Деление обыкновенных дробей: правила, примеры, решения, деление дробей с разными знаменателями, как число делить на дробь

С дробями можно выполнять все действия, в том числе и деление. Данная статья показывает деление обыкновенных дробей. Будут даны определения, рассмотрены примеры. Подробно остановимся на делении дробей на натуральные числа и наоборот. Будет рассмотрено деление обыкновенной дроби на смешанное число.

Деление обыкновенных дробей

Деления является обратным умножению. При делении неизвестный множитель находится при известном произведении и другого множителя, где и сохраняется его данный смысл с обыкновенными дробями.

Если необходимо произвести деление обыкновенной дроби $\frac{a}{b}$ $\frac{a}{b}$ на $\frac{c}{d}$ $\frac{c}{d}$ , тогда для определения такого числа нужно произвести умножение на делитель $\frac{c}{d}$ $\frac{c}{d}$ , это даст в итоге делимое $\frac{a}{b}$ $\frac{a}{b}$ . Получим число и запишем его $\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$ $\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$ , где $\frac{d}{c}$ $\frac{d}{c}$ является обратным $\frac{c}{d}$ $\frac{c}{d}$ числу. Равенства можно записать при помощи свойств умножения, а именно: $(\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}) \cdot \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot (\frac{d}{c} \cdot \frac{c}{d}) = \frac{a}{b} \cdot 1 = \frac{a}{b}$ $(\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}) \cdot \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot (\frac{d}{c} \cdot \frac{c}{d}) = \frac{a}{b} \cdot 1 = \frac{a}{b}$ , где выражение $\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$ $\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$ является частным от деления $\frac{a}{b}$ $\frac{a}{b}$ на $\frac{c}{d}$ $\frac{c}{d}$ .

Отсюда получим и сформулируем правило деления обыкновенных дробей:

Определение 1

Чтобы разделить обыкновенную дробь $\frac{a}{b}$ $\frac{a}{b}$ на $\frac{c}{d}$ $\frac{c}{d}$ , необходимо делимое умножить на число, обратное делителю.

Запишем правило в виде выражения: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$ $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$

Правила деления сводятся к умножению. Чтобы придерживаться его, нужно хорошо разбираться в выполнении умножения обыкновенных дробей.

Перейдем к рассмотрению деления обыкновенных дробей.

Пример 1

Выполнить деление $\frac{9}{7}$ $\frac{9}{7}$ на $\frac{5}{3}$ $\frac{5}{3}$ . Результат записать в виде дроби.

Решение

Число $\frac{5}{3}$ $\frac{5}{3}$ – это обратная дробь $\frac{3}{5}$ $\frac{3}{5}$ . Необходимо использовать правило деления обыкновенных дробей. Это выражение запишем так: $\frac{9}{7} : \frac{5}{3} = \frac{9}{7} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9 \cdot 3}{7 \cdot 5} = \frac{27}{35}$ $\frac{9}{7} : \frac{5}{3} = \frac{9}{7} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9 \cdot 3}{7 \cdot 5} = \frac{27}{35}$ .

Ответ: $\frac{9}{7} : \frac{5}{3} = \frac{27}{35}$ $\frac{9}{7} : \frac{5}{3} = \frac{27}{35}$ .

При сокращении дробей следует выделять целую часть, если числитель больше знаменателя.

Пример 2

Разделить $\frac{8}{15} : \frac{24}{65}$ $\frac{8}{15} : \frac{24}{65}$ . Ответ записать в виде дроби.

Решение

Для решения нужно перейти от деления к умножению. Запишем это в такой форме: $\frac{8}{15} : \frac{24}{65} = \frac{(2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 13)}{(3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3)} = \frac{13}{3 \cdot 3} = \frac{13}{9}$ $\frac{8}{15} : \frac{24}{65} = \frac{(2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 13)}{(3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3)} = \frac{13}{3 \cdot 3} = \frac{13}{9}$

Необходимо произвести сокращение, а это выполняется следующим образом: $\frac{8 \cdot 65}{15 \cdot 24} = \frac{(2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 13)}{(3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3)} = \frac{13}{3 \cdot 3} = \frac{13}{9}$ $\frac{8 \cdot 65}{15 \cdot 24} = \frac{(2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 13)}{(3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3)} = \frac{13}{3 \cdot 3} = \frac{13}{9}$

Выделяем целую часть и получаем $\frac{13}{9} = 1 \frac{4}{9}$ $\frac{13}{9} = 1 \frac{4}{9}$ .

Ответ: $\frac{8}{15} : \frac{24}{65} = 1 \frac{4}{9}$ $\frac{8}{15} : \frac{24}{65} = 1 \frac{4}{9}$ .

Деление необыкновенной дроби на натуральное число

Используем правило деления дроби на натуральное число:чтобы разделить $\frac{a}{b}$ $\frac{a}{b}$ на натуральное число $n$ $n$ , необходимо умножить только знаменатель на $n$ $n$ . Отсюда получим выражение: $\frac{a}{b} : n = \frac{a}{b \cdot n}$ $\frac{a}{b} : n = \frac{a}{b \cdot n}$ .

Правило деления является следствием правила умножения. Поэтому представление натурального числа в виде дроби даст равенство такого типа: $\frac{a}{b} : n = \frac{a}{b} : \frac{n}{1} = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{n} = \frac{a}{b \cdot n}$ $\frac{a}{b} : n = \frac{a}{b} : \frac{n}{1} = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{n} = \frac{a}{b \cdot n}$ .

Рассмотрим данное деление дроби на число.

Пример 3

Произвести деление дроби $\frac{16}{45}$ $\frac{16}{45}$ на число $12$ $12$ .

Решение

Применим правило деления дроби на число. Получим выражение вида $\frac{16}{45} : 12 = \frac{16}{45 \cdot 12}$ $\frac{16}{45} : 12 = \frac{16}{45 \cdot 12}$ .

Произведем сокращение дроби. Получим $\frac{16}{45 \cdot 12} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{(3 \cdot 3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 3)} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{4}{135}$ $\frac{16}{45 \cdot 12} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{(3 \cdot 3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 3)} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{4}{135}$ .

Ответ: $\frac{16}{45} : 12 = \frac{4}{135}$ $\frac{16}{45} : 12 = \frac{4}{135}$ .

Деление натурального числа на обыкновенную дробь

Правило деления аналогично правилу деления натурального числа на обыкновенную дробь: чтобы разделить натуральное число $n$ $n$ на обыкновенную $\frac{a}{b}$ $\frac{a}{b}$ , необходимо произвести умножение числа $n$ $n$ на обратное дроби $\frac{a}{b}$ $\frac{a}{b}$ .

Исходя из правила, имеем $n : \frac{a}{b} = n \cdot \frac{b}{a}$ $n : \frac{a}{b} = n \cdot \frac{b}{a}$ , а благодаря правилу умножения натурального числа на обыкновенную дробь, получим наше выражение в виде $n : \frac{a}{b} = \frac{n \cdot b}{a}$ $n : \frac{a}{b} = \frac{n \cdot b}{a}$ . Необходимо рассмотреть данное деление на примере.

Пример 4

Делить $25$ $25$ на $\frac{15}{28}$ $\frac{15}{28}$ .

Решение

Нам необходимо переходить от деления к умножению. Запишем в виде выражения $25 : \frac{15}{28} = 25 \cdot \frac{28}{15} = \frac{25 \cdot 28}{15}$ $25 : \frac{15}{28} = 25 \cdot \frac{28}{15} = \frac{25 \cdot 28}{15}$ . Сократим дробь и получим результат в виде дроби $46 \frac{2}{3}$ $46 \frac{2}{3}$ .

Ответ: $25 : \frac{15}{28} = 46 \frac{2}{3}$ $25 : \frac{15}{28} = 46 \frac{2}{3}$ .

Деление обыкновенной дроби на смешанное число

При делении обыкновенной дроби на смешанное числолегко можно свети к делению обыкновенных дробей. Нужно совершить перевод смешанного числа в неправильную дробь.

Пример 5

Разделить дробь $\frac{35}{16}$ $\frac{35}{16}$ на $3 \frac{1}{8}$ $3 \frac{1}{8}$ .

Решение

Так как $3 \frac{1}{8}$ $3 \frac{1}{8}$ - смешанное число, представим его в виде неправильной дроби. Тогда получим $3 \frac{1}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{25}{8}$ $3 \frac{1}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{25}{8}$ . Теперь произведем деление дробей. Получим $\frac{35}{16} : 3 \frac{1}{8} = \frac{35}{16} : \frac{25}{8} = \frac{35}{16} \cdot \frac{8}{25} = \frac{35 \cdot 8}{16 \cdot 25} = \frac{(5 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2)}{(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 5)} = \frac{7}{10}$ $\frac{35}{16} : 3 \frac{1}{8} = \frac{35}{16} : \frac{25}{8} = \frac{35}{16} \cdot \frac{8}{25} = \frac{35 \cdot 8}{16 \cdot 25} = \frac{(5 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2)}{(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 5)} = \frac{7}{10}$