Действия с рациональными числами: правила, примеры, решения

30 ноября 2023
11 минут
11 364

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Ниже рассмотрим правила основных математических действий над рациональными числами: сложение, вычитание, умножение и деление. Разберем теорию на практических примерах.

Действие сложения рациональных чисел

Рациональные числа содержат натуральные, тогда смысл действия сложения рациональных чисел сопоставим со смыслом сложения натуральных. Например, сумму рациональных чисел, записанную как $5 + \frac{1}{4}$ возможно описать следующим образом: к $5$ целым предметам добавили четверть такого предмета, после чего полученное количество рассматривается совместно.

Сформулируем правила сложения рациональных чисел:

Сложение нуля с отличным от него рациональным числом

Определение 1

Прибавление нуля к любому числу дает то же число. Данное правило возможно записать в виде равенства: $a + 0 = a$ (для любого рационального числа а). Используя переместительное свойство сложения, получим также верное равенство: $0 + a = a$ .

Пара простых примеров: сумма рационального числа $2, 1$ и числа $0$ равно $2, 1$ и: $6 \frac{4}{5} + 0 = 6 \frac{4}{5}$ .

Сложение противоположных рациональных чисел

Определение 2

Сумма противоположных чисел равна нулю.

Данное правило можно записать в виде: $a + (- a) = 0$ (для любого рационального числа $a$ ).

К примеру, числа $45, 13$ и $- 45, 13$ являются противоположными, т.е. их сумма равно нулю: $45, 13 + (- 45, 13) = 0$ .

Сложение положительных рациональных чисел

В виде обыкновенной дроби возможно представить любое положительное рациональное число и использовать далее схему сложения обыкновенных дробей.

Пример 1

Необходимо произвести сложение рациональных чисел: $0, 6$ и $\frac{5}{9}$ .

Решение

Выполним перевод десятичной дроби в обыкновенную и тогда: $0, 6 + \frac{5}{9} = \frac{6}{10} + \frac{5}{9}$ .

Осуществим сложение дробей с разными знаменателями:

$\frac{6}{10} + \frac{5}{9} = \frac{54}{90} + \frac{50}{90} = \frac{104}{90} = 1 \frac{7}{45}$

Ответ: $0, 6 + \frac{5}{9} = 1 \frac{7}{45}$ .

Рациональные числа, которые подвергают действию сложения, возможно записать в виде конечных десятичных дробей или в виде смешанных чисел и, таким образом, осуществить сложение десятичных дробей и смешанных чисел соответственно.

Сложение рациональных чисел с разными знаками

Определение 3

Для того, чтобы осуществить сложение рациональных чисел с разными знаками, необходимо из бОльшего модуля слагаемых вычесть меньший и перед полученным результатом поставить знак того числа, модуль которого больше.

Пример 2

Необходимо осуществить сложение рациональных чисел с разными знаками $8, 2$ и $- 2 \frac{3}{4}$ .

Решение

Согласно исходным данным, необходимо произвести сложение положительного числа с отрицательным. Придерживаясь вышеуказанного правила, определим модули заданных чисел: $| 8, 2 | = 8, 2$ и $| - 2 \frac{3}{4} | = 2 \frac{3}{4}$ . Проведя сравнение модулей - рациональных чисел, получим: $8, 2 > 2 \frac{3}{4}$ и соответственно поймем, какое число из заданных станет уменьшаемым, а какое - вычитаемым. Произведем вычитание смешанных чисел, т.е.: $8, 2 - 2 \frac{3}{4} = 8 \frac{2}{10} - 2 \frac{3}{4} = 5 \frac{9}{20}$ .

Полученному результату присваивается знак плюс, т.к. бОльшее из слагаемых по модулю – положительное число. Ответ: $8, 2 + (- 2 \frac{3}{4}) = 5 \frac{9}{20}$ .

Сложение отрицательных рациональных чисел

Определение 4

Для того, чтобы произвести сложение отрицательных рациональных чисел, необходимо сложить модули заданных слагаемых, затем полученному результату присвоить знак минус.

Действие вычитания рациональных чисел

Вычитание – действие, обратное сложению, в котором мы находим неизвестное слагаемое по сумме и известному слагаемому. Тогда из равенства $c + b = a$ следует, что $a - b = c$ и $a - c = b$ . И наоборот: из равенств $a - b = c$ и $a - c = b$ следует, что $c + b = a$ .

Определение 5

При вычитании из бОльшего положительного рационального числа мы либо производим вычитание обыкновенных дробей, либо, если это уместно, вычитание десятичных дробей или смешанных.

Пример 4

Необходимо вычислить разность рациональных чисел: $4, (36) - \frac{1}{5}$ .

Решение

Сначала переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную: $4, (36) = 4 + (0, 36 + 0, 0036 + \dots) = 4 + \frac{0, 36}{1 - 0, 01} = 4 + \frac{36}{99} = 4 + \frac{4}{11} = 4 \frac{4}{11}$

Далее переходим к действию вычитания обыкновенной дроби из смешанного числа: $4, (36) - \frac{1}{5} = 4 \frac{4}{11} - \frac{1}{5} = 4 + \frac{4}{11} - \frac{1}{5} = 4 + (\frac{20}{55} - \frac{11}{55}) = 4 + \frac{9}{55} = 4 \frac{9}{55}$

Ответ: $4, (36) - \frac{1}{5} = 4 \frac{9}{55}$

Определение 6

В прочих случаях вычитание рациональных чисел необходимо заменить сложением: к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: $a - b = a + (- b)$ .

Указанное равенство можно доказать, опираясь на свойства действий с рациональными числами. Они дают возможность записать цепочку равенств: $(a + (- b)) + b = a + ((- b) + b) = a + 0 = a$ . Отсюда в силу смысла действия вычитания следует, что сумма $a + (- b)$ есть разность чисел $a$ и $b$ .

Пример 5

Необходимо из рационального числа $\frac{2}{7}$ вычесть рациональное число $5 \frac{3}{7}$

Решение

Согласно последнему указанному правилу используем для дальнейших действий число, противоположное вычитаемому, т.е. $- 5 \frac{3}{7}$ . Тогда: $\frac{2}{7} - 5 \frac{3}{7} = \frac{2}{7} + (- 5 \frac{3}{7})$

Далее произведем сложение рациональных чисел с разными знаками: $\frac{2}{7} + - 5 \frac{3}{7} = - 5 \frac{3}{7} - \frac{2}{7} = - 5 \frac{3}{7} - \frac{2}{7} = - 5 \frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{2}{7} + - 5 \frac{3}{7} = - 5 \frac{1}{7}$

Действие умножения рациональных чисел

Общее понятие числа расширяется от натуральных чисел к целым, так же как от целых к рациональным. Все действия с целыми числами имеют те же свойства, что и действия с натуральными. В таком случае, и действия с рациональными числами также должны характеризоваться всеми свойствами действий с целыми числами. Но для действия умножения рациональных чисел присуще дополнительное свойство: свойство умножения взаимообратных чисел. Вышесказанному соответствуют все правила умножения рациональных чисел. Укажем их.

Умножение на нуль

Определение 7

Произведение любого рационального числа $a$ на нуль есть нуль.

Т.е. $a \cdot 0 = 0$ .

Используя переместительное свойство умножения, получим: $0 \cdot а = 0$ .

К примеру, умножение рационального числа $\frac{7}{13}$ на $0$ даст $0$ . Перемножив отрицательное рациональное число $- 7 \frac{1}{8}$ и нуль, также получим нуль. В частном случае, произведение нуля на нуль есть нуль: $0 \cdot 0 = 0$ .

Умножение на единицу

Определение 8

Умножение любого рационального числа $a$ на $1$ дает число $a$ .

Т.е. $a \cdot 1 = a$ или $1 \cdot a = a$ (для любого рационального $a$ ). Единица здесь является нейтральным числом по умножению.

К примеру, умножение рационального числа $5, 46$ на $1$ даст в итоге число $5, 46$ .

Умножение взаимообратных чисел

Определение 9

Если множители есть взаимообратные числа, то результатом их произведения будет единица. Т.е. : $а \cdot а^{- 1} = 1$ .

К примеру, результатом произведения чисел $\frac{5}{6}$ и $\frac{6}{5}$ будет единица.

Умножение положительных рациональных чисел

В общих случаях умножение положительных рациональных чисел сводится к умножению обыкновенных дробей. Первым действием множители представляются в виде обыкновенных дробей, если заданные числа таковыми не являются.

Пример 6

Необходимо вычислить произведение положительных рациональных чисел $0, 5$ и $\frac{6}{25}$ .

Решение

Представим заданную десятичную дробь в виде обыкновенной $0, 5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ .

Далее произведем умножение обыкновенных дробей: $\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{25} = \frac{6}{50} = \frac{3}{25}$ .

Ответ: $0, 5 \cdot \frac{6}{25} = \frac{3}{25}$

Можно также работать и с конечными десятичными дробями. Удобнее будет в данном случае не переходить к действиям над обыкновенными дробями.

Умножение положительных рациональных чисел — Пример 7

В частных случаях нахождение произведения рациональных чисел представляет собой умножение натуральных чисел, умножение натурального числа на обыкновенную или десятичную дробь.

Умножение рациональных чисел с разными знаками

Определение 10

Чтобы найти произведение рациональных чисел с разными знаками, необходимо перемножить модули множителей и полученному результату присвоить знак минус.

Пример 8

Необходимо найти произведение чисел: $- 3 \frac{3}{8}$ и $2 \frac{1}{2}$

Решение

Согласно вышеуказанному правилу получим: $(- 3 \frac{3}{8}) \cdot 2 \frac{1}{2} = (|- 3 \frac{3}{8}| \cdot |2 \frac{1}{2}|) = - (3 \frac{3}{8} \cdot 2 \frac{1}{2})$

Заменим смешанные дроби неправильными и найдем искомое произведение: $- (3 \frac{3}{8} \cdot 2 \frac{1}{2}) = - (\frac{27}{8} \cdot \frac{5}{2}) = - \frac{135}{16} = - 8 \frac{7}{16}$

Ответ: $(- 3 \frac{3}{8}) \cdot 2 \frac{1}{2} = - 8 \frac{7}{16}$

Умножение отрицательных рациональных чисел

Определение 11

Для того, чтобы найти произведение отрицательных рациональных чисел, необходимо перемножить модули множителей.

Умножение отрицательных рациональных чисел — Пример 9

Деление рациональных чисел

Деление – действие, обратно умножению, в ходе которого мы находим неизвестный множитель по заданному произведению и известному множителю. Смысл действия деления можно записать так: из равенства $b \cdot c = a$ следует, что $a : b = c$ и $a : c = b$ . И наоборот: из равенств $a : b = c$ и $a : c = b$ следует, что $b \cdot c = a$ .

На множестве рациональных чисел деление не считается самостоятельным действием, поскольку оно производится через действие умножения. Собственно, этот смысл заложен в правило деления рациональных чисел.

Определение 12

Разделить число $а$ на число $b$ , отличное от нуля – то же самое, что умножить число $a$ на число, обратное делителю. Т.е., на множестве рациональных чисел верно равенство: $a : b = a \cdot b^{- 1}$ .

Указанное равенство доказывается просто: на основе свойств действий с рациональными числами справедливой будет цепочка равенств $(a \cdot b - 1) \cdot b = a \cdot (b - 1 \cdot b) = a \cdot 1 = a$ , которая и доказывает равенство $a : b = a \cdot b^{- 1}$ .

Таким образом, деление рационального числа на другое рациональное число, отличное от нуля, сводится к действию умножения рациональных чисел.

Пример 10

Необходимо выполнить действие деления $3 \frac{1}{3} : (- 1 \frac{1}{6})$

Решение

Определим число, обратное заданному делителю. Запишем заданный делитель в виде неправильной дроби: $- 1 \frac{1}{6} = - \frac{7}{6}$ .

Число, обратное этой дроби, будет: $- \frac{6}{7}$ . Теперь, согласно вышеуказанному правилу, произведем действие умножения рациональных чисел: $3 \frac{1}{3} - 1 \frac{1}{6} = 3 \frac{1}{3} \cdot - \frac{6}{7} = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{6}{7}) = - (\frac{10}{3} \cdot \frac{6}{7}) = - \frac{20}{7} = - 2 \frac{6}{7}$

Ответ: $3 \frac{1}{3} : (- 1 \frac{1}{6}) = - 2 \frac{6}{7}$