Тождественно равные выражения: определение, примеры

Содержание:

30 октября 2023
6 минут
4116

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

После того, как мы разобрались с понятием тождеств, можно переходить к изучению тождественно равных выражений. Цель данной статьи – объяснить, что это такое, и показать на примерах, какие выражения будут тождественно равными другим.

Тождественно равные выражения: определение

Понятие тождественно равных выражений обычно изучается вместе с самим понятием тождества в рамках школьного курса алгебры. Приведем основное определение, взятое из одного учебника:

Определение 1

Тождественно равными друг другу будут такие выражения, значения которых будут одинаковы при любых возможных значениях переменных, входящих в их состав.

Также тождественно равными считаются такие числовые выражения, которым будут отвечать одни и те же значения.

Это достаточно широкое определение, которое будет верным для всех целых выражений, смысл которых при изменении значений переменных не меняется. Однако позже возникает необходимость уточнения данного определения, поскольку помимо целых существуют и другие виды выражений, которые не будут иметь смысла при определенных переменных. Отсюда возникает понятие допустимости и недопустимости тех или иных значений переменных, а также необходимость определять область допустимых значений. Сформулируем уточненное определение.

Определение 2

Тождественно равные выражения – это те выражения, значения которых равны друг другу при любых допустимых значениях переменных, входящих в их состав. Числовые выражения будут тождественно равными друг другу при условии одинаковых значений.

Фраза «при любых допустимых значениях переменных» указывает на все те значения переменных, при которых оба выражения будут иметь смысл. Это положение мы объясним позже, когда будем приводить примеры тождественно равных выражений.

Можно указать еще и такое определение:

Определение 3

Тождественно равными выражениями называются выражения, расположенные в одном тождестве с левой и правой стороны.

Примеры выражений, тождественно равных друг другу

Используя определения, данные выше, рассмотрим несколько примеров таких выражений.

Для начала возьмем числовые выражения.

Пример 1

Так, $2 + 4$ и $4 + 2$ будут тождественно равными друг другу, поскольку их результаты будут равны ( $6$ и $6$ ).

Пример 2

Точно так же тождественно равны выражения $3$ и $30 : 10, (2^{2})^{3}$ и $2^{6}$ (для вычисления значения последнего выражений нужно знать свойства степени).

Пример 3

А вот выражения $4 - 2$ и $9 - 1$ равными не будут, поскольку их значения разные.

Перейдем к примерам буквенных выражений. Тождественно равными будут $a + b$ и $b + a$ , причем от значений переменных это не зависит (равенство выражений в данном случае определяется переместительным свойством сложения).

Пример 4

Например, если $a$ будет равно $4$ , а $b - 5$ , то результаты все равно будут одинаковы.

Еще один пример тождественно равных выражений с буквами – $0 \cdot x \cdot y \cdot z$ и $0$ . Какими бы ни были значения переменных в этом случае, будучи умноженными на $0$ , они дадут $0$ . Неравные выражения – $6 \cdot x$ и $8 \cdot x$ , поскольку они не будут равны при любом $x$ .

В том случае, если области допустимых значений переменных будут совпадать, например, в выражениях $a + 6$ и $6 + a$ или $a \cdot b \cdot 0$ и $0$ , или $\sqrt[4]{x}$ и $\sqrt{\sqrt{x}}$ , и значения самих выражений будут равны при любых переменных, то такие выражения считаются тождественно равными. Так, $a + 8 = 8 + a$ при любом значении $a$ , и $a \cdot b \cdot 0 = 0$ тоже, поскольку умножение на $0$ любого числа дает в итоге $0$ . Выражения $\sqrt[4]{x}$ и $\sqrt{\sqrt{x}}$ будут тождественно равными при любых $x$ из промежутка $[0, + \infty)$ .

Но область допустимого значения в одном выражении может отличаться от области другого.

Пример 5

Например, возьмем два выражения: $x - 1$ и $\frac{(x - 1) \cdot x}{x}$ . Для первого из них областью допустимых значений $x$ будет все множество действительных чисел, а для второго – множество всех действующих чисел, за исключением нуля, ведь тогда мы получим $0$ в знаменателе, а такое деление не определено. У этих двух выражений есть общая область значений, образованная пересечением двух отдельных областей. Можно сделать вывод, что оба выражения $\frac{(x - 1) \cdot x}{x}$ и $x - 1$ будут иметь смысл при любых действительных значениях переменных, за исключением $0$ .

Основное свойство дроби также позволяет нам заключить, что $\frac{(x - 1) \cdot x}{x}$ и $x - 1$ будут равными при любом x, которое не является $0$ . Значит, на общей области допустимых значений эти выражения будут тождественно равны друг другу, а при любом действительном $x$ говорить о тождественном равенстве нельзя.

Если мы заменяем одно выражение на другое, которое является тождественно равным ему, то этот процесс называется тождественным преобразованием. Это понятие очень важно, и подробно о нем мы поговорим в отдельном материале.

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.