Умножение многочлена на одночлен: правило, примеры

Частный случай умножения многочлена на многочлен – умножение многочлена на одночлен. В этой статье сформулируем правило совершения этого действия и разберем теорию на практических примерах.

Правило умножения многочлена на одночлен

Разберемся с тем, что является основой умножения многочлена на одночлен. Данное действие опирается на распределительное свойство умножения относительно сложения. Буквенно это свойство записывается так: $(a+b)·c=a·c+b·c$($a, b$ и $c$ – некоторые числа). В этой записи выражение $(a+b)·c$ является как раз произведением многочлена $(a+b)$ на одночлен $c$. Правая же часть равенства $a·c+b·c$ - это сумма произведений одночленов  $a$ и $b$ на одночлен $c$.

Приведенные рассуждения позволяют нам сформулировать правило умножения многочлена на одночлен:

Дополнительно поясним приведенный алгоритм.

Чтобы составить произведение многочлена на одночлен, исходный многочлен заключают в скобки; далее между ним и заданным одночленом ставится знак умножения. В случае, когда запись одночлена начинается со знака минус, его также необходимо заключить в скобки. К примеру, произведение многочлена $-4·x^2+x-2$ и одночлена $7·y$ запишем как $(-4·x^2+x-2)·7·y$, а произведение многочлена $a^5·b-6·a·b$ и одночлена $-3·a^2$ составим в виде: $(a^5·b-6·a·b)·(-3·a^2)$.

Следующий шаг алгоритма – перемножение каждого члена многочлена на заданный одночлен. Составляющими многочлена служат одночлены, т.е. по сути нам необходимо выполнить умножение одночлена на одночлен. Допустим, что после первого шага алгоритма мы получили выражение $(2·x^2+x+3)·5·x$, тогда вторым шагом перемножаем каждый член многочлена $2·x^2+x+3$ с одночленом $5·x$, получая таким образом: $2·x^2·5·x=10·x^3, x·5·x=5·x^2$ и $3·5·x=15·x$. Результатом станут одночлены $10·x^3, 5·x^2$ и $15·x$.

Последнее действие согласно правилу - сложение полученных произведений. Из предложенного примера, проделав данный шаг алгоритма, получим: $10·x^3+5·x^2+15·x$.

Стандартно все шаги записывают как цепочку равенств. Например, нахождение произведения многочлена $2·x^2+x+3$ и одночлена $5·x$ запишем так: $(2·x^2+x+3)·5·x=2·x^2·5·x+x·5·x+3·5·x=10·x^3+5·x^2+15·x$. Исключив промежуточное вычисление второго шага, краткое решение возможно оформить следующим образом: $(2·x^2+x+3)·5·x=10·x^3+5·x^2+15·x$.

Рассмотренные примеры дают возможность заметить важный нюанс: в результате перемножения многочлена и одночлена получается многочлен. Данное утверждение верно для любых перемножаемых многочлена и одночлена.

По аналогии осуществляется умножение одночлена на многочлен: заданный одночлен перемножают с каждым членом многочлена и полученные произведения суммируются.

Примеры умножения многочлена на одночлен

Уточним, что, когда исходные многочлен и/или одночлен заданы в нестандартном виде, перед тем, как найти их произведение, желательно привести их к стандартному виду.