Умножение многочлена на одночлен: правило, примеры

Содержание:

13 апреля 2023
6 минут
445

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Частный случай умножения многочлена на многочлен – умножение многочлена на одночлен. В этой статье сформулируем правило совершения этого действия и разберем теорию на практических примерах.

Правило умножения многочлена на одночлен

Разберемся с тем, что является основой умножения многочлена на одночлен. Данное действие опирается на распределительное свойство умножения относительно сложения. Буквенно это свойство записывается так: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$ ( $a, b$ и $c$ – некоторые числа). В этой записи выражение $(a + b) \cdot c$ является как раз произведением многочлена $(a + b)$ на одночлен $c$ . Правая же часть равенства $a \cdot c + b \cdot c$ - это сумма произведений одночленов $a$ и $b$ на одночлен $c$ .

Приведенные рассуждения позволяют нам сформулировать правило умножения многочлена на одночлен:

Определение 1

Для осуществления действия умножения многочлена на одночлен необходимо:

записать произведение многочлена и одночлена, которые необходимо перемножить;
умножить каждый член многочлена на заданный одночлен;
найти сумму полученных произведений.

Дополнительно поясним приведенный алгоритм.

Чтобы составить произведение многочлена на одночлен, исходный многочлен заключают в скобки; далее между ним и заданным одночленом ставится знак умножения. В случае, когда запись одночлена начинается со знака минус, его также необходимо заключить в скобки. К примеру, произведение многочлена $- 4 \cdot x^{2} + x - 2$ и одночлена $7 \cdot y$ запишем как $(- 4 \cdot x^{2} + x - 2) \cdot 7 \cdot y$ , а произведение многочлена $a^{5} \cdot b - 6 \cdot a \cdot b$ и одночлена $- 3 \cdot a^{2}$ составим в виде: $(a^{5} \cdot b - 6 \cdot a \cdot b) \cdot (- 3 \cdot a^{2})$ .

Следующий шаг алгоритма – перемножение каждого члена многочлена на заданный одночлен. Составляющими многочлена служат одночлены, т.е. по сути нам необходимо выполнить умножение одночлена на одночлен. Допустим, что после первого шага алгоритма мы получили выражение $(2 \cdot x^{2} + x + 3) \cdot 5 \cdot x$ , тогда вторым шагом перемножаем каждый член многочлена $2 \cdot x^{2} + x + 3$ с одночленом $5 \cdot x$ , получая таким образом: $2 \cdot x^{2} \cdot 5 \cdot x = 10 \cdot x^{3}, x \cdot 5 \cdot x = 5 \cdot x^{2}$ и $3 \cdot 5 \cdot x = 15 \cdot x$ . Результатом станут одночлены $10 \cdot x^{3}, 5 \cdot x^{2}$ и $15 \cdot x$ .

Последнее действие согласно правилу - сложение полученных произведений. Из предложенного примера, проделав данный шаг алгоритма, получим: $10 \cdot x^{3} + 5 \cdot x^{2} + 15 \cdot x$ .

Стандартно все шаги записывают как цепочку равенств. Например, нахождение произведения многочлена $2 \cdot x^{2} + x + 3$ и одночлена $5 \cdot x$ запишем так: $(2 \cdot x^{2} + x + 3) \cdot 5 \cdot x = 2 \cdot x^{2} \cdot 5 \cdot x + x \cdot 5 \cdot x + 3 \cdot 5 \cdot x = 10 \cdot x^{3} + 5 \cdot x^{2} + 15 \cdot x$ . Исключив промежуточное вычисление второго шага, краткое решение возможно оформить следующим образом: $(2 \cdot x^{2} + x + 3) \cdot 5 \cdot x = 10 \cdot x^{3} + 5 \cdot x^{2} + 15 \cdot x$ .

Рассмотренные примеры дают возможность заметить важный нюанс: в результате перемножения многочлена и одночлена получается многочлен. Данное утверждение верно для любых перемножаемых многочлена и одночлена.

По аналогии осуществляется умножение одночлена на многочлен: заданный одночлен перемножают с каждым членом многочлена и полученные произведения суммируются.

Примеры умножения многочлена на одночлен

Пример 1

Необходимо найти произведение: $(1, 4 \cdot x^{2} - 3, 5 \cdot y) \cdot (- \frac{2}{7} \cdot x)$ .

Решение

Первый шаг правила уже выполнен – произведение записано. Теперь выполняем следующий шаг, умножая каждый член многочлена на заданный одночлен. В данном случае удобно сначала перевести десятичные дробив обыкновенные. Тогда получим:

$(1, 4 \cdot x^{2} - 3, 5 \cdot y) \cdot (- \frac{2}{7} \cdot x) = 1, 4 \cdot x^{2} \cdot (- \frac{2}{7} \cdot x) - 3, 5 \cdot y \cdot (- \frac{2}{7} \cdot x) = = - 1, 4 \cdot \frac{2}{7} \cdot x^{2} \cdot x + 3, 5 \cdot \frac{2}{7} \cdot x \cdot y = - \frac{7}{5} \cdot \frac{2}{7} \cdot x^{3} + \frac{7}{5} \cdot \frac{2}{7} \cdot x \cdot y = - \frac{2}{5} \cdot x^{3} + x \cdot y$

Ответ: $(1, 4 \cdot x^{2} - 3, 5 \cdot y) \cdot (- \frac{2}{7} \cdot x) = - \frac{2}{5} \cdot x^{3} + x \cdot y$ .

Уточним, что, когда исходные многочлен и/или одночлен заданы в нестандартном виде, перед тем, как найти их произведение, желательно привести их к стандартному виду.

Пример 2

Заданы многочлен $3 + a - 2 \cdot a^{2} + 3 \cdot a - 2$ и одночлен $- 0, 5 \cdot a \cdot b \cdot (- 2) \cdot a$ . Необходимо найти их произведение.

Решение

Мы видим, что исходные данные представлены в нестандартном виде, поэтому для удобства дальнейших вычислений приведем их в стандартный вид:

$- 0, 5 \cdot a \cdot b \cdot (- 2) \cdot a = (- 0, 5) \cdot (- 2) \cdot (a \cdot a) \cdot b = 1 \cdot a^{2} \cdot b = a^{2} \cdot b 3 + a - 2 \cdot a^{2} + 3 \cdot a - 2 = (3 - 2) + (a + 3 \cdot a) - 2 \cdot a^{2} = 1 + 4 \cdot a - 2 \cdot a^{2}$

Теперь осуществим перемножение одночлена $a^{2} \cdot b$ на каждый член многочлена $1 + 4 \cdot a - 2 \cdot a^{2}$

$a^{2} \cdot b \cdot (1 + 4 \cdot a - 2 \cdot a^{2}) = a^{2} \cdot b \cdot 1 + a^{2} \cdot b \cdot 4 \cdot a + a^{2} \cdot b \cdot (- 2 \cdot a^{2}) = = a^{2} \cdot b + 4 \cdot a^{3} \cdot b - 2 \cdot a^{4} \cdot b$

Мы могли бы не приводить исходные данные к стандартному виду: решение при этом оказалось бы более громоздким. При этом последним шагом возникал бы необходимость приведения подобных членов. Для понимания приведем решение по этой схеме:

$- 0, 5 \cdot a \cdot b \cdot (- 2) \cdot a \cdot (3 + a - 2 \cdot a^{2} + 3 \cdot a - 2) = = - 0, 5 \cdot a \cdot b \cdot (- 2) \cdot a \cdot 3 - 0, 5 \cdot a \cdot b \cdot (- 2) \cdot a \cdot a - 0, 5 \cdot a \cdot \cdot b \cdot (- 2) \cdot a \cdot (- 2 \cdot a^{2}) - 0, 5 \cdot a \cdot b \cdot (- 2) \cdot a \cdot 3 \cdot a - 0, 5 \cdot a \cdot b \cdot (- 2) \cdot a \cdot (- 2) = = 3 \cdot a^{2} \cdot b + a^{3} \cdot b - 2 \cdot a^{4} \cdot b + 3 \cdot a^{3} \cdot b - 2 \cdot a^{2} \cdot b = a^{2} \cdot b + 4 \cdot a 3 \cdot b - 2 \cdot a^{4} \cdot b$

Ответ: $- 0, 5 \cdot a \cdot b \cdot (- 2) \cdot a \cdot (3 + a - 2 \cdot a^{2} + 3 \cdot a - 2) = a^{2} \cdot b + 4 \cdot a^{3} \cdot b - 2 \cdot a^{4} \cdot b$ .