Рациональные числа: определения, примеры

Данная статья посвящена изучению темы "Рациональные числа". Ниже приведены определения рациональных чисел, даны примеры, рассказано о том, как определить, является ли число рациональным, или нет. 

Рациональные числа. Определения

Прежде чем дать дефиницию рациональных чисел вспомним, какие еще есть множества чисел, и как они связаны между собой. 

Натуральные числа, в совокупности с противоположными им и числом ноль образуют множество целых чисел. В свою очередь, совокупность целых дробных чисел образует множество рациональных чисел.

Таким образом, можно оставить ряд свойств рациональных чисел:

1. Любое натуральное число является рациональным числом. Очевидно, каждое натуральное число $n$ можно представить в виде дроби $\frac{1}{n}$.
2. Любое целое число, включая число $0$, является рациональным числом. Действительно, любое целое положительное и целое отрицательное число легко представляется в виде соответственно положительной или отрицательной обыкновенной дроби. Например, $15=\frac{15}{1}, -352=-\frac{352}{1}$.
3. Любая положительная или отрицательная обыкновенная дробь $\frac{a}{b}$ является рациональным числом. Это следует напрямую из данного выше определения.
4. Любое смешанное число является рациональным. Действительно, ведь смешанное число можно представить в виде обыкновенной неправильной дроби.
5. Любую конечную или периодическую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби. Поэтому, каждая периодическая или конечная десятичная дробь является рациональным числом. 
6. Бесконечные и непериодическое десятичные дроби не являются рациональными числами. Их невозможно представить в форме обыкновенных дробей.

Приведем примеры рациональных чисел. Числа $5, 105, 358, 1100055$ являются натуральными, положительными и целыми. Сдедовательно, это рациональные числа. Числа $-2, -358, -936$ представляют собой целые отрицательные числа, и они также рациональны в соответствии с определением. Обыкновенные дроби $\frac{3}{5}, \frac{8}{7}, \frac{-35}{8}$ также являются примерами рациональных чисел.  

Приведенное выше определение рациональных чисел можно сформулировать более кратко. Еще раз ответим на вопрос, что такое рациональное число.

Можно показать, что данное определение равносильно предыдущему определению рациональных чисел. Чтобы сделать это, вспомним, что черта дроби равносильна знаку деления. С учетом правил и свойств деления целых чисел, можно записать следующие справедливые неравенства:

$$\begin{gathered} \frac{0}{n}=0÷n=0; \\ \frac{-m}{n}=(-m)÷n=-\frac{m}{n}. \end{gathered}$$

Таким образом, можно записать:

$\frac{z}{n}=\left\{\begin{array}{c}\frac{z}{n}, при z>0\\ 0, при z=0\\ -\frac{\left|z\right|}{n}, при z<0\end{array}\right.$

Собственно, данная запись и является доказательством. Приведем примеры рациональных чисел, основываясь на втором определении. Рассмотрим числа $-3, 0, 5, \frac{-7}{55}, 0,0125$ и $-1\frac{3}{5}$. Все эти числа являются рациональными, так как  их можно записать в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем: $\frac{-3}{1}, \frac{0}{1},\frac{-7}{55}, \frac{125}{10000}, \frac{8}{5}$.

Приведем еще одну эквивалентную форму определения рациональных чисел.

Данное определение напрямую следует из самого первого определения этого пункта. 

Подведем итог и сформулируем резюме по данному пункту:

1. Положительные и отрицательные дробные и целые числа составляют множество рациональных чисел.
2. Каждое рациональное число можно представить в виде обыкновенной дроби, числитель которой является целым числом, а знаменатель - натуральным числом.
3. Каждое рациональное число можно также представить в виде десятичной дроби: конечной или бесконечной периодической.

Какое из чисел является рациональным?

Как мы уже выяснили, любое натуральное число, целое число, правильная и неправильная обыкновенная дробь, периодическая и конечная десятичная дробь являются рациональными числами. Вооружившись этими знаниями можно без труда определить, является ли какое-то число рациональным.

Однако на практике часто приходится иметь дело не с числами, а с числовыми выражениями, которые содержат корни, степени и логарифмы. В некоторых случаях ответ на вопрос "рационально ли число?" является далеко не очевидным. Рассмотрим методы ответа на этот вопрос.

Если число задано в виде выражения, содержащего только рациональные числа и арифметические действия между ними, то результат выражения - рациональное число.

Например, значение выражения $\frac{2·3{\displaystyle \frac{1}{8}}-0,25}{0,\left(3\right)}$ является рациональным числом и равно $18$. 

Таким образом, упрощение сложного числового выражения позволяет определить, рационально ли заданное им число.

Теперь разберемся со знаком корня.

Оказывается, что число $\sqrt[n]{m}$, заданное в видя корня степени $n$ от числа $m$ рационально лишь тогда, когда $m$ является $n$-ой степенью какого-то натурального числа.

Обратимся к примеру. Число $\sqrt{2}$ не является рациональным. Тогда как $\sqrt{9}, \sqrt{81}$ - рациональные числа. $9$ и $81$ - полные квадраты чисел $3$ и $9$ соответственно. Числа $\sqrt{199}, \sqrt{28}, \sqrt{\frac{15}{1}}$ не являются рациональными числами, так как числа под знаком корня не являются полными квадратами каких-либо натуральных чисел. 

Теперь возьмем более сложный случай. Является ли рациональным число $\sqrt[5]{243}$? Если возвести $3$ в пятую степень, получается $243$, поэтому исходное выражение можно переписать так: $\sqrt[5]{243}=\sqrt[5]{3^5}=3$. Следовательно, данное число рационально. Теперь возьмем число $\sqrt[5]{121}$. Это число нерационально, так как не существует натурального числа, возведение которого в пятую степень даст $121$.

Для того, чтобы узнать, является ли логарифм какого-то числа $a$ по основанию $b$ рациональным числом необходимо применить метод от противного. К примеру, узнаем, рационально ли число ${\log }_{2}5$. Предположим, что данное число рационально. Если это так, то его можно записать в виде обыкновенной дроби ${\log }_{2}5=\frac{m}{n}$.По свойствам логарифма и свойствам степени справедливы следующие равенства:

$$\begin{gathered} 5=2^{{\log }_{2}5}=2^{\frac{m}{n}} \\ {5}^n=2^m \end{gathered}$$

Очевидно, последнее равенство невозможно так как в левой и правой частях находятся соответственно нечетное и четное числа. Следовательно, сделанное предположение неверно, и число ${\log }_{2}5$ не является рациональным числом.

Стоит отметить, что при определении рациональности и иррациональности чисел не стоит принимать скоропостижных решений. Например, результат произведения иррациональных чисел не всегда является иррациональным числом. Наглядный пример: $\sqrt{2}·\sqrt{2}=2$.

Также существуют иррациональные числа, возведение которых в иррациональную степень дает рациональное число. В степени вида ${\left(\sqrt{2}\right)}^{{\log }_{\sqrt{2}}3}$ основание и показатель степени являются иррациональными числами. Однако само число является рациональным: ${\left(\sqrt{2}\right)}^{{\log }_{\sqrt{2}}3}=3$.