Умножение и деление алгебраических дробей

22 августа 2023
7 минут
1 720

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В этой статье мы продолжаем изучение основных действий, которые можно выполнять с алгебраическими дробями. Здесь мы рассмотрим умножение и деление: сначала выведем нужные правила, а затем проиллюстрируем их решениями задач.

Как правильно делить и умножать алгебраические дроби

Чтобы выполнить умножение алгебраических дробей или разделить одну дробь на другую, нам нужно использовать те же правила, что и для обыкновенных дробей. Вспомним их формулировки.

Когда нам надо умножить одну обыкновенную дробь на другую, мы выполняем отдельно умножение числителей и отдельно знаменателей, после чего записываем итоговую дробь, расставив по местам соответствующие произведения. Пример такого вычисления:

$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{7} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 7} = \frac{8}{21}$

А когда нам надо разделить обыкновенные дроби, мы делаем это с помощью умножения на дробь, обратную делителю, например:

$\frac{2}{3} : \frac{7}{11} = \frac{2}{3} \cdot \frac{11}{7} = \frac{22}{7} = 1 \frac{1}{21}$

Умножение и деление алгебраических дробей выполняется в соответствии с теми же принципами. Сформулируем правило:

Определение 1

Чтобы перемножить две и более алгебраические дроби, нужно перемножить отдельно числители и знаменатели. Результатом будет дробь, в числителе которой будет стоять произведение числителей, а в знаменателе – произведение знаменателей.

В буквенном виде правило можно записать как $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$ . Здесь $a, b, c$ и $d$ будут представлять из себя определенные многочлены, причем $b$ и $d$ не могут быть нулевыми.

Определение 2

Для того чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно выполнить умножение первой дроби на дробь, обратную второй.

Это правило можно также записать как $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$ . Буквы $a, b, c$ и $d$ здесь означают многочлены, из которых $a, b, c$ и $d$ не могут быть нулевыми.

Отдельно остановимся на том, что такое обратная алгебраическая дробь. Она представляет из себя такую дробь, которая при умножении на исходную дает в итоге единицу. То есть такие дроби будут аналогичны взаимно обратным числам. Иначе можно сказать, что обратная алгебраическая дробь состоит из таких же значений, что и исходная, однако числитель и знаменатель у нее меняются местами. Так, по отношению к дроби $\frac{a \cdot b + 1}{a^{3}}$ дробь $\frac{a^{3}}{a \cdot b + 1}$ будет обратной.

Решение задач на умножение и деление алгебраических дробей

В этом пункте мы посмотрим, как правильно применять озвученные выше правила на практике. Начнем с простого и наглядного примера.

Пример 1

Условие: умножьте дробь $\frac{1}{x + y}$ на $\frac{3 \cdot x \cdot y}{x^{2} + 5}$ , а потом разделите одну дробь на другую.

Решение

Сначала выполним умножение. Согласно правилу, нужно отдельно перемножить числители и знаменатели:

$\frac{1}{x + y} \cdot \frac{3 \cdot x \cdot y}{x^{2} + 5} = \frac{1 \cdot 3 \cdot x \cdot y}{(x + y) \cdot (x^{2} + 5)}$

Мы получили новый многочлен, который нужно привести к стандартному виду. Заканчиваем вычисления:

$\frac{1 \cdot 3 \cdot x \cdot y}{(x + y) \cdot (x^{2} + 5)} = \frac{3 \cdot x \cdot y}{x^{3} + 5 \cdot x + x^{2} \cdot y + 5 \cdot y}$

Теперь посмотрим, как правильно разделить одну дробь на другую. По правилу нам надо заменить это действие умножением на обратную дробь $\frac{x^{2} + 5}{3 \cdot x \cdot y}$ :

$\frac{1}{x + y} : \frac{3 \cdot x \cdot y}{x^{2} + 5} = \frac{1}{x + y} \cdot \frac{x^{2} + 5}{3 \cdot x \cdot y}$

Приведем полученную дробь к стандартному виду:

$\frac{1}{x + y} \cdot \frac{x^{2} + 5}{3 \cdot x \cdot y} = \frac{1 \cdot (x^{2} + 5)}{(x + y) \cdot 3 \cdot x \cdot y} = \frac{x^{2} + 5}{3 \cdot x^{2} \cdot y + 3 \cdot x \cdot y^{2}}$

Ответ: $\frac{1}{x + y} \cdot \frac{3 \cdot x \cdot y}{x^{2} + 5} = \frac{3 \cdot x \cdot y}{x^{3} + 5 \cdot x + x^{2} \cdot y + 5 \cdot y}$ ; $\frac{1}{x + y} : \frac{3 \cdot x \cdot y}{x^{2} + 5} = \frac{x^{2} + 5}{3 \cdot x^{2} \cdot y + 3 \cdot x \cdot y^{2}}$ .

Довольно часто в процессе деления и умножения обыкновенных дробей получаются результаты, которые можно сократить, например, $\frac{2}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{6}{72} = \frac{1}{12}$ . Когда мы выполняем эти действия с алгебраическими дробями, мы также можем получить сократимые результаты. Для этого полезно предварительно разложить числитель и знаменатель исходного многочлена на отдельные множители. Если нужно, перечитайте статью о том, как правильно это делать. Разберем пример задачи, в которой нужно будет выполнить сокращение дробей.

Пример 2

Условие: перемножьте дроби $\frac{x^{2} + 2 \cdot x + 1}{18 \cdot x^{3}}$ и $\frac{6 \cdot x}{x^{2} - 1}$ .

Решение

Перед тем, как вычислять произведение, разложим на отдельные множители числитель первой исходной дроби и знаменатель второй. Для этого нам потребуются формулы сокращенного умножения. Вычисляем:

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x + 1}{18 \cdot x^{3}} \cdot \frac{6 \cdot x}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{18 \cdot x^{3}} \cdot \frac{6 \cdot x}{(x - 1) \cdot (x + 1)} = \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 6 \cdot x}{18 \cdot x^{3} \cdot (x - 1) \cdot (x + 1)}$

У нас получилась дробь, которую можно сократить:

$\frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 6 \cdot x}{18 \cdot x^{3} \cdot (x - 1) \cdot (x + 1)} = \frac{x + 1}{3 \cdot x^{2} \cdot (x - 1)}$

О том, как это делается, мы писали в статье, посвященной сокращению алгебраических дробей.

Перемножив одночлен и многочлен в знаменателе, мы получим нужный нам результат:

$\frac{x + 1}{3 \cdot x^{2} \cdot (x - 1)} = \frac{x + 1}{3 \cdot x^{3} - 3 \cdot x^{2}}$

Вот запись всего решения без пояснений:

Ответ: $\frac{x^{2} + 2 \cdot x + 1}{18 \cdot x^{3}} \cdot \frac{6 \cdot x}{x^{2} - 1} = \frac{x + 1}{3 \cdot x^{3} - 3 \cdot x^{2}}$ .

В некоторых случаях исходные дроби перед умножением или делением удобно преобразовать, чтобы дальнейшие вычисления стали быстрее и проще.

Пример 3

Условие: разделите $\frac{2}{\frac{1}{7} \cdot x - 1}$ на $\frac{12 \cdot x}{7 - x}$ .

Решение: начнем с упрощения алгебраической дроби $\frac{2}{\frac{1}{7} \cdot x - 1}$ , чтобы избавиться от дробного коэффициента. Для этого умножим обе части дроби на семь (это действие возможно благодаря основному свойству алгебраической дроби). В итоге у нас получится следующее:

$\frac{2}{\frac{1}{7} \cdot x - 1} = \frac{7 \cdot 2}{7 \cdot (\frac{1}{7} \cdot x - 1)} = \frac{14}{x - 7}$

Видим, что знаменатель дроби $\frac{12 \cdot x}{7 - x}$ , на которую нам нужно разделить первую дробь, и знаменатель получившейся дроби являются противоположными друг другу выражениями. Изменив знаки числителя и знаменателя $\frac{12 \cdot x}{7 - x}$ , получим $\frac{12 \cdot x}{7 - x} = \frac{- 12 \cdot x}{x - 7}$ .

После всех преобразований можем наконец перейти непосредственно к делению алгебраических дробей:

$\frac{2}{\frac{1}{7} \cdot x - 1} : \frac{12 \cdot x}{7 - x} = \frac{14}{x - 7} : \frac{- 12 \cdot x}{x - 7} = \frac{14}{x - 7} \cdot \frac{x - 7}{- 12 \cdot x} = \frac{14 \cdot (x - 7)}{(x - 7) \cdot (- 12 \cdot x)} = = \frac{14}{- 12 \cdot x} = \frac{2 \cdot 7}{- 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot x} = \frac{7}{- 6 \cdot x} = - \frac{7}{6 \cdot x}$

Ответ: $\frac{2}{\frac{1}{7} \cdot x - 1} : \frac{12 \cdot x}{7 - x} = - \frac{7}{6 \cdot x}$ .

Как умножить или разделить алгебраическую дробь на многочлен

Чтобы выполнить такое действие, мы можем воспользоваться теми же правилами, что мы приводили выше. Предварительно нужно представить многочлен в виде алгебраической дроби с единицей в знаменателе. Это действие аналогично преобразованию натурального числа в обыкновенную дробь. Например, можно заменить многочлен $x^{2} + x - 4$ на $\frac{x^{2} + x - 4}{1}$ . Полученные выражения будут тождественно равны.

Пример 4

Условие: разделите алгебраическую дробь на многочлен $\frac{x + 4}{5 \cdot x \cdot y} : (x^{2} - 16)$ .

Решение

Начнем с замены многочлена дробью, далее действуем согласно основному правилу.

$\frac{x + 4}{5 \cdot x \cdot y} : (x^{2} - 16) = \frac{x + 4}{5 \cdot x \cdot y} : \frac{x^{2} - 16}{1} = \frac{x + 4}{5 \cdot x \cdot y} \cdot \frac{1}{x^{2} - 16} = = \frac{x + 4}{5 \cdot x \cdot y} \cdot \frac{1}{(x - 4) \cdot (x + 4)} = \frac{(x + 4) \cdot 1}{5 \cdot x \cdot y \cdot (x - 4) \cdot (x + 4)} = \frac{1}{5 \cdot x \cdot y \cdot (x - 4)} = = \frac{1}{5 \cdot x^{2} \cdot y - 20 \cdot x \cdot y}$

Ответ: $\frac{x + 4}{5 \cdot x \cdot y} : (x^{2} - 16) = \frac{1}{5 \cdot x^{2} \cdot y - 20 \cdot x \cdot y}$ .