Теорема Виета, формулы Виета

23 февраля 2023
15 минут
3 546

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В квадратных уравнениях существует целый ряд соотношений. Основными являются отношения между корнями и коэффициентами. Также в квадратных уравнениях работает ряд соотношений, которые задаются теоремой Виета.

В этой теме мы приведем саму теорему Виета и ее доказательство для квадратного уравнения, теорему, обратную теореме Виета, разберем ряд примеров решения задач. Особое внимание в материале мы уделим рассмотрению формул Виета, которые задают связь между действительными корнями алгебраического уравнения степени $n$ и его коэффициентами.

Формулировка и доказательство теоремы Виета

Формула корней квадратного уравнения $a \cdot x^{2} + b \cdot x + c = 0$ вида $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 \cdot a}, x_{2} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 \cdot a}$ , где $D = b^{2} - 4 \cdot a \cdot c$ , устанавливает соотношения $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ , $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ . Это подтверждает и теорема Виета.

Теорема 1

В квадратном уравнении $a \cdot x^{2} + b \cdot x + c = 0$ , где $x_{1}$ и $x_{2}$ – корни, сумма корней будет равна соотношению коэффициентов $b$ и $a$ , которое было взято с противоположным знаком, а произведение корней будет равно отношению коэффициентов $c$ и $a$ , т. е. $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ , $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Доказательство 1

Предлагаем вам следующую схему проведения доказательства: возьмем формулу корней, составим суму и произведение корней квадратного уравнения и затем преобразуем полученные выражения для того, чтобы убедиться, что они равны $- \frac{b}{a}$ и $\frac{c}{a}$ соответственно.

Составим сумму корней $x_{1} + x_{2} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 \cdot a} + \frac{- b - \sqrt{D}}{2 \cdot a}$ . Приведем дроби к общему знаменателю $\frac{- b + \sqrt{D}}{2 \cdot a} + \frac{- b - \sqrt{D}}{2 \cdot a} = \frac{- b + \sqrt{D} + (- b - \sqrt{D})}{2 \cdot a}$ . Раскроем скобки в числителе полученной дроби и приведем подобные слагаемые: $\frac{- b + \sqrt{D} + (- b - \sqrt{D})}{2 \cdot a} = \frac{- b + \sqrt{D} - b - \sqrt{D}}{2 \cdot a} = \frac{- 2 \cdot b}{2 \cdot a}$ . Сократим дробь на: $2$ $\frac{- b}{a} = - \frac{b}{a}$ .

Так мы доказали первое соотношение теоремы Виета, которое относится к сумме корней квадратного уравнения.

Теперь давайте перейдем ко второму соотношению.

Для этого нам необходимо составить произведение корней квадратного уравнения: $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 \cdot a} \cdot \frac{- b - \sqrt{D}}{2 \cdot a}$ .

Вспомним правило умножения дробей и запишем последнее произведение следующим образом: $\frac{(- b + \sqrt{D}) \cdot (- b - \sqrt{D})}{4 \cdot a^{2}}$ .

Проведем в числителе дроби умножение скобки на скобку или же воспользуемся формулой разности квадратов для того, чтобы преобразовать это произведение быстрее: $\frac{(- b + \sqrt{D}) \cdot (- b - \sqrt{D})}{4 \cdot a^{2}} = \frac{{(- b)}^{2} - {(\sqrt{D})}^{2}}{4 \cdot a^{2}}$ .

Воспользуемся определением квадратного корня для того, чтобы осуществить следующий переход: $\frac{{(- b)}^{2} - {(\sqrt{D})}^{2}}{4 \cdot a^{2}} = \frac{b^{2} - D}{4 \cdot a^{2}}$ . Формула $D = b^{2} - 4 \cdot a \cdot c$ отвечает дискриминанту квадратного уравнения, следовательно, в дробь вместо $D$ можно подставить $b^{2} - 4 \cdot a \cdot c$ :

$\frac{b^{2} - D}{4 \cdot a^{2}} = \frac{b^{2} - (b^{2} - 4 \cdot a \cdot c)}{4 \cdot a^{2}}$

Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и получим: $\frac{4 \cdot a \cdot c}{4 \cdot a^{2}}$ . Если сократить ее на $4 \cdot a$ , то остается $\frac{c}{a}$ . Так мы доказали второе соотношение теоремы Виета для произведения корней.

Запись доказательства теоремы Виета может иметь весьма лаконичный вид, если опустить пояснения:

$x_{1} + x_{2} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 \cdot a} + \frac{- b - \sqrt{D}}{2 \cdot a} = \frac{- b + \sqrt{D} + (- b - \sqrt{D})}{2 \cdot a} = \frac{- 2 \cdot b}{2 \cdot a} = - \frac{b}{a}, x_{1} \cdot x_{2} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 \cdot a} \cdot \frac{- b - \sqrt{D}}{2 \cdot a} = \frac{(- b + \sqrt{D}) \cdot (- b - \sqrt{D})}{4 \cdot a^{2}} = \frac{{(- b)}^{2} - {(\sqrt{D})}^{2}}{4 \cdot a^{2}} = \frac{b^{2} - D}{4 \cdot a^{2}} = = \{D = b^{2} - 4 \cdot a \cdot c\} = \frac{b^{2} - (b^{2} - 4 \cdot a \cdot c)}{4 \cdot a^{2}} = \frac{4 \cdot a \cdot c}{4 \cdot a^{2}} = \frac{c}{a} .$

При дискриминанте квадратного уравнения равном нулю уравнение будет иметь только один корень. Чтобы иметь возможность применить к такому уравнению теорему Виета, мы можем предположить, что уравнение при дискриминанте, равном нулю, имеет два одинаковых корня. Действительно, при $D = 0$ корень квадратного уравнения равен: $\frac{- b}{2 \cdot a}$ , тогда $x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{2 \cdot a} + \frac{- b}{2 \cdot a} = \frac{- b + (- b)}{2 \cdot a} = \frac{- 2 \cdot b}{2 \cdot a} = - \frac{b}{a}$ и $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{- b}{2 \cdot a} \cdot \frac{- b}{2 \cdot a} = \frac{(- b) \cdot (- b)}{4 \cdot a^{2}} = \frac{b^{2}}{4 \cdot a^{2}}$ , а так как $D = 0$ , то есть, $b^{2} - 4 \cdot a \cdot c = 0$ , откуда $b^{2} = 4 \cdot a \cdot c$ , то $\frac{b^{2}}{4 \cdot a^{2}} = \frac{4 \cdot a \cdot c}{4 \cdot a^{2}} = \frac{c}{a}$ .

Чаще всего на практике теорема Виета применяется по отношению к приведенному квадратному уравнению вида $x^{2} + p \cdot x + q = 0$ , где старший коэффициент $a$ равен $1$ . В связи с этим и формулируют теорему Виета именно для уравнений такого вида. Это не ограничивает общности в связи с тем, что любое квадратное уравнение может быть заменено равносильным уравнением. Для этого необходимо поделить обе его части на число $a$ , отличное от нуля.

Приведем еще одну формулировку теоремы Виета.

Теорема 2

Сумма корней в приведенном квадратном уравнении $x^{2} + p \cdot x + q = 0$ будет равна коэффициенту при $x$ , который взят с противоположным знаком, произведение корней будет равно свободному члену, т.е. $x_{1} + x_{2} = - p, x_{1} \cdot x_{2} = q$ .

Теорема, обратная теореме Виета

Если внимательно посмотреть на вторую формулировку теоремы Виета, то можно увидеть, что для корней $x_{1}$ и $x_{2}$ приведенного квадратного уравнения $x^{2} + p \cdot x + q = 0$ будут справедливы соотношения $x_{1} + x_{2} = - p, x_{1} \cdot x_{2} = q$ . Из этих соотношений $x_{1} + x_{2} = - p, x_{1} \cdot x_{2} = q$ следует, что $x_{1}$ и $x_{2}$ – это корни квадратного уравнения $x^{2} + p \cdot x + q = 0$ . Так мы приходим к утверждению, которое является обратным теореме Виета.

Предлагаем теперь оформить это утверждение как теорему и провести ее доказательство.

Теорема 3

Если числа $x_{1}$ и $x_{2}$ таковы, что $x_{1} + x_{2} = - p$ и $x_{1} \cdot x_{2} = q$ , то $x_{1}$ и $x_{2}$ являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^{2} + p \cdot x + q = 0$ .

Доказательство 2

Замена коэффициентов $p$ и $q$ на их выражение через $x_{1}$ и $x_{2}$ позволяет преобразовать уравнение $x^{2} + p \cdot x + q = 0$ в равносильное ему $x^{2} - (x_{1} + x_{2}) \cdot x + x_{1} \cdot x_{2} = 0$ .

Если в полученное уравнение подставить число $x_{1}$ вместо $x$ , то мы получим равенство $x_{1}^{2} - (x_{1} + x_{2}) \cdot x_{1} + x_{1} \cdot x_{2} = 0$ . Это равенство при любых $x_{1}$ и $x_{2}$ превращается в верное числовое равенство $0 = 0$ , так как $x_{1}^{2} - (x_{1} + x_{2}) \cdot x_{1} + x_{1} \cdot x_{2} = x_{1}^{2} - x_{1}^{2} - x_{2} \cdot x_{1} + x_{1} \cdot x_{2} = 0$ . Это значит, что $x_{1}$ – корень уравнения $x^{2} - (x_{1} + x_{2}) \cdot x + x_{1} \cdot x_{2} = 0$ , и что $x_{1}$ также является корнем равносильного ему уравнения $x^{2} + p \cdot x + q = 0$ .

Подстановка в уравнение $x^{2} - (x_{1} + x_{2}) \cdot x + x_{1} \cdot x_{2} = 0$ числа $x_{2}$ вместо $x$ позволяет получить равенство $x_{2}^{2} - (x_{1} + x_{2}) \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{2} = 0$ . Это равенство можно считать верным, так как $x_{2}^{2} - (x_{1} + x_{2}) \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{2} = x_{2}^{2} - x_{1} \cdot x_{2} - x_{2}^{2} + x_{1} \cdot x_{2} = 0$ . Получается, что $x_{2}$ является корнем уравнения $x^{2} - (x_{1} + x_{2}) \cdot x + x_{1} \cdot x_{2} = 0$ , а значит, и уравнения $x^{2} + p \cdot x + q = 0$ .

Теорема, обратная теореме Виета, доказана.

Примеры использования теоремы Виета

Давайте теперь приступим к разбору наиболее типичных примеров по теме. Начнем с разбора задач, которые требуют применения теоремы, обратной теореме Виета. Ее можно применять для проверки чисел, полученных в ходе вычислений, на предмет того, являются ли они корнями заданного квадратного уравнения. Для этого необходимо вычислить их сумму и разность, а затем проверить справедливость соотношений $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} \cdot x_{2} = \frac{a}{c}$ .

Выполнение обоих соотношений свидетельствует о том, что числа, полученные в ходе вычислений, являются корнями уравнения. Если же мы видим, что хотя бы одно из условий не выполняется, то данные числа не могут быть корнями квадратного уравнения, данного в условии задачи.

Пример 1

Какая из пар чисел $1)$ $x_{1} = - 5, x_{2} = 3$ , или $2)$ $x_{1} = 1 - \sqrt{3}, x_{2} = 3 + \sqrt{3}$ , или $3)$ $x_{1} = 2 + \frac{\sqrt{7}}{2}, x_{2} = 2 - \frac{\sqrt{7}}{2}$ является парой корней квадратного уравнения $4 \cdot x^{2} - 16 \cdot x + 9 = 0$ ?

Решение

Найдем коэффициенты квадратного уравнения $4 \cdot x^{2} - 16 \cdot x + 9 = 0$ . Это $a = 4, b = - 16, c = 9$ . В соответствии с теоремой Виета сумма корней квадратного уравнения должна быть равна $- \frac{b}{a}$ , то есть, $\frac{16}{4} = 4$ , а произведение корней должно быть равно $\frac{c}{a}$ , то есть, $\frac{9}{4}$ .

Проверим полученные числа, вычислив сумму и произведение чисел из трех заданных пар и сравнив их с полученными значениями.

В первом случае $x_{1} + x_{2} = - 5 + 3 = - 2$ . Это значение отлично от $4$ , следовательно, проверку можно не продолжать. Согласно теореме, обратной теореме Виета, можно сразу сделать вывод о том, что первая пара чисел не является корнями данного квадратного уравнения.

Во втором случае $x_{1} + x_{2} = 1 - \sqrt{3} + 3 + \sqrt{3} = 4$ . Мы видим, что первое условие выполняется. А вот второе условие нет: $x_{1} \cdot x_{2} = (1 - \sqrt{3}) \cdot (3 + \sqrt{3}) = 3 + \sqrt{3} - 3 \cdot \sqrt{3} - 3 = - 2 \cdot \sqrt{3}$ . Значение, которое мы получили, отлично от $\frac{9}{4}$ . Это значит, что вторая пара чисел не является корнями квадратного уравнения.

Перейдем к рассмотрению третьей пары. Здесь $x_{1} + x_{2} = 2 + \frac{\sqrt{7}}{2} + 2 - \frac{\sqrt{7}}{2} = 4$ и $x_{1} \cdot x_{2} = (2 + \frac{\sqrt{7}}{2}) \cdot (2 - \frac{\sqrt{7}}{2}) = 2^{2} - {(\frac{\sqrt{7}}{2})}^{2} = 4 - \frac{7}{4} = \frac{16}{4} - \frac{7}{4} = \frac{9}{4}$ . Выполняются оба условия, а это значит, что $x_{1}$ и $x_{2}$ являются корнями заданного квадратного уравнения.

Ответ: $x_{1} = 2 + \frac{\sqrt{7}}{2}, x_{2} = 2 - \frac{\sqrt{7}}{2}$

Мы также можем использовать теорему, обратную теореме Виета, для подбора корней квадратного уравнения. Наиболее простой способ – это подбор целых корней приведенных квадратных уравнений с целыми коэффициентами. Можно рассматривать и другие варианты. Но это может существенно затруднить проведение вычислений.

Для подбора корней мы используем тот факт, что если сумма двух чисел равна второму коэффициенту квадратного уравнения, взятому со знаком минус, а произведение этих чисел равно свободному члену, то эти числа являются корнями данного квадратного уравнения.

Пример 2

В качестве примера используем квадратное уравнение $x^{2} - 5 \cdot x + 6 = 0$ . Числа $x_{1}$ и $x_{2}$ могут быть корнями этого уравнения в том случае, если выполняются два равенства $x_{1} + x_{2} = 5$ и $x_{1} \cdot x_{2} = 6$ . Подберем такие числа. Это числа $2$ и $3$ , так как $2 + 3 = 5$ и $2 \cdot 3 = 6$ . Получается, что $2$ и $3$ – корни данного квадратного уравнения.

Теорему, обратную теореме Виета, можно использовать для нахождения второго корня, когда первый известен или очевиден. Для этого мы можем использовать соотношения $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Пример 3

Рассмотрим квадратное уравнение $512 \cdot x^{2} - 509 \cdot x - 3 = 0$ . Необходимо найти корни данного уравнения.

Решение

Первым корнем уравнения является $1$ , так как сумма коэффициентов этого квадратного уравнения равна нулю. Получается, что $x_{1} = 1$ .

Теперь найдем второй корень. Для этого можно использовать соотношение $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ . Получается, что $1 \cdot x_{2} = - \frac{3}{512}$ , откуда $x_{2} = - \frac{3}{512}$ .

Ответ: корни заданного в условии задачи квадратного уравнения $1$ и $- \frac{3}{512}$ .

Подбирать корни, используя теорему, обратную теореме Виета, можно лишь в простых случаях. В остальных случаях лучше проводить поиск с использованием формулы корней квадратного уравнения через дискриминант.

Благодаря теореме, обратной теореме Виета, мы также можем составлять квадратные уравнения по имеющимся корням $x_{1}$ и $x_{2}$ . Для этого нам необходимо вычислить сумму корней, которая дает коэффициент при $x$ с противоположным знаком приведенного квадратного уравнения, и произведение корней, которое дает свободный член.

Пример 4

Напишите квадратное уравнение, корнями которого являются числа $- 11$ и $23$ .

Решение

Примем, что $x_{1} = - 11$ и $x_{2} = 23$ . Сумма и произведение данных чисел будут равны: $x_{1} + x_{2} = 12$ и $x_{1} \cdot x_{2} = - 253$ . Это значит, что второй коэффициент $- 12$ , свободный член $- 253.$

Составляем уравнение: $x^{2} - 12 \cdot x - 253 = 0$ .

Ответ: $x^{2} - 12 \cdot x - 253 = 0$ .

Мы можем использовать теорему Виета для решения заданий, которые связаны со знаками корней квадратных уравнений. Связь между теоремой Виета связана со знаками корней приведенного квадратного уравнения $x^{2} + p \cdot x + q = 0$ следующим образом:

если квадратное уравнение имеет действительные корни и если свободный член q является положительным числом, то эти корни будут иметь одинаковый знак $« + »$ или $« - »$ ;
если квадратное уравнение имеет корни и если свободный член $q$ является отрицательным числом, то один корень будет $« + »$ , а второй $« - »$ .

Оба этих утверждения являются следствием формулы $x_{1} \cdot x_{2} = q$ и правила умножения положительных и отрицательных чисел, а также чисел с разными знаками.

Пример 5

Являются ли корни квадратного уравнения $x^{2} - 64 \cdot x - 21 = 0$ положительными?

Решение

По теореме Виета корни данного уравнения не могут быть оба положительными, так как для них должно выполняться равенство $x_{1} \cdot x_{2} = - 21$ . Это невозможно при положительных $x_{1}$ и $x_{2}$ .

Ответ: Нет

Пример 6

При каких значениях параметра $r$ квадратное уравнение $x^{2} + (r + 2) \cdot x + r - 1 = 0$ будет иметь два действительных корня с разными знаками.

Решение

Начнем с того, что найдем значения каких $r$ , при которых в уравнении будет два корня. Найдем дискриминант и посмотрим, при каких $r$ он будет принимать положительные значения. $D = (r + 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (r - 1) = r^{2} + 4 \cdot r + 4 - 4 \cdot r + 4 = r^{2} + 8$ . Значение выражения $r^{2} + 8$ положительно при любых действительных $r$ , следовательно, дискриминант будет больше нуля при любых действительных $r$ . Это значит, что исходное квадратное уравнение будет иметь два корня при любых действительных значениях параметра $r$ .

Теперь посмотрим, когда корни будут иметь разные знаки. Это возможно в том случае, если их произведение будет отрицательным. Согласно теореме Виета произведение корней приведенного квадратного уравнения равно свободному члену. Значит, правильным решением будут те значения $r$ , при которых свободный член $r - 1$ отрицателен. Решим линейное неравенство $r - 1 < 0$ , получаем $r < 1$ .

Ответ: при $r < 1$ .

Формулы Виета

Существует ряд формул, которые применимы для осуществления действий с корнями и коэффициентами не только квадратных, но также кубических и других видов уравнений. Их называют формулами Виета.

Для алгебраического уравнения степени $n$ вида $a_{0} \cdot x^{n} + a_{1} \cdot x^{n - 1} + . . . + a_{n - 1} \cdot x + a_{n} = 0$ считается, что уравнение имеет $n$ действительных корней $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ , среди которых могут быть совпадающие:
$x_{1} + x_{2} + x_{3} + . . . + x_{n} = - \frac{a_{1}}{a_{0}}, x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3} + . . . + x_{n - 1} \cdot x_{n} = \frac{a_{2}}{a_{0}}, x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} + x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{4} + . . . + x_{n - 2} \cdot x_{n - 1} \cdot x_{n} = - \frac{a_{3}}{a_{0}}, . . . x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot . . . \cdot x_{n} = (- 1)^{n} \cdot \frac{a_{n}}{a_{0}}$

Определение 1

Получить формулы Виета нам помогают:

теорема о разложении многочлена на линейные множители;
определение равных многочленов через равенство всех их соответствующих коэффициентов.

Так, многочлен $a_{0} \cdot x^{n} + a_{1} \cdot x^{n - 1} + . . . + a_{n - 1} \cdot x + a_{n}$ и его разложение на линейные множители вида $a_{0} \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2}) \cdot . . . \cdot (x - x_{n})$ равны.

Если мы раскрываем скобки в последнем произведении и приравниваем соответствующие коэффициенты, то получаем формулы Виета. Приняв $n = 2$ , мы можем получить формулу Виета для квадратного уравнения: $x_{1} + x_{2} = - \frac{a_{1}}{a_{0}}, x_{1} \cdot x_{2} = \frac{a_{2}}{a_{0}}$ .

Определение 2

Формула Виета для кубического уравнения:
$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{a_{1}}{a_{0}}, x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3} + x_{2} \cdot x_{3} = \frac{a_{2}}{a_{0}}, x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} = - \frac{a_{3}}{a_{0}}$

Левая часть записи формул Виета содержит так называемые элементарные симметрические многочлены.