Умножение одночленов: правило и решение примеров

Эксперт Ирина Мальцевская - преподаватель математики и информатики

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Как мы уже выяснили, одночлены можно перемножать между собой. В этой статье мы объясним, как правильно выполнить умножение одного одночлена на другой. Сначала сформулируем основное правило, а потом разберем несколько типовых задач.

Основное правило умножения одночленов

Чтобы было нагляднее, начнем сразу с конкретного примера. Допустим, у нас есть следующие одночлены: $7 \cdot a \cdot b$ $7 \cdot a \cdot b$ и $2 \cdot a \cdot 7 \cdot a^{2}$ $2 \cdot a \cdot 7 \cdot a^{2}$ . Как правильно записать их произведение? Запись будет выглядеть следующим образом: $(7 \cdot a \cdot b) \cdot (2 \cdot a \cdot 7 \cdot a^{2})$ $(7 \cdot a \cdot b) \cdot (2 \cdot a \cdot 7 \cdot a^{2})$

В данном выражении можно раскрыть скобки (при необходимости повторите соответствующий материал о правилах этого действия). После этого мы получим $7 \cdot a \cdot b \cdot 2 \cdot a \cdot 7 \cdot a^{2}$ $7 \cdot a \cdot b \cdot 2 \cdot a \cdot 7 \cdot a^{2}$ .

Мы видим, что результатом умножения стал новый одночлен. Запишем его в стандартной форме:

$7 \cdot a \cdot b \cdot 2 \cdot a \cdot 7 \cdot a^{2} = (7 \cdot 2 \cdot 7) \cdot (a \cdot a \cdot a^{2}) \cdot b = 98 \cdot a^{4} \cdot b$ $7 \cdot a \cdot b \cdot 2 \cdot a \cdot 7 \cdot a^{2} = (7 \cdot 2 \cdot 7) \cdot (a \cdot a \cdot a^{2}) \cdot b = 98 \cdot a^{4} \cdot b$

Таким образом, мы умножили одночлен на другой и получили в итоге новый одночлен. Используя данный пример, можно сформулировать основное правило такого умножения.

Определение 1

Чтобы умножить один одночлен на другой, нужно выполнить следующие действия:

Правильно записать произведение исходных множителей.
Выполнить раскрытие скобок в полученном выражении.
Если нужно, преобразовать полученный многочлен, приведя его к стандартному виду.

Теперь покажем, как применить этот алгоритм на практике.

Решение задач на умножение многочленов

Учитывая написанное выше, можно сказать, что для быстрого умножения многочленов нужно уметь раскрывать скобки в произведениях, группировать множители, перемножать между собой числа и степени с одинаковыми основаниями. Разберем такие задачи.

Пример 1

Условие: умножьте $\frac{3}{8} \cdot x^{2} \cdot y$ $\frac{3}{8} \cdot x^{2} \cdot y$ на $\frac{4}{15} \cdot x \cdot y$ $\frac{4}{15} \cdot x \cdot y$ .

Решение

Выполним все действия по алгоритму, приведенному выше. Для нахождения произведения исходных одночленов сначала правильно запишем его:

$(\frac{3}{8} \cdot x^{2} \cdot y) \cdot (\frac{4}{15} \cdot x \cdot y)$ $(\frac{3}{8} \cdot x^{2} \cdot y) \cdot (\frac{4}{15} \cdot x \cdot y)$

Раскроем скобки и получим в результате следующий многочлен:

$\frac{3}{8} \cdot x^{2} \cdot y \cdot \frac{4}{15} \cdot x \cdot y$ $\frac{3}{8} \cdot x^{2} \cdot y \cdot \frac{4}{15} \cdot x \cdot y$

Нам осталось привести его к стандартному виду. Для этого выполним группировку чисел и множителей с одинаковыми переменными и получим:

$\frac{3}{8} \cdot x^{2} \cdot y \cdot \frac{4}{15} \cdot x \cdot y = (\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{15}) \cdot (x^{2} \cdot x) \cdot (y \cdot y)$ $\frac{3}{8} \cdot x^{2} \cdot y \cdot \frac{4}{15} \cdot x \cdot y = (\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{15}) \cdot (x^{2} \cdot x) \cdot (y \cdot y)$

Теперь нам нужно умножить обыкновенные дроби и применить основное свойство степени:

$(\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{15}) \cdot (x^{2} \cdot x) \cdot (y \cdot y) = \frac{1}{10} \cdot x^{2 + 1} \cdot y^{1 + 1} = \frac{1}{10} \cdot x^{3} \cdot y^{2}$ $(\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{15}) \cdot (x^{2} \cdot x) \cdot (y \cdot y) = \frac{1}{10} \cdot x^{2 + 1} \cdot y^{1 + 1} = \frac{1}{10} \cdot x^{3} \cdot y^{2}$

В итоге мы получили одночлен $\frac{1}{10} \cdot x^{3} \cdot y^{2}$ $\frac{1}{10} \cdot x^{3} \cdot y^{2}$ , который и будет произведением двух исходных одночленов.

Вот запись всего решения без комментариев:

$(\frac{3}{8} \cdot x^{2} \cdot y) \cdot (\frac{4}{15} \cdot x \cdot y) = \frac{3}{8} \cdot x^{2} \cdot y \cdot \frac{4}{15} \cdot x \cdot y = (\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{15}) \cdot (x^{2} \cdot x) \cdot (y \cdot y) = = \frac{1}{10} \cdot x^{2 + 1} \cdot y^{1 + 1} = \frac{1}{10} \cdot x^{3} \cdot y^{2}$ $(\frac{3}{8} \cdot x^{2} \cdot y) \cdot (\frac{4}{15} \cdot x \cdot y) = \frac{3}{8} \cdot x^{2} \cdot y \cdot \frac{4}{15} \cdot x \cdot y = (\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{15}) \cdot (x^{2} \cdot x) \cdot (y \cdot y) = = \frac{1}{10} \cdot x^{2 + 1} \cdot y^{1 + 1} = \frac{1}{10} \cdot x^{3} \cdot y^{2}$

Ответ: $(\frac{3}{8} \cdot x^{2} \cdot y) \cdot (\frac{4}{15} \cdot x \cdot y) = \frac{1}{10} \cdot x^{3} \cdot y^{2}$ $(\frac{3}{8} \cdot x^{2} \cdot y) \cdot (\frac{4}{15} \cdot x \cdot y) = \frac{1}{10} \cdot x^{3} \cdot y^{2}$ .

Если у нас в условии стоит не два одночлена, а три, четыре и более, то мы действуем точно таким же образом.

Пример 2

Условие: перемножьте одночлены $5 \cdot x$ $5 \cdot x$ , $- 0, 2 \cdot y^{2} \cdot z^{2}$ $- 0, 2 \cdot y^{2} \cdot z^{2}$ , $- x \cdot y \cdot z$ $- x \cdot y \cdot z$ и $3 \cdot x^{3} \cdot z^{2}$ $3 \cdot x^{3} \cdot z^{2}$ .

Решение

Начнем с записи нужного произведения.

$(5 \cdot x) \cdot (- 0, 2 \cdot y^{2} \cdot z^{2}) \cdot (- x \cdot y \cdot z) \cdot (3 \cdot x^{3} \cdot z^{2})$ $(5 \cdot x) \cdot (- 0, 2 \cdot y^{2} \cdot z^{2}) \cdot (- x \cdot y \cdot z) \cdot (3 \cdot x^{3} \cdot z^{2})$

Теперь выполним раскрытие скобок и получим:

$5 \cdot x \cdot 0, 2 \cdot y^{2} \cdot z^{2} \cdot x \cdot y \cdot z \cdot 3 \cdot x^{3} \cdot z^{2}$ $5 \cdot x \cdot 0, 2 \cdot y^{2} \cdot z^{2} \cdot x \cdot y \cdot z \cdot 3 \cdot x^{3} \cdot z^{2}$

Нам осталось только привести этот одночлен к стандартному виду:

$3 \cdot x^{5} \cdot y^{3} \cdot z^{5}$ $3 \cdot x^{5} \cdot y^{3} \cdot z^{5}$

Ответ: $3 \cdot x^{5} \cdot y^{3} \cdot z^{5}$ $3 \cdot x^{5} \cdot y^{3} \cdot z^{5}$ .

Также отметим, что при возведении одночлена в степень нам нужно будет выполнить все те же действия, поскольку возведение в степень представляет из себя умножение определенного количества одинаковых множителей.