанием $a$.

Решение

Для начала используем свойство возведения в степень и преобразуем по нему второй множитель $(a^2{)}^{-3}$ . Затем используем свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием:

$a^{2,5}·a^{-6}:a^{-5,5}= a^{2,5-6}:a^{-5,5}=a^{-3,5}:a^{-5,5}= a^{-3,5-(-5,5)}=a^2.$

Ответ: $a^{2,5}·(a^2{)}^{-3}:a^{-5,5}=a^2$.

Преобразование степенных выражений согласно свойству степеней может производиться как слева направо, так и в обратном направлении.

Найти значение степенного выражения $3^{\frac{1}{3}}·7^{\frac{1}{3}}·{21}^{\frac{2}{3}}$.

Решение

Если мы применим равенство $(a·b{)}^r=a^r·b^r$, справа налево, то получим произведение вида ${\left(3·7\right)}^{\frac{1}{3}}·{21}^{\frac{2}{3}}$ и дальше ${21}^{\frac{1}{3}}·{21}^{\frac{2}{3}}$. Сложим показатели при умножении степеней с одинаковыми основаниями: ${21}^{\frac{1}{3}}·{21}^{\frac{2}{3}}={21}^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}={21}^1=21$.

Есть еще один способ провести преобразования:

$$\begin{gathered} 3^{\frac{1}{3}}·7^{\frac{1}{3}}·{21}^{\frac{2}{3}}=3^{\frac{1}{3}}·7^{\frac{1}{3}}·(3·7{)}^{\frac{2}{3}}=3^{\frac{1}{3}}·7^{\frac{1}{3}}·3^{\frac{2}{3}}·7^{\frac{2}{3}}= \\ =3^{\frac{1}{3}}·3^{\frac{2}{3}}·7^{\frac{1}{3}}·7^{\frac{2}{3}}=3^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}·7^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}=3^1·7^1=21 \end{gathered}$$

Ответ: $3^{\frac{1}{3}}·7^{\frac{1}{3}}·{21}^{\frac{2}{3}}=3^1·7^1=21$

 

Дано степенное выражение $a^{1,5}-a^{0,5}-6$, введите новую переменную $t=a^{0,5}$.

Решение

Представим степень $a^{1,5}$ как $a^{0,5·3}$ . Используем свойство степени в степени $(a^r{)}^s=a^{r·s}$ справа налево и получим $(a^{0,5}{)}^3: a^{1,5}-a^{0,5}-6=(a^{0,5}{)}^3-a^{0,5}-6$. В полученное выражение можно без проблем вводить новую переменную $t=a^{0,5}$: получаем $t^3-t-6$.

Ответ: $t^3-t-6$.

Преобразование дробей, содержащих степени

Обычно мы имеем дело с двумя вариантами степенных выражений с дробями: выражение представляет собой дробь со степенью или содержит такую дробь. К таким выражениям применимы все основные преобразования дробей без ограничений. Их можно сокращать, приводить к новому знаменателю, работать отдельно с числителем и знаменателем. Проиллюстрируем это примерами.

Упростить степенное выражение $\frac{3·5^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}·\left(5^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}-5^{-{\displaystyle \frac{2}{3}}}\right)}{1+2·x^2-3-3·x^2}$.

Решение

Мы имеем дело с дробью, поэтому проведем преобразования и в числителе, и в знаменателе:

$$\begin{gathered} \frac{3·5^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}·\left(5^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}-5^{-{\displaystyle \frac{2}{3}}}\right)}{1+2·x^2-3-3·x^2}=\frac{3·5^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}·5^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}-3·5^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}·5^{-{\displaystyle \frac{2}{3}}}}{-2-x^2}= \\ =\frac{3·5^{{\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}}-3·5^{{\displaystyle \frac{2}{3}}+\left(-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}}{-2-x^2}=\frac{3·5^1-3·5^0}{-2-x^2} \end{gathered}$$

Поместим минус перед дробью для того, чтобы изменить знак знаменателя: $\frac{12}{-2-x^2}=-\frac{12}{2+x^2}$

Ответ:  $\frac{3·5^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}·\left(5^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}-5^{-{\displaystyle \frac{2}{3}}}\right)}{1+2·x^2-3-3·x^2}=-\frac{12}{2+x^2}$

Дроби, содержащие степени, приводятся к новому знаменателю точно также, как и рациональные дроби. Для этого необходимо найти дополнительный множитель и умножить на него числитель и знаменатель дроби. Подбирать дополнительный множитель необходимо таким образом, чтобы он не обращался в нуль ни при каких значениях переменных из ОДЗ переменных для исходного выражения.

 

Приведите дроби к новому знаменателю: а) $\frac{a+1}{a^{0,7}}$ к знаменателю $a$, б) $\frac{1}{x^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}-2·x^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}·y^{{\displaystyle \frac{1}{6}}}+4·y^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}}$ к знаменателю $x+8·y^{\frac{1}{2}}$.

Решение

а) Подберем множитель, который позволит нам произвести приведение к новому знаменателю.$a^{0,7}·a^{0,3}=a^{0,7+0,3}=a$, следовательно, в качестве дополнительного множителя мы возьмем $a^{0,3}$. Область допустимых значений переменной а включает множество всех положительных действительных чисел. В этой области степень $a^{0,3}$ не обращается в нуль.

Выполним умножение числителя и знаменателя дроби на $a^{0,3}$:

$\frac{a+1}{a^{0,7}}=\frac{\left(a+1\right){\displaystyle ·}{\displaystyle {{\displaystyle a}}^{0,3}}}{a^{0,7}·a^{0,3}}=\frac{\left(a+1\right){\displaystyle ·}{\displaystyle {{\displaystyle a}}^{0,3}}}{a}$

б) Обратим внимание на знаменатель:

$$\begin{gathered} x^{\frac{2}{3}}-2·x^{\frac{1}{3}}·y^{\frac{1}{6}}+4·y^{\frac{1}{3}}= \\ ={\left(x^{\frac{1}{3}}\right)}^2-x^{\frac{1}{3}}·\left(2·y^{\frac{1}{6}}\right)+{\left(2·y^{\frac{1}{6}}\right)}^2 \end{gathered}$$

Умножим это выражение на $x^{\frac{1}{3}}+2·y^{\frac{1}{6}}$, получим сумму кубов $x^{\frac{1}{3}}$ и $2·y^{\frac{1}{6}}$, т.е. $x+8·y^{\frac{1}{2}}$. Это наш новый знаменатель, к которому нам надо привести исходную дробь.
 

Так мы нашли дополнительный множитель $x^{\frac{1}{3}}+2·y^{\frac{1}{6}}$. На области допустимых значений переменных $x$ и $y$ выражение $x^{\frac{1}{3}}+2·y^{\frac{1}{6}}$ не обращается в нуль, поэтому, мы можем умножить на него числитель и знаменатель дроби:
$$\begin{gathered} \frac{1}{x^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}-2·x^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}·y^{{\displaystyle \frac{1}{6}}}+4·y^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}}= \\ =\frac{x^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}+2·y^{{\displaystyle \frac{1}{6}}}}{\left(x^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}+2·y^{{\displaystyle \frac{1}{6}}}\right){\displaystyle \left(x^{\frac{2}{3}}-2·x^{\frac{1}{3}}·y^{\frac{1}{6}}+4·y^{\frac{1}{3}}\right)}}= \\ =\frac{x^{\frac{1}{3}}+2·y^{\frac{1}{6}}}{{\displaystyle {\left(x^{\frac{1}{3}}\right)}^3}{\displaystyle +}{\displaystyle {{\displaystyle \left(2·y^{\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 6}}}\right)}}^3}}=\frac{x^{\frac{1}{3}}+2·y^{\frac{1}{6}}}{x+8·y^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}} \end{gathered}$$

Ответ: а) $\frac{a+1}{a^{0,7}}=\frac{\left(a+1\right){\displaystyle ·}{\displaystyle a^{0,3}}}{a}$ , б) $\frac{1}{x^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}-2·x^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}·y^{{\displaystyle \frac{1}{6}}}+4·y^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}}=\frac{x^{\frac{1}{3}}+2·y^{\frac{1}{6}}}{x+8·y^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}$.  

Сократите дробь: а) $\frac{30·x^{\sqrt{3}}·(x^{0,5}+1)·{\left(x+2·x^{1{\displaystyle \frac{1}{3}}}-5\right)}^3}{45·{\left(x^{0,5}+1\right)}^2·{\left(x+2·x^{1{\displaystyle \frac{1}{3}}}-5\right)}^3}$, б) $\frac{a^{{\displaystyle \frac{1}{4}}}-b^{{\displaystyle \frac{1}{4}}}}{a^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}-b^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}$.

Решение

а) Используем наибольший общий знаменатель (НОД), на который можно сократить числитель и знаменатель. Для чисел $30$ и $45$ это $15$. Также мы можем произвести сокращение на $x^{0,5}+1$ и на ${\left(x+2·x^{1\frac{1}{3}}-5\right)}^3$.

Получаем:

$\frac{30·x^{\sqrt{3}}·(x^{0,5}+1)·{\left(x+2·x^{1{\displaystyle \frac{1}{3}}}-5\right)}^3}{45·{\left(x^{0,5}+1\right)}^2·{\left(x+2·x^{1{\displaystyle \frac{1}{3}}}-5\right)}^3}=\frac{2·x^{\sqrt{3}}}{3·(x^{0,5}+1)}$

б) Здесь наличие одинаковых множителей неочевидно. Придется выполнить некоторые преобразования для того, чтобы получить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Для этого разложим знаменатель, используя формулу разности квадратов:

$$\begin{gathered} \frac{a^{{\displaystyle \frac{1}{4}}}-b^{{\displaystyle \frac{1}{4}}}}{a^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}-b^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}=\frac{a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}}}{{\left(a^{\frac{1}{4}}\right)}^2-{\left(b^{\frac{1}{2}}\right)}^2}= \\ =\frac{a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}}}{\left(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}}\right)·\left(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}}\right)}=\frac{1}{a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}}} \end{gathered}$$

Ответ:  а)$\frac{30·x^{\sqrt{3}}·(x^{0,5}+1)·{\left(x+2·x^{1{\displaystyle \frac{1}{3}}}-5\right)}^3}{45·{\left(x^{0,5}+1\right)}^2·{\left(x+2·x^{1{\displaystyle \frac{1}{3}}}-5\right)}^3}=\frac{2·x^{\sqrt{3}}}{3·(x^{0,5}+1)}$, б) $\frac{a^{{\displaystyle \frac{1}{4}}}-b^{{\displaystyle \frac{1}{4}}}}{a^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}-b^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}=\frac{1}{a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}}}$.

К числу основных действий с дробями относится приведение к новому знаменателю и сокращение дробей. Оба действия выполняют с соблюдением ряда правил. При сложении и вычитании дробей сначала дроби приводятся к общему знаменателю, после чего проводятся действия (сложение или вычитание) с числителями. Знаменатель остается прежним. Результатом наших действий является новая дробь, числитель которой является произведением числителей, а знаменатель есть произведение знаменателей.

Выполните действия $\left(\frac{x^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+1}{x^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}-1}-\frac{x^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}-1}{x^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+1}\right)·\frac{1}{x^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}$.

Решение

Начнем с вычитания дробей, которые располагаются в скобках. Приведем их к общему знаменателю:

$\left(x^{\frac{1}{2}}-1\right)·\left(x^{\frac{1}{2}}+1\right)$

Вычтем числители:

$$\begin{gathered} \left(\frac{x^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+1}{x^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}-1}-\frac{x^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}-1}{x^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+1}\right)·\frac{1}{x^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}= \\ =\left(\frac{\left(x^{\frac{1}{2}}+1\right)·\left(x^{\frac{1}{2}}+1\right)}{\left(x^{\frac{1}{2}}-1\right)·\left(x^{\frac{1}{2}}+1\right)}-\frac{\left(x^{\frac{1}{2}}-1\right)·\left(x^{\frac{1}{2}}-1\right)}{\left(x^{\frac{1}{2}}+1\right)·\left(x^{\frac{1}{2}}-1\right)}\right)·\frac{1}{x^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}= \\ =\frac{{\left(x^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+1\right)}^2-{\left(x^{\frac{1}{2}}-1\right)}^2}{\left(x^{\frac{1}{2}}-1\right)·\left(x^{\frac{1}{2}}+1\right)}·\frac{1}{x^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}= \\ =\frac{{\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^2+2·x^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+1-\left({\left(x^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}\right)}^2-2·x^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+1\right)}{\left(x^{\frac{1}{2}}-1\right)·\left(x^{\frac{1}{2}}+1\right)}·\frac{1}{x^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}= \\ =\frac{4·x^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}{\left(x^{\frac{1}{2}}-1\right)·\left(x^{\frac{1}{2}}+1\right)}·\frac{1}{x^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}} \end{gathered}$$

Теперь умножаем дроби:

$$\begin{gathered} \frac{4·x^{\frac{1}{2}}}{\left(x^{\frac{1}{2}}-1\right)·\left(x^{\frac{1}{2}}+1\right)}·\frac{1}{x^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}= \\ =\frac{4·x^{\frac{1}{2}}}{\left(x^{\frac{1}{2}}-1\right)·\left(x^{\frac{1}{2}}+1\right)·x^{\frac{1}{2}}} \end{gathered}$$

Произведем сокращение на степень $x^{\frac{1}{2}}$, получим $\frac{4}{\left(x^{\frac{1}{2}}-1\right)·\left(x^{\frac{1}{2}}+1\right)}$.

Дополнительно можно упростить степенное выражение в знаменателе, используя формулу разности квадратов: квадратов: $\frac{4}{\left(x^{\frac{1}{2}}-1\right)·\left(x^{\frac{1}{2}}+1\right)}=\frac{4}{{\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^2-1^2}=\frac{4}{x-1}$.

Ответ: $\left(\frac{x^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+1}{x^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}-1}-\frac{x^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}-1}{x^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+1}\right)·\frac{1}{x^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}=\frac{4}{x-1}$

Упростите степенное выражение $\frac{x^{{\displaystyle \frac{3}{4}}}·{\left(x^{2,7}+1\right)}^2}{x^{-{\displaystyle \frac{5}{8}}}·{\left(x^{2,7}+1\right)}^3}$.
Решение

Мы можем произвести сокращение дроби на $(x^{2,7}+1{)}^2$. Получаем дробь $\frac{x^{{\displaystyle \frac{3}{4}}}}{x^{-{\displaystyle \frac{5}{8}}}·\left(x^{2,7}+1\right)}$.

Продолжим преобразования степеней икса $\frac{x^{{\displaystyle \frac{3}{4}}}}{x^{-{\displaystyle \frac{5}{8}}}}·\frac{1}{x^{2,7}+1}$. Теперь можно использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями:  $\frac{x^{{\displaystyle \frac{3}{4}}}}{x^{-{\displaystyle \frac{5}{8}}}}·\frac{1}{x^{2,7}+1}=x^{\frac{3}{4}-\left(-\frac{5}{8}\right)}·\frac{1}{x^{2,7}+1}=x^{1\frac{1}{8}}·\frac{1}{x^{2,7}+1}$.

Переходим от последнего произведения к дроби $\frac{x^{1{\displaystyle \frac{3}{8}}}}{x^{2,7}+1}$.

Ответ: $\frac{x^{{\displaystyle \frac{3}{4}}}·{\left(x^{2,7}+1\right)}^2}{x^{-{\displaystyle \frac{5}{8}}}·{\left(x^{2,7}+1\right)}^3}=\frac{x^{1{\displaystyle \frac{3}{8}}}}{x^{2,7}+1}$.

Множители с отрицательными показателями степени в большинстве случаев удобнее переносить из числителя в знаменатель и обратно, изменяя знак показателя. Это действие позволяет упростить дальнейшее решение. Приведем пример: степенное выражение $\frac{(x+1{)}^{-0,2}}{3·x^{-1}}$ можно заменить  на $\frac{x}{3·(x+1{)}^{0,2}}$.

Преобразование выражений с корнями и степенями

В задачах встречаются степенные выражения, которые содержат не только степени с дробными показателями, но и корни. Такие выражения желательно привести только к корням или только к степеням. Переход к степеням предпочтительнее, так как с ними проще работать. Такой переход является особенно предпочтительным, когда ОДЗ переменных для исходного выражения позволяет заменить корни степенями без необходимости обращаться к модулю или разбивать ОДЗ на несколько промежутков.

Представьте выражение $x^{\frac{1}{9}}·\sqrt[6]{x·\sqrt[3]{x}}$ в виде степени.

Решение

Область допустимых значений переменной $x$ определяется двумя неравенствами  $x\ge 0$  и $x·\sqrt[3]{x}\ge 0$ ,  которые задают множество $[0, +\infty )$.

На этом множестве мы имеем право перейти от корней к степеням: 

$x^{\frac{1}{9}}·\sqrt[6]{x·\sqrt[3]{x}}=x^{\frac{1}{9}}·{\left(x·x^{\frac{1}{3}}\right)}^{\frac{1}{6}}$

Используя свойства степеней, упростим полученное степенное выражение.

$$\begin{gathered} x^{\frac{1}{9}}·{\left(x·x^{\frac{1}{3}}\right)}^{\frac{1}{6}}=x^{\frac{1}{9}}·x^{\frac{1}{6}}·{\left(x^{\frac{1}{3}}\right)}^{\frac{1}{6}}=x^{\frac{1}{9}}·x^{\frac{1}{6}}·x^{\frac{1·1}{3·6}}= \\ =x^{\frac{1}{9}}·x^{\frac{1}{6}}·x^{\frac{1}{18}}=x^{\frac{1}{9}+\frac{1}{6}+\frac{1}{18}}=x^{\frac{1}{3}} \end{gathered}$$

Ответ: $x^{\frac{1}{9}}·\sqrt[6]{x·\sqrt[3]{x}}=x^{\frac{1}{3}}$.

Преобразование степеней с переменными в показателе

Данные преобразования достаточно просто произвести, если грамотно использовать свойства степени. Например, $5^{2·x+1}-3·5^x·7^x-14·7^{2·x-1}=0$.

Мы можем заменить произведением степени, в показателях которых находится сумма некоторой переменной и числа. В левой части это можно проделать с первым и последним слагаемыми левой части выражения:

$$\begin{gathered} 5^2·x·5^1-3·5^x·7^x-14·7^{2·x}·7^{-1}=0, \\ 5·5^{2·x}-3·5^x·7^x-2·7^{2·x}=0. \end{gathered}$$

Теперь поделим обе части равенства на $7^{2·x}$. Это выражение на ОДЗ переменной $x$ принимает только положительные значения:

$$\begin{gathered} \frac{5·5-3·5^x·7^x-2·7^{2·x}}{7^{2·x}}=\frac{0}{7^{2·x}}, \\ 5·\frac{5^{2·x}}{7^{2·x}}-3·\frac{5^x·7^x}{7^{2·x}}-2·\frac{7^{2·x}}{7^{2·x}}=0, \\ 5·\frac{5^{2·x}}{7^{2·x}}-3·\frac{5^x·7^x}{7^x·7^x}-2·\frac{7^{2·x}}{7^{2·x}}=0 \end{gathered}$$

Сократим дроби со степенями, получим: $5·\frac{5^{2·x}}{7^{2·x}}-3·\frac{5^x}{7^x}-2=0$.

Наконец, отношение степеней с одинаковыми показателями заменяется степенями отношений, что приводит к уравнению $5·{\left(\frac{5}{7}\right)}^{2·x}-3·{\left(\frac{5}{7}\right)}^x-2=0$ , которое равносильно $5·{\left({\left(\frac{5}{7}\right)}^x\right)}^2-3·{\left(\frac{5}{7}\right)}^x-2=0$.

Введем новую переменную $t={\left(\frac{5}{7}\right)}^x$, что сводит решение исходного показательного уравнения к решению квадратного уравнения $5·t^2-3·t-2=0$.

Преобразование выражений со степенями и логарифмами

Выражения, содержащие с записи степени и логарифмы, также встречаются в задачах. Примером таких выражений могут служить: ${\left(\frac{1}{4}\right)}^{1-5·{\log }_{2}3}$ или ${\log }_{\frac{3}{\sqrt{27}}}9+5^{(1-{\log }_{3}5)·{\log }_{5}3}$. Преобразование подобных выражений проводится с использованием разобранных выше подходов и свойств логарифмов, которые мы подробно разобрали в теме «Преобразование логарифмических выражений».