Приведение дроби к наименьшему общему знаменателю: правило, примеры решений

2 сентября 2023
7 минут
25 282

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В данной статье рассказывается, как привести дроби к общему знаменателю и как найти наименьший общий знаменатель. Приведены определения, дано правило приведения дробей к общему знаменателю и рассмотрены практические примеры.

Что такое приведение дроби к общему знаменателю?

Обыкновенные дроби состоят из числителя - верхней части, и знаменателя - нижней части. Если дроби имеют одинаковый знаменатель, говорят, что они приведены к общему знаменателю. Например, дроби $\frac{11}{14}, \frac{17}{14}, \frac{9}{14}$ имеют одинаковый знаменатель $14$ . Другими словами, они приведены к общему знаменателю.

Если же дроби имеют разные знаменатели, то их всегда можно привести к общему знаменателю при помощи нехитрых действий. Чтобы сделать это, нужно числитель и знаменатель умножить на определенные дополнительные множители.

Очевидно, что дроби $\frac{4}{5}$ и $\frac{3}{4}$ не приведены к общему знаменателю. Чтобы это сделать, нужно с использованием дополнительных множителей $5$ и $4$ привести их к знаменателю 20. Как именно сделать это? Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{4}{5}$ на $4$ , а числитель и знаменатель дроби $\frac{3}{4}$ умножим на $5$ . Вместо дробей $\frac{4}{5}$ и $\frac{3}{4}$ получим соответственно $\frac{16}{20}$ и $\frac{15}{20}$ .

Приведение дробей к общему знаменателю

Приведение дробей к общему знаменателю - это умножение числителей и знаменателей дробей на такие множители, что в результате получаются идентичные дроби с одинаковым знаменателем.

Общий знаменатель: определение, примеры

Что такое общий знаменатель?

Общий знаменатель

Общий знаменатель дробей - это любое положительное число, которое является общим кратным всех данных дробей.

Другими словами, общим знаменателем какого-то набора дробей будет такое натуральное число, которое без остатка делится на все знаменатели этих дробей.

Ряд натуральных чисел бесконечен, и поэтому, согласно определению, каждый набор обыкновенных дробей имеет бесконечное множество общих знаменателей. Иначе говоря, существует бесконечно много общих кратных для всех знаменателей исходного набора дробей.

Общий знаменатель для нескольких дробей легко найти, пользуясь определением. Пусть есть дроби $\frac{1}{6}$ и $\frac{3}{5}$ . Общим знаменателем дробей будет любое положительное общее кратное для чисел $6$ и $5$ . Такими положительными общими кратными являются числа 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210 и так далее.

Рассмотрим пример.

Пример 1. Общий знаменатель

Можно ди дроби $\frac{1}{3}, \frac{21}{6}, \frac{5}{12}$ привести к общему знаменателю, который равен $150$ ?

Чтобы выяснить, так ли это, нужно проверить, является ли $150$ общим кратным для знаменателей дробей, то есть для чисел $3, 6, 12$ . Другими словами, число $150$ должно без остатка делиться на $3, 6, 12$ . Проверим:

$150 \div 3 = 50, 150 \div 6 = 25, 150 \div 12 = 12, 5$

Значит, $150$ не является общим знаменателем указанных дробей.

Наименьший общий знаменатель

Наименьшее натуральное число из множества общих знаменателей какого-то набора дробей называется наименьшим общим знаменателем.

Наименьший общий знаменатель

Наименьший общий знаменатель дробей - это наименьшее число среди всех общих знаменателей этих дробей.

Наименьший общий делитель данного набора чисел - это наименьшее общее кратное (НОК). НОК всех знаменателей дробей является наименьшим общим знаменателем этих дробей.

Как найти наименьший общий знаменатель? Его нахождение сводится к нахождению наименьшего общего кратного дробей. Обратимся к примеру:

Пример 2. Найти наименьший общий знаменатель

Нужно найти наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{1}{10}$ и $\frac{127}{28}$ .

Ищем НОК чисел $10$ и $28$ . Разложим их на простые множители и получим:

$10 = 2 \cdot 5 28 = 2 \cdot 2 \cdot 7 Н О К (15, 28) = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7 = 140$

Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю

Существует правило, которое объясняет, как привести дроби к общему знаменателю. Правило состоит из трех пунктов.

Правило приведения дробей к общему знаменателю

Найти наименьший общий знаменатель дробей.
Для каждой дроби найти дополнительный множитель. Чтобы найти множитель нужно наименьший общий знаменатель разделить на знаменатель каждой дроби.
Умножить числитель и знаменатель на найденный дополнительный множитель.

Рассмотрим применение этого правила на конкретном примере.

Пример 3. Приведение дробей к общему знаменателю

Есть дроби $\frac{3}{14}$ и $\frac{5}{18}$ . Приведем их к наименьшему общему знаменателю.

По правилу, сначала найдем НОК знаменателей дробей.

$14 = 2 \cdot 7 18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 Н О К (14, 18) = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 126$

Вычисляем дополнительные множители для каждой дроби. Для $\frac{3}{14}$ дополнительный множитель находится как $126 \div 14 = 9$ , а для дроби $\frac{5}{18}$ дополнительный множитель будет равен $126 \div 18 = 7$ .

Умножаем числитель и знаменатель дробей на дополнительные множители и получаем:

$\frac{3 \cdot 9}{14 \cdot 9} = \frac{27}{126}, \frac{5 \cdot 7}{18 \cdot 7} = \frac{35}{126}$ .

Приведение нескольких дробей к наименьшему общему знаменателю

По рассмотренному правилу к общему знаменателю можно приводить не только пары дробей, но и большее их количество.

Приведем еще один пример.

Пример 4. Приведение дробей к общему знаменателю

Привести дроби $\frac{3}{2}, \frac{5}{6}, \frac{3}{8}$ и $\frac{17}{18}$ к наименьшему общему знаменателю.

Вычислим НОК знаменателей. Находим НОК трех и большего количества чисел:

$Н О К_{(2, 6)} = 6 Н О К_{(6, 8)} = 24 Н О К_{(24, 18) =} 72 Н О К_{(2, 6, 8, 18)} = 72$

Далее вычислим дополнительные множители для каждой дроби.

Для $\frac{3}{2}$ дополнительный множитель равен $72 \div 2 = 36$ , для $\frac{5}{6}$ дополнительный множитель равен $72 \div 6 = 12$ , для $\frac{3}{8}$ дополнительный множитель равен $72 \div 8 = 9$ , наконец, для $\frac{17}{18}$ дополнительный множитель равен $72 \div 18 = 4$ .

Умножаем дроби на дополнительные множители и переходим к наименьшему общему знаменателю:

$\frac{3}{2} \cdot 36 = \frac{108}{72} \frac{5}{6} \cdot 12 = \frac{60}{72} \frac{3}{8} \cdot 9 = \frac{27}{72} \frac{17}{18} \cdot 4 = \frac{68}{72}$

Как привести дробь к наименьшему общему знаменателю (пример)