Степенные выражения (выражения со степенями) и их преобразование

10 октября 2023
16 минут
15 513

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Рассмотрим тему преобразования выражений со степенями, но прежде остановимся на ряде преобразований, которые можно проводить с любыми выражениями, в том числе со степенными. Мы научимся раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, работать с основанием и показателем степени, использовать свойства степеней.

Что представляют собой степенные выражения?

В школьном курсе мало кто использует словосочетание «степенные выражения», зато этот термин постоянно встречается в сборниках для подготовки к ЕГЭ. В большинства случаев словосочетанием обозначаются выражения, которые содержат в своих записях степени. Это мы и отразим в нашем определении.

Определение 1

Степенное выражение – это выражение, которое содержит степени.

Приведем несколько примеров степенных выражений, начиная со степени с натуральным показателем и заканчивая степенью с действительным показателем.

Самыми простыми степенными выражениями можно считать степени числа с натуральным показателем: $3^{2}, 7^{5} + 1, (2 + 1)^{5}, (- 0, 1)^{4}, {(2 \frac{2}{3})}^{3}, 3 \cdot a^{2} - a + a^{2}, x^{3} - 1, (a^{2})^{3}$ . А также степени с нулевым показателем: $5^{0}, (a + 1)^{0}, 3 + 5^{2} - 3, 2^{0}$ . И степени с целыми отрицательными степенями: $\frac{(0, 5)^{2} + (0, 5)^{- 2}}{2}$ .

Чуть сложнее работать со степенью, имеющей рациональный и иррациональный показатели: $264^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot \sqrt{3} \cdot 3^{\frac{1}{2}}, \frac{2^{3, 5} \cdot 2^{- 2}}{2^{- 1, 5}}, \frac{1}{a^{\frac{1}{4}}} \cdot (a^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot a^{- \frac{1}{6}} \cdot b^{\frac{1}{2}}), x^{π} \cdot x^{1 - π}, {(2^{\sqrt{3}})}^{\sqrt{3}} + 5$ .

В качестве показателя может выступать переменная $\sqrt{3^{x - 54}} - 7 \cdot \sqrt{3^{x - 58}}$ или логарифм $x^{2 \cdot l g x} - 5 \cdot x^{l g x}$ .

С вопросом о том, что такое степенные выражения, мы разобрались. Теперь займемся их преобразованием.

Основные виды преобразований степенных выражений

В первую очередь мы рассмотрим основные тождественные преобразования выражений, которые можно выполнять со степенными выражениями.

Пример 1

Вычислите значение степенного выражения $2^{3} \cdot (4^{2} - 12)$ .

Решение

Все преобразования мы будем проводить с соблюдением порядка выполнения действий. В данном случае начнем мы с выполнения действий в скобках: заменим степень на цифровое значение и вычислим разность двух чисел. Имеем $2^{3} \cdot (4^{2} - 12) = 2^{3} \cdot (16 - 12) = 2^{3} \cdot 4$ .

Нам остается заменить степень $2^{3}$ ее значением $8$ и вычислить произведение $8 \cdot 4 = 32$ . Вот наш ответ.

Ответ: $2^{3} \cdot (4^{2} - 12) = 32$ .

Пример 2

Упростите выражение со степенями $3 \cdot a^{4} \cdot b^{- 7} - 1 + 2 \cdot a^{4} \cdot b^{- 7}$ .

Решение

Данное нам в условии задачи выражение содержит подобные слагаемые, которые мы можем привести: $3 \cdot a^{4} \cdot b^{- 7} - 1 + 2 \cdot a^{4} \cdot b^{- 7} = 5 \cdot a^{4} \cdot b^{- 7} - 1$ .

Ответ: $3 \cdot a^{4} \cdot b^{- 7} - 1 + 2 \cdot a^{4} \cdot b^{- 7} = 5 \cdot a^{4} \cdot b^{- 7} - 1$ .

Пример 3

Представьте выражение со степенями $9 - {(b^{3 \cdot π - 1})}^{2}$ в виде произведения.

Решение

Представим число $9$ как степень $3^{2}$ и применим формулу сокращенного умножения:

$9 - {(b^{3 \cdot π - 1})}^{2} = 3^{2} - {(b^{3 \cdot π - 1})}^{2} = = (3 - b^{3 \cdot π - 1}) (3 + b^{3 \cdot π - 1})$

Ответ: $9 - {(b^{3 \cdot π - 1})}^{2} = (3 - b^{3 \cdot π - 1}) (3 + b^{3 \cdot π - 1})$ .

А теперь перейдем к разбору тождественных преобразований, которые могут применяться именно в отношении степенных выражений.

Работа с основанием и показателем степени

Степень в основании или показателе может иметь и числа, и переменные, и некоторые выражения. Например, $(2 + 0, 3 \cdot 7)^{5 - 3, 7}$ и $(a \cdot (a + 1) - a^{2})^{2 \cdot (x + 1)}$ . Работать с такими записями сложно. Намного проще заменить выражение в основании степени или выражение в показателе тождественно равным выражением.

Проводятся преобразования степени и показателя по известным нам правилам отдельно друг от друга. Самое главное, чтобы в результате преобразований получилось выражение, тождественное исходному.

Цель преобразований – упростить исходное выражение или получить решение задачи. Например, в примере, который мы привели выше, $(2 + 0, 3 \cdot 7)^{5 - 3, 7}$ можно выполнить действия для перехода к степени $4, 1^{1, 3}$ . Раскрыв скобки, мы можем привести подобные слагаемые в основании степени $(a \cdot (a + 1) - a^{2})^{2 \cdot (x + 1)}$ и получить степенное выражение более простого вида $a^{2 \cdot (x + 1)}$ .

Использование свойств степеней

Свойства степеней, записанные в виде равенств, являются одним из главных инструментов преобразования выражений со степенями. Приведем здесь основные из них, учитывая, что $a$ и $b$ – это любые положительные числа, а $r$ и $s$ - произвольные действительные числа:

Определение 2

$a^{r} \cdot a^{s} = a^{r + s}$ ;
$a^{r} : a^{s} = a^{r - s}$ ;
$(a \cdot b)^{r} = a^{r} \cdot b^{r}$ ;
$(a : b)^{r} = a^{r} : b^{r}$ ;
$(a^{r})^{s} = a^{r \cdot s}$ .

В тех случаях, когда мы имеем дело с натуральными, целыми, положительными показателями степени, ограничения на числа $a$ и $b$ могут быть гораздо менее строгими. Так, например, если рассмотреть равенство $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ , где $m$ и $n$ – натуральные числа, то оно будет верно для любых значений $a$ , как положительных, так и отрицательных, а также для $a = 0$ .

Применять свойства степеней без ограничений можно в тех случаях, когда основания степеней положительные или содержат переменные, область допустимых значений которых такова, что на ней основания принимают лишь положительные значения. Фактически, в рамках школьной программы по математике задачей учащегося является выбор подходящего свойства и правильное его применение.

При подготовке к поступлению в Вузы могут встречаться задачи, в которых неаккуратное применение свойств будет приводить к сужению ОДЗ и другим сложностям с решением. В данном разделе мы разберем всего два таких случая. Больше информации по вопросу можно найти в теме «Преобразование выражений с использованием свойств степеней».

Пример 4

Представьте выражение $a^{2, 5} \cdot (a^{2})^{- 3} : a^{- 5, 5}$ в виде степени с основанием $a$ .

Решение

Для начала используем свойство возведения в степень и преобразуем по нему второй множитель $(a^{2})^{- 3}$ . Затем используем свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием:

$a^{2, 5} \cdot a^{- 6} : a^{- 5, 5} = a^{2, 5 - 6} : a^{- 5, 5} = a^{- 3, 5} : a^{- 5, 5} = a^{- 3, 5 - (- 5, 5)} = a^{2} .$

Ответ: $a^{2, 5} \cdot (a^{2})^{- 3} : a^{- 5, 5} = a^{2}$ .

Преобразование степенных выражений согласно свойству степеней может производиться как слева направо, так и в обратном направлении.

Пример 5

Найти значение степенного выражения $3^{\frac{1}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{3}} \cdot 21^{\frac{2}{3}}$ .

Решение

Если мы применим равенство $(a \cdot b)^{r} = a^{r} \cdot b^{r}$ , справа налево, то получим произведение вида ${(3 \cdot 7)}^{\frac{1}{3}} \cdot 21^{\frac{2}{3}}$ и дальше $21^{\frac{1}{3}} \cdot 21^{\frac{2}{3}}$ . Сложим показатели при умножении степеней с одинаковыми основаниями: $21^{\frac{1}{3}} \cdot 21^{\frac{2}{3}} = 21^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} = 21^{1} = 21$ .

Есть еще один способ провести преобразования:

$3^{\frac{1}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{3}} \cdot 21^{\frac{2}{3}} = 3^{\frac{1}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{3}} \cdot (3 \cdot 7)^{\frac{2}{3}} = 3^{\frac{1}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}} \cdot 7^{\frac{2}{3}} = = 3^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{3}} \cdot 7^{\frac{2}{3}} = 3^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} = 3^{1} \cdot 7^{1} = 21$

Ответ: $3^{\frac{1}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{3}} \cdot 21^{\frac{2}{3}} = 3^{1} \cdot 7^{1} = 21$

Пример 6

Дано степенное выражение $a^{1, 5} - a^{0, 5} - 6$ , введите новую переменную $t = a^{0, 5}$ .

Решение

Представим степень $a^{1, 5}$ как $a^{0, 5 \cdot 3}$ . Используем свойство степени в степени $(a^{r})^{s} = a^{r \cdot s}$ справа налево и получим $(a^{0, 5})^{3} : a^{1, 5} - a^{0, 5} - 6 = (a^{0, 5})^{3} - a^{0, 5} - 6$ . В полученное выражение можно без проблем вводить новую переменную $t = a^{0, 5}$ : получаем $t^{3} - t - 6$ .

Ответ: $t^{3} - t - 6$ .

Преобразование дробей, содержащих степени

Обычно мы имеем дело с двумя вариантами степенных выражений с дробями: выражение представляет собой дробь со степенью или содержит такую дробь. К таким выражениям применимы все основные преобразования дробей без ограничений. Их можно сокращать, приводить к новому знаменателю, работать отдельно с числителем и знаменателем. Проиллюстрируем это примерами.

Пример 7

Упростить степенное выражение $\frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} \cdot (5^{\frac{1}{3}} - 5^{- \frac{2}{3}})}{1 + 2 \cdot x^{2} - 3 - 3 \cdot x^{2}}$ .

Решение

Мы имеем дело с дробью, поэтому проведем преобразования и в числителе, и в знаменателе:

$\frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} \cdot (5^{\frac{1}{3}} - 5^{- \frac{2}{3}})}{1 + 2 \cdot x^{2} - 3 - 3 \cdot x^{2}} = \frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{- \frac{2}{3}}}{- 2 - x^{2}} = = \frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} - 3 \cdot 5^{\frac{2}{3} + (- \frac{2}{3})}}{- 2 - x^{2}} = \frac{3 \cdot 5^{1} - 3 \cdot 5^{0}}{- 2 - x^{2}}$

Поместим минус перед дробью для того, чтобы изменить знак знаменателя: $\frac{12}{- 2 - x^{2}} = - \frac{12}{2 + x^{2}}$

Ответ: $\frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} \cdot (5^{\frac{1}{3}} - 5^{- \frac{2}{3}})}{1 + 2 \cdot x^{2} - 3 - 3 \cdot x^{2}} = - \frac{12}{2 + x^{2}}$

Дроби, содержащие степени, приводятся к новому знаменателю точно также, как и рациональные дроби. Для этого необходимо найти дополнительный множитель и умножить на него числитель и знаменатель дроби. Подбирать дополнительный множитель необходимо таким образом, чтобы он не обращался в нуль ни при каких значениях переменных из ОДЗ переменных для исходного выражения.

Пример 8

Приведите дроби к новому знаменателю: а) $\frac{a + 1}{a^{0, 7}}$ к знаменателю $a$ , б) $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot y^{\frac{1}{6}} + 4 \cdot y^{\frac{1}{3}}}$ к знаменателю $x + 8 \cdot y^{\frac{1}{2}}$ .

Решение

а) Подберем множитель, который позволит нам произвести приведение к новому знаменателю. $a^{0, 7} \cdot a^{0, 3} = a^{0, 7 + 0, 3} = a$ , следовательно, в качестве дополнительного множителя мы возьмем $a^{0, 3}$ . Область допустимых значений переменной а включает множество всех положительных действительных чисел. В этой области степень $a^{0, 3}$ не обращается в нуль.

Выполним умножение числителя и знаменателя дроби на $a^{0, 3}$ :

$\frac{a + 1}{a^{0, 7}} = \frac{(a + 1) \cdot a^{0, 3}}{a^{0, 7} \cdot a^{0, 3}} = \frac{(a + 1) \cdot a^{0, 3}}{a}$

б) Обратим внимание на знаменатель:

$x^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot y^{\frac{1}{6}} + 4 \cdot y^{\frac{1}{3}} = = {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - x^{\frac{1}{3}} \cdot (2 \cdot y^{\frac{1}{6}}) + {(2 \cdot y^{\frac{1}{6}})}^{2}$

Умножим это выражение на $x^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot y^{\frac{1}{6}}$ , получим сумму кубов $x^{\frac{1}{3}}$ и $2 \cdot y^{\frac{1}{6}}$ , т.е. $x + 8 \cdot y^{\frac{1}{2}}$ . Это наш новый знаменатель, к которому нам надо привести исходную дробь.

Так мы нашли дополнительный множитель $x^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot y^{\frac{1}{6}}$ . На области допустимых значений переменных $x$ и $y$ выражение $x^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot y^{\frac{1}{6}}$ не обращается в нуль, поэтому, мы можем умножить на него числитель и знаменатель дроби:
$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot y^{\frac{1}{6}} + 4 \cdot y^{\frac{1}{3}}} = = \frac{x^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot y^{\frac{1}{6}}}{(x^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot y^{\frac{1}{6}}) (x^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot y^{\frac{1}{6}} + 4 \cdot y^{\frac{1}{3}})} = = \frac{x^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot y^{\frac{1}{6}}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + {(2 \cdot y^{\frac{1}{6}})}^{3}} = \frac{x^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot y^{\frac{1}{6}}}{x + 8 \cdot y^{\frac{1}{2}}}$

Ответ: а) $\frac{a + 1}{a^{0, 7}} = \frac{(a + 1) \cdot a^{0, 3}}{a}$ , б) $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot y^{\frac{1}{6}} + 4 \cdot y^{\frac{1}{3}}} = \frac{x^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot y^{\frac{1}{6}}}{x + 8 \cdot y^{\frac{1}{2}}}$ .

Пример 9

Сократите дробь: а) $\frac{30 \cdot x^{\sqrt{3}} \cdot (x^{0, 5} + 1) \cdot {(x + 2 \cdot x^{1 \frac{1}{3}} - 5)}^{3}}{45 \cdot {(x^{0, 5} + 1)}^{2} \cdot {(x + 2 \cdot x^{1 \frac{1}{3}} - 5)}^{3}}$ , б) $\frac{a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}$ .

Решение

а) Используем наибольший общий знаменатель (НОД), на который можно сократить числитель и знаменатель. Для чисел $30$ и $45$ это $15$ . Также мы можем произвести сокращение на $x^{0, 5} + 1$ и на ${(x + 2 \cdot x^{1 \frac{1}{3}} - 5)}^{3}$ .

Получаем:

$\frac{30 \cdot x^{\sqrt{3}} \cdot (x^{0, 5} + 1) \cdot {(x + 2 \cdot x^{1 \frac{1}{3}} - 5)}^{3}}{45 \cdot {(x^{0, 5} + 1)}^{2} \cdot {(x + 2 \cdot x^{1 \frac{1}{3}} - 5)}^{3}} = \frac{2 \cdot x^{\sqrt{3}}}{3 \cdot (x^{0, 5} + 1)}$

б) Здесь наличие одинаковых множителей неочевидно. Придется выполнить некоторые преобразования для того, чтобы получить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Для этого разложим знаменатель, используя формулу разности квадратов:

$\frac{a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} = \frac{a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}}{{(a^{\frac{1}{4}})}^{2} - {(b^{\frac{1}{2}})}^{2}} = = \frac{a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}}{(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}) \cdot (a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}})} = \frac{1}{a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}}$

Ответ: а) $\frac{30 \cdot x^{\sqrt{3}} \cdot (x^{0, 5} + 1) \cdot {(x + 2 \cdot x^{1 \frac{1}{3}} - 5)}^{3}}{45 \cdot {(x^{0, 5} + 1)}^{2} \cdot {(x + 2 \cdot x^{1 \frac{1}{3}} - 5)}^{3}} = \frac{2 \cdot x^{\sqrt{3}}}{3 \cdot (x^{0, 5} + 1)}$ , б) $\frac{a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}}$ .

К числу основных действий с дробями относится приведение к новому знаменателю и сокращение дробей. Оба действия выполняют с соблюдением ряда правил. При сложении и вычитании дробей сначала дроби приводятся к общему знаменателю, после чего проводятся действия (сложение или вычитание) с числителями. Знаменатель остается прежним. Результатом наших действий является новая дробь, числитель которой является произведением числителей, а знаменатель есть произведение знаменателей.

Пример 10

Выполните действия $(\frac{x^{\frac{1}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{2}} - 1} - \frac{x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}} + 1}) \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

Решение

Начнем с вычитания дробей, которые располагаются в скобках. Приведем их к общему знаменателю:

$(x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot (x^{\frac{1}{2}} + 1)$

Вычтем числители:

$(\frac{x^{\frac{1}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{2}} - 1} - \frac{x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}} + 1}) \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = = (\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \cdot (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{(x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot (x^{\frac{1}{2}} + 1)} - \frac{(x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot (x^{\frac{1}{2}} - 1)}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \cdot (x^{\frac{1}{2}} - 1)}) \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = = \frac{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2} - {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{(x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot (x^{\frac{1}{2}} + 1)} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = = \frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + 1 - ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + 1)}{(x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot (x^{\frac{1}{2}} + 1)} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = = \frac{4 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot (x^{\frac{1}{2}} + 1)} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Теперь умножаем дроби:

$\frac{4 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot (x^{\frac{1}{2}} + 1)} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = = \frac{4 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot (x^{\frac{1}{2}} + 1) \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Произведем сокращение на степень $x^{\frac{1}{2}}$ , получим $\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$ .

Дополнительно можно упростить степенное выражение в знаменателе, используя формулу разности квадратов: квадратов: $\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot (x^{\frac{1}{2}} + 1)} = \frac{4}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1^{2}} = \frac{4}{x - 1}$ .

Ответ: $(\frac{x^{\frac{1}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{2}} - 1} - \frac{x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}} + 1}) \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{4}{x - 1}$

Пример 11

Упростите степенное выражение $\frac{x^{\frac{3}{4}} \cdot {(x^{2, 7} + 1)}^{2}}{x^{- \frac{5}{8}} \cdot {(x^{2, 7} + 1)}^{3}}$ .
Решение

Мы можем произвести сокращение дроби на $(x^{2, 7} + 1)^{2}$ . Получаем дробь $\frac{x^{\frac{3}{4}}}{x^{- \frac{5}{8}} \cdot (x^{2, 7} + 1)}$ .

Продолжим преобразования степеней икса $\frac{x^{\frac{3}{4}}}{x^{- \frac{5}{8}}} \cdot \frac{1}{x^{2, 7} + 1}$ . Теперь можно использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями: $\frac{x^{\frac{3}{4}}}{x^{- \frac{5}{8}}} \cdot \frac{1}{x^{2, 7} + 1} = x^{\frac{3}{4} - (- \frac{5}{8})} \cdot \frac{1}{x^{2, 7} + 1} = x^{1 \frac{1}{8}} \cdot \frac{1}{x^{2, 7} + 1}$ .

Переходим от последнего произведения к дроби $\frac{x^{1 \frac{3}{8}}}{x^{2, 7} + 1}$ .

Ответ: $\frac{x^{\frac{3}{4}} \cdot {(x^{2, 7} + 1)}^{2}}{x^{- \frac{5}{8}} \cdot {(x^{2, 7} + 1)}^{3}} = \frac{x^{1 \frac{3}{8}}}{x^{2, 7} + 1}$ .

Множители с отрицательными показателями степени в большинстве случаев удобнее переносить из числителя в знаменатель и обратно, изменяя знак показателя. Это действие позволяет упростить дальнейшее решение. Приведем пример: степенное выражение $\frac{(x + 1)^{- 0, 2}}{3 \cdot x^{- 1}}$ можно заменить на $\frac{x}{3 \cdot (x + 1)^{0, 2}}$ .

Преобразование выражений с корнями и степенями

В задачах встречаются степенные выражения, которые содержат не только степени с дробными показателями, но и корни. Такие выражения желательно привести только к корням или только к степеням. Переход к степеням предпочтительнее, так как с ними проще работать. Такой переход является особенно предпочтительным, когда ОДЗ переменных для исходного выражения позволяет заменить корни степенями без необходимости обращаться к модулю или разбивать ОДЗ на несколько промежутков.

Пример 12

Представьте выражение $x^{\frac{1}{9}} \cdot \sqrt[6]{x \cdot \sqrt[3]{x}}$ в виде степени.

Решение

Область допустимых значений переменной $x$ определяется двумя неравенствами $x \geq 0$ и $x \cdot \sqrt[3]{x} \geq 0$ , которые задают множество $[0, + \infty)$ .

На этом множестве мы имеем право перейти от корней к степеням:

$x^{\frac{1}{9}} \cdot \sqrt[6]{x \cdot \sqrt[3]{x}} = x^{\frac{1}{9}} \cdot {(x \cdot x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{6}}$

Используя свойства степеней, упростим полученное степенное выражение.

$x^{\frac{1}{9}} \cdot {(x \cdot x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{6}} = x^{\frac{1}{9}} \cdot x^{\frac{1}{6}} \cdot {(x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{6}} = x^{\frac{1}{9}} \cdot x^{\frac{1}{6}} \cdot x^{\frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 6}} = = x^{\frac{1}{9}} \cdot x^{\frac{1}{6}} \cdot x^{\frac{1}{18}} = x^{\frac{1}{9} + \frac{1}{6} + \frac{1}{18}} = x^{\frac{1}{3}}$

Ответ: $x^{\frac{1}{9}} \cdot \sqrt[6]{x \cdot \sqrt[3]{x}} = x^{\frac{1}{3}}$ .

Преобразование степеней с переменными в показателе

Данные преобразования достаточно просто произвести, если грамотно использовать свойства степени. Например, $5^{2 \cdot x + 1} - 3 \cdot 5^{x} \cdot 7^{x} - 14 \cdot 7^{2 \cdot x - 1} = 0$ .

Мы можем заменить произведением степени, в показателях которых находится сумма некоторой переменной и числа. В левой части это можно проделать с первым и последним слагаемыми левой части выражения:

$5^{2} \cdot x \cdot 5^{1} - 3 \cdot 5^{x} \cdot 7^{x} - 14 \cdot 7^{2 \cdot x} \cdot 7^{- 1} = 0, 5 \cdot 5^{2 \cdot x} - 3 \cdot 5^{x} \cdot 7^{x} - 2 \cdot 7^{2 \cdot x} = 0 .$

Теперь поделим обе части равенства на $7^{2 \cdot x}$ . Это выражение на ОДЗ переменной $x$ принимает только положительные значения:

$\frac{5 \cdot 5 - 3 \cdot 5^{x} \cdot 7^{x} - 2 \cdot 7^{2 \cdot x}}{7^{2 \cdot x}} = \frac{0}{7^{2 \cdot x}}, 5 \cdot \frac{5^{2 \cdot x}}{7^{2 \cdot x}} - 3 \cdot \frac{5^{x} \cdot 7^{x}}{7^{2 \cdot x}} - 2 \cdot \frac{7^{2 \cdot x}}{7^{2 \cdot x}} = 0, 5 \cdot \frac{5^{2 \cdot x}}{7^{2 \cdot x}} - 3 \cdot \frac{5^{x} \cdot 7^{x}}{7^{x} \cdot 7^{x}} - 2 \cdot \frac{7^{2 \cdot x}}{7^{2 \cdot x}} = 0$

Сократим дроби со степенями, получим: $5 \cdot \frac{5^{2 \cdot x}}{7^{2 \cdot x}} - 3 \cdot \frac{5^{x}}{7^{x}} - 2 = 0$ .

Наконец, отношение степеней с одинаковыми показателями заменяется степенями отношений, что приводит к уравнению $5 \cdot {(\frac{5}{7})}^{2 \cdot x} - 3 \cdot {(\frac{5}{7})}^{x} - 2 = 0$ , которое равносильно $5 \cdot {({(\frac{5}{7})}^{x})}^{2} - 3 \cdot {(\frac{5}{7})}^{x} - 2 = 0$ .

Введем новую переменную $t = {(\frac{5}{7})}^{x}$ , что сводит решение исходного показательного уравнения к решению квадратного уравнения $5 \cdot t^{2} - 3 \cdot t - 2 = 0$ .

Преобразование выражений со степенями и логарифмами

Выражения, содержащие с записи степени и логарифмы, также встречаются в задачах. Примером таких выражений могут служить: ${(\frac{1}{4})}^{1 - 5 \cdot \log_{2} 3}$ или $\log_{\frac{3}{\sqrt{27}}} 9 + 5^{(1 - \log_{3} 5) \cdot \log_{5} 3}$ . Преобразование подобных выражений проводится с использованием разобранных выше подходов и свойств логарифмов, которые мы подробно разобрали в теме «Преобразование логарифмических выражений».