Умножение многочлена на многочлен: правило, примеры

15 июня 2023
6 минут
927

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Одним из действий с многочленами является умножение многочлена на многочлен. В данной статье рассмотрим правило такого умножения и применим его при решении задач.

Правило умножения многочлена на многочлен

Зададим два многочлена $a + b$ и $c + d$ и выполним их умножение.

В первую очередь запишем произведение исходных многочленов: поставим между ними знак умножения, предварительно заключив многочлены в скобки. Получим: $(a + b) \cdot (c + d)$ . Теперь обозначим множитель $(c + d)$ как $x$ , тогда выражение получит вид: $(a + b) \cdot x$ , что по сути является произведением многочлена и одночлена. Осуществим умножение: $(a + b) \cdot x = a \cdot x + b \cdot x$ , а затем обратно заменим х на $(c + d) : a \cdot (c + d) + b \cdot (c + d)$ . И вновь применив правило умножения многочлена на одночлен, преобразуем выражение в: $a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d$ . Резюмируя: произведению заданных многочленов $a + b$ и $c + d$ соответствует равенство $(a + b) \cdot (c + d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d$ .

Рассуждения, которые мы привели выше, дают возможность сделать важные выводы:

Результат умножения многочлена на многочлен - многочлен. Данное утверждение справедливо для любых перемножаемых многочленов.
Произведение многочленов есть сумма произведений каждого члена одного многочлена на каждый член другого. Откуда можно сделать заключение, что при умножении многочленов, содержащих $m$ и $n$ членов соответственно, указанная сумма произведений членов состоит из $m \cdot n$ слагаемых.

Теперь можем сформулировать правило умножения многочленов:

Определение 1

Для осуществления умножения многочлена на многочлен, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и найти сумму полученных произведений.

Примеры умножения многочлена на многочлен

В практическом решении задач нахождение произведения многочленов раскладывается на несколько последовательных действий:

запись произведения умножаемых многочленов (многочлены заключаются в скобки и между ними записывается знак умножения);
выстраивание суммы произведений каждого члена первого многочлена на каждый член второго. С этой целью первый член первого многочлена умножается на каждый член второго многочлена, затем второй член первого многочлена перемножается с каждым членом второго многочлена и так далее;
если это возможно, полученная сумма записывается в виде многочлена стандартного вида.

Пример 1

Заданы многочлены: $2 - 3 \cdot x$ и $x^{2} - 7 \cdot x + 1$ . Необходимо найти их произведение.

Решение

Запишем произведение исходных многочленов. Получим: $(2 - 3 \cdot x) \cdot (x^{2} - 7 \cdot x + 1)$ .

Следующим шагом составим сумму произведений каждого члена многочлена $2 - 3 \cdot x$ на каждый член многочлена $x^{2} - 7 \cdot x + 1$ . Рассмотрим подробно: умножаем первый член первого многочлена (число $2$ ) на каждый член второго многочлена, получим: $2 \cdot x^{2}, 2 \cdot (- 7 \cdot x)$ и $2 \cdot 1$ . Затем умножаем второй член первого многочлена на каждый член второго многочлена и получаем: $- 3 \cdot x \cdot x^{2}, - 3 \cdot x \cdot (- 7 \cdot x)$ и $- 3 \cdot x \cdot 1$ . Все полученные выражения собираем в сумму: $2 \cdot x^{2} + 2 \cdot (- 7 \cdot x) + 2 \cdot 1 - 3 \cdot x \cdot x^{2} - 3 \cdot x \cdot (- 7 \cdot x) - 3 \cdot x \cdot 1$ .

Проверим, не пропустили ли мы произведение каких-либо членов: для этого пересчитаем количество членов в записанной сумме, получим $6$ . Это верно, поскольку исходные многочлены состоят из $2$ и $3$ членов, что в общем дает $6$ .

Последним действием преобразуем записанную сумму в многочлен стандартного вида: $2 \cdot x^{2} + 2 \cdot (- 7 \cdot x) + 2 \cdot 1 - 3 \cdot x \cdot x^{2} - 3 \cdot x \cdot (- 7 \cdot x) - 3 \cdot x \cdot 1 = = 2 \cdot x^{2} - 14 \cdot x + 2 - 3 \cdot x^{3} + 21 \cdot x^{2} - 3 \cdot x = = (2 \cdot x^{2} + 21 \cdot x^{2}) + (- 14 \cdot x - 3 \cdot x) + 2 - 3 \cdot x^{3} = 23 \cdot x^{2} - 17 \cdot x + 2 - 3 \cdot x^{3}$

Кратко без пояснений решение будет выглядеть так:

^{$(2 - 3 \cdot x) \cdot (x^{2} - 7 \cdot x + 1) = 2 \cdot x^{2} + 2 \cdot (- 7 \cdot x) + 2 \cdot 1 - 3 \cdot x \cdot x^{2} - 3 \cdot x \cdot (- 7 \cdot x) - 3 \cdot x \cdot 1 = = 2 \cdot x^{2} - 14 \cdot x + 2 - 3 \cdot x^{3} + 21 \cdot x^{2} - 3 \cdot x = = (2 \cdot x^{2} + 21 \cdot x^{2}) + (- 14 \cdot x - 3 \cdot x) + 2 - 3 \cdot x^{3} = 23 \cdot x^{2} - 17 \cdot x + 2 - 3 \cdot x^{3}$}

Ответ: $(2 - 3 \cdot x) \cdot (x^{2} - 7 \cdot x + 1) = 23 \cdot x^{2} - 17 \cdot x + 2 - 3 \cdot x^{3}$ .

Уточним, что, когда исходные многочлены заданы в нестандартном виде, перед тем, как найти их произведение, желательно привести их к стандартному виду. Результат, конечно, будет тот же, но решение станет удобнее и короче.

Пример 2

Заданы многочлены $\frac{1}{7} \cdot x^{2} \cdot (- 3) \cdot y + 3 \cdot x - \frac{2}{7} \cdot x \cdot y \cdot x$ и $x \cdot y - 1$ . Необходимо найти их произведение.

Решение

Один из заданных многочленов записан в нестандартном виде. Исправим это, приведя его к стандартному виду:

$\frac{1}{7} \cdot x^{2} \cdot (- 3) \cdot y + 3 \cdot x - \frac{2}{7} \cdot x \cdot y \cdot x = - \frac{3}{7} \cdot x^{2} + 3 \cdot x - \frac{2}{7} \cdot x^{2} \cdot y = = (- \frac{3}{7} \cdot x^{2} \cdot y - \frac{2}{7} \cdot x^{2} \cdot y) + 3 \cdot x = - \frac{5}{7} \cdot x^{2} \cdot y + 3 \cdot x$

Теперь найдем искомое произведение:

$(- \frac{5}{7} \cdot x^{2} \cdot y + 3 \cdot x) \cdot (x \cdot y - 1) = = - \frac{5}{7} \cdot x^{2} \cdot y \cdot x \cdot y - \frac{5}{7} \cdot x^{2} \cdot y \cdot (- 1) + 3 \cdot x \cdot x \cdot y + 3 \cdot x \cdot (- 1) = = - \frac{5}{7} \cdot x^{3} \cdot y^{2} + \frac{5}{7} \cdot x^{2} \cdot y + 3 \cdot x^{2} \cdot y - 3 \cdot x = - \frac{5}{7} \cdot x^{3} \cdot y^{2} + 3 \frac{5}{7} \cdot x^{2} \cdot y - 3 \cdot x$

Ответ: $(- \frac{5}{7} \cdot x^{2} \cdot y + 3 \cdot x) \cdot (x \cdot y - 1) = - \frac{5}{7} \cdot x^{3} \cdot y^{2} + 3 \frac{5}{7} \cdot x^{2} \cdot y - 3 \cdot x$

Напоследок проясним ситуацию, в которой есть необходимость перемножить три и более многочленов. В этом случае нахождение произведения сводится к последовательному перемножению многочленов по два: т.е. сначала перемножаются первые два многочлена; полученный результат умножается на третий многочлен; итог этого умножения – на четвертый многочлен и так далее.

Пример 3

Заданы многочлены: $x^{2} + x \cdot y - 1, x + y$ и $2 \cdot y - 3 .$ Необходимо найти их произведение.

Решение

Сделаем запись произведения: $(x^{2} + x \cdot y - 1) \cdot (x + y) \cdot (2 \cdot y - 3)$ .

Перемножим первые два многочлена, получим: $(x^{2} + x \cdot y - 1) \cdot (x + y) = x^{2} \cdot x + x^{2} \cdot y + x \cdot y \cdot x + x \cdot y \cdot y - 1 \cdot x - 1 \cdot y = = x^{3} + 2 \cdot x^{2} \cdot y + x \cdot y^{2} - x - y .$

Первоначальная запись произведения принимает вид: $(x^{2} + x \cdot y - 1) \cdot (x + y) \cdot (2 \cdot y - 3) = (x^{3} + 2 \cdot x^{2} \cdot y + x \cdot y^{2} - x - y) \cdot (2 \cdot y - 3)$ .

Найдем результат этого умножения:

$(x^{3} + 2 \cdot x^{2} \cdot y + x \cdot y^{2} - x - y) \cdot (2 \cdot y - 3) = = x^{3} \cdot 2 \cdot y + x^{3} \cdot (- 3) + 2 \cdot x^{2} \cdot y \cdot 2 \cdot y + 2 \cdot x^{2} \cdot y \cdot (- 3) + x \cdot y^{2} \cdot 2 \cdot y + + x \cdot y^{2} \cdot (- 3) - x \cdot 2 \cdot y - x \cdot (- 3) - y \cdot 2 \cdot y - y \cdot (- 3) = = 2 \cdot x^{3} \cdot y - 3 \cdot x^{3} + 4 \cdot x^{2} \cdot y^{2} - 6 \cdot x^{2} \cdot y + 2 \cdot x \cdot y^{3} - - 3 \cdot x \cdot y^{2} - 2 \cdot x \cdot y + 3 \cdot x - 2 \cdot y^{2} + 3 \cdot y$

Ответ:

$(x^{2} + x \cdot y - 1) \cdot (x + y) \cdot (2 \cdot y - 3) = 2 \cdot x^{3} \cdot y - 3 \cdot x^{3} + 4 \cdot x^{2} \cdot y^{2} - 6 \cdot x^{2} \cdot y + + 2 \cdot x \cdot y^{3} - 3 \cdot x \cdot y^{2} - 2 \cdot x \cdot y + 3 \cdot x - 2 \cdot y^{2} + 3 \cdot y$